fonction reciproque d`une fonction continue, d`une

Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
FONCTION RECIPROQUE D'UNE FONCTION CONTINUE,
D'UNE FONCTION DERIVABLE. EXEMPLES. ON SE LIMITERA
AUX FONCTIONS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN
INTERVALLE DE R
Notations
Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons C f la courbe
représentative de f dans un repère du plan.
1) Condition d'existence d'une fonction réciproque
théorème
Si f est strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur f(I).
démonstration
• f est bien entendu surjective de I sur f(I) ;
• Supposons f strictement croissante sur I.
Soient a, b ∈ I , avec a ≠ b .
ou bien a < b et on a f (a) < f (b) (f étant strictement croissante sur I)
ou bien a > b et on a f (a) > f (b) (f étant strictement croissante sur I)
donc f (a ) ≠ f (b) .
• Supposons f strictement décroissante
Soient a, b ∈ I , avec a ≠ b .
ou bien a < b et on a f (a) > f (b) (f étant strictement décroissante sur I)
ou bien a > b et on a f (a) < f (b) (f étant strictement décroissante sur I)
donc f (a ) ≠ f (b) .
Dans tous les cas, si a ≠ b alors f (a) ≠ f (b) donc f est injective de I sur f(I).
définition (fonction réciproque)
Soit f une fonction bijective de I sur J, où J est un intervalle de R. On appelle fonction réciproque de
f l'application notée f −1 définie sur J par f −1 ( y ) = x , où x est l'unique élément de I tel que
f ( x) = y .
On note R1 = (O, e1 , e2 ) un repère du plan.
propriété géométrique
Soit f une fonction bijective de I sur J. Soit f −1 la fonction réciproque de f. Notons C f et C f −1 les
courbes représentatives des fonctions f et f −1 dans R1 . Alors C f −1 = s (C f ) , où s est la symétrie par
(
)
(
)
rapport à la droite O + R e1 + e2 , parallèlement à O + R e1 − e2 .
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
démonstration
Déterminons d'abord l'expression analytique de s :
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ .
mat ( s; e1 + e2 , e1 − e2 ) = ⎜⎜
⎝ 0 − 1⎠
Soit P la matrice de passage de la base e = (e1 , e2 ) à la base e' = (e1 + e2 , e1 − e2 ) .
⎛1 1 ⎞
⎟⎟ .
P = ⎜⎜
⎝1 − 1⎠
⎛1 0 ⎞
⎟⎟ × P −1
mat ( s; e) = P × ⎜⎜
⎝ 0 − 1⎠
1 ⎛1 1 ⎞⎛ 1 0 ⎞⎛1 1 ⎞
⎟⎜
⎟⎜
⎟
= ⎜⎜
2 ⎝1 − 1⎟⎠⎜⎝ 0 − 1⎟⎠⎜⎝1 − 1⎟⎠
⎛0 1⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝1 0⎠
Les coordonnées des points seront exprimées dans le repère R1 .
Soit M ( x; y ) ∈ C f . On a y = f (x) donc f −1 ( y ) = x .
Soit M ' = s ( M ) . M' a donc pour coordonnées ( y; x) . f −1 ( y ) = x donc M '∈ C f −1 . Par conséquent,
s (C f ) ⊂ C f −1 .
( )
On montre de la même façon que s C f −1 ⊂ C f . s étant involutive, on a donc C f −1 ⊂ s (C f ) .
Donc C f −1 = s (C f ) .
2) Fonctions réciproques et continuité
théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur un intervalle I, alors f (I ) est un intervalle de R.
démonstration
Soient α, β ∈ f ( I ) , avec α < β .Montrons que [α, β] ⊂ f ( I ) . Soit t ∈ [α, β] . Soient x1 , x2 ∈ I tels
que α = f ( x1 ) et β = f ( x2 ) . Soit la fonction définie par φ( x) = f ( x) − t . Nous allons montrer qu'il
existe x0 ∈ I tel que f ( x0 ) = t , c'est-à-dire φ( x0 ) = 0 .
Si t = α , alors x0 = x1 . Si t = β , alors x0 = x2 . On suppose donc désormais que t ∉ {α, β} .
On a φ( x1 ) = α − t < 0 et φ( x2 ) = β − t > 0 .
Soient (an ) et (bn ) les suites définies par :
• a0 = x1 et b0 = x2 ;
• Pour tout entier naturel n :
a +b
⎛a +b ⎞
Si φ⎜ n n ⎟ ≥ 0 , on pose an+1 = an et bn+1 = n n .
2
⎝ 2 ⎠
a +b
⎛a +b ⎞
Si φ⎜ n n ⎟ < 0 , on pose an+1 = n n et bn+1 = bn .
2
⎝ 2 ⎠
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
On a : ∀n ∈ N , an+1 − bn+1 =
an − bn
2
.
Par une récurrence immédiate, on a : ∀n ∈ N , an − bn =
a0 − b0
2n
.
Montrons par récurrence que : ∀n ∈ N , an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn .
Soit P(n) la propriété suivante : an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn .
• n=0 :
a +b
⎛a +b ⎞
Si φ⎜ 0 0 ⎟ ≥ 0 , alors a1 = a0 et b1 = 0 0 .
2
⎝ 2 ⎠
b +b
⎫
b1 ≤ 0 0 = b0 ⎪
⎪
2
⎬ ⇒ a0 = a1 ≤ b1 ≤ b0 .
a 0 + a0
b1 ≥
= a0 ⎪⎪
2
⎭
a +b
⎛a +b ⎞
Si φ⎜ 0 0 ⎟ < 0 , alors a1 = 0 0 et b1 = b0 .
2
⎝ 2 ⎠
b +b
⎫
a1 ≤ 0 0 = b0 = b1 ⎪
⎪
2
⎬ ⇒ a0 ≤ a1 ≤ b0 = b1 .
a 0 + a0
⎪
a1 ≥
= a0
2
⎭⎪
• Soit n un entier naturel. Supposons P(n) vraie.
On montre que P(n+1) est vraie comme précédemment, en distinguant les cas.
• Donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
⎯
⎯→ 0 . Ces deux
(an ) est donc une suite croissante, (bn ) une suite décroissante et a n − bn ⎯n⎯
⎯
⎯→ ∞
suites sont donc adjacentes. Soit l leur limite commune.
Par construction, on a : ∀n ∈ N , x1 ≤ an ≤ bn ≤ x2 donc l ∈ [ x1 , x2 ] .
φ étant continue sur I donc en l, on a φ(a n ) ⎯⎯
⎯
⎯→ φ(l ) et φ(bn ) ⎯⎯
⎯
⎯→ φ(l ) .
n⎯
⎯→ ∞
n⎯
⎯→ ∞
Par construction, φ(an )φ(bn ) ≤ 0 pour tout entier n donc φ(l ) 2 ≤ 0 donc φ(l ) = 0 , avec l ∈ I .
On a donc f (l ) = t .
théorème
Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f −1 est continue, strictement monotone et de
même sens de monotonie que f.
démonstration
Monotonie :
Soit g = f −1 .
Soient y, y '∈ f ( I ) tels que y < y ' .
∃ x, x'∈ I , y = f ( x) et y ' = f ( x' ) . On a donc x = g ( y ) et x' = g ( y ' ) . x ≠ x' car g est injective.
• si f est strictement croissante sur I, alors x < x' . Donc g ( y ) < g ( y ' ) et g est strictement
croissante sur f (I ) ;
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
si f est strictement décroissante sur I, alors x' < x . Donc g ( y ' ) < g ( y ) et g est strictement
décroissante sur f (I ) .
g est donc strictement monotone sur f (I ) de même sens de monotonie que f.
•
Continuité
Soit y0 ∈ f ( I ) . ∃ x0 ∈ I , y0 = f ( x0 ) . On suppose f strictement croissante sur I.
0
1er cas : x0 ∈ I
Soit ε > 0 ?
∃ ε' > 0, ε' < ε, [ x0 − ε' , x0 + ε' ] ⊂ I .
f ( x0 − ε' ) ∈ f ( I ) et f ( x0 + ε' ) ∈ f ( I ) .
Soient η1 = y0 − f ( x0 − ε' ) et η 2 = f ( x0 + ε' ) − y0 .
Soit η = min(η1 , η2 )
Soit y ∈ f ( I )∩] y 0 − η, y 0 + η[ . On a :
y0 − η < y < y0 + η
donc y0 − η1 < y < y0 + η2
donc f ( x0 − ε' ) < y < f ( x0 + ε' ) .
f étant strictement croissante sur I, g est strictement croissante sur f(I)
donc g D f ( x0 − ε' ) < g ( y ) < g D f ( x0 + ε' )
donc x0 − ε' < g ( y ) < x0 + ε'
donc g ( y ) − g ( y0 ) < ε'
Donc : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀y ∈ f ( I ), y − y0 < η ⇒ g ( y ) − g ( y0 ) < ε .
g est donc continue en y0 .
o
2ème cas : x0 ∈ I − I
Même démonstration que précédemment en considérant [ x0 ; x0 + ε' ] ou [ x0 − ε'; x0 ]
Remarque : On n'utilise pas la continuité de f dans cette démonstration. La stricte monotonie de f et
le fait que f est définie sur un intervalle suffisent pour obtenir la stricte monotonie et la continuité de
g.
théorème
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) f est continue et injective sur I ;
(ii) f est continue et strictement monotone sur I ;
(iii) f est strictement monotone sur i et f(I) est un intervalle.
démonstration
(i ) ⇒ (ii )
On suppose que f est continue et injective sur I. Montrons que f est strictement monotone sur I.
a, b ∈ I , a ≠ b . f étant injective, on a f (a ) ≠ f (b) . Supposons f (a) < f (b) (si f (a) > f (b) , on
s'intéresse à la fonction –f). Montrons qu'alors f est strictement croissante sur I.
Soit x ∈ I .
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
• cas où a < x < b : montrons que f (a) < f ( x) < f (b) .
Supposons f ( x) < f (a) . Alors f ( x) < f (a ) < f (b) . f étant continue sur [ x, b] , f ([ x; b]) est un
intervalle contenant f ( x) et f (b) donc [ f ( x), f (b)] ⊂ f ([ x, b]) donc f (a ) ∈ f ([ x, b]) .
Donc f (a ) < f ( x) . De même, on montre que f ( x) < f (b)
•
•
cas où x < a < b : on montre comme précédemment que f ( x) < f (a ) < f (b)
cas où a < b < x : on montre comme précédemment que f (a) < f (b) < f ( x)
Soient maintenant x, x'∈ I tels que x < x' . Il suffit d'étudier tous les cas :
x < x' < a < b
x < a < x' < b
x < a < b < x'
a < x < x' < b
a < x < b < x'
a < b < x < x'
et d'utiliser ce qui précède pour montrer que l'on a toujours f ( x) < f ( x' )
(ii ) ⇒ (iii )
C'est le théorème des valeurs intermédiaires qui donne le résultat.
(iii ) ⇒ (i )
f étant strictement monotone, elle est injective.
Supposons que J = f ( I ) est un intervalle de R. Quitte à travailler avec –f, on peut supposer f
o
strictement croissante sur I. D'après le théorème de la limite monotone, on sait que pour tout t ∈ I , f
admet une limite finie à gauche en t notée f (t − ) et une limite finie à droite en t, notée f (t + ) .
Soit t ∈ I .
• si t ≠ inf I , f (t − ) ≤ f (t )
• si t ≠ sup I , f (t ) ≤ f (t + ) .
Supposons que f ne soit pas continue sur I.
Il existe t ∈ I tel que t ≠ inf I et f (t − ) < f (t ) ou t ≠ sup I et f (t ) < f (t + ) . Plaçons-nous dans le
cas où t ≠ inf I et f (t − ) < f (t ) .
t ≠ inf I donc il existe t '∈ I tel que t ' < t .
f ( I ) est un intervalle de R contenant f (t ' ) et f (t ) donc [ f (t ' ), f (t )] ⊂ f ( I ) .
Donc [ f (t − ), f (t )] ⊂ f ( I ) car f (t ' ) ≤ f (t − ) < f (t ) .
Soit y ∈] f (t − ), f (t )[ . Alors y ∈] f (t ' ), f (t )[ . f ( I ) étant un intervalle, il existe x ∈ I tel que
y = f ( x) .
Si x ≥ t , alors f ( x) ≥ f (t ) (f étant croissante) : contredit le fait que y ∈] f (t ' ), f (t )[ .
Si x < t , alors f ( x) < f (t − ) (f étant croissante) : contredit le fait que y ∈] f (t − ), f (t )[ .
Dans les deux cas, il y a une contradiction.
f est donc continue sur I.
(
(
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)
)
(
)
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
3) Fonctions réciproques et dérivabilité
théorème
Soient I et J des intervalles de R et f : I → J un homéomorphisme (c'est-à-dire f est bijective de I
sur J, f et f −1 sont continues). Soit x0 ∈ I tel que f soit dérivable en x0 . Alors f −1 est dérivable en
'
1
f ( x0 ) si et seulement si f ' ( x0 ) ≠ 0 . Dans ce cas, on a : f −1 ( f ( x0 ) ) =
.
f ' ( x0 )
( )
démonstration
Supposons f ' ( x0 ) ≠ 0
Soient g = f −1 , y 0 = f ( x0 ) .
⎧ f ( x ) − f ( x0 )
si x ≠ x0
⎪
x − x0
Soit φ : I → R la fonction définie par : φ( x) = ⎨
⎪ f ' ( x ) si x = x
0
0
⎩
φ est continue en x0 (donc sur I) car f est dérivable en x0 .
y − y0
⎧
si y ≠ y0
⎪
φ D g est définie sur f ( I ) et on a φ D g ( y ) = ⎨ g ( y ) − g ( y0 )
.
⎪ f ' ( g ( y )) si y = y
0
0
⎩
g est continue en y0 et g ( y0 ) = x0 . φ étant continue en x0 , il en résulte que φ D g est continue en
1
y0 . De plus, φ D g ne s'annule pas sur f ( I ) car g est bijective et f ' ( x0 ) ≠ 0 . Par conséquent,
φD g
⎧ g ( y ) − g ( y0 )
si y ≠ y0
⎪
y − y0
1
⎪
.
est définie sur f ( I ) et on a :
=⎨
1
φ D g ( y) ⎪
si y = y0
⎪⎩ f ' ( g ( y0 ))
g ( y ) − g ( y0 )
1
1
=
, c'est-à-dire f −1 est dérivable en y0
étant continue en y0 , on a lim
y
→
y
0
φD g
y − y0
f ' ( g ( y0 ))
y≠ y
0
et ( f −1 )
'
1
.
( y0 ) =
f ' ( x0 )
Supposons que f −1 est dérivable en f ( x0 )
Si f ' ( x0 ) = 0 , alors lim
x → x0
x ≠ x0
f ( x ) − f ( x0 )
=0.
x − x0
Soit y0 = f ( x0 ) .
g ( y ) − g ( y0 )
g ( y ) − g ( y0 )
Alors lim
= −∞ ou lim
= +∞ , ce qui contredit la dérivabilité de f −1 en
y → y0
y → y0
y
y
y
y
−
−
0
0
y≠ y
y≠ y
0
0
f ( x0 ) .
Donc f ' ( x0 ) ≠ 0 .
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
théorème
Soit f une application continue et strictement monotone sur I et J = f (I ) . Alors f est un
difféomorphisme de classe C n de I sur J si et seulement si f est de classe C n et f ' ne s'annule pas
sur I.
démonstration
• Si f est un difféomorphisme de classe C n de I sur J, alors f est de classe C n et f ' ne
s'annule pas sur I (théorème précédent).
• Si f est de classe C n et f ' ne s'annule pas sur I, on a :
( f ')−1 = 1 −1 . Soit φ : R * → R la fonction définie par φ( x) = 1 .
x
f 'D f
( )
'
Alors f −1 = φ D f 'D f −1 . f 'D f −1 ne s'annule pas donc prend ses valeurs dans R+* ou R−* . φ étant de
classe C ∞ sur chacun de ces intervalles et f ' étant de classe C n−1 , on en déduit :
(f )
−1 '
est continue (composée de fonctions continues) donc f −1 est de classe C 1 , donc φ D f 'D f −1
( )
'
est de classe C 1 donc f −1 est de classe C 1 et donc f −1 est de classe C 2 .
De proche en proche (récurrence immédiate), on montre que f −1 est de classe C n .
2) Applications
1) Fonctions réciproques des fonctions usuelles
Soit f : R+* → R la fonction définie par
f ( x) = ln( x) .
f est continue sur R+* , strictement croissante sur
R+* . f est donc bijective et f −1 est continue sur
R = ln( R+* ) , strictement croissante sur R. On note
'
1
f −1 = exp .
f −1 =
= f −1
donc
−1
f 'D f
exp'= exp
y=x
y = exp(x)
y = ln(x)
O
( )
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
y=x
y = arcsin(x)
⎡ π
Soit f : ⎢− ,
⎣ 2
π⎤
→ R la fonction définie par
2 ⎥⎦
⎡ π π⎤
f ( x) = sin( x) . f est bijective de ⎢− , ⎥ sur
⎣ 2 2⎦
[−1, 1] et strictement croissante. On note
f −1 = arcsin . f −1 est strictement croissante sur
[−1, 1] ,
dérivable
sur
] − 1, 1[ et
1
arcsin' ( x) =
1− x2
Soit f : [0 , π] → R la fonction définie par
f ( x) = cos( x) . f est bijective de [0 , π] sur [−1,1]
et strictement décroissante.
y = sin(x)
O
y=x
y = arccos(x)
On note f −1 = arccos . f −1 est strictement
décroissante sur [−1,1] , dérivable sur ] − 1,1[ et
1
.
arccos' ( x) = −
1− x2
O
y = cos(x)
⎤ π π⎡
Soit f : ⎥ − , ⎢ → R la fonction définie par
⎦ 2 2⎣
⎤ π π⎡
f ( x) = tan( x) . f est bijective de ⎥ − , ⎢ sur
⎦ 2 2⎣
] − ∞, + ∞[ et strictement croissante.
y=x
O
−1
−1
On note f = arctan . f
est strictement
croissante sur R, dérivable sur R et
1
arctan' ( x) =
.
1+ x2
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y = arctan(x)
y = tan(x)
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
Soit f : [0, + ∞[→ R la fonction définie par
f ( x) = ch( x) . f est bijective de [0, + ∞[ sur
[1, + ∞[ et strictement croissante.
On note f −1 = arg ch . f −1 est strictement
croissante sur [1, + ∞[ , dérivable sur ]1, + ∞[ et
1
.
arg ch' ( x) =
x 2 −1
Pour x > 1, arg ch( x) = ln( x + x 2 − 1)
y = f(x)
y=x
y = argch(x)
O
y=x
Soit f : R → R la fonction définie par
f ( x) = sh( x) . f est bijective de R dans R et
strictement croissante sur R.
On note f −1 = arg sh . f −1 est strictement
croissante sur R, dérivable sur R et
1
.
arg sh' ( x) =
1+ x2
Pour x ∈ R , arg sh( x) = ln( x + 1 + x 2 )
O
y = argsh(x)
y = sh(x)
Soit f : R → R la fonction définie par
f ( x) = th( x) . f est bijective de R dans ] − 1, 1[ et
strictement croissante sur R.
On note f −1 = arg th . f −1 est strictement
croissante sur ] − 1, 1[ , dérivable sur cet intervalle
1
.
et arg th' ( x) =
1− x2
1 ⎛1+ x ⎞
Pour x ∈] − 1, 1[, arg th( x) = ln⎜
⎟.
2 ⎝ 1− x ⎠
y=x
y = th(x)
O
y = argth(x)
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable
Soit f : [0, + ∞[→ R la fonction définie par
f ( x) = x n ( n ∈ N * ). f est bijective de
[0, + ∞[ dans [0, + ∞[ et strictement croissante.
f −1 est la fonction définie sur [0, + ∞[ par
y = x^n
y=x
1
n
f ( x) = x . f −1 est strictement croissante sur
et
[0, + ∞[ ,
dérivable
sur
]0, + ∞[
y = x^(1/n)
1
−1
1
f ' ( x) = × x n
n
O
2) Un calcul de fonction réciproque
Soit f la fonction définie sur [−1, 1] par f ( x) =
x
. f est continue en 0.
1+ x
⎧ x
⎪⎪1 − x si x ∈ [−1, 0]
f ( x) = ⎨
.
x
⎪
si x ∈ [0, 1]
⎪⎩1 + x
1
.
(1 − x) 2
1
.
f est dérivable sur ]0, 1] et ∀x ∈]0, 1], f ' ( x) =
(1 + x) 2
f ( x) − f (0)
f ( x) − f (0)
⎯⎯
⎯
⎯0 →1 et
⎯⎯
⎯
⎯0 →1 .
x ⎯⎯→
x ⎯⎯→
<
>
x−0
x−0
Donc f est dérivable en 0 et f ' (0) = 1 , ce qui montre que f est de classe C 1 sur [−1, 1] . f ' ne
s'annulant pas sur [−1, 1] , f est donc un difféomorphisme de classe C 1 .
f est dérivable sur [−1, 0[ et ∀x ∈ [−1, 0[, f ' ( x) =
Calcul de f −1 :
Soit x ∈ [−1, 0] et y = f (x) .
x
y
y=
donc y − yx = x et donc x =
.
1+ y
1− x
Soit x ∈ [0, 1] et y = f (x) .
x
y
y=
donc y + yx = x donc x =
.
1− y
1+ x
y < 0 si et seulement si x < 0 . On a donc l'expression de f −1 :
y
.
f −1 ( y ) =
1− y
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