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Université Abdelhamid Ben Badis-Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et de l’Informatique
Département de Mathématiques
1ere Année Master MCO
Matière : Outils d’Analyse Fonctionnelle I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N1
(04 Octobre 2016)
Quelques Aspects Fondamentaux des Espaces
Fonctionnels
Exercise 1 (Normes sur Kn,n1entier.) Pour u= (u1;   ; un)2Kn,
on pose kukp= (ju1jp++junjp)1=p, pour p1réel et si p= 1,kuk1=
maxfju1j;   ;junjg.
1. Montrer que si p= 1 ou p= +1,kkpsont des normes sur Knéquiva-
lentes entre-elles.
On suppose maintenant 1< p < +1. Soit qle réel conjugué de pi.e tel
que 1
p+1 q= 1. On pose
Mp(u) = supfj X
1jn
ujvjj;kvkq1g
2. Montrer que Mp(u) = kukp,8u2Kn. En déduire que kkpest une norme.
Exercise 2 Soit Kun espace compact. On désigne par CK(K)l’ensemble des
fonctions continues sur Kà valeurs dans K. On pose, pour f2CK(K),kfk1
= sup
x2K
jf(x)j:Montrer que cela dé…nit une norme sur CK(K).
Sur CK([0;1]) on considère également kfk1=R1
0f(x)dx: Véri…er que kk1
est une norme.
Montrer que les normes kk1et kk1sont comparables mais non équivalentes.
Exercise 3 i) Montrer que Kn,n1entier est un espace de Banach.
ii) Montrer que l’espace CK(K)de l’exemple précédent est un espace de Banach
pour la norme kk1.
Exercise 4 Soit Kune partie compacte de Rn. Montrer que l’ensemble des
fonctions polynomiales à nvariables est dense dans C(K; R).
Exercise 5 On désigne par l1l’ensemble des suites bornées de nombres réels.
Si x2l1on pose kxk1= sup
j2N
jxjj:
1

i) Montrer que l1est un espace de Banach.
ii) On désigne par c0l’ensemble des suites de nombres réels convergeant vers 0.
Montrer que c0est un sous-espace vectoriel fermé de l1.
Pour préel, p1, on désigne par lpl’ensemble des suites de nombres réels
fxjgj2Ntelles que P
j2N
jxjjp<+1.
iii) Montrer que l’égalité
kxkp=0
@X
j2N
jxjjp1
A
1=p
dé…nit une norme sur lp.
iv) Montrer que lpest un espace de Banach.
Exercise 6 Dans C([1;1]) considérons les ensembles U1et U2constitués de
fonctions paires et impaires dans C([1;1]), respectivement.
i) Montrer que U1et U2sont des sous espaces et que U1\U2=f0g.
ii) Montrer que tout f2C([1;1]) peut être écrit sous la forme f=f1+f2,
où f12U1et f22U2et que cette décomposition est unique.
Exercise 7 Dans l1, l’espace vectoriel des suites bornées, considérons les en-
sembles U1et U2;où U1dénote l’ensemble des suites avec seulement un nombre
…ni d’éléments di¤érents de 0.
i) U1et/ou U2sont-ils des sous-espaces fermés de l1?
ii) U1et/ou U2sont-ils de dimension …nie?
Exercise 8 Sur l’espace Rn, on considère les trois normes suivantes:
kxk1=
n
X
k=1
jxkj;kxk2= n
X
k=1
jxkj2!1=2 ;kxk1= max
k=1;:::;n jxkj;
a) Véri…er qu’il s’agit bien de normes.
b) Montrer que ces normes sont equivalentes et déterminer les constantes d’
equivalence entre ces normes.
Exercise 9 Soit (E; k:k)un espace vectoriel normé. Montrer que l’adhérence
de la boule ouverte B(x;r)de centre xet de rayon rest la boule fermée de centre
xet de rayon r.
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Exercise 10 On munit l’espace Edes fonctions réelles de classe C1(c’est-
a-dire dérivables et à dérivée continue) sur l’intervalle [0;1] de la norme
kxk=jx(0)j+ sup
t2[0;1]
jx0(t)j:
Véri…er qu’il s’agit bien d’une norme et montrer que (E; k:k)est complet (c’est
à dire que (E; k:k)est de Banach).
Exercise 11 Montrer qu’un sous espace fermé d’un espace de Banach est lui
même un espace de Banach.
Exercise 12 Montrer que si pq1, alors lqlp.
Exercise 13 Montrer que si pq1, alors Lp([a; b]) Lq([a; b]) pour tout
intervalle …ni [a; b].
Exercise 14 Démontrer que pour p6=qaucun espace Lp(0;1)n’est un sous-
espace de Lq(0;1).
Exercise 15 Soit 0<  . Pour quels valeurs de pla fonction f(x) =
1=x+xappartient à Lp(0;1).
Exercise 16 Montrer que l1est un espace de Banach.
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