divisibilite dans z congruence

Prof : Mr Khammour.K
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4ème Math
Série n°21 : Divisibilité dans Z : Congruence
Février 2016
L’arithmétique, c’est être capable de compter jusqu'à vingt sans enlever ses chaussures » Walt Disney
Exercice n°1 :
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Dans ce qui suit a , b et c trois entiers.
1) a 2  b2  mod8 alors a  b  mod8
2) 2a  2b  mod8 alors a  b  mod8
3) Si a divise b et a divise c alors a² divise bc 4) 22016  1 mod7 
5) Si un entier x est telle que : x²  x  0  mod 6 alors x  0 mod3 .
6) pour tout entier naturel n :
a) 56n1  23n1  0  mod5
b) 56n1  23n1  0  mod7
7) n étant un entier impair et a et b deux entiers :
a  b  0  mod n  et a  b  0  mod n  alors a  0  mod n  et b  0  mod n 
8) a) x²  x  0  mod 2
b) x  2  mod14 alors x  1 mod7 
c) 4x  10 y  mod5 alors x  0 mod5 
Exercice n°2 :
1) Montrer que pour tout n de IN on a : 32n1  2n2  0  mod 7 .
2) Résoudre dans Z l’équation x²  x  4  0  mod 6 .
3) a) Montrer que pour tout x 2,3, 4,5,6 x6  1 mod7 
b) En déduire que 22016  1 mod7  .
4) Soit A n  4n  5n  6n  9n  10n n  IN .
5) a) Montrer que si n  1 mod6 alors An  6  mod7 .
b) En déduire le reste de A 2017 modulo 7.
Exercice n°3 :
1) Déterminer suivant les valeurs de n, le reste modulo 5 de 3n.
2) On pose A n  3n  32 n  33n . Déterminer suivants les valeurs de n, le reste de la division de An modulo 5.
Exercice n°4 :
1) a) Déterminer ,suivant les valeurs de n, le reste modulo 3 de 2n.
b) Déterminer le reste modulo 3 de (40502)2009.
2) a) Montrer que pour tout entier de IN 52n  1 mod3
b) Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que : 2n  52n  0  mod3 .
3) Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que :  40502   40525  3 mod 3 .
n
n
Exercice n°5 :
Soit n un entier naturel
1) Démontrer que le chiffre de unités de n est donné par le reste de la division euclidienne de n par 10.
2) a) Montrer que 3n  1 mod10 ssi n  0  mod 4 .
b) Quel est le chiffre des unités de N1  32016 .
Exercice n°6 :
1) Démontrer que 6n  6  mod10 .
2) Quel est le chiffre des unités de 9n.
3) En déduire le chiffre des unités de  426 
1259
 859 
12235
4) Quel est le chiffre des unités de 9nx6n.
Exercice n°7 :
1)
2)
3)
4)
Montrer que 9 divise 73n – 1, pour tout entier naturel.
Démontrer que l’on a : 2 x 352008 – 3 x 842007  5 ( mod17)
Démontrer que , pour tout entier naturel n ≥ 1 .
a) 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7.
b) 3 x 52n-1 + 23n-2 est divisible par 17.
c) 3 n+3 - 4 4n+2 est divisible par 11.
Exercice n°8 :
Soit a et b deux entiers non nuls et n un entier naturel impair.
1) a) Montrer que a+b divise an+bn.
b) En déduire que 15 divise 245+545+1045+1345 .
2) Prouver , sans effectuer de division, que 14 divise 1064.
Exercice n°9 :
1) a) Déterminer le reste de la division de 5p par 13 pour tout p entier naturel.
b) En déduire que 19811981 – 5 est divisible par 13.
2) En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 18 4n + 3
est divisible par 13.
Exercice n°10 :
On considère le système de congruences (S) :{
n  2  mod3
n  1 mod5
;où n désigne un entier relatif.
1) Montrer que 11 est solution de (S).
2) Montrer que si n est solution de (S) alors n – 11 est divisible par 3.
3) Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11 + 15k, où k désigne un
entier relatif.
Exercice n°11 :
On considère dans IN l’équation (E) : x35  297 .
1) Soit x solution de (E).
a) Vérifier que 97 est premier.
b) Montrer que x et 97 sont premier entre eux.
c) Justifier que x96  197 .
d) En déduire que x  211 97
2) Soit un entier x tel que x  211 97 .Montrer que x est solution de (E).
3) Déduire alors l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Exercice n°12 :
Soit n  IN ; An = n ( n2 – 1 ) ( n2 – 4 ) et Bn = n5 – n .
1) a) Montrer que An  0 (mod 5).
b) Calculer An - Bn puis en déduire que Bn  0 ( mod 5)
2) a et b deux entiers relatifs .Démontrer que ( a + b ) 5 – a5 – b5  0 (mod 5).
3) En déduire que pour tout a et b dans Z : a5 + b5  0 ( mod 5)  a + b  0 (mod 5).
4) Déterminer les entiers naturels a tels que a5 + 32  0 ( mod 5) et 0 ≤ a ≤ 20.
Exercice n°13 :
1) Démontrer que pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.
2) Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428 – 1 est divisible par 29.
3) Pour tout entier naturel 1 ≤ n ≤ 4, déterminer le reste de la division de 4n par 17.
En déduire que, pour tout entier k, le nombre 44k - 1 est divisible par 17.
4) Pour quels entiers naturels n, le nombre 4n – 1 est divisible par 5.
5) A l’aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 428 – 1.
Exercice n°14 :
Montrer que pour tout entier naturel n , 3n+3- 44n+2 est divisible par 11.
Exercice n°15 :
Déterminer suivant les valeurs de n , le reste modulo 10 de 7n. En déduire le chiffre des unités du
nombre (3754707)327.
Exercice n°16 :