Un peu de logique

Un peu de logique
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Assertions
Une assertion ou proposition mathématique est une phrase qui est soit vraie soit fausse. Par exemple, l’assertion
”la fonction carrée est croissante sur R” est fausse ; mais l’assertion ”pour tout réel x, |x| ≥ 0” est vraie.
1.1
Quantificateurs
Notations : ∀ : quelque soit, pour tout
∃ : il existe (au moins un)
∃! : il existe un unique
Ces quantificateurs sont des symboles mathématiques, donc à n’utiliser que dans le langage mathématique :
ils ne doivent pas s’utiliser comme des abréviations dans des phrases en français.
Par exemple : soit vous écrivez en toutes lettres pour tout x ∈ R, |x| est positif ; soit vous écrivez en langage
mathématique ∀x ∈ R, |x| ≥ 0.
Il est possible d’utiliser successivement plusieurs quantificateurs, à condition qu’ils concernent des variables
différentes. Dans ce cas, il est important de choisir l’ordre dans lequel vous introduisez vos variables.
Comparez (1) : ∀x ∈ R, ∃n ∈ Z, n ≤ x et (2) : ∃n ∈ Z, ∀x ∈ R, n ≤ x. L’une est vraie l’autre est fausse !
En fait, dans (1), le n est choisi après le x donc il dépend de l’élément quelconque x que l’on se donne ; en
revanche dans (2), le n est choisi avant le x donc doit être le même pour tous les x.
Exercice 1:
Ecrire à l’aide des quantificateurs les assertions suivantes, et préciser si elles sont vraies ou fausses.
1. Le carré de tout nombre réel est positif ou nul.
2. Certains nombres réels sont plus grands que leurs carrés.
3. Tout entier naturel est strictement inférieur à au moins un réel positif.
Exercice 2:
Soit f et g deux fonctions de R dans R. Ecrire à l’aide des quantificateurs les expressions suivantes :
1. f ne s’annule jamais
2. f est inférieure à g
3. f est positive 4. f n’est pas positive
5. f n’est pas la fonction nulle 6. f est majorée par 5 7. f est majorée 8. f est strictement décroissante
1.2
Opérations ou, et, non
Si P et Q sont deux assertions, on peut définir les assertions P et Q
P ou Q
non P
L’assertion P et Q est vraie quand les deux sont vraies et fausse sinon.
L’assertion P ou Q est vraie dès que l’une au moins est vraie (les deux peuvent être vraies : on dit que le ”ou”
est inclusif). Elle est donc fausse si les deux sont fausses.
L’assertion non P est vraie si P est fausse, et fausse si P est vraie.
exemple : si l’assertion P est ”x < 2”, l’assertion nonP est ”x ≥ 2”.
Si l’assertion P est ”tout homme est mortel” ; l’assertion non P est ”au moins un homme est immortel”.
Exercice 3:
Soit f une fonction de R dans R. Nier de la manière la plus précise possible les énoncés qui suivent :
1. Pour tout x ∈ R, f (x) ≤ 1
2. Il existe x ∈ R+ tel que f (x) ≥ 0
3. Pour tout x ∈ R, −1 ≤ f (x) ≤ 1 4. ∀x ∈ R, f (x) ≥ 1 ou f (x) ≤ −1.
Exercice 4:
(a) ∀x ∈ R ∀y ∈ R, x + y > 0
(b) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R / x + y > 0
(c) ∃x ∈ R tel que ∀y ∈ R, x + y > 0 (d) ∃x ∈ R tel que ∀y ∈ R, y 2 > x
1. Les assertions précédentes sont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur négation.
Conclusion : si P (x) est une assertion dépendant de x ∈ E :
1. La négation de ∀x ∈ E, P (x) est ∃x ∈ E, non P (x)
2. La négation de P ou Q est non P et non Q
1.3
et
et
la négation de ∃x ∈ E, P (x) est ∀x ∈ E, non P (x).
la négation de P et Q est non P ou non Q.
Connecteurs logiques
Deux assertions P et Q peuvent être également reliées par ⇒ ou ⇔.
P ⇒ Q signifie que si P est vraie, alors Q est vraie.
Autrement dit, P ⇒ Q peut se lire :
– pour que Q soit vraie, il suffit que P soit vraie : P est une condition suffisante pour que Q soit vraie.
– il est nécessaire que Q soit vraie pour que P soit vraie : Q est condition nécessaire pour que P soit vraie.
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Attention, si P n’est pas vraie, on ne peut rien en déduire sur Q.
Exemple : soit P ” le chien court sous la pluie” et Q ”le chien est mouillé”.
On a P ⇒ Q, mais l’implication dans l’autre sens est fausse : P : Q .
Attention : montrer que P ⇒ Q ne signifie pas que P est vraie. (En effet, le chien n’est pas forcément en train
de courir sous la pluie !). Donc bien différencier : ”P ⇒ Q” et ”P est vraie donc Q est vraie”.
Pour obtenir Q vraie, il faut savoir : P ⇒ Q et P vraie.
P ⇔ Q signifie que P ⇒ Q et Q ⇒ P
P ⇔ Q peut se lire P est vraie si et seulement si Q est vraie. Autrement dit :
– Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie : P est donc une condition nécessaire et suffisante
pour que Q soit vraie.
– Pour que Q soit vraie, il faut et il suffit que P soit vraie.
Remarque : P ⇔ Q a même signification que non P ⇔ non Q.
Par exemple : l’équivalence f (x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 donne aussi : f (x) < 0 ⇔ x < 1.
Exercice 5:
Compléter les pointillés par le connecteur logique
√ ⇔, ⇒ ou ⇐.
1. x2 = 4 . . . . . . x = 2.
2. x existe . . . . . . x ≥ 0.
3. ex = 1 . . . . . . x = 0.
4. |x| ≤ 5 . . . . . . 0 ≤ x ≤ 5.
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Raisonnement et démonstration
a) Pour montrer qu’une proposition du type ” ∀x ∈ E, P (x)” est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple :
autrement dit, on cherche un x ∈ E pour lequel non P (x).
b) Pour montrer qu’une proposition du type ”∀x ∈ E, P (x)” est vraie, il ne suffit plus de regarder des cas
particuliers. On doit prendre un x fixé, quelconque de E, et on vérifie que pour ce x, P (x) est vraie.
Rédaction : ” soit x ∈ E fixé quelconque. Montrons que P (x) est vraie.”
c) Pour montrer qu’une proposition du type ”∃x ∈ E, P (x)” est vraie, on construit un x particulier (à
l’aide d’un raisonnement d’analyse au brouillon) et on montre que ce x convient, c’est-à-dire que pour ce x la
proposition P (x) est vraie : c’est le raisonnement par analyse et synthèse, utile également pour des résolutions
d’équations (Analyse : on suppose qu’il existe une solution et on travaille jusqu’à trouver des candidats. Synthèse :
on vérifie si les candidats sont solutions).
Si la construction s’avère trop difficile, il faudra penser au raisonnement par l’absurde :
On suppose que ∀x ∈ E, non P (x) est vraie et on essaie d’arriver à une contradiction.
d) Pour montrer qu’une proposition du type ”∃x ∈ E, P (x)” est fausse, on montre que pour tout x ∈ E,
nonP (x) est vraie (à l’aide du b)) OU raisonnement par l’absurde.
e)Pour démontrer une implication : P ⇒ Q, on suppose que P est vraie et on montre alors que Q est vraie.
Si cette démarche n’aboutit pas, il faudra éventuellement penser au raisonnement par contraposée : montrer que
non Q ⇒ non P . (Supposer alors que non Q est vraie, et montrer que non P est vraie).
Illustration : si il pleut, les parapluies sont ouverts ... donc si les parapluies sont fermés, il ne pleut pas !
Ou encore au raisonnement par l’absurde : on suppose P vraie et Q fausse, et on arrive à une contradiction.
f) Pour démontrer une équivalence P ⇔ Q : on peut montrer successivement les deux implications P ⇒ Q
Q ⇒ P , OU être très rigoureux et n’enchaı̂ner que des assertions équivalentes.
Cas particulier : pour montrer que ∀n ∈ N, P (n) est vraie, on pourra avoir recours au raisonnement par récurrence.
Remarque importante : Une résolution d’équation ou d’inéquation exige un raisonnement par
équivalence afin d’être sûr d’avoir des solutions et non seulement des candidats.
En revanche, dans tous les autres cas, notamment lorsqu’il faut montrer une proposition du type
∀x ∈ E, P (x) est vraie, les implications suffisent : éviter alors d’écrire par reflexe le symbole ⇔ car les
équivalences seront non justifiées, et même souvent fausses.
Pour le comprendre :
Exercice 6:
1. Montrer : ∀x ≥ 0, ln(2
√ + x) ≥ 0.
2. Résoudre l’équation x + 2 = x au brouillon et et vérifier les solutions trouvées. En déduire une rédaction
a) par analyse et synthèse
b) par équivalence.
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