Feuille d`exercices 3 - Université du Luxembourg

Martin Schlichenmaier
Universit´e du Luxembourg
Alg`ebre
Feuille d’exercices 3
1. Le but de cet exercice est de d´emontrer que le groupe altern´e An
est simple pour n≥5. Pour le suivant soit toujours n≥5.
(a) Soit σ∈Snune permutation. Montrer que la conjugaison par un
´el´ement π∈Sncorrespond exactement `a un “relabelling” des nombres.
Par exemple, soit σ:= (i1, i2, . . . , ik) un cycle. Alors π·σ·π−1=
(π(i1), π(i2), . . . , π(ik)).
(b) Montrer que le sous-groupe Ande Snest engendr´e par des cycles de
longueur 3. (Par d´efinition Anest l’ensemble des celles permutations
qui sont un produit des nombres pair des transpositions.)
(c) Soit Nun sous-groupe normal de Anappartenant un cycle de
longueur 3. Montrer que N=An.
(d) Soit Nun sous-groupe normal de Anet σ∈N. D´emontrer que le
commutateur de σavec un ´el´ement arbitraire πde An
[σ, π] := σπσ−1π−1
est un ´el´ement de N.
(e) Soit π∈An. Montrer qu’il existe toujours un cycle σde longueur
3, tel que [σ, π] change au plus 6 ´el´ements.
(f) Soit π∈An, tel que πchange exactement 4 ou 6 ´el´ements. Alors il
existe toujours un cycle σde longueur 3, tel que [σ, π] est un cycle de
longueur 3 ou 5.
(g) Soit π∈An, tel que πchange exactement 5 ´el´ements. Alors il
existe toujours un cycle σde longueur 3, tel que [σ, π] est un cycle de
longueur 3.
(h) Utiliser maintenant (d) – (g) pour v´erifier que un sous-groupe nor-
mal N6={1}appartenant un cycle de longueur 3. En utilisant (c) on
obtient que N=An. Alors Anest simple.
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2. Soit Gun groupe. Soit Aut(G) l’ensemble des automorphismes
φ:G→Gdes groupes. C.`a.d. que φest un morphisme qui est bijectif.
D´emontrer que Aut(G) est un groupe lui-mˆeme avec la composition
comme produit.
Pour g∈Gsoit φg:G→Gl’application de conjugaison, i.e.
φg:G→G, h 7→ φg(h) = g·h·g−1.
V´erifier que φgest un ´el´ement de Aut(G).
V´erifier que
ψ◦φg◦ψ−1=φψ(g).
V´erifier que Inn(G) := {φg|g∈G}est un sous-groupe normal de
Aut(G). Ce sous-groupe est appel´e le groupe des automorphismes
int´erieurs.
D´emontrer que
φ:G→Aut(G), g 7→ φg
est un morphisme de groupes. D´eterminer le noyau de φ.
3. Soient Het Ndeux groupes et φ:H→Aut(N) un morphisme
de groupes. Pour les ´el´ements de produit cart´esien H×Non fait la
d´efinition suivante pour une multiplication
(h1, n1)·(h2, n2) := (h1h2, φ(h−1
2)(n1)n2).
D´emontrer que
(a) L’op´eration donne la structure de groupe ˜ Gsur H×N. ( ˜ Gest
appel´e le produit semi-direct de Het N.)
(b) H∼
=˜
H:= {(h, 1) |h∈H}est un sous-groupe de ˜ G.
(c) N∼
=˜
N:= {(1, n)|n∈N}est un sous-groupe normal de ˜ G.
(d) ˜ G=˜ H·˜ Net ˜ H∩˜ N={1},˜ G/ ˜ N∼
=˜
H.
(e) ˜ Hest un sous-groupe normal sii φ(h) = idNpour chaque h∈H.
(Dans ce cas on appelle ˜ Gle produit direct.)
(f) Montrer que S3est un produit semi-direct.

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4. Soient Gun groupe. Un sous-groupe Hest appel´e sous-groupe
caract´eristique sii φ(H) = Hpour tout automorphisme φde G.
(a) Montrer que tout sous-groupe caract´eristique et un sous-groupe
normale.
(b) Montrer que le centre C(G) et le sous-groupe d´eriv´e G0= [G, G]
sont des sous-groupes caract´eristiques.
(c) Soient Hun sous-groupe normale de Get Cun sous-groupe car-
act´eristique de H. Monter que Cest un sous-groupe normale de G.
(d) Soit G=Z/2×Z/2qui est ab´elien (de sort que tous ses sous-
groupes sont normales). Mais, montrer que {1}et Gsont les seuls
sous-groupes caract´eristiques. Alors il existe de sous-groupe normal
non-caract´eristique.
5. Pour les suivants soient tous les groupes abeliens. Soit Ckle groupe
cyclique d’ordre k.
(a) Soit Gun groupe. V´erifier que
T(G) := {a∈G| ∃n∈N:an= 1}
est un sous-groupe.
(b) Soit gcd(k, l) = 1. D´emontrer que Ck×Cl=Ckl.
(c) D´emontrer que Ck×Ckn’est pas cyclique.
(d) Donner pour gcd(k, l) = dle type de d´ecomposition de Ck×Cl.
(e) D´eterminer pour des groupes abeliens avec de nombre d’´el´ements
= 30, 36, 48, 57, 27, etc. les types des isomorphie.
6. Soit Gun groupe abelien d’ordre N. D´emontrer que Gest cyclique
sii Gadmet pour chaque diviseur Mde Nun et un seul sous-groupe
Hd’ordre M.
Les pages de web du cours:
http://math.uni.lu/schlichenmaier/cours/algebre