Exercices (Séries de Fourier et Espaces de Hilbert)

Université Lille 1 — Licence de Mathématiques (L3, 2006/07)
MATH 312 — Responsable: J.-F. Burnol
Exercices en surplus :
XCVIII Les gramiens définis dans les exercices précédents pour des vecteurs dans un espace
hermitien existent aussi avec les mêmes formules pour des vecteurs dans un espace euclidien, en
particulier dans RNmuni de sa structure euclidienne canonique. Soient v1, . . ., vN, des vecteurs
dans RN. Montrer que le volume du parallélotope t1v1+···+tNvN,0≤t1≤1, . . ., 0≤tN≤1
est la racine carrée du gramien des vecteurs v1, . . ., vN. Le volume est calculé par rapport à la
mesure de Lebesgue canonique, qui donne masse 1à l’hypercube unité.
XCIX (Inégalité de Hadamard) Montrer g(v1,...,vn)≤(v1, v1)...(vn, vn)avec égalité
si et seulement si soit les vecteurs vjsont mutuellement perpendiculaires soit l’un d’entre eux
est le vecteur nul. Soit A= (aij )1≤i,j≤nune matrice carrée complexe ou réelle quelconque.
Interpréter A∗Acomme une matrice de Gram 23 et en déduire l’inégalité de Hadamard :
|det(A)| ≤ Y
1≤j≤nsX
1≤i≤n
|aij|2
C (séparabilité) On se donne un espace de Hilbert V. Si Vest de dimension finie alors il
a une base orthonormée (finie). On suppose Vde dimension infinie. On suppose que l’on peut
trouver des vecteurs u0,u1, . . .qui ont la propriété que la suite (un)n=0,1,... est partout dense
dans V: tout vecteur est limite d’une suite extraite. Montrer que le seul vecteur perpendiculaire
à tous les unest le vecteur nul. On pose H0={0}et l’on note Hnl’espace vectoriel engendré
par u0, . . ., un−1. Montrer qu’il y a une infinité de n≥1tel que dim Hn= 1 + dim Hn−1.
On les note 1≤n1< n2< . . . . Enfin on choisit ekde norme 1dans Hnkperpendiculaire à
Hnk−1. Montrer que chaque unest combinaison linéaire finie des ek,k≥1. En déduire que les
ek,k≥1forment un système complet, et aussi orthonormé, dans V. En déduire que (ek)est
une base orthonormée dénombrable de V. Réciproquement si Vpossède une base orthonormée
dénombrable montrer que l’on peut former une suite de vecteurs partout dense. On dit que
l’espace de Hilbert est séparable. La séparabilité est donc la condition nécessaire est suffisante
pour l’existence d’une base orthonormée dénombrable 24. En utilisant la notion de séparabilité,
prouver que si Vpossède une base orthonormée dénombrable alors tout sous espace fermé de
Vpossède aussi une base orthonormée dénombrable.
CI (deuxième formule de la moyenne) La deuxième formule de la moyenne est aux
fonctions ce que la sommation d’Abel-Dirichlet (exercice L) est aux séries. Soit φdécroissante
positive sur [x, y], soit fintégrable sur cet intervalle, alors :
Zy
x
φ(t)f(t)dt
≤φ(x) sup
x≤t≤yZt
x
f(u)du
(φdécroissante positive)
Remarquez bien que les valeurs absolues sont à l’extérieur des intégrales. Faites la preuve :
1. pour φde classe C1et fcontinue, par une intégration par parties,
23. prendre comme vecteurs les conjugués complexes des colonnes de A
24. finie ou infinie : notre convention est que les ensembles finis sont dénombrables.
21

2. en toute généralité en admettant qu’après avoir modifié φ(t)en au plus un nombre dénom-
brable de points pour qu’elle soit continue à droite 25 on peut écrire φ(t) = R]t,y]dµ(u)+φ(y)
avec µune mesure positive et en utilisant Fubini.
Pour encore une autre méthode de preuve, voir le texte Théorème de Dirichlet sur le site de
votre Professeur. Lorsque fest à valeurs réelles justifier alors :
∃ξ∈]x, y[Zy
x
φ(t)f(t)dt =φ(x+)Zξ
x
f(t)dt +φ(y−)Zy
ξ
f(t)dt
valable pour toute φmonotone (pas seulement décroissante positive).
CII En appliquant la deuxième formule de la moyenne à la fonction sin(x/2)−1qui est mo-
notone sur l’intervalle d’extrémités aet π(0< a < 2π), prouver Rπ
aDN(t)dt
2π≤1
π(N+1
2) sin( a 2),
et en déduire pour 0< a < b < 2π:Rb
aDN(t)dt
2π≤1
(N+1
2)π1
sin( a
2)+1
sin( b
2). Montrer plus
généralement |(DN∗1]a,b[)(x)| ≤ 1
(N+1
2)π1
sin( a−x
2)+1
sin( b−x
2)pour b−2π < x < a. En déduire
que si φest une fonction en escalier, identiquement nulle sur ]u, v[(avec u < 0< v) alors la série
de Fourier Dn∗φconverge uniformément vers zéro sur tout sous-intervalle [u′, v′]⊂]u, v[fermé.
En déduire que si fet gsont deux fonctions intégrables qui coïncident sur ]u, v[la différence
SN(f)−SN(g)converge uniformément vers 0sur tout sous-intervalle [u′, v′]⊂]u, v[fermé.
CIII On revient au problème de borner uniformément les sn(x) = P1≤k≤n
sin(kx)
k. On peut
supposer 0< x ≤π(pourquoi ?). On pose uk(x) = sin(kx),vk=1
k, pour k≥1(et u0(x) = 0).
On note An(x) = u1(x)+···+un(x). Montrer |An(x)| ≤ sin(x/2)−1et même |An(x)−Am(x)| ≤
sin(x/2)−1pour tout n,m. En déduire (par sommation d’Abel) P∞
k=n+1
sin(kx)
k≤1
sin(x/2)
1
n+1 .
Montrer alors :
nx ≥π=⇒ |sn(x)| ≤ π−x
2+x πsin(x/2) <π 2+2 π(= 2.2074 ...)
Pour 0< nx < π prouver en utilisant une somme de Riemann (on observera que la fonction sin(x)
x
est strictement décroissante sur ]0, π]) : 0< sn(x)<Rπ
0
sin(t)
tdt (= 1.8519 ...). En déduire
∀x∈R∀n≥1X
1≤k≤n
sin(kx)
k
<π
2+2 π
En fait, c’est bien Rπ
0
sin(t)
tdt qui est la borne optimale. Se reporter à l’annexe Gibbs sur le site
de votre Professeur.
CIV (un théorème de Cantor) Il semble que Riemann connaissait le résultat sui-
vant mais qu’il n’en ait pas donné explicitement la preuve : si pour tout xil est vrai que
limn→∞(ancos(nx) + bnsin(nx) = 0) alors lim an= 0 et lim bn= 0.Ce n’est pas un résultat
évident, lorsque vous y aurez suffisamment réfléchi reportez vous au texte Cantor-Lebesgue sur
le site de votre Professeur.
25. autrement dit on remplace φ(t)par φ(t+).
22