GROUPES D`AUTOMORPHISMES ET ÉQUIVALENCES STABLES

GROUPES D’AUTOMORPHISMES ET ´ EQUIVALENCES STABLES OU
D´ ERIV´ EES
RAPHA¨ EL ROUQUIER
Version pr´eliminaire : manquent la compatibilit´e avec les d´erivations, l’extension `a une base k“g´en´erale” et le
cas o`u les alg`ebres sont remplac´ees par des sch´emas
1. Introduction
Nous montrons que la composante connexe de l’identit´e du sch´ema en groupes des auto-
morphismes ext´erieurs d’une alg`ebre de dimension finie sur un corps alg´ebriquement clos est
invariante par diff´erentes sortes d’´equivalences.
Nous d´eveloppons un formalisme pour les familles alg´ebriques d’automorphismes (resp. d’au-
tomorphismes ext´erieurs) aux §3.3–3.4. L’invariance dans le cas d’´equivalences de Morita est
alors obtenue §4.1. L’invariance par ´equivalence d´eriv´ee est `a peine plus compliqu´ee : elle ne
n´ecessite en plus qu’une propri´et´e du support de la cohomologie de complexes parfaits. Cette
invariance a ´et´e obtenue ind´ependemment, et par des m´ethodes diff´erentes, par B. Huisgen-
Zimmermann et M. Saorin.
Le cas d’´equivalences stables entre alg`ebres auto-injectives est plus d´elicat. La rigidit´e des
modules projectifs est bien connue, celle de facteurs directs projectifs n’est pas nouvelle non
plus. Ces propri´et´es sont de nature locale et nous avons besoin d’un crit`ere qui nous assure de
la pr´esence globale d’un facteur direct projectif. C’est l’objet de la proposition 2.7.
On prend pour kun corps alg´ebriquement clos. Par vari´et´e, on entend un sch´ema s´epar´e de
type fini sur k. Par groupe alg´ebrique, on entend un sch´ema en groupe s´epar´e de type fini sur
k. On ´ecrira ⊗pour ⊗k.
Je remercie M. Brou´e et J.-P. Serre pour leurs commentaires et leurs suggestions.
2. Modules projectifs et rigidit´ e
Soit Aune k-alg`ebre finie et Xune vari´et´e sur k. Pour xpoint de X, on note k(x) le corps
r´esiduel en x(corps des fractions de Ox/x). Pour Fun OX-module, on note F(x) = Fx⊗Oxk(x)
On ´ecrira parfois “x∈X” pour “xest un point ferm´e de X”.
Les OX-modules consid´er´es seront toujours suppos´es coh´erents.
2.1. Support de complexes parfaits.
Lemme 2.1. Soit Cun complexe parfait de OX-modules et xun point ferm´e de Xtel que
Hi(C⊗L
OXk(x)) = 0 pour i6= 0. Alors, il existe un voisinage ouvert Ωde xtel que Hi(C|Ω) = 0
pour i6= 0.
D´emonstration. Soit f:M→Nun morphisme entre OX-modules libres de type fini.
Si f⊗OXk(x) est surjectif, alors fest surjectif dans un voisinage ouvert de x. Par dualit´e,
on en d´eduit que si f⊗OXk(x) est injectif, alors fest une injection scind´ee dans un voisinage
ouvert de x.
Date: Mars 2000.
1

2 RAPHA¨ EL ROUQUIER
Cela d´emontre le lemme lorsque Cest un complexe born´e de OX-modules libres de type fini.
On en d´eduit alors le lemme lorsque Cest parfait, puisque qu’il existe un voisinage ouvert Ude
xtel que C|Uest quasi-isomorphe `a un complexe born´e de OU-modules libres de type fini.
2.2. Rigidit´e des modules projectifs. Soit Mun (A⊗ OX)-module. On note ρMl’ap-
plication canonique HomA⊗OX(M, A ⊗ OX)→HomA⊗OX(M, A/J(A)⊗ OX). On pose ¯
M=
M/ Tf∈im ρMker f. C’est un (A/JA ⊗ OX)-module.
Si Pest un A-module projectif et M=P⊗ OX, alors ρMest surjectif et ¯ M= hd(P)⊗ OX.
Lemme 2.2. Soit Mun (A⊗OX)-module, localement libre comme OX-module. Soit xun point
ferm´e de Xtel que P=M⊗OXk(x)est projectif. Alors, il existe un voisinage ouvert Ωde x
tel que M|Ωest isomorphe `a P⊗ OΩ.
D´emonstration. On peut supposer X= Spec Raffine connexe. Consid´erons le morphisme f:
M→P=M/xM 'M⊗RR/x. Le morphisme canonique P⊗R→P⊗R/x =Pse factorise
par fen g:P⊗R→M. Comme fg est surjectif, il existe un voisinage ouvert Ω de xtel que
g|Ωest surjectif. Puisque le rang de Msur Rest la dimension de M⊗RR/x, c’est aussi le rang
de P⊗Rsur R. Ainsi, g|Ωest un isomorphisme.
2.3. Rigidit´e des facteurs projectifs.
2.3.1. Cas ponctuel. Nous rappelons comment trouver un facteur direct projectif maximal
lorsque la base Xest le spectre d’un corps.
Le quotient ¯ Mde Mest le plus grand tel que l’application canonique M→¯ Mest projective :
Lemme 2.3. Supposons que Xest le spectre d’un corps. Le module Ma un facteur direct
projectif si et seulement si ρMest non nulle.
Soit P→¯ Mune enveloppe projective de ¯ M. Alors, l’application canonique M→¯ Mse
factorise en un morphisme surjectif M→Pdont le noyau n’a pas de facteur direct projectif.
2.3.2. Rigidit´e locale. Pour le reste de §2.3, nous supposerons Aauto-injective.
Le r´esulat suivant est classique (cf [DoFl, Corollaire 16] et [Da, Th´eor`eme 3.16]).
Lemme 2.4. Soit Mun (A⊗OX)-module, localement libre comme OX-module. Soit xun point
ferm´e de Xet soit Pun A-module projectif facteur direct de M(x). Alors, il existe un voisinage
ouvert Ωde xtel que P⊗ OΩest facteur direct de M|Ω.
D´emonstration. On peut supposer X= Spec Raffine. On a Ext1
A⊗R(M, P ⊗x)'Ext1 R(P∗⊗A
M, x). Puisque Aest auto-injective, P∗est un A-module `a droite projectif. On en d´eduit
que P∗⊗AMest un R-module projectif, donc le groupe d’extensions consid´er´e est nul. Par
cons´equent, un morphisme surjectif M→P=P⊗R/x se rel`eve en morphisme M→P⊗ OX.
Ce morphisme est alors surjectif (et donc scind´e) dans un voisinage ouvert Ω de x.
Remarque 2.5. Le r´esultat n’est pas vrai pour des alg`ebres non auto-injectives, mˆeme lorsque
X= Spec Ravec Rlocale.
Prenons pour Al’alg`ebre des matrices triangulaires sup´erieures 2 ×2 sur k,R=k[t](t)et
M={µa
bt ¶|a, b ∈R}. Alors, Mest un (A⊗R)-module ind´ecomposable et R-libre, mais
M⊗Rkest somme directe des deux A-modules simples, l’un d’eux ´etant projectif.
Plus g´en´eralement, soit Aune alg`ebre qui n’est pas auto-injective et soit Pun A-module
projectif ind´ecomposable non injectif. Soit f:P→Iune enveloppe injective et N= coker f.
Soit ζ∈Ext1
A(N, P ) d´etermin´e par l’extension. Soit ξ=tζ ∈Ext1 A⊗R(N⊗R, P ⊗R) et Mle
(A⊗R)-module extension de N⊗Rpar P⊗Rd´etermin´e par cette classe. Alors, le facteur
direct projectif Pde M⊗Rkne se remonte pas en un facteur direct projectif de M.

VERSION DU 20 avril 2000 3
2.3.3. Cas g´en´eral.
Lemme 2.6. Soit Rune k-alg`ebre commutative, Iun id´eal nilpotent de Ret Mun (A⊗R)-
module, projectif comme R-module. Alors, tout facteur direct projectif de M⊗RR/I se rel`eve
en un facteur direct projectif de M.
D´emonstration. Les (A⊗R/I)-modules projectifs se rel`event en des (A⊗R)-modules projectifs.
Soit donc Nun (A⊗R)-module projectif et f:M→N⊗RR/I un morphisme surjectif. On a
Ext1
A⊗R(M, N ⊗RI)'Ext1
R(HomR(N, R)⊗A⊗RM, I) et on d´eduit comme dans la preuve du
lemme 2.4 que fse rel`eve en un morphisme surjectif M→N.
Sous certaines hypoth`eses, on peut “recoller” les facteurs directs projectifs.
Proposition 2.7. Supposons Xaffine. Soit Mun (A⊗ OX)-module, localement libre comme
OX-module et soit Pun A-module projectif. Supposons
– (i) pour tout point ferm´e x, le A-module Pest facteur direct de M(x)
– (ii) pour tout point g´en´erique ηd’une composante irr´eductible de X, le A⊗ Oη-module Mη
n’a pas de facteur direct projectif contenant strictement P⊗ Oη.
Alors, il existe un (A⊗ OX)-module projectif Qfacteur direct de Mtel que Q(x)'Ppour
tout point ferm´e x.
D´emonstration. D’apr`es le lemme 2.6, on peut supposer Xr´eduit. Soit xun point ferm´e de X.
D’apr`es le lemme 2.4, il existe un (A⊗ Ox)-module M0tel que Mx'M0⊕P⊗ Ox. Si ηest un
point g´en´erique dont l’adh´erence contient x, alors le morphisme ρM0
ηest nul puisque M0
ηn’a pas
de facteur direct projectif (lemme 2.3). On en d´eduit que ρM0est nul, puisque Oxest r´eduit.
Par cons´equent, ¯ Mx'hd(P)⊗ Ox.
Le (A⊗ OX)-module ¯ Mest donc un OX-module projectif. Puisqu’il est A-semi-simple, il
est somme directe de modules S⊗FS, o`u Sd´ecrit les classes d’isomorphisme de A-modules
simples et FSest un OX-module projectif ou nul. Fixons alors un morphisme surjectif h:Q=
LSPS⊗FS→¯
M, o`u PSest une enveloppe projective de S. Ce morphisme se factorise par la
surjection canonique M→¯ Men g:Q→M. Le morphisme HomOX(g, OX) est surjectif, car il
l’est en tout point ferm´e. Puisque HomOX(Q, OX) est projectif, le morphisme HomOX(g, OX)
est donc une surjection scind´ee et finalement gest une injection scind´ee.
Remarque 2.8. L’hypoth`ese aux points g´en´eriques n’est pas superflue.
Soit X=U∪Vun recouvrement ouvert de Xavec U, V 6=Xet M0, M00 des (A⊗ OX)-
modules ind´ecomposables, OX-projectifs mais non (A⊗ OX)-projectifs, tels que M0
|U'P⊗ OU
et M00
|V'P⊗ OVpour un A-module projectif P. Alors, M=M0⊕M00 ne poss`ede pas de
facteur direct projectif, bien que Psoit facteur direct de M(x) pour tout point ferm´e x.
3. Groupes d’automorphismes d’alg` ebres
3.1. Soit Gun groupe alg´ebrique d’automorphismes de A. Soit ∆A:A→A⊗OGle morphisme
associ´e. Alors, ∆Aest un morphisme d’alg`ebres (en particulier, g·(ab) = (g·a)(g·b) pour g∈G
et a, b ∈A). En outre, on a un diagramme commutatif
A∆A//
∆A
²²
A⊗ OG
1⊗∆
²²
A⊗ OG∆A⊗1
//A⊗ OG⊗ OG
o`u ∆ : OG→ OG⊗ OGest la comultiplication (en particulier, g·(g0·a) = (gg0)·apour g, g0∈G
et a∈A).

4 RAPHA¨ EL ROUQUIER
3.2. Structure.
3.2.1. On a une suite exacte de groupes alg´ebriques :
1→1 + J(A)→A×→(A/J(A))×→1
et 1 + J(A) est le radical unipotent de A×. On a une filtration 1 + J(A)⊃1 + J2(A)⊃ · · ·
dont les quotients successifs sont des groupes unipotents commutatifs Gr
a.
Soit Sune sous-alg`ebre semi-simple maximale de A,i.e., l’image d’une section du morphisme
d’alg`ebres A→A/J(A). On a alors A×= (1 + J(A)) oS×.
Soit Aut(A) le groupe d’automorphismes de A(vu comme sch´ema en groupe sur k). On note
Int(A) son groupe d’automorphismes int´erieurs, image de A×par le morphisme canonique de
conjugaison ad : A×→Aut(A). C’est un sous-groupe ferm´e distingu´e lisse et connexe.
On a une suite exacte
1→(ZA)×→A×→Int(A)→1.
Elle fournit une d´ecomposition
Int(A) = ((1 + J(A))/(1 + J(ZA))) o(S×/(ZA)×∩S×).
Lemme 3.1. Soit Hun sous-groupe ferm´e distingu´e d’un groupe alg´ebrique Get f:G→G/H
le morphisme quotient. Si Hest extension de groupes additifs Gaet de groupes multiplicatifs
Gm, alors, fest localement scind´e comme morphisme de vari´et´es.
D´emonstration. (cf [Se, VII §1.6]) Il suffit de d´emontrer le lemme lorsque G/H est connexe.
Soit ηle point g´en´erique de G/H. Son image inverse dans Gest un espace homog`ene principal
sous H, donc est trivial, i.e., poss`ede un point rationnel sur k(η) (car un espace homog`ene
principal sous un groupe Gaou Gmest trivial). Un tel point fournit une section rationnelle du
morphisme f.
Il r´esulte du lemme 3.1 que
Proposition 3.2. Le morphisme canonique de vari´et´es A×→Int(A)est localement scind´e.
3.2.2. Soit Out(A) le quotient Aut(A)/Int(A).
La composante connexe de l’identit´e Aut0(A) de Aut(A) est contenue dans le sous-groupe des
´el´ements qui fixent les classes d’isomorphismes de modules simples (=qui agissent int´erieurement
sur A/JA).
Si A=A1⊕A2, alors Out0(A) = Out0(A1)×Out0(A2). Si Aest simple, alors Out(A) = 1.
Soit F(A) le sous-groupe ferm´e distingu´e de Aut0(A) form´e des ´el´ements qui agissent trivia-
lement sur A/J(A).
Puisque le morphisme d’alg`ebres A→A/J(A) est scind´e et que Aut0(A/J(A)) = Int(A/J(A)),
on en d´eduit que l’on a une suite exacte scind´ee
1→F(A)→Aut0(A)→Int(A/J(A)) →1
et Aut0(A) = F(A)·Int(A), i.e., le morphisme canonique F(A)→Out0(A) est surjectif.
On a
F(A)∩Int(A) = ((1 + J(A))/(1 + J(ZA))) o((ZS)×/(ZA)×∩S×).
On d´eduit du lemme 3.1 que le morphisme canonique F(A)→Out0(A) est localement scind´e,
donc que
Proposition 3.3. Le morphisme de vari´et´es Aut(A)→Out(A)est localement scind´e.
3.3. Familles alg´ebriques d’automorphismes.

VERSION DU 20 avril 2000 5
3.3.1. Soit Xune vari´et´e. Se donner un morphisme πde Xdans l’espace des endomorphismes
de k-espace vectoriel de Arevient `a se donner un morphisme de faisceaux de k-espaces vectoriels
sur X,ρ:A→A⊗ OX. Demander que le morphisme πsoit `a valeur dans l’espace des
endomorphismes d’alg`ebre revient `a demander que ρsoit un morphisme d’alg`ebres. Demander
que fsoit `a valeurs dans la vari´et´e des endomorphismes inversibles revient `a demander que le
morphisme ρ⊗1 : A⊗ OX→A⊗ OXsoit un isomorphisme (i.e., pour tout point ferm´e xde
X, le morphisme compos´e Aρ −→ A⊗ OX→A⊗k(x) = Aest un isomorphisme).
On munit la cat´egorie des vari´et´es au-dessus de Aut(A) de la structure mono¨ıdale donn´ee
par
(X, π)⊗(X0, π0) = (X×X0, m ·(π×π0))
o`u m: Aut(A)×Aut(A)→Aut(A) est la multiplication. L’´el´ement neutre en est l’´el´ement
unit´e de Aut(A), Spec k→Aut(A).
La correspondance d´efinie pr´ec´edemment est un isomorphisme de cat´egories mono¨ıdales entre
la cat´egorie des vari´et´es au-dessus de Aut(A) et la cat´egorie Dconstruite comme suit.
Ses objets sont les paires (X, ρ) o`u Xest une vari´et´e et ρ:A→A⊗ OXun morphisme
d’alg`ebres tel que ρ⊗1 : A⊗ OX→A⊗ OXest un isomorphisme.
Les morphismes de (X, ρ) vers (X0, ρ0) sont les morphismes φ:X→X0tels que ρ=φ∗(ρ0).
Le produit tensoriel est donn´e par
(X, ρ)⊗(X0, ρ0) = (X×X0, ρ00)
o`u ρ00 =ρ⊗Aρ0:A→(A⊗OX)⊗A(A⊗OX0)∼
→A⊗OX×X0. L’´el´ement neutre est (Spec k, IdA).
3.4. Automorphismes et bimodules.
3.4.1. On d´efinit maintenant une cat´egorie C.
Les objets de Csont les triplets (X, M, f) o`u Xest une vari´et´e, Mun (A⊗A◦⊗OX)-module,
libre de rang 1 comme (A⊗ OX)-module et comme (A◦⊗ OX)-module et fun isomorphisme
de A⊗ OXvers la restriction de M`a (A◦⊗ OX).
Un morphisme de (X, M, f) vers (X0, M0, f 0) est un morphisme φ:X→X0tel que l’isomor-
phisme de (A◦⊗ OX)-modules φ∗(f0)f−1:M∼ →φ∗M0commute `a l’action de A(i.e., est un
isomorphisme de (A⊗A◦⊗ OX)-modules).
On munit la cat´egorie Cd’un produit par
(X, M, f)⊗(X, M 0, f0) = (X×X0, M ⊗AM0, f ⊗Af0).
Avec l’´el´ement neutre (k, A, IdA), on fait de Cune cat´egorie mono¨ıdale.
3.4.2. Soit (X, ρ) dans D. Soit Mle (A⊗A◦⊗ OX)-module A⊗ OXo`u l’action de Ase fait
via ρet l’action de A◦⊗ OXpar multiplication.
Le module Mest libre de rang 1 comme (A⊗ OX)-module et comme (A◦⊗ OX)-module. On
a construit un objet (X, M, IdM) de C.
Soit (X0, ρ0) dans Det φ:X→X0. Alors, ρ=φ∗(ρ0) si et seulement si φ∗(f0)f−1:M∼ →
φ∗M0commute `a l’action de A. Par cons´equent, on a une ´egalit´e entre les sous-ensembles
Hom((X, ρ),(X0, ρ0)) et Hom((X, M, IdM),(X0, M0,IdM0)) de Hom(X, X0).
La correspondance (X, ρ)7→ (X, M, IdM) d´efinit un foncteur pleinement fid`ele F0:D → C.
Soit (X, M, f) un objet de C.
On a un isomorphisme canonique (multiplication `a gauche)
A⊗ OX
∼
→EndA◦⊗OX(A⊗ OX).
Via f, il induit un isomorphisme
α:A⊗ OX
∼
→EndA◦⊗OX(M).