Equations du second degré

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Equations du second degré
a) Propositions logiques
 Une proposition logique est un objet mathématique qui peut prendre deux valeurs distinctes :
vrai ou faux (principe du tiers exclu).
 La négation d’une proposition  est la proposition  telle que si  est vraie alors  est fausse
et si  est fausse alors  est vraie.
|Exemple : 
Cette proposition est vraie.
La négation de cette proposition est : 
Cette proposition est fausse. Il n’existe aucun nombre réel  tel que 
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b) Implications et équivalences logiques
 Une implication logique est une proposition mathématique. Elle correspond au schéma
linguistique suivant : « Si  alors  » (où  et  sont deux propositions). Elle peut donc être
vraie ou fausse.
Une implication logique a un sens seulement si  est supposée vraie au départ, alors  implique
 veut dire « lorsque  est vraie alors  est nécessairement vraie aussi ».
Une implication logique est fausse de la même manière si ayant  vraie on a  fausse (et que
donc la vérité de  n’implique pas la vérité de  donc  n’implique pas ).
Une implication logique est par convention vraie lorsque  est supposée fausse au départ.
On note  la proposition «  implique »
On peut résumer ces propriétés dans une « table de vérité » :
P
Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
 Une équivalence logique est une proposition mathématique. Elle correspond au schéma
linguistique suivant : «  est équivalente à  ». On dit que deux propositions sont équivalentes
lorsqu’elles s’impliquent mutuellement :  est équivalente à  est vraie revient à dire que  
est vraie et que  est vraie aussi.
 Deux propositions équivalentes ont nécessairement la même valeur de vérité.
 On note ainsi : 

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|Exemple :
Soit la proposition: "Si tu obtiens ton diplôme, je t'achète un ordinateur"
Parmi tous les cas, un seul correspond à une promesse non tenue: celui où l'enfant a son diplôme, et n'a toujours pas
d'ordinateur (deuxième ligne dans le tableau).
Et le cas où il n'a pas le diplôme, mais reçoit quand même un ordinateur ? Il est possible qu'il ait été longtemps malade et
a raté un semestre, et le père a le droit d'être bon.
Que signifie cette promesse, que nous écrirons aussi: "Tu as ton diplôme je t'achète un ordinateur" ? Exactement
ceci:
- Si tu as ton diplôme, c'est sûr, je t'achète un ordinateur (je ne peux pas ne pas l'acheter)
- Si tu n'as pas ton diplôme, je n'ai rien dit
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c) Egalité
 Une égalité est une proposition qui peut être soit vraie soit fausse. Elle est caractérisée par le
symbole .
 Si les deux quantités de part et d’autre du symbole sont identiques alors l’égalité est vraie.
Elle l’est fausse sinon.
|Exemple : 
Est vraie 
Est fausse
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d) Equation du premier degré à une inconnue
 Une équation du premier degré (d’inconnue  )est une égalité de la forme :
 où  et  sont des constantes réelles (avec  non nul cependant).
 Résoudre cette équation dans un ensemble  ( étant un ensemble de nombres) revient à trouver dans  toutes
les valeurs de  pour lesquelles l’égalité est vraie. Il s’agit donc de déterminer un sous-ensemble de  appelé
« ensemble des solutions de l’équation ».
 On note  l’ensemble des solutions dans  de l’équation  alors :
L’unique solution à cette équation est donc le réel 
 Théorème fondamental de l’algèbre : Il dit que toute équation de degré  a au maximum  solutions.
Ainsi, une équation du premier degré a au maximum une solution.
Une équation du second degré a au maximum deux solutions.
Une équation du troisième degré a au maximum trois solutions.
Etc.

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Dém :
On peut le démontrer facilement en procédant par équivalences logiques :
En effet, il est évident que si  alors  et que si  alors  . Donc on a bien :
  et  
Donc finalement l’équivalence logique est prouvée. On a bien : 
De la même manière :
 (car  est différent de )
Donc finalement :
Et donc :
Quand deux équations sont équivalentes c’est qu’elles ont les mêmes solutions. Bien sûr l’unique solution de 
 est
. Donc par équivalence, l’unique solution de l’équation   est  .
|Exemple :
On cherche à résoudre dans , l’équation suivante :  l’ensemble des solutions est le singleton :
Si on résout cette équation dans  il n’y a aucune solution (aucun nombre entier ne résout cette équation car comme on
l’a vu, le seul nombre qui la résout est 
 qui n’est pas un entier).
Donc :
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e) Equation du second degré à une inconnue
 Une équation du second degré est une équation de la forme :
Avec 
 Une équation a ,  ou  solutions au maximum.
 Pour trouver l’ensemble des solutions dans  on étudie chaque équation au cas par cas.
|Exemples :
On cherche à résoudre dans , l’équation suivante : 
Cette équation équivaut à . On recherche donc tous les nombres donc le carré vaut deux. Par définition,  est
l’unique nombre positif donc le carré vaut . La solution opposée fonctionne aussi : . On a donc trouvé deux
solutions à cette équation du second degré (et ce sont les seules d’après le théorème fondamental de l’algèbre).
Un autre moyen de résoudre cette équation est de la factorisée suivant l’identité remarquable : 
 :
On a alors :  . Il s’agit d’une équation produit nul. On peut poser que :
 ou 
Soit :
 ou 

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Ce qui permet de conclure la question :
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Exercice 1 : Résoudre dans  : 
Exercice 2 : Résoudre dans  :  
Exercice 3 : Résoudre dans  : 
Exercice 4 : Résoudre dans  : 
Exercice 5 : Résoudre dans  : 
Exercice 6 : Résoudre dans  : 

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Correction des questions :
Exercice 1 : On souhaite résoudre dans , l’équation suivante :
Il est facile de voir que cette équation n’a aucune solution.
En effet,  est un nombre positif (pour s’en convaincre, il suffit de revenir à la définition :  , si  est
un nombre positif alors  est un nombre positif et si  est un nombre négatif alors  est un produit de nombres
négatifs, il s’agit donc d’un nombre positif).
On ajoute donc deux nombres positifs, ce qui fait  si et seulement si les deux nombres sont nuls. Or ici, ce n’est pas le
cas, .
La preuve rigoureuse est la suivante : 
Ce qui implique que : 
Donc quel que soit le nombre réel ,  est strictement supérieur à , il n’y a aucune valeur de  qui le rende égal à
.
On peut donc conclure : 
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Exercice 2 : On souhaite résoudre dans , l’équation suivante : .
On peut factoriser par  ce qui donne : 
Il s’agit d’une équation produit nul. On peut donc écrire que  vérifie :
 ou 
Il y a donc deux solutions à cette équation à savoir :  et .
Ce qui permet de conclure :
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Exercice 3 : On souhaite résoudre dans  l’équation suivante : .
On veut pouvoir factoriser le membre gauche de l’équation afin d’obtenir une équation produit nul et ainsi pouvoir la
résoudre facilement comme plus haut.
L’astuce consiste à voir dans les deux premiers termes du membre de gauche le début d’une identité remarquable :
.
On a :  
On a bien retrouver les deux premiers termes du membre de gauche.
Pour trouver rapidement le carré correspondant aux deux premiers termes du membre de notre équation on identifie
termes à termes.
On veut un carré de la forme : 
Donc on veut que : 
En simplifiant et en isolant  et  on trouve le carré voulu :