DS n 1-TS2-sujet A Ex n 1 On considère la suite (vn) définie par v 0

DS n◦1-TS2-sujet A
Ex n◦1
On considère la suite (vn)définie par v0= 6 et la relation de récurrence
vn+1 = 1,4vn−0,05v2
n
1. Calculer v1et v2à l’aide de la calculatrice
2. Soit fla fonction définie sur Rpar f(x)=1,4x−0,05x2. Etudier les variations
de fsur [0; 8]
3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n:06vn6vn+1 68
4. Quelles propriétés mathématiques de la suite (vn)a-t-on prouvé ?
Ex N◦2
On admet que, dans un magasin de cadenas :
•80 % des cadenas proposés à la vente sont premier prix, les autres haut de
gamme ;
•3 % des cadenas haut de gamme sont défectueux ;
•7 % des cadenas sont défectueux.
On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note :
•pla probabilité qu’un cadenas premier prix soit défectueux ;
•Hl’évènement : « le cadenas prélevé est haut de gamme » ;
•Dl’évènement : « le cadenas prélevé est défectueux ».
1. Représenter la situation à l’ aide d’un arbre pondéré.
2. Exprimer en fonction de pla probabilité P(D). En déduire la valeur de p.
3. Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un
cadenas haut de gamme.
Ex N◦3
Soit la suite (sn)définie soit par la formule de récurrence : sn=sn−1+1
2navec s0= 1,
soit par la formule (close) sn= 1 + 1
2+1 22+..... +1 2n
1. Simplifier sn= 1 + 1
2+1 22+..... +1 2n
2. Vers quoi tend snlorsque n→+∞
3. A l’aide du tableur de la calculatrice trouver la valeur de n0telle que pour tout
n>n0on a 1,99 6sn
4. Proposer un algorithme qui permet d’obtenir n0
1

Ex N◦4(*)
On rappelle la définition de la suite de Fibonnacci F0= 0,F1= 1 et Fn+1 =Fn+Fn−1
(*)
On rappelle que φ=1 + √5
2et on note qn=Fn+1 Fn
pour n>1
1. Montrer que pour tout n>1on a qn= 1 + 1
qn−1
(sans récurrence en travaillant
la relation (*))
2. Montrer que φ= 1 + 1
φ
3. Montrer par récurrence que qn−φ=(−1)n
Fnφnpour tout n>1
4. En déduire que si n→+∞alors qn→φ
Ex N◦5(*)
On rappelle la définition de la suite de Fibonnacci F0= 0,F1= 1 et Fn+1 =Fn+Fn−1
Voici quelques termes : 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...
1. Expérimenter sur les premiers termes et chercher une formule pour :
(a)
k=n
P
k=0
Fk=?
(b)
k=2n+1
P
k=1
Fk=? (k impair)
(c)
k=2n
P
k=0
Fk=? (k pair)
(d)
k=n
P
k=0
F2
k=?
2. Proposer votre propre expérience
3. Preuves ?
2

DS n◦1-TS2-sujet B
Ex n◦1
On considère la suite (wn)définie par w0= 5 et la relation de récurrence
wn+1 =4wn−1
wn+ 2
1. Calculer w1et w2à l’aide de la calculatrice
2. Soit fla fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[par :
f(x) = 4x−1
x+ 2 . Vérifier que f(x)=4−9 x+ 2.
3. Etudier les variations de fsur [0; +∞[
4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n:wn>wn+1 >1
5. Quelles propriétés mathématiques de la suite (wn)a-t-on prouvé ?
Ex n◦2
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses
boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 %
de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements
suivants :
— évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
— évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
— évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
1. Traduire l’ énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2. (a) Quelle est la probabilité de l’ évènement B∩S?
(b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de
pesticides est égale à 0,88.
3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Ex N◦3
Soit la suite (sn)définie soit par la formule de récurrence : sn=sn−1+1
5navec s0= 1,
soit par la formule (close) sn= 1 + 1
5+1 52+..... +1 5n
1. Simplifier sn= 1 + 1
5+1 52+..... +1 5n
2. Vers quoi tend snlorsque n→+∞
3. A l’aide du tableur de la calculatrice trouver la valeur de n0telle que pour tout
n>n0on a 1,24 6sn
4. Proposer un algorithme qui permet d’obtenir n0
3