LES NOMBRES COMPLEXES

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LES NOMBRES COMPLEXES
HISTORIQUE :
Le problème s'est posé de trouver des solutions pour les équations du troisième et du quatrième degré.
Au XVIè siècle ,des italiens dont Cardan ont exprimé les solutions réelles de ce type d'équations.
En 1572, Bombelli montre que ces relations sont aussi vraies si on invente des nombres "impossibles"
comme la racine carrée d'un nombre négatif.
En 1637 , Descartes étudie ces nombres impossibles et les appelle "imaginaires".
On les utilise dans les calculs uniquement pour permettre de trouver des solutions.
En 1777, Euler introduit la notation de i pour –1 et Gauss en 1831 , établit des règles de calculs sur ces
nombres qu'il nomme alors nombres complexes. Il en étend l'utilité à la géométrie et aux fonctions ouvrant
ainsi un nouveau champ de recherche en Mathématiques.
Résolution d'une équation :
x + 3 = 1 n'a pas de solution dans l'ensemble des naturels
on a donc inventé l'ensemble des entiers relatifs pour trouver une solution à x + 3 = 1 : – 2.
IN
ZZ .
3x = 1 n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers relatifs.
on a donc inventé l'ensemble des rationnels pour trouver une solution à 3x = 1 :
1
.
3
IN
ZZ
x²
= 2 n'a pas de solution dans l'ensemble des rationnels.
on a donc inventé l'ensemble des réels pour trouver une solution à x² = 2 : – 2 et 2.
IN ZZ Q
I IR.
x² = –1 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels
on a donc inventé l'ensemble des nombres complexes pour trouver une solution à x² = –1 : i
IN ZZ Q
I IR C.
I
I Ensemble des nombres complexes :
On admettra l'existence d'un ensemble noté CI , contenant IR , dont les éléments sont de la forme a + bi
avec a et b des réels et i un nombre nouveau dont le carré fait –1.
Les éléments de C
I sont appelés nombres complexes.
Remarques :
IR est inclus dans CI car tout nombre réel peut s'écrire a + 0i .
Le carré du nombre i étant négatif , celui–ci n'appartient pas à IR donc CI est plus grand que IR.
On notera z un élément de C.
I
Alors on a z = a + bi
Cette écriture est l'écriture algébrique du complexe z.
a est sa partie réelle. On notera a = Re (z).
b est sa partie imaginaire. On notera b = Im (z).
Exemple : z = 2 + 3i
2 = Re (z) et 3 = Im (z).
Propriétés :
Un nombre complexe z dont la partie imaginaire est nulle est un réel ( z = a + 0i = a
IR )
Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est un imaginaire pur ( z = 0 + bi = bi )
0 + 0i = 0 si z = 0 on dira que z est le nombre complexe nul.
On a définit i comme solution de l'équation x² = –1 donc i² = –1.
On a aussi ( – i )² = i² = –1 donc – i est aussi solution de x² = –1.
On démontre que i et – i sont les seules solutions de x² = –1 dans C.
I
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Q.
I
2
II Règles de calcul dans C
I :
On a définit dans CI , une addition et une multiplication dont les règles sont les mêmes que dans IR.
Exemple :
z = 3 + 2i et z' = –1 – 4i
On peut calculer z + z' ; z – z' ; zz' ; z² .
z + z' = 3 + 2i + (–1) – 4i = 2 – 2i
z – z' = 3 + 2i – (–1) + 4i = 4 + 6i
zz' = ( 3 + 2i ) ( –1 – 4i ) = –3 – 2i – 12i – 8i² = –3 – 14i –8
z² = ( 3 + 2i )² = 9 + 12i + 4i² = 9 + 12i – 4 = 5 + 12i.
(–1) = –3 – 14i + 8 = 5 – 14i.
Deux complexes sont dits égaux s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
z = z'
a = a' et b = b'
III Conjugué et inverse d'un nombre complexe :
1) Conjugué d'un nombre complexe :
Le nombre complexe conjugué de z = a + bi est le nombre complexe , noté z ( z barre )
tel que z = a – bi.
Exemple : z = 3 + 2i
alors z = 3 – 2i
Remarques :
z a aussi un conjugué , noté z , et z = a – bi = a + bi = z.
si z IR alors z = a + 0i donc z = a – 0i = a = z
si z IR alors z = z
si z = a + bi et z = a – bi
donc z + z = 2a = 2 Re(z) . z + z
IR.
z z = ( a + bi ) ( a – bi ) = a² + b² z z
IR.
2) Conjugué d'une somme de deux complexes :
z = a + bi et z' = a' + b'i.
z + z' = a + a' + ( b + b' ) i
et z + z' = a + a' – ( b + b' ) i = a – bi + a' – b'i = z + z' .
Le conjugué de la somme de deux complexes est la somme des conjugués.
z + z' = z + z'
3) Conjugué d'un produit de deux nombres complexes :
zz' = aa' + bb' i² + ( ab' + a'b ) i = aa' – bb' + ( ab' + a'b ) i
zz' = aa' – bb' – ( ab' + a'b ) i ; z
z' = ( a – bi ) ( a' – b'i ) = aa' – bb' – ( a'b + ab' ) i = zz'
Le conjugué d'un produit de deux nombres complexes est le produit des conjugués.
z
z' = zz' .
Exemple :
z = 3 + 2i et
zz' = z
zz' = 5 – 14i
z' = –1 – 4i . Calculer de deux manières différentes zz' et z² .
z' = ( 3 – 2i ) ( –1 + 4i ) = –3 + 2i + 12i + 8 = 5 + 14i.
donc zz' = 5 + 14i
z² = ( z )² = ( 3 – 2i )² = 9 – 12i – 4 = 5 – 12i
z² = ( 3 + 2i )² = 5 + 12i = 5 – 12i.
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4) Inverse d'un nombre complexe non nul , quotient de deux nombres complexes :
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L'inverse de z ( si z 0 ) est . Il peut être mis sous la forme a + bi en utilisant z .
z
Il suffit de multiplier numérateur et dénominatuer par le conjugué du numérateur.
Exemple : Ecrire sous la forme a + bi le complexe z =
1
.
3 + 2i
1
3 – 2i
3 – 2i 3 – 2i 3
2
=
=
=
=
–
i
3 + 2i
( 3 + 2i ) ( 3 – 2i ) 9 + 4
13
13 13
Autre exercice : Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de
4–i
.
1+i
4 – i ( 4 – i ) ( 1 – i ) 4 – 5i – 1 3 – 5i 3 5
=
=
=
= – i.
1+i
(1 + i ) ( 1 – i )
1+1
2
2 2
3
5
est la partie réelle et – est la partie imaginaire.
2
2
5) Conjugué de l'inverse d'un nombre complexe non nul :
Soit z un nombre complexe non nul et
On a alors z
1
= 1 donc z
z
1
son inverse .
z
1
= 1
z
d'où
z
1
z
=1
donc
1
1
=
z
z
Le conjugué d'un inverse est l'inverse du conjugué.
1
1
=
z
z
6) Conjugué d'un quotient de deux complexes :
Soit z et z' deux complexes tels que z'
0.
z
=z
z'
d'où
1
z'
donc
z
= z
z'
1
z'
z
= z
z'
1
z'
z
=
z'
Le conjugué d'un quotient de deux complexes est le quotient des conjugués.
z
z
=
pour tout complexes z et z' ( z' 0 )
z'
z'
Exemple :
3 + 2i
3 – 2i
=
–1 – 4i
–1 + 4i
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IV Représentation graphique des nombres complexes :
1) Définitions :
Soit ( O, u , v ) un repère orthonormé.
A chaque nombre complexe z = a + bi , on peut
associer :
soit un point M de coordonnées (a ; b )
soit un vecteur OM de coordonnées
a
b .
On dira alors que M ( a ; b ) est le point image du complexe z.
On dira que le vecteur OM est le vecteur image du complexe z .
On dira que le complexe z est l'affixe du point M ou du vecteur OM..
a
Réciproquement : A tout point M(a ; b) ou à tout vecteur OM b
de partie réelle a et de partie imaginaire b. z = a + bi.
on pourra associer un complexe z
Remarques :
Si M( a ; 0 ) alors le point M est sur l'axe ( O; u ) et son affixe z = a est un réel.
Le vecteur OM est colinéaire à u . C'est pourquoi on dit que l'axe ( O; u ) est l'axe des réels.
Si M (0 ; b ) alors le point M est sur l'axe ( O; v ) et son affixe z = bi est un imaginaire pur.
Le vecteur OM est colinéaire à v . C'est pourquoi on dira que l'axe ( O, v ) est l'axe des imaginaires.
Le plan P muni d'une origine O , d'un axe des réels et d'un axe des imaginaires est appellé plan complexe.
Exemple : Soit ( O, u , v ) un repère orthonormé.
Placer le point M d'affixe z1 = 3 + 2i puis le point N d'affixe z2 = –1– 4i.
Construire ensuite le point P tel que OP = OM + ON.
Si z1 = 3 + 2i
est l'affixe de M
3
alors M( 3 ; 2 ) et OM 2
Si z2 = –1– 4i. est l'affixe de N
–1
alors N( –1 ; –4 ) et ON – 4 .
2
Alors OP –2 . L'affixe de P est le
complexe z tel que z = 2 – 2i.
Si on calcule z1 + z2 on trouve
z1 + z2 = 3 + 2i – 1 – 4i = 2 – 2i = z.
On retrouve la somme de deux complexes par l'addition
vectorielle de leurs vecteurs images.
Si A( zA ) et B( zB )
alors AB ( zB – zA )
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2) Forme trigonométrique d'un nombre complexe :
a) Définition du module et de l'argument d'un nombre complexe :
Dans un repère orthonormé (O, u , v ) , à un nombre
complexe z = a + bi , on associe un point M(a ; b).
Ce point M peut aussi être défini d'une autre manière :
par la longueur du segment [OM] : OM ou || OM ||.
par la mesure de l'angle entre u et OM :
Si l'on connaît OM et
.
H
, le point M est entièrement défini.
En effet :
Dans le triangle OHM, rectangle en H , on applique le théorème de Pythagore :
OM² = OH² + HM² donc ² = a² + b² donc = a² + b² car
0
D'après la trigonométrie on a aussi :
OH a
HM b
cos =
=
et sin =
=
OM
OM
On appelle module du nombre complexe z , la distance OM.
On notera z = OM = || OM ||.
a
Si z = a + bi alors OM b
donc z = OM = || OM || = a² + b² =
Conséquence : z est un nombre positif .
On appelle argument du nombre complexe z , tout nombre réel de la forme
avec une mesure de l'angle entre u et OM et k un entier relatif.
On notera arg(z) = + 2 k
k ZZ et = mes( u , OM ).
a
a
cos = =
a² + b²
et on a :
b
b
sin = =
a² + b²
Exemple : Représenter le point A d'affixe zA tel que
zA = 3 et arg(zA) = –
+k
2
5
.
6
zA = 3 donc OA = 3 ce qui signifie que le point A est sur le cercle de centre O et de rayon 3.
arg(zA) = –
5
5
cela signifie que l'angle entre u et OA mesure –
.
6
6
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6
b) Ecriture trigonométrique d'un nombre complexe :
Soit M le point d'affixe z = a + bi.
OM = = a² + b²
et = mes ( u , OM ).
a
b
On sait que cos =
et sin =
donc a =
cos
et b =
sin
Les coordonnées de M sont donc ( cos ; sin )
et z peut s'écrire z = a + b i =
cos + (
sin ) i = ( cos + i sin ).
z = ( cos + i sin ).Cette écriture est l'écriture trigonométrique du complexe z. On notera z = [
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;
].