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Equations du second degré
a) Propositions logiques
Une proposition logique est un objet mathématique qui peut prendre deux valeurs distinctes :
vrai ou faux (principe du tiers exclu).
La négation d’une proposition est la proposition  telle que si est vraie alors  est fausse
et si est fausse alors  est vraie.
|Exemple : 
Cette proposition est vraie.
La négation de cette proposition est : 
Cette proposition est fausse. Il n’existe aucun nombre réel tel que
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b) Implications et équivalences logiques
Une implication logique est une proposition mathématique. Elle correspond au schéma
linguistique suivant : « Si alors » (où et sont deux propositions). Elle peut donc être
vraie ou fausse.
Une implication logique a un sens seulement si est supposée vraie au départ, alors implique
veut dire « lorsque est vraie alors est nécessairement vraie aussi ».
Une implication logique est fausse de la même manière si ayant vraie on a fausse (et que
donc la vérité de n’implique pas la vérité de donc n’implique pas ).
Une implication logique est par convention vraie lorsque est supposée fausse au départ.
On note la proposition « implique »
On peut résumer ces propriétés dans une « table de vérité » :
P
Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Une équivalence logique est une proposition mathématique. Elle correspond au schéma
linguistique suivant : « est équivalente à ». On dit que deux propositions sont équivalentes
lorsqu’elles s’impliquent mutuellement : est équivalente à est vraie revient à dire que
est vraie et que est vraie aussi.
Deux propositions équivalentes ont nécessairement la même valeur de vérité.
On note ainsi :
|Exemple :
Soit la proposition: "Si tu obtiens ton diplôme, je t'achète un ordinateur"
Parmi tous les cas, un seul correspond à une promesse non tenue: celui où l'enfant a son diplôme, et n'a toujours pas
d'ordinateur (deuxième ligne dans le tableau).
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Et le cas où il n'a pas le diplôme, mais reçoit quand même un ordinateur ? Il est possible qu'il ait été longtemps malade et
a raté un semestre, et le père a le droit d'être bon.
Que signifie cette promesse, que nous écrirons aussi: "Tu as ton diplôme je t'achète un ordinateur" ? Exactement
ceci:
- Si tu as ton diplôme, c'est sûr, je t'achète un ordinateur (je ne peux pas ne pas l'acheter)
- Si tu n'as pas ton diplôme, je n'ai rien dit
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c) Egalité
Une égalité est une proposition qui peut être soit vraie soit fausse. Elle est caractérisée par le
symbole .
Si les deux quantités de part et d’autre du symbole sont identiques alors l’égalité est vraie.
Elle l’est fausse sinon.
|Exemple :
Est vraie
Est fausse
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d) Equation du premier degré à une inconnue
Une équation du premier degré (d’inconnue )est une égalité de la forme :
 où et sont des constantes réelles (avec non nul cependant).
Résoudre cette équation dans un ensemble ( étant un ensemble de nombres) revient à trouver dans toutes
les valeurs de pour lesquelles l’égalité est vraie. Il s’agit donc de déterminer un sous-ensemble de appelé
« ensemble des solutions de l’équation ».
On note  l’ensemble des solutions dans de l’équation  alors :


L’unique solution à cette équation est donc le réel
Théorème fondamental de l’algèbre : Il dit que toute équation de degré a au maximum solutions.
Ainsi, une équation du premier degré a au maximum une solution.
Une équation du second degré a au maximum deux solutions.
Une équation du troisième degré a au maximum trois solutions.
Etc.
Dém :
On peut le démontrer facilement en procédant par équivalences logiques :

En effet, il est évident que si  alors  et que si  alors  . Donc on a bien :
  et 
Donc finalement l’équivalence logique est prouvée. On a bien : 
De la même manière :
3

(car est différent de )
Donc finalement :
 
Et donc :

Quand deux équations sont équivalentes c’est qu’elles ont les mêmes solutions. Bien sûr l’unique solution de
est
. Donc par équivalence, l’unique solution de l’équation  est
.
|Exemple :
On cherche à résoudre dans , l’équation suivante :  l’ensemble des solutions est le singleton :

Si on résout cette équation dans il n’y a aucune solution (aucun nombre entier ne résout cette équation car comme on
l’a vu, le seul nombre qui la résout est
qui n’est pas un entier).
Donc :

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e) Equation du second degré à une inconnue
Une équation du second degré est une équation de la forme :

Avec 
Une équation a , ou solutions au maximum.
Pour trouver l’ensemble des solutions dans on étudie chaque équation au cas par cas.
|Exemples :
On cherche à résoudre dans , l’équation suivante :
Cette équation équivaut à . On recherche donc tous les nombres donc le carré vaut deux. Par définition, est
l’unique nombre positif donc le carré vaut . La solution opposée fonctionne aussi : . On a donc trouvé deux
solutions à cette équation du second degré (et ce sont les seules d’après le théorème fondamental de l’algèbre).
Un autre moyen de résoudre cette équation est de la factorisée suivant l’identité remarquable : 
:
On a alors :  . Il s’agit d’une équation produit nul. On peut poser que :
ou
Soit :
ou
Ce qui permet de conclure la question :

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Exercice 1 : Résoudre dans :
Exercice 2 : Résoudre dans : 
Exercice 3 : Résoudre dans : 
Exercice 4 : Résoudre dans : 
Exercice 5 : Résoudre dans : 
Exercice 6 : Résoudre dans :
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5
Correction des questions :
Exercice 1 : On souhaite résoudre dans , l’équation suivante :
Il est facile de voir que cette équation n’a aucune solution.
En effet, est un nombre positif (pour s’en convaincre, il suffit de revenir à la définition :  , si est
un nombre positif alors est un nombre positif et si est un nombre négatif alors est un produit de nombres
négatifs, il s’agit donc d’un nombre positif).
On ajoute donc deux nombres positifs, ce qui fait si et seulement si les deux nombres sont nuls. Or ici, ce n’est pas le
cas, .
La preuve rigoureuse est la suivante : 
Ce qui implique que : 
Donc quel que soit le nombre réel , est strictement supérieur à , il n’y a aucune valeur de qui le rende égal à
.
On peut donc conclure :
---------------------
Exercice 2 : On souhaite résoudre dans , l’équation suivante : .
On peut factoriser par ce qui donne :
Il s’agit d’une équation produit nul. On peut donc écrire que vérifie :
ou
Il y a donc deux solutions à cette équation à savoir : et .
Ce qui permet de conclure :

--------------------
Exercice 3 : On souhaite résoudre dans l’équation suivante : .
On veut pouvoir factoriser le membre gauche de l’équation afin d’obtenir une équation produit nul et ainsi pouvoir la
résoudre facilement comme plus haut.
L’astuce consiste à voir dans les deux premiers termes du membre de gauche le début d’une identité remarquable :
.
On a : 

  
On a bien retrouver les deux premiers termes du membre de gauche.
Pour trouver rapidement le carré correspondant aux deux premiers termes du membre de notre équation on identifie
termes à termes.
On veut un carré de la forme : 
Donc on veut que : 

En simplifiant et en isolant et on trouve le carré voulu :

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