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Chapitre 6
Alg` ebre matricielle
En plus d’ˆ etre des tableaux de nombres susceptibles d’ˆ etre manipul´ es par des
algorithmes pour la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires et des outils de calcul pour
les applications lin´ eaires, les matrices sont ´ egalement munies de diverses struc-
tures alg´ ebriques.
6.1 Op´ erations lin´ eaires sur les matrices
Tout d’abord quelques points de notation et de vocabulaire. L’ensemble des
matrices m×n` a coefficients dans R(ou C) sera not´ eMmn(R)(ou Mmn(C)).
Dans le cas o` um=n, on dit que l’on a affaire ` a des matrices carr´ ees et l’on note
simplement Mm(R).
Dans une matrice carr´ ee A= (ai j)de taille m×m, les coefficients de la forme
aii pour i=1,2, . . . , mforment ce que l’on appelle la diagonale, ou diagonale
principale, de la matrice. Une matrice carr´ ee Atelle que ai j =0 d` es que i"=j,
c’est-` a-dire hors de la diagonale, est appel´ ee matrice diagonale.
Une matrice carr´ ee Atelle que ai j =0 d` es que i>j, c’est-` a-dire en dessous
de la diagonale, est appel´ ee matrice triangulaire sup´ erieure. Les matrices carr´ ees
´
echelonn´ ees sont triangulaires sup´ erieures. Une matrice carr´ ee Atelle que ai j =0
d` es que i<j, c’est-` a-dire au dessus de la diagonale, est appel´ ee matrice triangu-
laire inf´ erieure.
a11 a12 a13 ··· a1m
a21 a22 a23 ··· a2m
a31 a32 a33 ··· a3m
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
am1am2am3··· amm
a11 0 0 ··· 0
0a22 0··· 0
0 0 a33 ··· 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
0 0 0 ··· amm
diagonale matrice diagonale
91

92 CHAPITRE 6. Alg` ebre matricielle
a11 a12 a13 ··· a1m
0a22 a23 ··· a2m
0 0 a33 ··· a3m
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
0 0 0 ··· amm
a11 0 0 ··· 0
a21 a22 0··· 0
a31 a32 a33 ··· 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
am1am2am3··· amm
matrice triangulaire sup´ erieure matrice triangulaire inf´ erieure
D´ efinition 40 On d´ efinit sur Mmn(R)une loi de composition interne appel´ ee ad-
dition par :
Pour tous A = (ai j), B = (bi j)dans Mmn(R), A +B est la matrice de Mmn(R)
dont les coefficients sont donn´ es par (A+B)i j =ai j +bi j, pour i =1, . . . , m et
j=1, . . . , n,
et une loi de composition externe appel´ ee multiplication par un scalaire par :
Pour tout A = (ai j)dans Mmn(R)et λdans R,λA est la matrice de Mmn(R)
dont les coefficients sont donn´ es par (λA)i j =λai j, pour i =1, . . . , m et j =
1, . . . , n.
Remarque 32 Il s’agit de la g´ en´ eralisation imm´ ediate ` a toutes les matrices des
op´ erations d´ ej` a d´ efinies sur les matrices ` a une colonne. En fait, si l’on ´ ecrit les ma-
trices sous forme de ligne de colonnes, A='a1a2··· an(et B='b1b2·· · bn(
avec aj,bj∈Rm, on a
A+B='a1+b1a2+b2··· an+bn(et λA='λa1λa2·· · λan(.
On en d´ eduit imm´ ediatement par la d´ efinition du produit matrice-vecteur que (A+
B)x=Ax +Bx et (λA)x=λ(Ax), pour tout x∈Rn.!
En particulier, on montre tr` es facilement le r´ esultat suivant.
Proposition 38 L’ensemble Mmn(R)muni de ces deux op´ erations est un espace
vectoriel sur R.
L’´ el´ ement neutre pour l’addition est la matrice m×nnulle, not´ ee 0, dont tous
les coefficients sont nuls.
Introduisons mn matrices particuli` eres Ekl ∈Mmn(R)d´ efinies par
(Ekl )i j =)1 si i=ket j=l,
0 sinon.

6.2. Produit matriciel 93
Proposition 39 La famille {Ekl ,k=1, . . . , m,l=1, . . . , n}forme une base de
Mmn(R), appel´ ee base canonique de Mmn(R). En particulier, dimMmn(R) = mn.
D´ efinition 41 Si A ∈Mmn(R), on d´ efinit sa matrice transpos´ ee AT∈Mnm(R)par
(AT)i j =aji pour i =1, . . . , n et j =1, . . . , m.
La notation traditionnelle franc¸aise pour la transpos´ ee d’une matrice Aest tA.
Malheureusement, cette notation est nettement plus p´ enible ` a taper en T
E
X que la
notation anglo-saxonne AT($^t\!A$ au lieu de $A^T$), que l’on pr´ ef´ erera donc
par pure paresse dans la suite de ces notes.
Exemple 23 La transposition op` ere une sym´ etrie par rapport ` a la diagonale. Ainsi
A=*1010
0203+=⇒AT=
1 0
0 2
1 0
0 3
.
Elle ´ echange le rˆ ole des lignes et des colonnes. !
Proposition 40 L’application de transposition A %→ ATest un isomorphisme de
Mmn(R)dans Mnm(R), et l’on a (AT)T=A pour tout A.
6.2 Produit matriciel
La grande nouveaut´ e est que l’on peut multiplier certaines matrices entre elles.
D´ efinition 42 Soit A ∈Mmn(R)et B ∈Mnp(R). Notons b1,b2, . . . , bp∈Rnles p
colonnes de B. On d´ efinit le produit AB comme ´ etant la matrice m ×p dont les
colonnes sont donn´ ees par
AB ='Ab1Ab2··· Abp(.

94 CHAPITRE 6. Alg` ebre matricielle
Remarque 33 Comme Aest une matrice m×net les bisont des vecteurs de Rn,
chaque produit matrice-vecteur Abiest bien d´ efini et fournit un vecteur de Rm. Le
r´ esultat du produit est donc bien une matrice ` amlignes et pcolonnes.
Retenons donc que le produit AB n’est d´ efini que quand le nombre de colonnes
de A est ´ egal au nombre de lignes de B, sinon il n’est pas d´ efini. En particulier, on
ne peut toujours pas multiplier un vecteur-colonne par un autre vecteur-colonne
(sauf s’ils n’ont qu’une ligne). Quand le produit AB est d´ efini, son nombre de
lignes est ´ egal au nombre de lignes du premier facteur Aet son nombre de colonnes
est ´ egal ` a celui du second facteur B.
Remarquons enfin que si B∈Mn1(R) = Rn, alors AB n’est autre que le produit
matrice-vecteur habituel.
Exemple 24 Si A=*1010
0203+et B=
1 0
0 1
1 0
0 1
, alors le produit AB est bien
d´ efini, c’est une matrice 2 ×2, AB ='Ab1Ab2(, avec
Ab1=*1010
0203+
1
0
1
0
=*2
0+et Ab2=*1010 0203+
0
1
0
1
=*0
5+,
d’o` u
AB =*2 0
0 5+
dans ce cas.
Par contre, si A=*101
020+et B=
1 0
0 1
1 0
0 1
, alors le produit AB n’est pas
d´ efini, car le nombre de colonnes de A(=3) n’est pas ´ egal au nombre de lignes de
B(=4). Il est impossible d’effectuer les produits matrice-vecteur de la d´ efinition
de AB.!
Proposition 41 Soient A et B comme dans la D´ efinition 42. Alors, pour tout x ∈
Rp, on a
(AB)x=A(Bx).

6.2. Produit matriciel 95
D´ emonstration. Notons d’abord que tous les produits matriciels et matrice-vecteur
de cette formule sont bien d´ efinis.
Si x=
λ1
.
.
.
λp
, alors on a par d´
efinition du produit matriciel et du produit
matrice-vecteur
(AB)x=λ1(Ab1) + λ2(Ab2) + ··· +λp(Abp).
D’un autre cˆ ot´ e, toujours par d´ efinition du produit matrice-vecteur,
Bx =λ1b1+λ2b2+··· +λpbp,
d’o` u par lin´ earit´ e du produit matrice-vecteur
A(Bx) = A(λ1b1+λ2b2+··· +λpbp) = λ1(Ab1) + λ2(Ab2) + ·· · +λp(Abp).
On en d´ eduit le r´ esultat. !
Le produit matriciel poss` ede les propri´ et´ es alg´ ebriques suivantes.
Th´ eor` eme 43 On a (en supposant les produits matriciels d´ efinis)
i) (A+A')B=AB +A'B et A(B+B') = AB +AB'.
ii) λ(AB) = (λA)B=A(λB).
iii) (AB)C=A(BC)(associativit´ e).
D´ emonstration. i) Comme (A+A')bj=Ab j+A'bj, la premi` ere relation est vraie.
De mˆ eme, les colonnes de B+B'sont les bj+b'j, et l’on a A(bj+b'j) = Ab j+Ab'j,
d’o` u la deuxi` eme relation, cf. Remarque 32.
ii) On utilise encore la Remarque 32.
iii) Assurons-nous d’abord que tous les produits sont bien d´ efinis. Pour d´ efinir
AB, on doit avoir A∈Mmn(R)et B∈Mnp(R). Dans ce cas, AB ∈Mmp(R). Pour
d´ efinir BC, on doit avoir B∈Mnp(R)et C∈Mpr(R). Dans ce cas, BC ∈Mnr(R).
Par cons´ equent, le produit (AB)Cest bien d´ efini (nb de colonnes de AB = nb de
lignes de C) et (AB)C∈Mmr(R). De mˆ eme, le produit A(BC)est bien d´ efini et
appartient ` aMmr(R). En particulier, (AB)Cet A(BC)sont deux matrices de mˆ eme
taille, ce qui est la moindre des choses si elles sont cens´ ees ˆ etre ´ egales.
Montrons maintenant qu’elles sont bien ´ egales. Pour cela, on ´ ecrit Ccomme
une ligne de vecteurs
C='c1c2··· cr(,ck∈Rp.