Probabilités

Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/

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Chapitre 2
Calcul de probabilité
2.1 Introduction
1. Définitions :
•Experience aléatoire : On appelle "experience aléatoire" ou "épreuve", toute expe-
rience dont le résultat est régi par le hasard.
Exemple. – Le jet d’une pièce de monnaie.
–Le jet d’un dé.
•Espace des événements : L’espace des événements est l’ensemble qui contient tous les
résultats possibles de l’experience aléatoire. Il est noté Ω.
Exemple. – Le jet d’une pièce de monnaie : Ω = {<5->Pile, Face }.
–Le jet d’un dé : Ω = {<7−>1,2,3,4,5,6}.
•Événements :
–On appelle "événement élémentaire", tout sous ensemble de Ωqui ne contient qu’un
seul élément.
–On appelle "événement composé", tout sous ensemble de Ωqui contient plusieurs
éléments.
–On appelle "événement certain" l’ensemble qui contient tous les événements pos-
sibles : Ω.
–On appelle "événement impossible" l’ensemble qui ne contient aucun événement pos-
sible. Il est noté ∅.
Exemple. Lorsqu’on jette un dé :
–L’événement "avoir le chiffre 3" est un événement élémentaire. On note A={3}.
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CHAPITRE 2. CALCUL DE PROBABILITÉ 2.2. PROBABILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT
–L’événement "avoir un chiffre pair" est un événement composé. On note B={2,4,6}.
–L’événement Ω = {1,2,3,4,5,6}est dit événement certain .
–L’événement "avoir le chiffre 9" est dit événement impossible . On note ∅={9}
•Réalisation d’un événement :
–Quand on effectue une éxperience aléatoire, le résultat obtenu est noté ω.
–Soit Aun événement quelconque de cette experience. Si ω∈A, nous disons que
l’événement Aest réalisé.
Exemple. On jette un dé et on obtient le résultat 2.
–Lévénement A:"avoir un chiffre pair" est réalisé, car 2∈A.
–Lévénement B:"avoir un chiffre supérieur à 3" n’est pas réalisé, car 2/∈B.
•Événements incompatibles : Nous disons que les événements Aet Bsont incompa-
tibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. (c.à.d A∩B=∅)
Exemple. On jette un dé et on considère les événements :
–A:"avoir un chiffre pair".
–B:"avoir un chiffre impair".
Les événements Aet Bsont incompatibles.
2.2 Probabilité d’un événement
1. Définition : Soit Ωun espace d’événements, et soit P(Ω) l’ensemble des parties de Ω.
Une probabilité Psur un espace d’événements Ωest une application :
P:P(Ω) −→ [0; 1]
telle que :
(a) P(Ω) = 1 et P(∅)=0.
(b) ∀A, B ∈P(Ω) tels que : Aet Bincompatibles :
P(A∪B) = P(A) + P(B)
2. Propriétés :
(a) Soit Aun événement de Ω, et soit Ason complémentaire dans Ω. Alors :
P(A) = 1 − P(A).
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CHAPITRE 2. CALCUL DE PROBABILITÉ 2.3. CALCUL DE PROBABILITÉ
(b) Soient Aet Bdeux événements de Ω, tels que A⊂B. Alors :
P(A)≤ P(B).
(c) Soient Aet Bdeux événements quelconques de Ω. Alors :
P(A−B) = P(A)− P(A∩B).
3. Formule de Pointcarré : Soient Aet Bdeux événements quelconques de Ω. Les événements
Aet B−Asont incompatibles.
⇒ P(A∪B) = P(A∪(B−A)) = P(A) + P(B−A).
On applique la proriété 3:
P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A∩B)
Remarque. La probabilité de l’union de 3 événements quelconques : A , B et C est donnée
par :
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)− P(A∩B)−
P(B∩C)− P(A∩C) + P(A∩B∩C)
2.3 Calcul de probabilité
1. Définition : Soit l’espace des événements équiprobables : Ω = {ω1, ω2,· · · , ωn}.
• ∀i∈ {1,2,· · · , n}:P(ωi) = 1
card(Ω) =1 n
•Soit A∈P(Ω). Alors : P(A) = card(A)
card(Ω) =card(A) n
En terme général :
P(A) = Nombre de cas favorables à A
Nombre de cas possibles
2. Probabilité conditionnelle : La probabilité que lévénement Ase réalise, sachant que lévé-
nement Bs’est déjà réalisé est appelée "probabilité conditionnelle" et est donnée par :
P(A/B) = P(A∩B)
P(B)
Propriétés. • P(A∩B) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A).
• P(A/B)=1− P(A/B).
Exemple. On choisit au hasard une famille qui a 4 enfants, et on s’interesse au nombre de
fille et de garçons qu’elle a (en tenant compte de l’ordre des naissances des enfants).
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