Etude_dune_classe_de_problemes_aux_limites_quasilineaires.pdf

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université Abou Bekr Belkaid Tlemcen
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
THÈSE DE DOCTORAT
Option : Analyse des Equations aux dérivées partielles et applications
Présentée par
Meghnafi Mustapha
Etude d'une classe de problèmes
aux limites quasilinéaires
Soutenue en 2014 devant le jury composé de :
Président Mohammed Bouchekif Professeur Université de Tlemcen
Examinateur Mahdi Boukrouche Professeur
Université de Saint Etienne France
Examinateur
Mouffak Benchohra
Professeur
Université de Sidi Bel Abbès
Examinatrice
Djamila Hadj Slimane
Professeur Université de Tlemcen
Examinateur Azzedine Lansari M. C. "A" Université de Tlemcen
Invité Abdelkader Lakmeche Professeur Université de Sidi Bel Abbès
Directeur de thèse Mohammed Derhab Professeur Université de Tlemcen
Année Universitaire : 2013-2014

Remerciements
Les premiers pas dans la recherche se font rarement seuls et sans aide ni soutien. Mon cas
ne fait pas exception et je tiens ici `a remercier tous ceux qui, de pr`es ou de loin, ont contribu´e
`a l’aboutissement de ce travail.
Ensuite, je voudrais remercier mon directeur de th`ese, le Professeur Mohammed Derhab,
pour la confiance qu’il m’a accord´ee, ainsi que pour sa disponibilit´e, ses comp´etences scienti-
fiques, son sens de l’orientation et ses qualit´es humaines notamment, sa patience et sa rigueur
sans faille dans la direction de ce travail.
Je tiens `a remercier, en cette occasion propice, le Professeur Mahdi Boukrouche qui a ac-
cept´e de revoir et juger mon travail, ses remarques et ses conseils m’ont ´et´e tr`es utiles. Je
le remercie encore une fois de m’avoir accueilli durant mes stages annuels dans le laboratoire
de math´ematiques de Saint- Etienne, ICJ actuellement. c’est un homme de grandes qualit´es
humaines et scientifiques, il est toujours disponible et serviable. sa gentillesse et sa patience en-
vers ses ´etudiants et ses coll`egues le distinguent de toute autre personne de son environnement
. C’est donc un grand honneur pour moi de le retrouver dans le jury de ma th`ese.
Je remercie vivement Monsieur Mohammed Bouchekif, Professeur `a l’universit´e deTlemcen,
pour l’honneur qu’il me fait en pr´esidant le jury de cette th`ese.
Que Monsieur Mouffak Benchohra, Professeur `a l’universit´e de Sidi Belab`es trouve ici l’ex-
pression de mes remerciements pour l’int´eret qu’il a port´e `a ce travail. Je le remercie sans cesse
pour avoir accept´e de participer au jury.
Je remercie vivement Madame Djamila Hadj Slimane, Professeur `a l’universit´e de Tlemcen
et Monsieur Azzedine Lansari Maˆıtre de Conf´erences `a l’universit´e de Tlemcen d’avoir accept´e
de participer au jury
Je remercie vivement Monsieur Abdelkader Lakmeche, Professeur `a l’universit´e de Sidi Be-
lab`es, de bien vouloir participer au jury.
Je remercie enfin mes parents, qui m’ont toujours soutenu dans mes ´etudes.

Table des mati`eres
Introduction g´en´erale 3
1 M´ethode de quadrature 5
1.1 R´egularit´e des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Condition n´ecessaire et suffisante d’existence des solutions positives . . . . . . . 6
2 Sur le nombre exact des Solutions positives pour une classe de probl`emes
aux limites quasilin´eaires 7
2.1 Th´eor`emeprincipal.................................. 9
2.2 Lemmespr´eliminaires................................. 9
2.3 Preuve du th´eor`eme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Sur le nombre des solutions positives pour une classe de probl`emes aux li-
mites quasilin´eaires avec quotas constant 19
3.1 R´esultatsprincipaux ................................. 22
3.2 Lemmespr´eliminaires................................. 23
3.3 Preuve des r´esultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Sur le nombre exact des solutions positives pour une classe de probl`emes aux
limites quasilin´eaires avec une non lin´earit´e p-concave 41
4.1 Th´eor`emeprincipal.................................. 43
4.2 Lemmespr´eliminaires................................. 44
4.3 Preuve du th´eor`eme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Exemples ....................................... 52
5 Nombre exact des solutions positives pour une classe de probl`emes aux li-
mites quasilin´eaires avec une non lin´earit´e singuli`ere 56
5.1 R´esultatsprincipaux ................................. 57
5.2 Lemmespr´eliminaires................................. 58
5.3 Preuve des r´esultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Conclusion et perspectives 72
Bibliographie 74

Introduction g´en´erale
L’objet de cette th`ese est d’´etudier l’existence et la multiplicit´e des solutions positives pour
les probl`emes aux limites quasilin´eaires du type
−(ϕp(u0))0=g(u) dans (0,1) ,
u(0) = u(1) = 0,(0.1)
o`u ϕp(y) = |y|p−2y,y∈R,p > 1 et g:R+−→ Rest une fonction continue.
Concernant le cas p= 2,l’op´erateur p−Laplacian u7−→ −(ϕp(u0))0est un op´erateur
lin´eaire, contrairement au cas p6= 2, cet op´erateur est un op´erateur elliptique non lin´eaire.
Plusieurs m´ethodes ont ´et´e utilis´ees pour l’´etude les probl`emes du type (0.1), citons entre
autres la m´ethode variationnelle, la m´ethode du degr´e topologique, la methode du tir et la
m´ethode de quadrature qui est notre m´ethode de travail dans cette th`ese.
Cette m´ethode a ´et´e consid´er´e pour la premi`ere fois Z. Opial en 1961 (voir [42] ), puis par
T. W. Laetsh en 1971 (voir [36] ) et apr`es par J. Smoller et A. G. Wasserman en 1989 (voir [58] ).
Concernant les probl`emes aux limites faisant intervenir l’op´erateur p−Laplacian, cette
m´ethode a ´et´e consid´er´e pour la premi`ere fois par M. Otani en 1984 (voir [46] ).
Les probl`emes aux limites faisant intervenir le p−Laplacian joue un rˆole important dans
certaines applications physiques telles que l’´elasticit´e non lin´eaire, les probl`emes de r´eaction-
diffusion, la glaciologie, la m´ecanique non-Newtonienne, les fluides dilatants et les fluides
pseudo-plastiques.
Cette th`ese est organis´ee comme suit
Dans le premier chapitre, on d´ecrit la m´ethode de quadrature qui va nous permettre de
d´etecter les solutions positives des probl`emes aux limites du type (0.1)
Le chapitre deux est consacr´e `a l’existence et la multiplicit´e des solutions positives du

Introduction g´en´erale 4
probl`eme aux limites suivant
−(ϕp(u0))0=aϕp(u)−bϕ2
p(u) + cdans (0,1) ,
u(0) = u(1) = 0,(0.2)
o`u ϕp(y) = |y|p−2y,y∈R,p > 1, a > 0, b > 0 et c > 0.
Dans le troisi`eme chapitre on ´etudie l’existence et la multiplicit´e des solutions positives pour
le probl`eme aux limites suivant
−(ϕp(u0))0=aϕp(u)−bϕ2
p(u)−cdans (0,1) ,
u(0) = u(1) = 0,(0.3)
o`u ϕp(y) = |y|p−2y,y∈R,p > 1, a > 0, b > 0 et c > 0.
Les r´esultats de ce chapitre se trouvent dans [25] .
Le chapitre quatre est consacr´e `a l’existence et la multiplicit´e des solutions positives du
probl`eme aux limites suivant :
−(ϕp(u0))0=µ−f(u) dans (0,1) ,
u(0) = u(1) = 0,(0.4)
o`u ϕp(y) = |y|p−2y,y∈R,p > 1, µ > 0 et f:R+−→ R+une fonction p−convexe c’est-`a-dire
∀p > 1,∀u > 0,(p−2) f0(u)−uf00 (u)<0.
et satisfaisant certaines conditions.
Le cinqui`eme chapitre est consacr´e au nombre exact des solutions positives du probl`eme
aux limites suivant : −(ϕp(u0))0=λ(uq+u−α) dans (0,1) ,
u(0) = u(1) = 0,(0.5)
o`u ϕp(y) = |y|p−2y,y∈R,p > 1, λ > 0, q > 0 et 0 ≤α < 1 sont des param`etres r´eels positifs.
Le probl`eme (0.5) a ´et´e ´etudi´e par Zhongli.Wei [63] pour le cas p= 2. Le but de ce chapitre
est de g´en´eraliser les r´esultats obtenus par Zhongli Wei.