Devoir Maison n°4 bis ( ) ( )

Devoir Maison n°4 bis
Complexité de l’algorithme d’Euclide et théorème de Lamé
Partie I Suite de Fibonacci
Dans cette partie, on définit la suite
(
)
n
F
par
0 1
0 ; 1
F F
= =
et pour tout entier
0
n
≥
,
2 1
n n n
F F F
+ +
= +
.
La suite
(
)
n
F
ainsi définie est la suite de Fibonacci.
On pose
1 5
2
ϕ
+
=
.
(c’est le nombre d’or, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or pour plus de précisions)
1/ Calculer
2 3 4
; et
F F F
.
2/ Montrer que
2
1
ϕ ϕ
= +
puis que pour tout entier
1
n
≥
,
2 1
n n n
ϕ ϕ ϕ
+ +
= +
.
3/ Montrer que pour tout entier
2
1,
n
n
n F
ϕ
+
≥ >
.
4/ Montrer que
(
)
n
F
est strictement croissante dès que
2
n
≥
et que pour tout entier
2
n
≥
,
n
F
est le reste de la division euclidienne de
2
n
F
+
par
1
n
F
+
.
5/ Montrer que pour tout entier
1
n
≥
,
(
)
1
; 1
n n
PGCD F F
+
=
et que l’algorithme d’Euclide pour
déterminer
(
)
2 1
;
n n
PGCD F F
+ +
nécessite exactement n divisions euclidiennes.
Partie II Le théorème de Lamé
On considère deux entiers naturels a et b non nuls tels que
.
a b
>
On supposera dans la suite que l’algorithme d’Euclide pour déterminer leur PGCD
comporte n étapes avec
2.
n
≥
En posant
n
a r
=
et
1
n
b r
−
= , on a alors on peut schématiser ceci comme suit :
1 1 2 2 1
1 2 2 3 3 2
2 1 1 0 0 1
1 0 1 0
0
0
0
(reste nul dans la division de par , arrêt de l'al
gorithme)
n n n n n
n n n n n
n
n
r r q r r r
r r q r r r
n étapes
r r q r r r
r r q r r
− − − −
− − − − −
−
= × + < <
= × + < <
= × + < <
= ×
⋮
1/ Montrer que
2
n
q
≥
et en déduire que
1 3
r F
≥
.
2/ a/ Montrer que pour tout entier naturel k avec
1
k n
≤ ≤
,
0
k
q
≠
.
b/ En déduire que pour tout entier naturel k avec
2
k n
≤ ≤
,
1 2
k k k
r r r
− −
≥ + .
3/ Montrer que pour tout entier naturel k avec
0
k n
≤ ≤
, on a
2
k k
r F
+
≥ .
4/ Montrer que
1
n
b F
+
≥ et en déduire que
1
n
b
ϕ
−
> .

5/ Supposons que b s’écrive avec k chiffres (en écriture décimale), montrer que
10
k
b< .
6/ Déduire des deux questions précédentes que
1
n
b
ϕ
−
>
7/ Déduire des deux questions précédentes que
(
)
( )
ln 10
1
ln
n k
ϕ
< +
puis que
5
n k
≤
.
On vient de démontrer le théorème de Lamé :
"Le nombre de divisions euclidiennes nécessaires pour
obtenir le PGCD de deux entiers naturels non nuls, en appliquant l'algorithme d'Euclide, est inférieur
ou égal à 5 fois le nombre de chiffres servant à écrire le plus petit des deux nombres"
Partie III Applications
1/ Appliquer le théorème de Lamé pour majorer le nombre de divisions euclidiennes à effectuer
pour calculer
(
)
13 ; 8
PGCD avec l’algorithme d’Euclide, puis calculer
(
)
13 ; 8
PGCD au moyen de
cet algorithme. Commentaires ?
2/ Combien faudra-t-il réaliser au maximum de divisions euclidiennes pour déterminer le
PGCD d’un entier naturel non nul a et d’un entier naturel b non nul et strictement inférieur à
100 au moyen de l’algorithme d’Euclide ?