Un peu de logique

Un peu de logique
1 Assertions
Une assertion ou proposition math´ematique est une phrase qui est soit vraie soit fausse. Par exemple, l’assertion
”la fonction carr´ee est croissante sur R” est fausse ; mais l’assertion ”pour tout r´eel x,|x| ≥ 0” est vraie.
1.1 Quantificateurs
Notations : ∀: quelque soit, pour tout ∃: il existe (au moins un) ∃! : il existe un unique
Ces quantificateurs sont des symboles math´ematiques, donc `a n’utiliser que dans le langage math´ematique :
ils ne doivent pas s’utiliser comme des abr´eviations dans des phrases en fran¸cais.
Par exemple : soit vous ´ecrivez en toutes lettres pour tout x∈R,|x|est positif ; soit vous ´ecrivez en langage
math´ematique ∀x∈R,|x| ≥ 0.
Il est possible d’utiliser successivement plusieurs quantificateurs, `a condition qu’ils concernent des variables
diff´erentes. Dans ce cas, il est important de choisir l’ordre dans lequel vous introduisez vos variables.
Comparez (1) : ∀x∈R,∃n∈Z,n≤xet (2) : ∃n∈Z,∀x∈R,n≤x. L’une est vraie l’autre est fausse !
En fait, dans (1), le nest choisi apr`es le xdonc il d´epend de l’´el´ement quelconque xque l’on se donne ; en
revanche dans (2), le nest choisi avant le xdonc doit ˆetre le mˆeme pour tous les x.
Exercice 1:
Ecrire `a l’aide des quantificateurs les assertions suivantes, et pr´eciser si elles sont vraies ou fausses.
1. Le carr´e de tout nombre r´eel est positif ou nul. 2. Certains nombres r´eels sont plus grands que leurs carr´es.
3. Tout entier naturel est strictement inf´erieur `a au moins un r´eel positif.
Exercice 2:
Soit fet gdeux fonctions de Rdans R. Ecrire `a l’aide des quantificateurs les expressions suivantes :
1. fne s’annule jamais 2. fest inf´erieure `a g3. fest positive 4. fn’est pas positive
5. fn’est pas la fonction nulle 6. fest major´ee par 5 7. fest major´ee 8. fest strictement d´ecroissante
1.2 Op´erations ou, et, non
Si Pet Qsont deux assertions, on peut d´efinir les assertions Pet Q P ou Qnon P
L’assertion Pet Qest vraie quand les deux sont vraies et fausse sinon.
L’assertion Pou Qest vraie d`es que l’une au moins est vraie (les deux peuvent ˆetre vraies : on dit que le ”ou”
est inclusif). Elle est donc fausse si les deux sont fausses.
L’assertion non Pest vraie si Pest fausse, et fausse si Pest vraie.
exemple : si l’assertion Pest ”x < 2”, l’assertion nonPest ”x≥2”.
Si l’assertion Pest ”tout homme est mortel” ; l’assertion non Pest ”au moins un homme est immortel”.
Exercice 3:
Soit fune fonction de Rdans R. Nier de la mani`ere la plus pr´ecise possible les ´enonc´es qui suivent :
1. Pour tout x∈R,f(x)≤1 2. Il existe x∈R+tel que f(x)≥0
3. Pour tout x∈R,−1≤f(x)≤1 4. ∀x∈R,f(x)≥1 ou f(x)≤ −1.
Exercice 4:
(a) ∀x∈R∀y∈R,x+y > 0 (b) ∀x∈R,∃y∈R/x+y > 0
(c) ∃x∈Rtel que ∀y∈R,x+y > 0 (d) ∃x∈Rtel que ∀y∈R,y2> x
1. Les assertions pr´ec´edentes sont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur n´egation.
Conclusion : si P(x) est une assertion d´ependant de x∈E:
1. La n´egation de ∀x∈E, P (x) est ∃x∈E, non P(x) et la n´egation de ∃x∈E, P (x) est ∀x∈E, non P(x).
2. La n´egation de Pou Qest non Pet non Qet la n´egation de Pet Qest non Pou non Q.
1.3 Connecteurs logiques
Deux assertions Pet Qpeuvent ˆetre ´egalement reli´ees par ⇒ou ⇔.
P⇒Qsignifie que si Pest vraie, alors Qest vraie.
Autrement dit, P⇒Qpeut se lire :
– pour que Qsoit vraie, il suffit que Psoit vraie : Pest une condition suffisante pour que Qsoit vraie.
– il est n´ecessaire que Qsoit vraie pour que Psoit vraie : Qest condition n´ecessaire pour que Psoit vraie.
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Attention, si Pn’est pas vraie, on ne peut rien en d´eduire sur Q.
Exemple : soit P” le chien court sous la pluie” et Q”le chien est mouill´e”.
On a P⇒Q, mais l’implication dans l’autre sens est fausse : P:Q.
Attention : montrer que P⇒Qne signifie pas que Pest vraie. (En effet, le chien n’est pas forc´ement en train
de courir sous la pluie !). Donc bien diff´erencier : ”P⇒Q” et ”Pest vraie donc Qest vraie”.
Pour obtenir Qvraie, il faut savoir : P⇒Qet Pvraie.
P⇔Qsignifie que P⇒Qet Q⇒P
P⇔Qpeut se lire Pest vraie si et seulement si Qest vraie. Autrement dit :
– Pour que Psoit vraie, il faut et il suffit que Qsoit vraie : Pest donc une condition n´ecessaire et suffisante
pour que Qsoit vraie.
– Pour que Qsoit vraie, il faut et il suffit que Psoit vraie.
Remarque : P⇔Qa mˆeme signification que non P⇔non Q.
Par exemple : l’´equivalence f(x)≥0⇔x≥1 donne aussi : f(x)<0⇔x < 1.
Exercice 5:
Compl´eter les pointill´es par le connecteur logique ⇔,⇒ou ⇐.
1. x2= 4 . . . . . . x = 2. 2. √xexiste . . . . . . x ≥0.
3. ex= 1 . . . . . . x = 0. 4. |x| ≤ 5. . . . . . 0≤x≤5.
2 Raisonnement et d´emonstration
a) Pour montrer qu’une proposition du type ” ∀x∈E,P(x)” est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple :
autrement dit, on cherche un x∈Epour lequel non P(x).
b) Pour montrer qu’une proposition du type ”∀x∈E,P(x)” est vraie, il ne suffit plus de regarder des cas
particuliers. On doit prendre un xfix´e, quelconque de E, et on v´erifie que pour ce x,P(x) est vraie.
R´edaction : ” soit x∈Efix´e quelconque. Montrons que P(x) est vraie.”
c) Pour montrer qu’une proposition du type ”∃x∈E,P(x)” est vraie, on construit un xparticulier (`a
l’aide d’un raisonnement d’analyse au brouillon) et on montre que ce xconvient, c’est-`a-dire que pour ce xla
proposition P(x) est vraie : c’est le raisonnement par analyse et synth`ese, utile ´egalement pour des r´esolutions
d’´equations (Analyse : on suppose qu’il existe une solution et on travaille jusqu’`a trouver des candidats. Synth`ese :
on v´erifie si les candidats sont solutions).
Si la construction s’av`ere trop difficile, il faudra penser au raisonnement par l’absurde :
On suppose que ∀x∈E, non P(x) est vraie et on essaie d’arriver `a une contradiction.
d) Pour montrer qu’une proposition du type ”∃x∈E,P(x)” est fausse, on montre que pour tout x∈E,
nonP (x) est vraie (`a l’aide du b)) OU raisonnement par l’absurde.
e)Pour d´emontrer une implication : P⇒Q, on suppose que Pest vraie et on montre alors que Qest vraie.
Si cette d´emarche n’aboutit pas, il faudra ´eventuellement penser au raisonnement par contrapos´ee : montrer que
non Q⇒non P. (Supposer alors que non Qest vraie, et montrer que non Pest vraie).
Illustration : si il pleut, les parapluies sont ouverts ... donc si les parapluies sont ferm´es, il ne pleut pas !
Ou encore au raisonnement par l’absurde : on suppose Pvraie et Qfausse, et on arrive `a une contradiction.
f) Pour d´emontrer une ´equivalence P⇔Q: on peut montrer successivement les deux implications P⇒Q
Q⇒P, OU ˆetre tr`es rigoureux et n’enchaˆıner que des assertions ´equivalentes.
Cas particulier : pour montrer que ∀n∈N,P(n) est vraie, on pourra avoir recours au raisonnement par r´ecurrence.
Remarque importante : Une r´esolution d’´equation ou d’in´equation exige un raisonnement par
´equivalence afin d’ˆetre sˆur d’avoir des solutions et non seulement des candidats.
En revanche, dans tous les autres cas, notamment lorsqu’il faut montrer une proposition du type
∀x∈E,P(x) est vraie, les implications suffisent : ´eviter alors d’´ecrire par reflexe le symbole ⇔car les
´equivalences seront non justifi´ees, et mˆeme souvent fausses.
Pour le comprendre :
Exercice 6:
1. Montrer : ∀x≥0, ln(2 + x)≥0.
2. R´esoudre l’´equation √x+ 2 = xau brouillon et et v´erifier les solutions trouv´ees. En d´eduire une r´edaction
a) par analyse et synth`ese
b) par ´equivalence.
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