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Devoir Maison n°4 bis
Complexité de l’algorithme d’Euclide et théorème de Lamé
Partie I Suite de Fibonacci
Dans cette partie, on définit la suite ( Fn ) par F0 = 0 ; F1 = 1 et pour tout entier n ≥ 0 , Fn + 2 = Fn +1 + Fn .
La suite ( Fn ) ainsi définie est la suite de Fibonacci.
On pose ϕ =
1+ 5
.
2
(c’est le nombre d’or, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or pour plus de précisions)
1/ Calculer F2 ; F3 et F4 .
2/ Montrer que ϕ 2 = ϕ + 1 puis que pour tout entier n ≥ 1 , ϕ n + 2 = ϕ n +1 + ϕ n .
3/ Montrer que pour tout entier n ≥ 1 , Fn + 2 > ϕ n .
4/ Montrer que ( Fn ) est strictement croissante dès que n ≥ 2 et que pour tout entier n ≥ 2 ,
Fn est le reste de la division euclidienne de Fn + 2 par Fn +1 .
5/ Montrer que pour tout entier n ≥ 1 , PGCD ( Fn +1 ; Fn ) = 1 et que l’algorithme d’Euclide pour
déterminer PGCD ( Fn + 2 ; Fn +1 ) nécessite exactement n divisions euclidiennes.
Partie II Le théorème de Lamé
On considère deux entiers naturels a et b non nuls tels que a > b.
On supposera dans la suite que l’algorithme d’Euclide pour déterminer leur PGCD
comporte n étapes avec n ≥ 2.
En posant a = rn et b = rn −1 , on a alors on peut schématiser ceci comme suit :
0 < rn − 2 < rn −1
 rn = rn −1 × q1 + rn − 2

0 < rn −3 < rn − 2
 rn −1 = rn − 2 × q2 + rn −3

n étapes 
⋮
r = r × q + r 0 < r < r
0
1
 2 1 n −1 0
 r1 = r0 × qn (reste nul dans la division de r1 par r0 , arrêt de l'algorithme)
1/ Montrer que qn ≥ 2 et en déduire que r1 ≥ F3 .
2/ a/ Montrer que pour tout entier naturel k avec 1 ≤ k ≤ n , qk ≠ 0 .
b/ En déduire que pour tout entier naturel k avec 2 ≤ k ≤ n , rk ≥ rk −1 + rk − 2 .
3/ Montrer que pour tout entier naturel k avec 0 ≤ k ≤ n , on a rk ≥ F2 + k .
4/ Montrer que b ≥ Fn +1 et en déduire que b > ϕ n −1 .
5/ Supposons que b s’écrive avec k chiffres (en écriture décimale), montrer que b < 10k .
6/ Déduire des deux questions précédentes que b > ϕ n −1
 ln (10 ) 
 + 1 puis que n ≤ 5k .
 ln (ϕ ) 
7/ Déduire des deux questions précédentes que n < k 
On vient de démontrer le théorème de Lamé : "Le nombre de divisions euclidiennes nécessaires pour
obtenir le PGCD de deux entiers naturels non nuls, en appliquant l'algorithme d'Euclide, est inférieur
ou égal à 5 fois le nombre de chiffres servant à écrire le plus petit des deux nombres"
Partie III Applications
1/ Appliquer le théorème de Lamé pour majorer le nombre de divisions euclidiennes à effectuer
pour calculer PGCD (13 ; 8 ) avec l’algorithme d’Euclide, puis calculer PGCD (13 ; 8 ) au moyen de
cet algorithme. Commentaires ?
2/ Combien faudra-t-il réaliser au maximum de divisions euclidiennes pour déterminer le
PGCD d’un entier naturel non nul a et d’un entier naturel b non nul et strictement inférieur à
100 au moyen de l’algorithme d’Euclide ?