Prof : Hadj Salem Habib Nombres complexes Lycée pilote Médenine I ] Forme algébrique 1. Définitions · Le nombre complexe i est tel que i² = -1 · Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a Î IR , b Î IR £ = ensemble des nombres complexes ( ¥ Ì ¢ Ì ID Ì ¤ Ì ¡ Ì £ ) · On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). · Les complexes de la forme bi avec b Î IR, sont appelés imaginaires purs. 2. Représentation géométrique d'un nombre complexe r r Le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O;u;v ) est appelé plan complexe. Au nombre uur complexe z = a + bi , on peut associer le point M(a ; b) ou le vecteur w (a ; b). § L'axe des abscisses est appelé l'axe des réels § L'axe des ordonnées est appelé l'axe des imaginaires. uur § z = a + bi est l'affixe de M et de w . uur § M(a ; b) est l'image ponctuelle, w (a ; b) est l'image vectorielle de z = a + bi. § Le point Q (-a ; -b) , symétrique de M par rapport à O a pour affixe - z , opposé de z. § Le point N(a ; -b) , symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses a pour affixe le nombre complexe appelé conjugué de z et noté z . Si z = a + bi alors z = a – bi . § Si M a pour affixe z = a + bi et si M' a pour affixe z' = a' + b'i , alors uuuuur le vecteur MM' a pour affixe z' - z = (a' - a) + (b' - b)i · le milieu I de [MM'] a pour affixe zI = z + z' 2 · le barycentre G de (M ; a) et (M ' ; b) a pour affixe zG = az +bz' (a + b ¹ 0) . a+b z = a + bi , z' = a' + b'i 3. Propriétés dans £ : pour · Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. : z = z' Û a = a' et b = b' · Addition : z + z ' = (a + a' ) + i (b + b ' ) · Produit : z z ' = (a a' – b b' ) + i (a b' + b a' ) 1 1 a - bi = · Inverse : pour z non nul : = z a + bi a² + b² z a + bi (a + bi)( a' - b 'i ) = = · Quotient : pour z' non nul : z ' a' + b 'i a'² +b'² 1 i · Propriétés de i : i² = -1 ; i3 = - i ; i4 = 1 ; = = - i . i i² · Propriétés des nombres complexes conjugués : z = z ; z + z ' = z + z' ; z - z ' = z - z' ; zz' = z z' ; z z = (a + bi) ( a – bi) = a² + b² est un réel positif ou nul. æ 1ö 1 æzö z ; ç ÷= Si z' # 0 ç ÷ = è z ' ø z' è z' ø z ' z est imaginaire pur Û z = - z z est réel Û z = z ; Prof : Hadj Salem Habib Page 1 Lycée pilote Médenine Prof : Hadj Salem Habib Nombres complexes Lycée pilote Médenine II] Forme trigonométrique 1. Module d'un nombre complexe · Si le point M est l'image du complexe z = a + bi ( a Î IR , b Î IR) dans le plan complexe £ , on appelle module de z ,noté z , la distance OM ½z½ = OM = a ² + b² · Propriétés : |z| = 0 Û z = 0 ; n |zz'| = |z|.|z'| ; z = z n ou z = |- z| = |z| ; z=z zz ; |z + z'| £ |z| + |z'| z 1 1 z' z et = = = z' z ' z' ² z' z ' Si M a pour affixe z et si M' a pour affixe z' alors OM = |z| et MM' = |z' - z| r r Si u a pour affixe z , alors IIuII = |z|. Pour z' non nul : 2. Argument d'un nombre complexe · Définition : Un argument du nombre complexe z non nul est une mesure de l'angle polaire du point r r M dans le plan complexe muni du repère(O;u;v ) , c'est à dire une mesure q de l'angle r uuuur orienté( u;OM) . p Le réel 0 n'a pas d'argument. Le nombre complexe i a pour module 1 et pour argument + . 2 · Propriétés : L'argument d'un nombre complexe z n'est pas unique, il est défini modulo 2p. Si q est un argument de z, on notera arg z = q [2p ] ou arg z = q + 2kp (k Î ZZ ) On appelle argument principal de z l'argument de z appartenant à ]-p ; p]. Tout réel positif a un argument égal à 0. Tout réel négatif a un argument égal à p . Tout nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement positive a un argument égal à nombre imaginaire pur, de partie imaginaire strictement négative a un argument égal à - p . 2 p et tout 2 Soit z nombre complexe non nul : z = a + bi , z = r et arg z = q [2p] ìr = a² + b² ï alors í a Re(z) b Im(z) ; sin q = = ïcos q = r = z r z î Pour z Î CI* et z' Î CI*, on a z = z' Û équivaut à { |z| = |z'|,arg z = arg z' ìa = r cos q í îb = r sin q [2p] z et z' étant deux nombres complexes non nuls on a : 1 · arg(zz') = arg z + arg z' [2p] ; arg = - arg z [2p] z z · arg = arg z - arg z' [2p] ; Pour n entier : arg (zn) = n arg z [2p] z' · arg ( z ) = - arg z [2p] ; arg (- z) = arg z + p [2p] Prof : Hadj Salem Habib Page 2 Lycée pilote Médenine Prof : Hadj Salem Habib Lycée pilote Médenine Nombres complexes 3. Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul Tout nombre complexe non nul z peutêtre écrit sous la forme : z = r (cos q + i sin q) avec q M sin q * Î IR et r Î IR+ q C'est la forme trigonométrique de z. r est le module de z, r = |z| q est un argument de z. Si z = r (cos q + i sin q) alors z = r (cos(-q) + i sin(-q)) 1 r = |z| cos q Re(z) = r cos q et Im(z) = r sin q. ; - z = r (cos(q + p) + i sin(q + p)) ; et 1 1 = (cos ( -q ) + i sin ( -q )) z r 4. Utilisation en géométrie La notion de distance correspond au module - La notion d'angle à l'argument. r r A, B , C et D étant quatre points distincts d'affixes zA, zB , zC et zD dans (O;u;v ) , alors : uuur · le vecteur AB a pour affixe zB - zA , · AB = ½zB - zA½ r uuur · l'angle (u; AB ) a pour mesure arg(zB - zA) [2p] uuur uuuur æ zD - zC ö · l'angle AB;CD a pour mesure arg(zD - zC) - arg(zB - zA) = arg ç ÷ z - z ( ) è B A ø · Comment démontrer que trois points A, B et C sont alignés : uuur uuuur æ zC - z A ö Û ç ÷ est un nombre réel Û l'angle AB; AC est nul ( è zB - z A ø æ zC - z A ö Û arg ç ÷ = 0 [p] è zB - z A ø ) · Comment démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales : æ zD - zC ö ÷ est un imaginaire pur è zB - z A ø Û ç uuur uuuur p p Û l'angle AB;CD a pour mesure ou 2 2 ( ) æ zD - zC ö p ÷ = [p] è zB - z A ø 2 Û arg ç III] Notation exponentielle Tout nombre complexe non nul z de module r et d'argument q peut s'écrire : z = r ei q ; et réciproquement, tout nombre complexe qui s'écrit z = r ei q ou z = r (cos q + i sin q ) avec r >0 a pour module r et pour argument q + 2k p . On a : ei q = 1 et Arg ( ei q ) = q . Prof : Hadj Salem Habib Page 3 Lycée pilote Médenine Prof : Hadj Salem Habib Lycée pilote Médenine Nombres complexes Formules d'EULER : Pour tout nombre réel q on a : et ei q = cos q + i sin q e- i q = cos q - i sin q ei q + e - i q ei q - e - i q alors : cos q = et sin q = 2 2i Propriétés : r e iq. r' e iq' = r r' e i(q+q') ; Formule de MOIVRE : pour tout n Î ZZ , 1 1 = e -iq iq r re (eiq)n = einq r ei q r = e i(q-q') iq' r' r 'e ; ou (cos q + i sin q)n = cos (n q) + i sin (n q) L'utilisation des formules d'Euler et de Moivre permet de linéariser les polynômes trigonométriques , c'est à dire que le polynôme trigonométrique s'écrit uniquement avec des termes de la forme a cos(mq) et b sin (nq) avec a,b,m , n et q des réels IV ] Equation du second degré à coefficient réels L'équation a.z² + b.z + c = 0 , où a, b et c sont des réels (avec a ¹ 0) admet dans CI deux solutions (éventuellement confondues). Soit D = b² - 4ac le discriminant de l'équation -b - D -b + D et Z2 = 2a 2a · si D = 0 , une solution double Z1 = Z2 = (-b) / 2a · si D < 0 , on peut écrire D = (id)² avec d Î IR, les deux solutions sont alors des nombres complexes, (conjugués l'un de l'autre) : -b +id -b + i -D -b -id -b - i - D = z2 = z1 = = ; 2a 2a 2a 2a · Le trinôme az2 + bz + c se factorise sous la forme a(z - z1)(z - z2) · si D > 0 , les deux solutions sont réelles Z1 = V ] Nombres Complexes et cercle Le cercle de centre A d'affixe zA et de rayon r est l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : ½z - zA½ = r donc une équation paramétrique de ce cercle est : z = zA + r ei q Equation zn=a, n > 1, aÎ £ Théorème et définition_ Soit a un nombre complexe non nul d'argument 0 et n un entier naturel non nul. L'équation æ q+ 2kp ö iç n ÷ø zn = a admet dans C, n solutions distinctes définies par : zk = re è , k Î {0,1,........,n - 1} , où r est le réel strictement positif tel que rn = |a|. Ces solutions sont appelées les racines nièmes du nombre complexe a._ rr Le plan est muni d'un repère orthonormé direct O,i, j ( ) Lorsque n ³ 3, les points images des racines nièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle z (O,r) . Exemples d'équations de degré supérieur ou égal à 3 Théorème :_ Soit a1 ,a 2,... et an des nombres complexes tels que an ¹ 0 ; n ³ 2 . Soit P(z) = an zn+an-1 zn-1+.. .+a1z+a0. Si z0 est un zéro de P, alors P(z)=(z-z0)g(z), où g(z) = anzn-1+bn-2 zn-2+... + b0, avec b0, b1 ,.. ., et bn-2 complexes. Prof : Hadj Salem Habib Page 4 Lycée pilote Médenine Prof : Hadj Salem Habib Nombres complexes Lycée pilote Médenine VI] Nombres Complexes et Transformation r Translation : soit une translation de vecteur u d'affixe a ; le point M (d'affixe z) est transformé en un uuuur r point M' (d'affixe z' ) tel que : MM' = u donc z' - z = a d'où l'expression complexe d'une translation est : z' = z + a ; où a est l'affixe du vecteur de translation. k et de uuuu centre Homothétie : soit une homothétie de rapport uuuur r W d'affixe w ; le point M (d'affixe z) est transformé en un point M' (d'affixe z' ) tel que : WM' = k WM donc z' - w = k(z - w) d'où l'expression complexe d'une homothétie est : z' - w = k(z - w) ; où w est l'affixe du centre et k le rapport de cette homothétie. Rotation : soit une rotation d'angle q et de centre W d'affixe w ; le point M (d'affixe z) est transformé en uuuur uuuur un point M' (affixe z' ) tel que : l'angle WM; WM' = q donc z' - w = eiq(z - w) d'où l'expression ( ) iq complexe d'une rotation est : z' - w = e (z - w) ; où w est l'affixe du centre et q l'angle de cette rotation. L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z.eiq où q est un nombre réel fixé, est la rotation de centre O et d'angle q. Prof : Hadj Salem Habib Page 5 Lycée pilote Médenine