159. ALGORITHME D’EUCLIDE. CALCUL DE PGCD ET DE COEFFICIENTS DE BÉZOUT. APPLICATIONS. I.

159.
ALGORITHME D’EUCLIDE.
CALCUL DE PGCD ET DE COEFFICIENTS DE BÉZOUT. APPLICATIONS.
Prérequis : anneaux, anneaux principaux, divisibilité
I. Anneaux euclidiens [Skandalis algèbre p.18]
DÉF-1. Un anneau  commutatif et intègre est euclidien s’il existe une application  de  dans 
tel que pour tout  de , et pour tout  de , il existe  et  dans  tels que    
avec    ou   .
DÉF-2. L’application  est appelée stathme de l’anneau euclidien .
DÉF-3. L’égalité     est appelée division euclidienne de  par  dans .
EX-4. Les anneaux ,  et  sont euclidiens de stathmes respectifs la valeur absolue, le degré
et le module.
PROP-5. Tout anneau euclidien est principal (ie tout idéal de cet anneau est principal).
COR-6. Dans l’anneau , il n’y a pas de division euclidienne.
Par commodité, les définitions et algorithmes seront présentés par la suite dans l’anneau .
II. PGCD et algorithme d’Euclide [Skandalis algèbre p.2]
DÉF-7. Soit   . On appelle PGCD de  et  le générateur de  , noté .
LEM-8. Soit   .
Alors      où  est le reste de la division euclidienne de  par .
ALGO-9. (D’EUCLIDE) Soit   .
 Si    alors    .
 Si    alors    .
 Si    alors      .
 Si    et   , supposons     . On définit la suite (rn) par :   
et   , tant que cela a un sens :  est le reste de la division de  par 
Alors il existe un rang  pour lequel   et on a :     
EX-10. Montrer que 213 et 13 sont premiers entre eux à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
EX-11. Calculer les PGCD de  et de   dans l’anneau .
EX-12. Calculer les PGCD de  et   dans l’anneau .
THM-13. (DE LAMÉ) Le nombre d’étapes de l’algorithme d’Euclide ne dépasse pas  où  est le
nombre de chiffres de  en base 10.

III. Coefficients de Bézout et algorithme d’Euclide étendu
THM-14. (DE BACHET-BÉZOUT)
Pour tout   , il existe des entiers  et  tels que    
THM-15. (DE BÉZOUT)
Dans le cas   , l’implication ci-dessus est en fait une équivalence :
    si et seulement s’il existe des entiers  et  tels que   
Pour calculer les coefficients  et  de Bézout, il suffit de « remonter » l’algorithme d’Euclide, ce qui
est assez fastidieux. On préfère donc les calculer en introduisant de nouvelles suites dans l’algorithme.
ALGO-16. (D’EUCLIDE ÉTENDU)
On définit conjointement à la suite  des restes celle  des quotients (à partir de   ), ainsi
que :
  définie par :   et  
  définie par :   et  
Alors on obtient des coefficients de Bézout au rang N :     
EX-17. Calculer des coefficients de Bézout pour les entiers 213 et 13.
0
213
1
0
1
13
0
1
2
213
13
16
5
1
–16
3
13
5
2
3
–2
33
4
5
3
1
2
3
–49
5
3
2
1
1
–5
82
6
2
1
2
0
13
–213
IV. Applications
1) Applications directes
EX-18. Résoudre l’équation diophantienne    .
EX-19. Pour défiler à Rome, un centurion demande à ses soldats :
 de se ranger par lignes de 3 mais il en reste 2 ;
 de se ranger par lignes de 5, mais il en reste 2 une nouvelle fois ;
 de se ranger par lignes de 8, mais il en reste 7.
Combien sont-ils ?

2) Développement d’un rationnel en fraction continue
PROP-20.
Un nombre est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini.
EX-21. Donner le développement en fraction continue de 
 .
EX-22. Montrer à l’aide des fractions continues que  n’est pas rationnel.
3) Version matricielle de l’algorithme
ALGO-23. En gardant les mêmes notations, on peut mettre l’algorithme sous forme matricielle.
 puis on réitère :
On remarque que :    
    et :  
donc :    
donc :   
on a trouvé une relation de Bézout
EX-24. Construire un exercice à donner aux élèves :
 utilisant 4 divisions euclidiennes ayant pour quotients successifs 7, 4, 2 puis 5 ;
 donnant un PGCD de 3.
  puis :       
et    

DÉVELOPPEMENT : THÉORÈME DE LAMÉ [Skandalis algèbre p.2]
Le nombre d’étapes de l’algorithme d’Euclide ne dépasse pas  où  est le nombre de chiffres de
l’écriture en base 10 de . Autrement dit, si    alors on fera moins de  divisions euclidiennes.
Quelques notations & résultats préliminaires
1) On note  les termes de la suite de Fibonacci tels que :   et  
2) Rappels sur le nombre d’or :   
 solution de      donc :   
3) On montre par récurrence que    on a :  
Démonstration
1) À toute étape de l’algorithme on a :    et   
donc :          
2) On note  le nombre d’étapes de l’algorithme, comme  et  ne sont pas obtenus par
division, on le termine avec :     avec   
…
On vient de montrer que  majore le nombre  de divisions euclidiennes, par l’intermédiaire
de la suite de Fibonacci. Par exemple, si on cherche le PGCD de  et de   , on sait
que  ne peut pas dépasser  et il suffit de chercher dans la suite de Fibonacci
l’indice maximal possible :   et   donc il y aura au maximum 19 étapes.
3) Résumons dans le cas où  s’écrit avec  chiffres :      
Efficacité de la majoration
Si on cherche par exemple le PGCD de  (4 chiffres) et , on a besoin de 19 divisions (on est dans
le « pire » cas où    à chaque étape). On a quasiment le maximum prévu par Lamé :    