Variables aléatoires continues et loi normale

Variables al´ eatoires continues et loi normale
H. Hocquard
HSE 2016-2017
Herv´ e Hocquard Variables al´ eatoires continues et loi normale 1/35

Variable al´ etoire continue
D´ efinition
Une variable al´ eatoire est une application de l’univers Ω dans R
X: Ω −→ R
ω7−→ X(ω)
Une variable al´ eatoire est g´ en´ eralement d´ esign´ ee par une lettre
majuscule X,Y,etc. La variable al´ eatoire est dite continue si
l’ensemble X(Ω) est un intervalle (ou une r´ eunion d’intervalles)
de R.
Exemple
X=taille d’un individu.
Herv´ e Hocquard Variables al´ eatoires continues et loi normale 2/35

Variable al´ etoire continue
D´ efinition
Une variable al´ eatoire est une application de l’univers Ω dans R
X: Ω −→ R
ω7−→ X(ω)
Une variable al´ eatoire est g´ en´ eralement d´ esign´ ee par une lettre
majuscule X,Y,etc. La variable al´ eatoire est dite continue si
l’ensemble X(Ω) est un intervalle (ou une r´ eunion d’intervalles)
de R.
Exemple
X=taille d’un individu.
Herv´ e Hocquard Variables al´ eatoires continues et loi normale 2/35

Probl` emes que soul` event cette d´ efinition
Probl´ ematique
La description d’une loi continue diff` ere de celles des lois discr` etes
puisque pour une variable al´ eatoire continue X, la probabilit´ e que
Xprenne une valeur bien pr´ ecise xest nulle, P[X=x] = 0 . Il y a
en effet une infinit´ e de valeurs dans Rou dans un intervalle, et au
regard de toutes ces valeurs pr´ ecises, le poids de la valeur
particuli` ere est tellement insignifiant qu’il en est nul !
Par exemple, si X=taille d’un individu, alors
P(X= 1,8245756) = 0
Il n’est ainsi pas possible de d´ efinir la loi de Xpar la donn´ ee des
probabilit´ es des ´ ev´ enements ´ el´ ementaires. Par contre, il est possible
de d´ eduire les probabilit´ es que Xprenne ses valeurs dans une
partie de R` a partir de la fonction de r´ epartition definie par :
F(x) = P[X≤x] = P[X<x].
Herv´ e Hocquard Variables al´ eatoires continues et loi normale 3/35

Probl` emes que soul` event cette d´ efinition
Probl´ ematique
La description d’une loi continue diff` ere de celles des lois discr` etes
puisque pour une variable al´ eatoire continue X, la probabilit´ e que
Xprenne une valeur bien pr´ ecise xest nulle, P[X=x] = 0 . Il y a
en effet une infinit´ e de valeurs dans Rou dans un intervalle, et au
regard de toutes ces valeurs pr´ ecises, le poids de la valeur
particuli` ere est tellement insignifiant qu’il en est nul !
Par exemple, si X=taille d’un individu, alors
P(X= 1,8245756) = 0
Il n’est ainsi pas possible de d´ efinir la loi de Xpar la donn´ ee des
probabilit´ es des ´ ev´ enements ´ el´ ementaires. Par contre, il est possible
de d´ eduire les probabilit´ es que Xprenne ses valeurs dans une
partie de R` a partir de la fonction de r´ epartition definie par :
F(x) = P[X≤x] = P[X<x].
Herv´ e Hocquard Variables al´ eatoires continues et loi normale 3/35