Ch 02 - Compléments d`algèbre linéaire

2. Compléments d’algèbre linéaire
Dans tout le chapitre, Kdésigne un corps de caractéristique nulle et Eun K-espace vectoriel.
Sauf indication contraire, on admettra que les résultats vus en MPSI (dans le cas particulier où Kétait
Rou C) s’étendent.
II - Combinaisons linéaires — Bases
On généralise ici les notions étudiées en MPSI au cas d’un ensemble d’indices Inon nécessairement fini.
1) Combinaisons linéaires
Définition : le support d’une famille de scalaires (λ
i
)
i∈I
∈K
I
est {i∈I / λ
i
= 0}. On note K
(I)
l’ensemble des familles de scalaires à support fini.
Propriété : K
(I)
est un sous-espace vectoriel de K
I
,+, ..
Définition : soit F= (x
i
)
i∈I
une famille de vecteurs de E. On dit qu’un vecteur xde Eest combinaison
linéaire des vecteurs de Fsi et seulement s’il existe une famille (λ
i
)
i∈I
∈K
(I)
telle que
x=
i∈I
λ
i
.x
i
(il s’agit d’une somme finie de vecteurs de E . . . ).
2) Bases
a) Familles génératrices
Soit Fune famille de vecteurs de E. On dit que Fest une famille génératrice de Esi et seulement si
tout vecteur de Eest combinaison linéaire des vecteurs de F.
b) Sous-espace engendré par une famille de vecteurs
Soit Fune famille de vecteurs de Eet Fl’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de F.
Fest un sous-espace vectoriel de E; c’est le plus petit sous-espace de Econtenant les vecteurs de F.
Fest noté Vect F, appelé le sous-espace vectoriel de Eengendré par F(Fest une famille génératrice
de Vect F!).
NB : une famille Fest génératrice de Esi et seulement si Vect F=E.
c) Familles libres
Soit F= (x
i
)
i∈I
une famille de vecteurs de E. On dit que Fest libre si et seulement si la seule
combinaison linéaire nulle des vecteurs de Fest celle dont tous les coefficients sont nuls :
∀(λ
i
)
i∈I
∈K
(I)
i∈I
λ
i
.x
i
= 0 =⇒ ∀i∈I λ
i
= 0.
Fest libre si et seulement si toutes ses sous-familles finies sont libres.
Une partie Ade Eest dite libre si et seulement si la famille (x)
x∈A
est libre.
Par convention, ∅est libre.
d) Bases
Soit Fune famille de vecteurs de E.
On dit que Fest une base de Esi et seulement si Fest libre et génératrice.
Une famille B= (e
i
)
i∈I
de vecteurs de Eest une base de Esi et seulement si tout vecteur de Es’écrit
de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de B. Dans ce cas, si x=
i∈I
λ
i
.e
i
, la
famille (λ
i
)
i∈I
est appelée la famille des coordonnées de xdans la base B.
Exemple : X
k
k∈N
est une base de K[X], appelée la base canonique de K[X].
NB : l’existence de bases en dimension quelconque est liée à l’axiome du choix. . .

2. Compléments d’algèbre linéaire Page 2
e) Caractérisation d’une application linéaire par l’image d’une base
Théorème : soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels, B= (e
i
)
i∈I
une base de Eet (y
i
)
i∈I
une famille
de vecteurs de F(indexées par le même ensemble I).
Il existe une unique application linéaire ude Edans Ftelle que : ∀i∈I u(e
i
) = y
i
.
En outre :
∗Im u= Vect(y
i
)
i∈I
.
uest surjective si et seulement si la famille (y
i
)
i∈I
est génératrice de F.
∗uest injective si et seulement si la famille (y
i
)
i∈I
est libre.
∗uest bijective si et seulement si la famille (y
i
)
i∈I
est une base de F.
NB : dans le cas particulier où E=K
(I)
, muni de la base canonique (e
i
)
i∈I
, où e
i
= (δ
i,j
)
j∈I
,Ker u
est l’ensemble des familles de coefficients des relations de dépendance linéaire de la famille (y
i
)
i∈I
(la famille nulle mise à part !).
IIII - Structure d’algèbre
1) Définition
On appelle K-algèbre tout quadruplet (A, +, ., ×)où :
1) (A, +, .)est un K-espace vectoriel ;
2) (A, +,×)est un anneau ;
3) ∀λ∈K∀(x, y)∈A
2
λ.(x×y) = (λ.x)×y=x×(λ.y)
Une K-algèbre (A, +, ., ×)est dite commutative si et seulement si ×est en outre commutative.
NB : le point 3) et la distributivité de ×par rapport à +reviennent à dire que l’application
(x, y)→ x×yest bilinéaire de E×Edans E.
Exemples : 1) K-algèbre commutative (K[X],+, ., ×)des polynômes à coefficients dans K.
2) K-algèbre (L(E),+, ., ◦)des endomorphismes d’un K-espace vectoriel E.
3) K-algèbre (M
n
(K),+, ., ×)des matrices carrées d’ordre nà coefficients dans K.
2) Morphismes d’algèbres — Sous-algèbres
On appelle morphisme d’algèbres tout morphisme d’anneaux linéaire entre deux algèbres.
On appelle sous-algèbre d’une algèbre (A, +, ., ×)tout sous-espace vectoriel Bde (A, +, .)qui est un
sous-anneau de (A, +,×).
Exemples : 1) Les fonctions polynomiales, les fonctions de classe C
k
sur R, constituent des sous-
algèbres de (F(R,R),+, ., ×).
2) Les matrices diagonales (resp. triangulaires supérieures, inférieures) constituent des
sous-algèbres de (M
n
(K),+, ., ×).
3) Algèbre des fonctions polynomiales sur R
n
ou C
n
Ici n∈N
∗
et K=Rou K=C.
On appelle fonction monomiale de K
n
dans Ktoute fonction de la forme
ϕ
k
: (x
1
, . . . , x
n
)→ x
k
1
1
· · · x
k
n
n
où k= (k
1
, . . . , k
n
)∈N
n
.
On appelle algèbre des fonctions polynomiales sur K
n
la sous-algèbre de F(K
n
,K)engendrée par la
famille (ϕ
k
)
k∈N
n
.
Propriétés : 1) Cette algèbre est commutative et intègre.
2) (ϕ
k
)
k∈N
n
est une base de cette algèbre, appelée base canonique.

2. Compléments d’algèbre linéaire Page 3
IIIIII - Sommes directes de sous-espaces vectoriels
Dans tout ce paragraphe, Iest un ensemble fini non vide.
1) Somme d’une famille finie de sous-espaces-vectoriels
Soient Eun K-espace vectoriel et (E
i
)
i∈I
une famille finie de sous-espaces vectoriels de E. On note E
I
l’espace des familles de vecteurs de Eindexées par Iet 
i∈I
E
i
le sous-espace de E
I
formé des familles
(x
i
)
i∈I
de E
I
telles que : ∀i∈I x
i
∈E
i
.
Théorème et définition : avec les notations précédentes, l’application ϕ:
i∈I
E
i
→E
(x
i
)
i∈I
→ 
i∈I
x
i
est linéaire. Son image, notée 
i∈I
E
i
, est un sous-espace vectoriel de E
appelé somme des E
i
,i∈I.
i∈I
E
i
est l’ensemble des sommes de la forme 
i∈I
x
i
,(x
i
)
i∈I
∈
i∈I
E
i
.
i∈I
E
i
est le plus petit sous-espace de Econtenant les E
i
,i∈I.
Autrement dit : 
i∈I
E
i
= Vect 
i∈I
E
i
.
Cas particulier : si F,Gsont deux sous-espaces de E,
F+G={y+z, (y, z)∈F×G}= Vect (F∪G).
2) Somme directe d’une famille finie de sous-espaces vectoriels
Définition : (mêmes notations) les E
i
,i∈Isont dits en somme directe si et seulement si tout vecteur
xde 
i∈I
E
i
s’écrit de manière unique sous la forme x=
i∈I
x
i
,(x
i
)
i∈I
∈
i∈I
E
i
(c’est-à-dire si et seulement si l’application linéaire ϕdu §1 est injective).
Si c’est le cas, le sous-espace 
i∈I
E
i
est noté 
i∈I
E
i
, appelé somme directe des E
i
,i∈I.
Caractérisation : toujours avec les mêmes notations, les assertions suivantes sont équivalentes :
a) les E
i
,i∈Isont en somme directe ;
b) ∀(x
i
)
i∈I
∈
i∈I
E
i
i∈I
x
i
= 0 ⇒ ∀i∈I x
i
= 0 ;
c) ∀i∈I E
i
∩
j=i
E
j
={0}(i.e. l’intersection de chaque sous-espace avec la
somme des autres est réduite à {0}).
Attention ! Il ne suffit pas que les intersections des sous-espaces pris deux à deux soient réduites à
{0}(voir par exemple trois droites vectorielles distinctes dans un plan).
Dém. Je remarque tout d’abord que les assertions a) et b) sont toutes deux équivalentes à l’injectivité
de l’application linéaire ϕ: a) signifie par définition d’une somme directe que tout élément de Im ϕ
admet au plus un antécédent, tandis que b) signifie que Ker ϕ={0}. J’en déduis par transitivité de
l’équivalence que a) et b) sont équivalentes.
Je montre ensuite l’équivalence entre b) et c) par double implication :

2. Compléments d’algèbre linéaire Page 4
•b) ⇒c) : je suppose b) et, pour prouver c), je fixe arbitrairement idans Iet je considère un vecteur
xélément de E
i
∩
j=i
E
j
. Ainsi, d’une part xest élément de E
i
, d’autre part xs’écrit
x=
j=i
x
j
où x
j
∈E
j
, pour tout jdans I\ {i}.
Je pose (habilement) x
i
=−x: la famille (x
j
)
j∈I
vérifie alors, par construction,
(x
j
)
j∈I
∈
j∈I
E
j
et 
j∈I
x
j
= 0
donc, d’après b), tous les x
j
sont nuls, en particulier x= 0. c) en résulte.
•c) ⇒b): par contraposition, je suppose “non b)”, je dispose donc d’une famille (x
i
)
i∈I
dans 
i∈I
E
i
de vecteurs dont la somme est nulle alors que les x
i
ne sont pas tous nuls. Soit donc i
0
tel que
x
i
0
= 0.x
i
0
appartient à E
i
0
et donc 
j=i
0
x
j
=−x
i
0
est un vecteur non nul de E
i
0
∩
j=i
0
E
j
, ce
qui prouve “non c)” et achève la démonstration.
Cas particulier : deux sous-espaces F,Gde Esont en somme directe si et seulement si
F∩G={0}.
NB : E=
i∈I
E
i
si et seulement si l’application ϕest surjective ;
E=
i∈I
E
i
si et seulement si ϕest un isomorphisme, dans ce cas chaque E
i
est un supplémentaire
dans Ede la somme des autres, à savoir F
i
=
j=i
E
j
(qui est également une somme directe).
3) Famille de projecteurs associée à une somme directe
Soit E=
i∈I
E
i
; on associe à cette décomposition de Ela famille (p
i
)
i∈I
de projecteurs de Eoù, pour
tout idans I,p
i
est la projection de Esur E
i
parallèlement à F
i
=
j=i
E
j
(voir la remarque ci-dessus).
Alors, la décomposition de tout vecteur xde Esuivant la somme directe 
i∈I
E
i
n’est autre que
x=
i∈I
p
i
(x).
(En effet, soit x=
j∈I
x
j
cette décomposition ; pour ifixé dans I,xs’écrit
x=x
i
+y
i
,où x
i
∈E
i
et y
i
=
j=i
x
j
∈F
i
,
par conséquent x
i
est bien égal à p
i
(x), par définition de la projection p
i
.)
NB : La famille (p
i
)
i∈I
d’endomorphismes de Evérifie :
∗
i∈I
p
i
=I
E
(d’après la propriété précédente) ;
∗pour i, j distincts dans I,p
i
◦p
j
= 0 (car Im p
j
=E
j
⊂F
i
= Ker p
i
).
Exercice : établir réciproquement que, si (p
i
)
i∈I
est une famille d’endomorphismes de Evérifiant les
deux propriétés ci-dessus, alors les p
i
sont des projecteurs de E,E=
i∈I
Im p
i
et (p
i
)
i∈I
est — au sens
précédent — la famille de projecteurs associée à cette décomposition de E.

2. Compléments d’algèbre linéaire Page 5
Cas particulier de deux sous-espaces supplémentaires
Soient E=F⊕Get p, q les projecteurs associés, on a p+q=I
E
,p◦q=q◦p= 0.
s= 2p−I
E
et −s= 2q−I
E
sont les symétries associées.
Exemple fondamental : dans E=K[X], soit Bde degré n+ 1 (n∈N) et Fl’ensemble des multiples
de B:F={BQ, Q ∈K[X]}.
Fest un sous-espace vectoriel de E, admettant pour supplémentaire G=K
n
[X](sous-espace des
polynômes de degré au plus égal à n). La décomposition de tout polynôme Pde Esuivant la somme
directe F⊕Gcorrespond à la division euclidienne de Ppar B.
4) Prolongement linéaire d’applications linéaires
Théorème : soient E, F deux K-espaces vectoriels, (E
i
)
i∈I
une famille finie de sous-espaces de Etelle
que E=
i∈I
E
i
et, pour tout idans I,u
i
une application linéaire de E
i
dans F.
Il existe alors une unique application linéaire ude Edans Ftelle que
∀i∈I u
|E
i
=u
i
(la restriction de uàE
i
est u
i
).
En outre, uest définie par
∀x∈E u (x) = 
i∈I
u
i
[p
i
(x)] ,
où (p
i
)
i∈I
est la famille de projecteurs associée à la décomposition E=
i∈I
E
i
.
NB : on se permet parfois d’écrire u=
i∈I
u
i
◦p
i
car l’ensemble d’arrivée de p
i
est inclus dans
l’ensemble départ de u
i
est E
i
. . .
Dém. Analyse — synthèse...
Exemple : si E
1
est un sous-espace de Eet u
1
∈ L (E
1
, F ), on peut prolonger u
1
en une application
linéaire de Edans Fgrâce au théorème précédent, en utilisant un supplémentaire E
2
de
E
1
dans E(en choisissant par exemple u
2
= 0 ∈ L (E
2
, F )!).
Attention ! u:x→ u
1
(x)si x∈E
1
0sinon est bien un prolongement de u
1
àE, mais non linéaire “en
général” (exercice : CNS sur E
1
et u
1
pour que usoit linéaire ?).
5) En dimension finie
Ici, Eest un K-espace vectoriel de dimension finie.
Les résultats précédents s’appliquent bien sûr dans le cas particulier de la dimension finie.
On a en outre le :
Théorème : soit (E
i
)
i∈I
une famille finie de sous-espaces vectoriels de E.
a) les E
i
,i∈I, sont en somme directe si et seulement si dim 
i∈I
E
i
=
i∈I
dim E
i
;
b) dans le cas où les E
i
sont en somme directe,Eest égal à 
i∈I
E
i
si et seulement si
dim E=
i∈I
dim E
i
.
Dém. Soit S=
i∈I
E
i
; l’application ϕ:
i∈I
E
i
→S
(x
i
)
i∈I
→ 
i∈I
x
i
est linéaire et surjective.
De plus, les E
i
sont en somme directe si et seulement si ϕest injective, donc si et seulement si ϕest
un isomorphisme, soit si et seulement si 
i∈I
E
i
et Ssont de même dimension. Le a) en découle.
Le b) est immédiat, compte tenu du a), puisque Sest un sous-espace de E, donc E=Ssi et seulement
si dim S= dim E.