Compacité (exercices avec corrigés)

Compacité (exercices avec corrigés)
I Exercices ccp
Analyse 54
Eet Fdésignent deux espaces vectoriels normés.
1. Aest un sous-ensemble compact de E, et fune fonction de Edans F.
Démontrez que si fest continue sur A, alors f(A)est un sous-ensemble
compact de F.
2. On suppose que gest une fonction continue de Edans C. Démontrez que
si Aest un sous-ensemble compact de E, alors :
(a) g(A)est une partie bornée de C.
(b) ∃x0∈A/ sup
x∈A
|g(x)|=|g(x0)|.
II Autres exercices
Exercice 1. Soit (un)une suite dont les trois suites extraites (u2n),(u2n+1),
(u3n)convergent. Démontrer que (un)converge.
Exercice 2 (Lemme des prisonniers, oral X). Soit (un)une suite de
nombres complexes et Tl’ensemble de ses valeurs d’adhérence. On suppose que
(un)est bornée, que Test fini (il est non vide d’après le théorème de Bolzano-
Weierstrass), et que (un+1 −un)converge vers 0. Démontrer que (un)converge.
On note T={x1, . . . , xp}. Soit δ= min{|xi−xj|; 1 ≤i, j ≤p, i 6=j}. Et soit
A=
p
[
i=1
B(xi, δ/3)
Alors {n∈N/ un6∈ A}est fini. Sinon, on pourrait (classiquement) extraire de
(un)n∈Nune suite (uφ(n))n∈Nvérifiant
∀n∈Nuφ(n)6∈ A
De cette suite, bornée car extraite d’une suite bornée, on pourrait extraire une
suite convergente : il existerait donc une extractrice ψet un complexe `tels que
uφ(ψ(n)) −−−−−→
n→+∞`

Or, comme ∀n∈Nuφ(ψ(n)) 6∈ A, pour chaque ientre 1 et pon a
∀n∈N|uφ(ψ(n)) −xi| ≥ δ/3
et donc, en prenant les limites quand n→+∞,
|`−xi| ≥ δ/3
ce qui est contradictoire : `serait une valeur d’adhérence de la suite (un), et ne
serait aucun des xi.
Il existe donc un rang N1tel que
∀n≥N1un∈A
Mais il existe par hypothèse un rang N2tel que
∀n≥N2kun+1 −unk ≤ δ/3
Soit n≥max(N1, N2);un∈A, donc il existe itel que
un∈B(xi, δ/3)
Pour la même raison, il existe jtel que
un+1 ∈B(xj, δ/3)
et, donc,
kxi−xjk≤kxi−unk+kun−un+1k+kun+1 −xjk<3δ/3 = δ
Mais donc xi=xj. Et donc, à partir du rang max(N1, N2), les unsont tous dans
la même boule B(xi, δ/3). Ce qui implique que toutes les valeurs d’adhérence
de la suite (un)sont dans B0(xi, δ/3). Or le seul élément de Tqui soit dans
cette boule est xi. Donc il n’y a qu’une valeur d’adhérence, vers laquelle la
suite unconverge puisque, si on remplace δ/3par un  > 0plus petit, le même
raisonnement que précédemment montre qu’à partir d’un certain rang tous les
termes de la suite (un)sont dans B(xi, ).
Exercice 3 (Oral X). Soit (un)une suite réelle bornée, telle que la suite
(un+1−un)converge vers 0. Démontrer que l’ensemble de ses valeurs d’adhérence
est un segment.
Un segment est un intervalle borné qui contient ses bornes. Appelons Tl’en-
semble des valeurs d’adhérence de la suite (un), le théorème de Bolzano-Weierstrass
montre déjà que T6=∅.
•Test borné
Ce n’est pas le plus dur ; soit a, b réels tels que
∀n∈Na≤un≤b

Alors, si φest une extractrice,
∀n∈Na≤uφ(n)≤b
et donc, si (uφ(n))converge, sa limite est dans [a, b](les inégalités larges étant
conservées à la limite). Donc T⊂[a, b]
•Test un intervalle
Il s’agit ici de montrer que Test convexe, c’est-à-dire
a∈Tet b∈T⇒[a, b]⊂T
On a le droit de supposer a < b (aet bjouent des rôles symétriques, et si
a=bil n’y a rien à montrer). On a donc a∈T,b∈T,a<b. Soit c∈]a, b[,
supposons c6∈ T. On sait qu’alors (caractérisation du cours) il existe δ > 0tel
que {n∈N/ un∈]c−δ, c +δ[}est fini. Il existe donc N1tel que
n≥N1⇒un6∈]c−δ, c +δ[
Il existe aussi un rang N2tel que
n≥N2⇒ |un+1 −un| ≤ δ
Soit n≥max(N1, N2);
si un≥c+δ, il est impossible d’avoir un+1 ≤c−δ(car sinon on aurait
|un+1 −un| ≥ 2δ > δ), et comme un+1 6∈]c−δ, c+δ[, on conclut nécessairement :
un+1 ≥c+δ.
De même, si un≤c−δ, on a nécessairement un+1 ≤c−δ.
On aboutit ainsi à deux possiblités : ∀n≥max(N1, N2)un≥c+δou ∀n≥
max(N1, N2)un≤c−δ. Mais dans le premier cas ane peut pas être valeur
propre de (un), dans le deuxième cas bne peut pas être valeur propre de (un).
On aboutit donc à une contradiction.
•Tcontient ses bornes
Soit M= sup(T). Supposons M6∈ T; il existe alors δ > 0tel que {n∈N/ un∈
]M−δ, M +δ[}est fini. Ce qui empêche toute suite extraite de (un)de converger
vers une limite `∈[M−δ/2, M]. On aboutit à une contradiction (il n’est pas
beaucoup plus dur de montrer que Test fermé, résultat plus général). Tcontient
aussi, pour la même raison, sa borne inférieure.
Exercice 4 (Oral Centrale). Donner un exemple de partie fermée bornée
non compacte d’un espace vectoriel normé.
Exercice 5 (Oral Mines). On munit l’espace des fonctions continues de
[0,1] dans Rde la norme de la convergence uniforme. Montrer que la boule
unité de cet espace normé n’est pas compacte.
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Exercice 6 (résultat classique : compacts emboîtés).
1. Soit (Kn)une suite de compacts non vides d’un espace vectoriel normé,
décroissante pour l’inclusion (pour tout n,Kn+1 ⊂Kn). Démontrer que
l’intersection \
n
Knest un compact non vide.
2. Pour tout entier naturel n, vérifier que δn= sup
x,y∈Kn
d(x, y)est bien défini.
On l’appelle diamètre du compact Kn. Quelle conclusion peut-on rajouter
au 1. sous l’hypothèse supplémentaire δn−→
n→+∞0?
Exercice 7 (résultat classique). Soit (un)une suite convergente dans un evn
de dimension finie. On note `sa limite. Montrer que
K={`}∪{un;n∈N}
est compact.
Exercice 8 (Oral Centrale, un théorème de point fixe). Dans la suite
de l’exercice, on considère un compact X, et fune application de Xdans X,
vérifiant, pour tous xet ydans X:
x6=y=⇒kf(x)−f(y)k<kx−yk
1. Démontrer l’existence et l’unicité d’un point fixe pour f(on montrera que
l’application g:x7→ kf(x)−xkatteint un minimum, et que ce minimum
est nul).
2. On définit une suite (xn)d’éléments de Xpar le choix arbitraire d’un
premier terme x0dans Xet par la relation de récurrence
∀n∈Nxn+1 =f(xn).
On note ale point fixe de f.
(a) Démontrer que la suite de terme général kxn−akconverge ; on note
δsa limite.
(b) Montrer que, si best une valeur d’adhérence de la suite (xn), alors
kb−ak=δ.
(c) Montrer que, si best une valeur d’adhérence de la suite (xn), alors
f(b)en est aussi une.
(d) Conclure que la suite (xn)converge vers a.
Dans tout cet exercice, on considère un compact X, et fune appli-
cation de Xdans X, vérifiant, pour tous xet ydans X:
x6=y=⇒kf(x)−f(y)k<kx−yk

1. Démontrer l’existence et l’unicité d’un point fixe pour f(on
montrera que l’application g:x7→ kf(x)−xkatteint un mini-
mum, et que ce minimum est nul).
L’application gest continue (fest 1-lipschitzienne, car pour tous xet y,
même si x=y, on a kf(x)−f(y)k≤kx−yk, donc fest continue, et
k.kest continue), Xest compact, donc gest minorée sur Xet atteint un
minimum. Soit αce minimum, x0un point en lequel il est atteint ; donc
α=kf(x0)−x0k
Si x06=f(x0), on a kf(x0)−ff(x0)k<kx0−f(x0)k, donc gf(x0)<
g(x0), ce qui contredit la minimalité de g(x0). Donc x0=f(x0), donc
α= 0.
2. On définit une suite (xn)d’éléments de Xpar le choix arbitraire
d’un premier terme x0dans Xet par la relation de récurrence
∀n∈Nxn+1 =f(xn).
On note ale point fixe de f.
(a) Démontrer que la suite de terme général kxn−akconverge ;
on note δsa limite.
Il suffit de remarquer que
kxn+1 −ak=kf(xn)−f(a)k≤kxn−ak
et une suite décroissante positive (donc minorée) converge. On peut
dire que δ≥0.
Montrer que, si best une valeur d’adhérence de la suite (xn),
alors kb−ak=δ.
Soit φune extractrice telle que la suite xφ(n)converge vers b. Ex-
traite de la suite kxn−akn∈N, la suite kxφ(n)−akn∈Nconverge
vers δ. Mais elle converge aussi vers kb−ak, d’où le résultat cherché.
(b) Montrer que, si best une valeur d’adhérence de la suite (xn),
alors f(b)en est aussi une.
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