divisibilite dans z congruence

Prof : Mr Khammour.K Série n°21 : Divisibilité dans Z : Congruence 4ème Math Février 2016
« L’arithmétique, c’est être capable de compter jusqu'à vingt sans enlever ses chaussures » Walt Disney
Exercice n°1 :
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Dans ce qui suit a , b et c trois entiers.
1)
22
a mod8 alors a mod8bb
2)
2a 2 mod8 alors a mod8bb
3)
Si a divise b et a divise c alors a² divise bc
4)
2016
2 1 mod7
5) Si un entier x est telle que :
x² x 0 mod6 alors x 0 mod3  
.
6) pour tout entier naturel n :
a)
6 1 3 1
5 2 0 mod5
nn
b)
6 1 3 1
5 2 0 mod7
nn
7) n étant un entier impair et a et b deux entiers :
0 modn et 0 modn alors a 0 modn et b 0 modna b a b     
8) a)
x² x 0 mod2
b)
x 2 mod14 alors x 1 mod7
c)
4x 10 mod5 alors x 0 mod5y
Exercice n°2 :
1) Montrer que pour tout n de IN on a :
2 1 2
3 2 0 mod7
nn
.
2) Résoudre dans Z l’équation
x² x 4 0 mod6  
.
3) a) Montrer que pour tout x
2,3,4,5,6
6
x 1 mod7
b) En déduire que
2016
2 1 mod7
.
4) Soit
A 4 5 6 9 10 IN
n n n n n
nn     
.
5) a) Montrer que si
1 mod6 alors A 6 mod7
n
n
.
b) En déduire le reste de
2017
A
modulo 7.
Exercice n°3 :
1) Déterminer suivant les valeurs de n, le reste modulo 5 de 3n.
2) On pose
23
A 3 3 3
n n n
n  
. Déterminer suivants les valeurs de n, le reste de la division de An modulo 5.
Exercice n°4 :
1) a) Déterminer ,suivant les valeurs de n, le reste modulo 3 de 2n.
b) Déterminer le reste modulo 3 de (40502)2009.
2) a) Montrer que pour tout entier de IN
2
5 1 mod3
n
b) Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que :
2
2 5 0 mod3
nn
.
3) Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que :
40502 40525 3 mod3
nn
.
Exercice n°5 :
Soit n un entier naturel
1) Démontrer que le chiffre de unités de n est donné par le reste de la division euclidienne de n par 10.
2) a) Montrer que
3 1 mod10 ssi 0 mod4
nn
.

b) Quel est le chiffre des unités de
2016
1
N3
.
Exercice n°6 :
1) Démontrer que
6 6 mod10
n
.
2) Quel est le chiffre des unités de 9n.
3) En déduire le chiffre des unités de
1259 12235
426 859
4) Quel est le chiffre des unités de 9nx6n.
Exercice n°7 :
1) Montrer que 9 divise 73n – 1, pour tout entier naturel.
2) Démontrer que l’on a : 2 x 352008 – 3 x 842007 5 ( mod17)
3) Démontrer que , pour tout entier naturel n ≥ 1 .
4) a) 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7.
b) 3 x 52n-1 + 23n-2 est divisible par 17.
c) 3 n+3 - 4 4n+2 est divisible par 11.
Exercice n°8 :
Soit a et b deux entiers non nuls et n un entier naturel impair.
1) a) Montrer que a+b divise an+bn.
b) En déduire que 15 divise 245+545+1045+1345 .
2) Prouver , sans effectuer de division, que 14 divise 1064.
Exercice n°9 :
1) a) Déterminer le reste de la division de 5p par 13 pour tout p entier naturel.
b) En déduire que 19811981 – 5 est divisible par 13.
2) En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 18 4n + 3
est divisible par 13.
Exercice n°10 :
On considère le système de congruences (S) :{
2 mod3n
1 mod5n
;où n désigne un entier relatif.
1) Montrer que 11 est solution de (S).
2) Montrer que si n est solution de (S) alors n – 11 est divisible par 3.
3) Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11 + 15k, où k désigne un
entier relatif.
Exercice n°11 :
On considère dans IN l’équation (E) :
35
x 2 97
.
1) Soit x solution de (E).

a) Vérifier que 97 est premier.
b) Montrer que x et 97 sont premier entre eux.
c) Justifier que x96
1 97
.
d) En déduire que
11
x 2 97
2) Soit un entier x tel que
11
x 2 97
.Montrer que x est solution de (E).
3) Déduire alors l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Exercice n°12 :
Soit n IN ; An = n ( n2 – 1 ) ( n2 – 4 ) et Bn = n5 – n .
1) a) Montrer que An 0 (mod 5).
b) Calculer An - Bn puis en déduire que Bn 0 ( mod 5)
2) a et b deux entiers relatifs .Démontrer que ( a + b ) 5 – a5 – b5 0 (mod 5).
3) En déduire que pour tout a et b dans Z : a5 + b5 0 ( mod 5) a + b 0 (mod 5).
4) Déterminer les entiers naturels a tels que a5 + 32 0 ( mod 5) et 0 ≤ a ≤ 20.
Exercice n°13 :
1) Démontrer que pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.
2) Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428 – 1 est divisible par 29.
3) Pour tout entier naturel 1 ≤ n ≤ 4, déterminer le reste de la division de 4n par 17.
En déduire que, pour tout entier k, le nombre 44k - 1 est divisible par 17.
4) Pour quels entiers naturels n, le nombre 4n – 1 est divisible par 5.
5) A l’aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 428 – 1.
Exercice n°14 :
Montrer que pour tout entier naturel n , 3n+3- 44n+2 est divisible par 11.
Exercice n°15 :
Déterminer suivant les valeurs de n , le reste modulo 10 de 7n. En déduire le chiffre des unités du
nombre (3754707)327.
Exercice n°16 :