dm5

PTSI Lycée Pierre de Coubertin
Devoir Maison 5
-1pt par jour de retard
Problème.
Les parties I, II et IV de ce problème sont en grande partie indépendantes.
On considère l’équation (E)suivante où fest une fonction continue sur un intervalle Iet où l’inconnue
yest une fonction définie sur Iet à valeurs réelles :
∀x∈I, y00 (x)+4y0(x)+4y(x) = f(x) (E)
Partie 0 - Préliminaire
1. Résoudre l’équation homogène associée à (E).
Partie I - Cas où f(x)=8x+ 20
Dans cette partie, on cherche à résoudre y00(x)+4y0(x)+4y(x)=8x+ 20 (E)sur I=R.
2. Rechercher une solution particulière de (E)et donner toutes les solutions de (E).
3. (a) Déterminer l’unique solution de (E)satisfaisant la condition initiale y(0) = 0 et y0(0) = 0.
(b) Combien de solutions de (E)vérifient simultanément les conditions y(0) = 0 et y(1) = 5 ?
Partie II - Cas où f(x) = cos(2x)
Dans cette partie, on cherche à résoudre l’équation y00 + 4y0+ 4y= cos(2x) (E)sur I=Ret on
commence pour cela par considérer l’équation y00 + 4y0+ 4y= ei2x(E0).
4. Citer explicitement le théorème permettant d’obtenir une solution particulière de l’équation
différentielle :
y00 + 4y0+ 4y=ei2x
5. (a) En déduire une solution particulière de l’équation différentielle y00 + 4y0+ 4y= cos(2x).
(b) En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).
6. Déterminer l’unique solution de (E)satisfaisant à la condition initiale y(0) = 0 et y0(0) = 0.
Partie III - Cas où f(x) = 7
2+ 2x+ 3 cos2x
Dans cette partie, on cherche à résoudre y00 (x)+4y0(x)+4y(x) = 7
2+ 2x+ 3 cos2x(E)sur
I=R.
On pourra utiliser les résultats établis dans les parties I et II.
7. Déterminer (α, β)∈R2tel que :
∀x∈R,7
2+ 2x+ 3 cos2x=α(8x+ 20) + βcos(2x)
8. En déduire, en justifiant avec soin, les solutions de l’équation différentielle (E).
1/2 À rendre le lundi 28 novembre 2016

PTSI Lycée Pierre de Coubertin
Partie IV - Changement de fonction inconnue - Cas où f(x) = e−2x
x
Dans cette partie, on cherche à résoudre y00(x)+4y0(x)+4y(x) = e−2x
x(E)sur I=]0,+∞[.
Soit yune fonction deux fois dérivable sur I, on définit alors la fonction zsur Ipar :
∀x∈I, z(x) = y(x)e2x
9. Montrer l’équivalence suivante, pour x∈I:
y00(x)+4y0(x)+4y(x) = e−2x
x⇐⇒ z00(x) = 1 x
10. En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).
Partie V - Changement de variable x= ln(t)
Dans cette partie, on cherche à résoudre l’équation différentielle (F)suivante sur l’intervalle
]0,+∞[:
t2y00(t)+5ty0(t)+4y(t) = cos(ln(t2)) (F)
Soit yune fonction deux fois dérivable sur ]0,+∞[, on définit alors la fonction zsur Rpar :
∀t∈]0,+∞[, y(t) = z(ln t)autrement dit z(x) = y(ex)
11. Montrer l’équivalence suivante :
yest solution de (F)⇐⇒ zest solution de y00 (x)+4y0(x)+4y(x) = f(x)
où f est une fonction à déterminer.
12. À l’aide de résultats établis dans une des parties précédentes, en déduire les solutions de (F).
2/2 À rendre le lundi 28 novembre 2016