Etude_dune_classe_de_problemes_aux_limites_quasilineaires.pdf

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université Abou Bekr Belkaid Tlemcen
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
THÈSE DE DOCTORAT
Option : Analyse des Equations aux dérivées partielles et applications
Présentée par
Meghnafi Mustapha
Etude d'une classe de problèmes
aux limites quasilinéaires
Soutenue en 2014 devant le jury composé de :
Président
Examinateur
Examinateur
Examinatrice
Examinateur
Invité
Directeur de thèse
Mohammed Bouchekif
Mahdi Boukrouche
Mouffak Benchohra
Djamila Hadj Slimane
Azzedine Lansari
Abdelkader Lakmeche
Mohammed Derhab
Professeur
Professeur
Professeur
Professeur
M. C. "A"
Professeur
Professeur
Université de Tlemcen
Université de Saint Etienne France
Université de Sidi Bel Abbès
Université de Tlemcen
Université de Tlemcen
Université de Sidi Bel Abbès
Université de Tlemcen
Année Universitaire : 2013-2014
Remerciements
Les premiers pas dans la recherche se font rarement seuls et sans aide ni soutien. Mon cas
ne fait pas exception et je tiens ici à remercier tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué
à l’aboutissement de ce travail.
Ensuite, je voudrais remercier mon directeur de thèse, le Professeur Mohammed Derhab,
pour la confiance qu’il m’a accordée, ainsi que pour sa disponibilité, ses compétences scientifiques, son sens de l’orientation et ses qualités humaines notamment, sa patience et sa rigueur
sans faille dans la direction de ce travail.
Je tiens à remercier, en cette occasion propice, le Professeur Mahdi Boukrouche qui a accepté de revoir et juger mon travail, ses remarques et ses conseils m’ont été très utiles. Je
le remercie encore une fois de m’avoir accueilli durant mes stages annuels dans le laboratoire
de mathématiques de Saint- Etienne, ICJ actuellement. c’est un homme de grandes qualités
humaines et scientifiques, il est toujours disponible et serviable. sa gentillesse et sa patience envers ses étudiants et ses collègues le distinguent de toute autre personne de son environnement
. C’est donc un grand honneur pour moi de le retrouver dans le jury de ma thèse.
Je remercie vivement Monsieur Mohammed Bouchekif, Professeur à l’université deTlemcen,
pour l’honneur qu’il me fait en présidant le jury de cette thèse.
Que Monsieur Mouffak Benchohra, Professeur à l’université de Sidi Belabès trouve ici l’expression de mes remerciements pour l’intéret qu’il a porté à ce travail. Je le remercie sans cesse
pour avoir accepté de participer au jury.
Je remercie vivement Madame Djamila Hadj Slimane, Professeur à l’université de Tlemcen
et Monsieur Azzedine Lansari Maı̂tre de Conférences à l’université de Tlemcen d’avoir accepté
de participer au jury
Je remercie vivement Monsieur Abdelkader Lakmeche, Professeur à l’université de Sidi Belabès, de bien vouloir participer au jury.
Je remercie enfin mes parents, qui m’ont toujours soutenu dans mes études.
Table des matières
Introduction générale
3
1 Méthode de quadrature
1.1 Régularité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Condition nécessaire et suffisante d’existence des solutions positives . . . . . . .
5
5
6
2 Sur
aux
2.1
2.2
2.3
le nombre exact des Solutions positives pour une
limites quasilinéaires
Théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . .
classe de problèmes
7
. . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . 17
3 Sur le nombre des solutions positives pour une classe de
mites quasilinéaires avec quotas constant
3.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Preuve des résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . .
problèmes aux li-
4 Sur le nombre exact des solutions positives pour une classe
limites quasilinéaires avec une non linéarité p-concave
4.1 Théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Preuve du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de problèmes aux
19
. . . . . . . . . . . 22
. . . . . . . . . . . 23
. . . . . . . . . . . 38
.
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.
.
5 Nombre exact des solutions positives pour une classe de problèmes
mites quasilinéaires avec une non linéarité singulière
5.1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Lemmes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Preuve des résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
43
44
51
52
aux li56
. . . . 57
. . . . 58
. . . . 70
Conclusion et perspectives
72
Bibliographie
74
Introduction générale
L’objet de cette thèse est d’étudier l’existence et la multiplicité des solutions positives pour
les problèmes aux limites quasilinéaires du type
− (ϕp (u0 ))0 = g (u) dans (0, 1) ,
(0.1)
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1 et g : R+ −→ R est une fonction continue.
Concernant le cas p = 2, l’opérateur p−Laplacian u 7−→ − (ϕp (u0 ))0 est un opérateur
linéaire, contrairement au cas p 6= 2, cet opérateur est un opérateur elliptique non linéaire.
Plusieurs méthodes ont été utilisées pour l’étude les problèmes du type (0.1), citons entre
autres la méthode variationnelle, la méthode du degré topologique, la methode du tir et la
méthode de quadrature qui est notre méthode de travail dans cette thèse.
Cette méthode a été considéré pour la première fois Z. Opial en 1961 (voir [42] ), puis par
T. W. Laetsh en 1971 (voir [36] ) et après par J. Smoller et A. G. Wasserman en 1989 (voir [58] ).
Concernant les problèmes aux limites faisant intervenir l’opérateur p− Laplacian, cette
méthode a été considéré pour la première fois par M. Otani en 1984 (voir [46] ).
Les problèmes aux limites faisant intervenir le p−Laplacian joue un rôle important dans
certaines applications physiques telles que l’élasticité non linéaire, les problèmes de réactiondiffusion, la glaciologie, la mécanique non-Newtonienne, les fluides dilatants et les fluides
pseudo-plastiques.
Cette thèse est organisée comme suit
Dans le premier chapitre, on décrit la méthode de quadrature qui va nous permettre de
détecter les solutions positives des problèmes aux limites du type (0.1)
Le chapitre deux est consacré à l’existence et la multiplicité des solutions positives du
Introduction générale
problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = aϕp (u) − bϕ2p (u) + c dans (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
4
(0.2)
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, a > 0, b > 0 et c > 0.
Dans le troisième chapitre on étudie l’existence et la multiplicité des solutions positives pour
le problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = aϕp (u) − bϕ2p (u) − c dans (0, 1) ,
(0.3)
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, a > 0, b > 0 et c > 0.
Les résultats de ce chapitre se trouvent dans [25] .
Le chapitre quatre est consacré à l’existence et la multiplicité des solutions positives du
problème aux limites suivant :
− (ϕp (u0 ))0 = µ − f (u) dans (0, 1) ,
(0.4)
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, µ > 0 et f : R+ −→ R+ une fonction p−convexe c’est-à-dire
∀p > 1, ∀u > 0, (p − 2) f 0 (u) − uf 00 (u) < 0.
et satisfaisant certaines conditions.
Le cinquième chapitre est consacré au nombre exact des solutions positives du problème
aux limites suivant :
− (ϕp (u0 ))0 = λ (uq + u−α ) dans (0, 1) ,
(0.5)
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, λ > 0, q > 0 et 0 ≤ α < 1 sont des paramètres réels positifs.
Le problème (0.5) a été étudié par Zhongli.Wei [63] pour le cas p = 2. Le but de ce chapitre
est de généraliser les résultats obtenus par Zhongli Wei.
Chapitre 1
Méthode de quadrature
Introduction
Dans ce chapitre on présente une méthode de quadrature qui va nous permettre d’étudier
l’existence et la multiplicité des solutions positives des problèmes aux limites du type
− (ϕp (u0 ))0 = g (u) dans (0, 1) ,
(1.1)
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1 et g : R+ −→ R une fonction continue.
1.1
Régularité des solutions
Definition 1.1 On entend par solution classique du problème (1.1), toute fonction
u ∈ C 1 ([0, 1] , R) telle que
0
i) ϕp ◦ u est de classe C 1 ([0, 1]) ,
ii) u est vérifie le problème (1.1) ,
iii) u (x) ≥ 0, pour tout x ∈ [0.1] .
Lemme 1.1 Soit u une solution du problème (1.1), alors
i) u est de classe C 2 ([0, 1]) si 1 2,
où
n
o
0
1
Z = u ∈ C ([0, 1]) : u (x) = 0 et x ∈ [0, 1] .
Preuve. Voir la proposition 2.1 dans [47] .
1.2 Condition nécessaire et suffisante d’existence des solutions positives
1.2
6
Condition nécessaire et suffisante d’existence des solutions positives
L’objet de cette partie est de donner une condition nécessaire et suffisante d’existence des
solutions positives pour le problème (1.1) .
Pour cela on a besoin de donner quelques notations et définitions.
On note par
S + = u ∈ C 1 ([0, 1]) : u > 0 dans (0, 1) , u (0) = u (1) = 0 et u0 (0) = E ≥ 0 .
Soit A+ le sous ensemble de S + constitué par les fonctions u satisfaisant :
i) u0 (0) = E > 0,
ii) u est symétique par rapport à 21 ,
iii) La dérivée de u s’annule une et une seule fois dans (0, 1) .
On note par B + le sous ensemble de S + constitué par les fonctions u satisfaisant :
i) u0 (0) = 0,
ii) u est symétique par rapport à 21 ,
iii) La dérivée de u s’annule une et une seule fois dans (0, 1) .
On note aussi par s+ (p, E) le premier zéro positif de l’équation
E p − p0 G (u) = 0,
Zu
où G (u) =
g (s) ds.
0
Maintenant on définit pour tout E ≥ 0 et p > 1 l’application temps T+ par
s+Z(p,E)
T+ (p, E) =
du
1
0
[E p − p0 G (u)] p
.
On note par
D+ = {E ≥ 0 : T+ (p, E) < +∞}
Alors on a le résultat suivant
Théorème 1.1 i) Le problème (1.1) admet une solution dans A+ si et seulement si, il existe
E > 0 tel que E ∈ D+ et T+ (p, E) = 12 et dans ce cas la solution est unique.
ii) Le problème (1.1) admet une solution dans B + si et seulement si T+ (p, 0) =
ce cas la solution est unique.
Preuve. Voir le théorème 5 dans [1] .
1
2
et dans
Chapitre 2
Sur le nombre exact des Solutions
positives pour une classe de problèmes
aux limites quasilinéaires
Introduction
L’objet de ce chapitre est d’étudier l’existence et la multiplicité des solutions positives du
problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = aup−1 − bu2p−2 + c dans (0, 1) ,
(2.1)
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, a > 0, b > 0 et c > 0.
Les problèmes du type (2.1) on fait l’objet de nombreux travaux dans les cas unidimensionnel
et multidimensionnel.
Dans [10], A. Ambrosetti et G. Mancini ont considéré le problème aux limites suivant
−∆u = λu − f (u) − h (x) dans Ω,
(1λ )
u
= 0 sur ∂Ω,
où f : R → R est une fonction de classe C 2 , f (0) = f 0 (0) = 0, sf 00 (s) > 0 pour s 6= 0,
f 0 (s) → ±∞ quand s → ±∞ et Ω est un domaine borné de RN , N ≥ 1 de frontière assez
régulière ∂Ω. On note par λ1 et λ2 la première et la deuxième valeur propre de l’opérateur
laplacien ∆.
Les auteurs ont montré que si h est suffisament petit et λ1 < λ ≤ λ2 , le problème (1λ )
admet exactement trois solutions. De plus si λ2 est simple et h petit, alors il existe ε > 0
tel que si λ1 < λ ≤ λ2 + ε, le problème (1λ ) admet exactement cinq solutions.
Dans [8], A. Ambrosetti a considéré le problème aux limites suivant :
−∆u = λu − f (u) + h (x) dans Ω
(2λ )
u
= 0 sur ∂Ω,
où f : R → R est une fonction de classe C 2 , f (0) = f 0 (0) = 0, sf 00 (s) > 0 pour s 6= 0,
8
f (s)
s→±∞ s
0,ν
lim
= +∞, Ω est un domaine borné de RN , N ≥ 1 de frontière ∂Ω de classe C 0,ν et
h ∈ C (Ω) . On note par λk la k ième valeur propre de l’opérateur laplacien ∆.
L’auteur a montré que si h = 0 et λ > λ1 , le problème (2λ ) admet exactement deux solutions
l’une positive u1 et l’autre négative u2 . De plus si λ > λ1 avec λ 6= λk , alors il existe ελ > 0
tel que si khkL2 ≤ ελ , le problème (2λ ) admet deux solutions.
Dans [52], B. Ruf a considéré le problème aux limites suivant
−∆u = u3 − λu + h (x) dans Ω,
(3λ )
∂u
= 0 sur ∂Ω,
∂n
où λ est une constante positive, Ω est un domaine borné de RN suffisament régulier et h est
une fonction donnée.
L’auteur a utilisé la théorie de singularité au sens de H. Whitney et R. Thom pour donner
une description complète de la structure des solutions pour le problème (3λ ). Il a indiqué que
si h =√ 0 et si λ > √
0, alors le problème (3λ ) admet seulement trois solutions qui sont u = 0,
u1 = λ et u2 = − λ.
Dans [15], H. Berestycki a considéré le problème aux limites suivant
−u00 = λu − f (u) dans (0, 1) ,
(4λ )
u (0) = u (1) = 0,
où λ est un paramètre réel et f : R → R est une fonction de classe C 1 et vérifie
f (r)
f (r)
= +∞ et la fonction r 7→
est strictement croissante sur
f (0) = f 0 (0) = 0, lim
r→+∞ r
r
(0, +∞).
Sous ces hypothèses, l’auteur a montré les résultats suivants
· Si λ < λ1 avec λ1 la première valeur propre de l’opérateur u 7→ −u00 , alors le problème
(4λ ) n’admet que la solution triviale u = 0.
· Si λ1 < λ ≤ λ2 avec λ2 la seconde valeur propre de l’opérateur u 7→ −u00 , le problème
(4λ ) admet exactement deux solutions u = 0 et u1 avec u1 strictement positive.
L’auteur a montré que si on change f en −f et si λ < λ1 , le problème (4λ ) admet exactement
deux solutions u = 0 et u1 avec u1 strictement positive.
Dans [29], M. Guedda et L. Veron ont considéré le problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = λϕp (u) − f (u) dans (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, λ est un paramètre réel et f : R → R est une fonction de
f (r)
est croissante sur (0, +∞) avec
classe C 1 impaire telle que la fonction r 7→ g (r) =
ϕp (r)
limg (r) = 0 et lim g (r) = +∞.
r→0
r→+∞
En utilisant la méthode de quadrature, les auteurs ont montré les résultats suivants
· Si λ < λ1 avec λ1 la première valeur propre de l’opérateur u 7→ − (ϕp (u0 ))0 , alors
le problème (5λ ) n’admet que la solution triviale u = 0,
2.1 Théorème principal
9
· Si λ1 < λ ≤ λ2 avec λ2 la seconde valeur propre de l’opérateur u 7→ − (ϕp (u0 )), le
problème (5λ ) admet exactement deux solutions u = 0 et u1 avec u1 strictement positive.
L’objet de ce travail est de montrer que les résultats obtenus concernant les solutions
positives pour le problème (5λ ) sont différents de ceux qui ont été obtenus par M. Guedda et
L. Veron si on remplace la fonction f par une fonction de la forme bϕ2p (u) − c avec b et c deux
constantes strictement positives.
Le plan du chapitre est le suivant. Premièrement, on énonce les résultats principaux de
ce chapitre. Deuxièment, on donne quelques résultats préliminaires et enfin, on démontre les
résultats principaux de ce chapitre.
2.1
Théorème principal
Théorème 2.1 On suppose que a > 0 et b > 0. Alors on a les résultats suivants
(A) Si 1 0, le problème (2.1) admet une unique solution
positive qui appartient à A+ .
p−1
P
(B) Si p > 2 et a ≥
(2k (p))p , où
1
Z
dt
k (p) =
0
h
1
p
(1 − tp ) −
1
2p−1
i p1 converge pour tout p > 2,
(1 − t2p−1 )
alors le problème (2.1) n’admet aucune solution positive.
(C) Si p > 2 et a <
p−1
P
(2k (p))p , alors il existe un réel c∗ > 0 tel que
i) Si c > c∗ , le problème (2.1) n’admet aucune solution positive,
ii) Si c ≤ c∗ , le problème (2.1) admet une unique solution positive et de plus elle est dans
A+ .
2.2
Lemmes préliminaires
Lemme 2.1 Considérons l’équation en s > 0 :
a p
b
2p−1
p
0
s −
s
+ cs = 0,
E −p
p
2p − 1
p
où p > 1, E > 0, p0 = p−1
, a > 0, b > 0 et c sont des paramètres réels.
Alors il existe un réel positif
! 1
√
p1
2 + 4bc p−1
b
p
a
+
a
a p
E∗ (p, c) =
α −
α2p−1 + cα
où α =
p−1 p
2p − 1
2b
(2.2)
2.2 Lemmes préliminaires
10
tel que
i) Si E > E∗ (p, c), l’équation (2.2) n’admet aucune solution positive,
ii) Si E = E∗ (p, c), l’équation (2.2) admet une unique solution positive s+ (p, c, E∗ ) = α,
iii) Si E < E∗ (p, c), l’équation (2.2) admet une solution positive s+ = s+ (p, c, E) ∈ (0, α).
De plus
1) La fonction E → s+ (p, c, E) est de classe C 1 dans ]0, E∗ (p, c)[ et on a
(p − 1) E p−1
∂s+
(p, c, E) =
> 0, ∀E ∈ ]0, E∗ (p, c)[ .
2p−2
∂E
a sp−1
(p, c, E) + c
+ (p, c, E) − b s+
2) lim+ s+ (p, c, E) = 0+
E→0
3) lim s+ (p, c, E) = α
E→E∗
Preuve. Pour tout p > 1 et E > 0, considérons la fonction
a p
b
p
0
2p−1
s −
s
+ cs
s 7→ ψ (p, c, E, s) = E − p
p
2p − 1
On a
∂ψ
(p, c, E, s) = −p0 asp−1 − bs2p−2 + c .
∂s
L’équation
∂ψ
(p, c, E, s) = 0, admet une unique solution positive α,
∂s
de plus
lim ψ (p, c, E, s) = E p et lim ψ (p, c, E, s) = +∞
s→0
s→+∞
Alors on a le tableau de variations suivant
∂ψ
∂s
s
(p, c, E, s)
0
α
−
+∞
+
p
E &
ψ (p, c, E, s)
p
E −p
+∞
0
a p
α
p
−
b
α2p−1
2p−1
Alors on a
h
p
p−1
a p
α
p
b
α2p−1
2p−1
i p1
+ cα %
i) Si E > E∗ (p, c) =
−
+ cα
, l’équation (2.2) n’admet aucune solution positive
ii) Si E = E∗ (p, c), l’équation (2.2) admet une unique solution positive α
iii) Si E < E∗ (p, c), l’équation (2.2) admet dans l’intervalle (0, α) une unique solution
positive s+ = s+ (p, c, E) qui satisfait
p
a p
b
2p−1
p
(p, c, E) + cs+ (p, c, E) = 0, ∀E ∈ ]0, E∗ (p, c)[ (2.3)
E −
s (p, c, E) −
s
p−1 p +
2p − 1 +
2.2 Lemmes préliminaires
11
1) Pour tout p > 1 et c > 0, considérons la fonction
a p
b
p
0
2p−1
(E, s) 7→ ψ (E, s) = E − p
s −
s
+ cs
p
2p − 1
définie dans Ω+ = (0, E∗ ) × (0, α), donc ψ ∈ C 1 (Ω+ ) et
∂ψ
(E, s) = −p0 asp−1 − bs2p−2 + c < 0 dans Ω+ .
∂s
On observe que pour tout 0 < E < E∗ et c > 0, s+ (p, c, E) appartient à l’intervalle (0, α) et
satisfait
ψ (E, s+ (p, c, E)) = 0.
(2.4)
D’après le théorème des fonctions implicites, la fonction
E 7→ s+ (p, c, E) est de classe C 1 (0, E∗ ) , R+ .
En dérivant par rapport à E l’égalité (2.3), on obtient
∂s+
(p − 1) E p−1
(p, c, E) =
> 0, ∀p > 1, ∀c > 0 et ∀E ∈ ]0, E∗ [ .
2p−2
∂E
a sp−1
(p, c, E) + c
+ (p, c, E) − bs+
2) Pour tout p > 1 fixé et c > 0, la fonction définie dans (0, E∗ ) par : E 7→ s+ (p, c, E) est
strictement croissante et de plus s+ (p, c, E) ∈ (0, α) .
Alors les deux limites
lim s+ (p, c, E) = l0 et lim s+ (p, c, E) = l∗ existent et sont finies et on a 0 ≤ l0 < l∗ ≤ α.
E→0+
E→E∗
D’autre part, pour tout p > 1 et c > 0, la fonction (E, s) → ψ (E, s) est continue dans
[0, E∗ (p, c)] × [0, α].
La fonction E 7→ s+ (p, c, E) est continue dans (0, E∗ ) et satisfait la relation (2.4).
Par passage à la limite quand E tend vers 0+ , on obtient
0 = lim+ ψ (E, s+ (p, c, E)) = ψ (0, l0 ) .
E→0
Donc l0 est un zéro qui appartient à [0, α] de l’équation ψ (0, s) = 0.
Résolvons cette dernière équation par rapport à l0 , on obtient
lim s+ (p, c, E) = 0+
E→0+
Ainsi par passage à la limite dans (2.4) quand E tend vers E∗ , on obtient
0 = lim ψ (E, s+ (p, c, E)) = ψ (E∗ , l∗ ) ,
E→E∗
donc l∗ est un zéro qui appartient à [0, α] de l’équation ψ (E∗ , s) = 0.
2.2 Lemmes préliminaires
12
Résolvons cette dernière équation par rapport à l∗ , on obtient
lim s+ (p, c, E) = α
E→E∗
Maintenant pour tout p > 1, c > 0 et E ∈ ]0, E∗ [, on définit l’application temps T+ par
Z s+ (p,c,E)
du
T+ (p, c, E) =
h
i p1 .
0
a p
b
p
0
2p−1
E − p p u − 2p−1 u
+ cu
Lemme 2.2 Pour tout p > 1 et c > 0, on a
1) lim+ T+ (p, c, E) = 0+
E→0
+∞
si 1 2,
où
Z
α
J+ (p, c) =
0
u
Z
du
[F (α) − F (u)]
1
p
et F (u) =
0
a
b
f (t) dt = up −
u2p−1 + cu.
p
2p − 1
Preuve. Pour tout p > 1 et c > 0 et E < E∗ , on a
1)
Z s+ (p,c,E)
du
T+ (p, c, E) =
h
i p1
0
b
E p − p0 ap up − 2p−1
u2p−1 + cu
−1
= (p0 ) p ×
Z s+ (p,c,E)
×
h
0
0
= (p )
−1
p
Z
= (p )
−1
p
Z
0
sp+
a
p
(p, c, E) −
b
s2p−1
2p−1 +
(p, c, E) + c s+ (p, c, E) − ap up −
1
b
u2p−1
2p−1
i p1
+ cu
s+ (p, c, E) dt
h
0
0
du
a
p
sp+ (p, c, E) (1 − tp ) −
1
b
s2p−1
2p−1 +
i p1
(p, c, E) (1 − t2p−1 ) + c s+ (p, c, E) (1 − t)
dt
h
a
p
(1 −
tp )
−
b
sp−1
2p−1 +
(p, c, E) (1 −
t2p−1 )
+
c(1−t)
sp−1
+ (p,c,E)
i p1 .
Alors
0
lim+ T+ (p, c, E) = (p )
−1
p
E→0
= (p0 )
Z
lim+
E→0
−1
p
Z
0
= 0+
0
1
dt
h
a
p
(1 −
tp )
−
b
sp−1
2p−1 +
1
lim h
E→0+
+
c(1−t)
sp−1
+ (p,c,E)
(p, c, E) (1 − t2p−1 ) +
c(1−t)
sp−1
+ (p,c,E)
(p, c, E) (1 −
t2p−1 )
i p1
dt
a
p
(1 − tp ) −
b
sp−1
2p−1 +
i p1
2.2 Lemmes préliminaires
13
2) On a
s+ (p,c,E)
Z
du
T+ (p, c, E) =
1
[E p − p0 F (u)] p
0
0
= (p )
−1
p
s+ (p,c,E)
Z
du
1
.
[F (s+ (p, c, E)) − F (u)] p
0
Donc
0
lim T+ (p, c, E) = (p )
−1
p
= (p )
−1
p
s+ (p,c,E)
du
lim
E→E∗
E→E∗
0
Z
Z
1
[F (s+ (p, c, E)) − F (u)] p
0
α
du
1
.
[F (α) − F (u)] p
0
Comme α est racine double de l’équation
F (α) − F (u) = 0,
alors on peut écrire
F (α) − F (u) = (α − u)2 φ (u) , avec φ (α) 6= 0.
Par suite
0
lim T+ (p, c, E) = (p )
E→E∗
−1
p
Z
α
du
1
2
(α − u) p (φ (u)) p
+∞
si 1 2.
0
Lemme 2.3 L’application E 7→ T+ (p, c, E) est strictement croissante sur (0, E∗ ) .
Preuve. On a
s+ (p,c,E)
Z
T+ (p, c, E) =
0
du
h
i p1
b
E p − p0 ap up − 2p−1
u2p−1 + cu
−1
= (p0 ) p ×
Z s+ (p,c,E)
0
= (p0 )
du
h
−1
p
a
p
(sp+
(p, c, E) −
T̃+ (s+ (p, c, E)) ,
up )
−
b
2p−1
2p−1
s+
(p, c, E) −
u2p−1
i p1
+ c (s+ (p, c, E) − u)
2.2 Lemmes préliminaires
14
où
s+ (p,c,E)
Z
du
T̃+ (s+ (p, c, E)) =
[ ap (
0
sp+ (p,c,E)−up
b
− 2p−1
(p,c,E)−u2p−1
s2p−1
+
)
(
1
)+c (s+ (p,c,E)−u)] p
On a
∂T+
∂s+
d T̃+ (s+ (p, c, E))
(p, c, E) =
(p, c, E) ×
.
∂E
∂E
d s+ (p, c, E)
Posons s := s+ (p, c, E)
d T̃+ (s)
d
=
ds
ds
Z
d
=
ds
Z
=
1
p
s
0
a
p
(sp − up ) −
(s2p−1 − u2p−1 ) + c (s − u)
s
h
a p
s
p
(1 −
s
0
b
2p−1
1
0
Z
du
h
tp )
−
b
s2p−1
2p−1
(1 −
t2p−1 )
i p1 dt
+ cs (1 − t)
H (p, c, s) − H (p, c, u)
s
h
a
p
(sp − up ) −
b
2p−1
où
H (p, c, u) = (p − 1)
(s2p−1 − u2p−1 ) + c (s − u)
b
2p−1
u
+ cu .
2p − 1
On a
∂H
(p, c, u) = (p − 1) bu2p−2 + c > 0, ∀u > 0.
∂u
Comme H est strictement croissante par rapport à u, il en résulte que
H (p, c, s) − H (p, c, u) > 0.
Par suite
d T̃+ (s)
> 0.
ds
Comme
∂s+
∂E
i p1
(p, c, E) > 0, on obtient
∂T+
(p, c, E) > 0, ∀p > 1 et ∀E ∈ (0, E∗ ) .
∂E
C’est-à-dire l’application E 7→ T+ (p, c, E) est strictement croissante.
Lemme 2.4 Pour tout p > 2, on a
−1
(1) lim+ J+ (p, c) = a p k (p) ,
c→0
(2) lim J+ (p, c) = 0+ ,
c→+∞
(3) L’application c 7→ J+ (p, c) est strictement décroissante.
du,
i p+1
p
.
2.2 Lemmes préliminaires
15
Preuve. 1) On a
α
Z
du
J+ (p, c) =
1
[F (α) − F (u)] p
0
α
Z
=
h
0
du
a p
b
α − 2p−1
α2p−1 + cα − ap up −
p
1
Z
b
u2p−1
2p−1
+ cu
dt
=
h
0
a
p
(1 −
tp )
−
b
αp−1
2p−1
(1 −
t2p−1 )
+
cα1−p
(1 − t)
i p1
i p1 .
Alors
1
Z
lim+ J+ (p, c) = lim+
c→0
c→0
=a
−1
p
dt
h
0
Z
−1
p
(1 −
tp )
−
1
b
αp−1
2p−1
(1 −
t2p−1 )
+
cα1−p
i p1
(1 − t)
dt
h
0
=a
a
p
1
p
(1 − tp ) −
1
2p−1
(1 − t2p−1 )
i p1
k (p) .
(2) On a
b
a
p
p−1
2p−1
1−p
(1 − t ) −
α
1−t
+ cα (1 − t)
lim
c→+∞ p
2p − 1
"a
#
p
(1
−
t
)
b
p
= lim αp−1
−
1 − t2p−1 + cα2−2p (1 − t)
c→+∞
αp−1
2p − 1
#
!"
√
2
a + a2 + 4bc
b
4b
c
(1
−
t)
= lim
−
1 − t2p−1 +
√
2 .
c→+∞
2b
2p − 1
a + a2 + 4bc
Comme
lim
c→+∞
a+
√
a2 + 4bc
2b
!
= +∞
et
"
a
2b
b
4b2 c (1 − t)
√
lim
(1 − tp )
−
1 − t2p−1 +
√
2
c→+∞ p
a + a2 + 4bc 2p − 1
a + a2 + 4bc
b
=−
1 − t2p−1 + b (1 − t) > 0, pour tout t ∈ (0, 1)
2p − 1
alors
lim
c→+∞
a
b
p
p−1
2p−1
1−p
(1 − t ) −
α
1−t
+ cα (1 − t) = +∞.
p
2p − 1
#
2.2 Lemmes préliminaires
16
Par suite
lim J+ (p, c) = 0+
c→+∞
(3) On a
α
Z
J+ (p, c) =
h
0
du
a p
b
α − 2p−1
α2p−1 + cα − ap up −
p
1
Z
h
a
p
(1 −
tp )
−
b
αp−1
2p−1
1
Z
h
a
p
(1 −
tp )
−
(1 −
t2p−1 )
+
cα1−p
i p1
(1 − t)
dt
√
a + a2 + 4bc (1 − t2p−1 ) +
=
0
i p1
+ cu
dt
=
0
b
u2p−1
2p−1
1
4p−2
√2bc
a+ a2 +4bc
i p1 .
(1 − t)
Alors
∂J+
−1
(p, c) =
∂c
p
Z
0
−b
√
(2p−1) a2 +4bc
1
h
a
p
b
= √
p a2 + 4bc
(1 − tp ) −
Z
0
1
4p−2
a+
√
a
p
(1 −
L (t, p) =
tp )
−
)+
√
2ab(a+ a2 +4bc)+4b2 c
(1
√
√
2
a2 +4bc(a+ a2 +4bc)
h
h
a2 + 4bc (1 − t2p−1 ) +
1
Posons
On a
(1 − t
2p−1
1
4p−2
1
(2p−1)
dt
i p+1
p
(1 − t)
i
(1 − t2p−1 ) − (1 − t) dt
√
a + a2 + 4bc (1 − t2p−1 ) +
∂L
(t, p) = 1 − t2p−2 > 0, pour tout t ∈ (0, 1) ,
∂t
L (0, p) =
2 − 2p
< 0 et L (1, p) = 0,
2p − 1
on obtient que
L (t, p) < 0, pour tout t ∈ (0, 1) .
Ainsi
√2bc
a+ a2 +4bc
1
1 − t2p−1 − (1 − t) .
(2p − 1)
Comme
− t)
∂J+
(p, c) < 0, pour tout p > 2 et c > 0.
∂c
C’est-à-dire l’application c 7→ J+ (p, c) est strictement décroissante.
√2bc
a+ a2 +4bc
(1 − t)
i p+1
p
2.3 Preuve du théorème principal
2.3
17
Preuve du théorème principal
Preuve de l’assertion (A)
On suppose que 1 0, b > 0 et c > 0
D’après les lemmes 2.2 et 2.3, on a
• lim+ T+ (p, c, E) = 0+ ,
E→0
• lim T+ (p, c, E) = +∞,
E→E∗
• E 7→ T+ (p, c, E) est strictement croissante.
Donc l’équation de la variable E, T+ (p, c, E) = 12 admet une unique solution positive dans
(0, E∗ ).
Par le théorème (1.1), il résulte que le problème (2.1) admet une unique solution positive
et de plus elle est dans A+ .
Preuve de l’assertion (B)
(2k (p))p .
On suppose que p > 2 et a ≥ p−1
p
D’après les lemmes 2.2 et 2.3, on a
• lim+ T+ (p, c, E) = 0+ ,
E→0
−1
• lim T+ (p, c, E) = (p0 ) P J+ (p, c) ,
E→E∗
• l’application E 7→ T+ (p, c, E) est strictement croissante.
Donc l’équation de la variable E, T+ (p, c, E) = 21 admet une solution positive dans (0, E∗ )
−1
si et seulement si (p0 ) P J+ (p, c) ≥ 12 .
Maintenant par le lemme 2.4, on a
−1
• (p0 ) P limJ (p, c) < 12 ,
c→0
0
• (p )
−1
P
lim J+ (p, c) = 0,
c→+∞
• l’application c 7→ J+ (p, c) est strictement décroissante.
−1
Donc il n’existe aucun réel c > 0 tel que (p0 ) P J+ (p, c) ≥ 21 et par suite l’équation de la
variable E, T+ (p, c, E) = 21 n’admet aucune solution positive.
Ainsi par le théorème (1.1), il résulte que le problème (2.1) n’admet aucune solution positive.
Preuve de l’assertion (C)
On suppose que p > 2 et a < p−1
(2k(p))p .
p
D’après les lemmes 2.2 et 2.3, l’équation de la variable E, T+ (p, c, E) =
0
positive dans ]0, E∗ ] si et seulement si (p )
Maintenant par le lemme 2.4, on a
−1
• (p0 ) P lim+ J+ (p, c) > 12 ,
−1
P
J+ (p, c) ≥
1
.
2
c→0
0
• (p )
−1
P
lim J+ (p, c) = 0,
c→+∞
• l’application c 7→ J+ (p, c) est strictement décroissante.
Donc il existe un réel c∗ > 0 tel que
−1
• (p0 ) P J+ (p, c) < 12 , pour tout c > c∗ ,
1
2
admet une solution
2.3 Preuve du théorème principal
18
−1
• (p0 ) P J+ (p, c∗ ) = 12 ,
−1
• (p0 ) P J+ (p, c) > 12 , pour tout c < c∗ .
Donc l’équation de la variable E, T+ (p, c, E) = 21 admet une solution positive dans ]0, E∗ ]
si et seulement si c ≤ c∗ . Ainsi par le théorème (1.1), il résulte que
i) Si c > c∗ , le problème (2.1) n’admet aucune solution positive,
ii) Si c ≤ c∗ , le problème (2.1) admet une unique solution positive et de plus elle est A+ .
Chapitre 3
Sur le nombre des solutions positives
pour une classe de problèmes aux
limites quasilinéaires avec quotas
constant
Introduction
L’objet de ce chapitre est d’étudier l’existence et la multiplicité des solutions positives du
problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = aϕp (u) − bϕ2p (u) − c dans (0, 1) ,
(3.1)
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, a > 0, b > 0 et c > 0.
Les problèmes du type (3.1) ont été étudiés par plusieurs auteurs.
Dans [20], les auteurs ont étudié le problème aux limites suivant

00
 −u = au − bu2 − c dans (0, 1) ,
u > 0 dans (0, 1) ,

u (0) = u (1) = 0,
(1c )
où a, b et c sont des paramètres réels positifs.
En utilisant la méthode de quadrature, ils ont montré les résultats suivants
· Si a ≤ λ1 = π 2 , alors le problème (1c ) n’admet aucune solution positive.
· Il existe c0 = c0 (a, b) tel que si c > c0 , alors le problème (1c ) n’admet aucune solution
positive.
2
2
2
2 2
3
a−π
3
3a+π
a−π
3(a−π 2 )
2
(
)(
)
(
)
6π
2
2
· Si π < a < 3π et c < c1 = min
,
, b
=
, alors le
32b
64b
32b
problème (1c ) admet au moins une solution positive.
· Si π 2 < a < 2π 2 et c < c1 , alors alors le problème (1c ) admet au moins deux solutions
positives.
20
Dans [43], les auteurs ont considéré le problème aux limites suivant

 −∆u = au − bu2 − cθ (x) dans Ω,
u > 0 dans Ω,

u = 0 sur ∂Ω,
(2c )
où a, b et c sont des paramètres réels positifs, Ω est un domaine borné régulier de Rn , n ≥ 1
avec un bord ∂Ω de classe C 2 et θ : Ω −→ R une fonction de classe C α Ω , 0 < α < 1,
strictement positive sur Ω avec max θ (x) = 1 et θ (x) = 0 sur ∂Ω.
x∈Ω
En utilisant un argument de perturbation basé sur le théorème des fonctions implicites, ils
ont montré les résultats suivants
· Si a ≤ λ1 , où λ1 est la première valeur propre de l’opérateur −∆ avec les conditions de
Dirichlet, alors le problème (2c ) n’admet aucune solution positive.
· Si a > λ1 , alors il existe un réel c0 (a, b) tel que si c < c0 (a, b), le problème (2c ) admet
une solution positive.
· Si a > λ1 , alors il existe un réel c1 (a, b) tel que si c > c1 (a, b), le problème (2c ) n’admet
aucune solution positive.
· Si b > 0, alors il existe δ > 0 tel que pour tout a ∈ (λ1 , λ1 + δ), le problème (2c ) admet
exactement deux solutions positives pour 0 ≤ c < c2 , exactement une solution positive
pour c = c2 et n’admet aucune solution positive pour c > c2 .
Dans [44] , les auteurs ont étudié le problème aux limites suivant

 −∆p u = aup−1 − uγ−1 − c h (x) dans Ω,
u > 0 dans Ω,
(3c )

u = 0 sur ∂Ω,
où ∆p désigne l’opérateur p−Laplacien défini par ∆p u := div |∇u|p−2 ∇u , p > 1, γ > p, a et c
sont deux constantes positives, Ω est un domaine borné de RN avec un bord ∂Ω de classe C 1,α ,
0 < α < 1 et connexe (si N = 1, on suppose que Ω un interval ouvert borné) h : Ω −→ R est
une fonction continue avec h (x) ≥ 0 pour x ∈ Ω, h (x) 6= 0, max h (x) = 1 et h (x) = 0 sur ∂Ω.
x∈Ω
En utilisant le principe du maximum et la méthode des sous et sur solution, ils ont montré
les résultats suivants
· Si a ≤ λ1 (p), où λ1 (p) la première valeur propre de l’opérateur −∆p avec des conditions
de Dirichlet, le problème (3c ) n’admet aucune solution positive.
· Si a > λ1 (p) et c assez grand, alors le problème (3c ) n’admet aucune solution positive.
· Si a > λ1 (p), alors il existe c0 (a) > 0 tel que si 0 < c < c0 (a), le problème (3c ) admet
1
p−1
une solution positive u de classe C 1,α Ω satisfait u (x) ≥ cλ1h(x)
pour tout x ∈ Ω.
(p)
· Si a > λ1 (p), alors il existe c1 (a) ≥ c0 (a) tel que pour 0 < c < c1 (a), le problème (3c )
admet un maximal des solutions positives et pour c > c1 (a), le problème (3c ) n’admet
aucune solution positive.
· Si c > c1 , le problème (3c ) n’admet aucune solution positive.
Dans [6], les auteurs ont étudié l’existence des solutions positives faibles du problème aux
limites suivant
21

 −∆p u = am (x) up−1 − buγ−1 − ch (x) dans Ω,
u
> 0 dans Ω,

u
= 0 sur ∂Ω,
(4c )
où ∆p désigne l’opérateur p−Laplacien défini par ∆p := div |∇u|p−2 ∇u , p > 1, γ > p, a
et c sont des constantes positives, Ω est domaine borné de RN , N ≥ 3, avec ∂Ω de classe C 1,β ,
0 < β < 1 et connexe. le poinds m satisfait m ∈ C (Ω) et m (x) ≥ m0 > 0 pour tout x ∈ Ω,
kmk∞ = l < ∞ et h : Ω → R est une fonction de classe C 1,α Ω , h (x) ≥ 0 pour x ∈ Ω, h ne
s’annule pas dans Ω, maxh (x) = 1 et h (x) = 0 pour x ∈ ∂Ω.
x∈Ω
En utilisant le principe du maximum et la méthode des sous et sur solutions, ils ont montré
les résultats suivants
· Si a ≤ λ1 , où λ1 est la première valeur propre du problème de Dirichlet suivant
−∆p u = λm (x) |u|p−2 u in Ω,
u
= 0 on ∂Ω,
alors le probleme (4c ) n’admet
aucune solution positive
Z
γ−1
(al) γ−p
· Si a > λ1 et c >
p−1
b γ−p
m(x)dx
ZΩ
, alors le problème (4c ) n’admet aucune solution positive.
h(x)dx
Ω
λ1 (p)
· Si a >
, où λ1 (p) est la première valeur propre de l’opérateur −∆p avec des condim0
tions de Dirichlet, alors il existe c0 (a, m0 ) > 0 tel que si 0 < c < c0 (a) , alors le probleme
1
ch (x) p−1
pour tout x ∈ Ω.
(4c ) admet une solution positive u telle que u (x) ≥
λ1 (p)
L’objet de ce chapitre est d’amélliorer et de généraliser les résultats obtenus dans [20] .
Notre chapitre est divisé en trois parties. Dans la première, on énonce le résultat principal.
La deuxième partie est consacrée à quelques résultats préliminaires et dans la dernière partie,
on démontre le résultat principal de ce chapitre.
Proposition 3.1 Si a ≤ λ1 (p), alors le problème (3.1) n’admet aucune solution positive,
où λ1 (p) est la première valeur propre de l’opérateur p-Laplacien.
Preuve. Soit u une solution positive du problème (3.1). Multiplions l’équation dans (3.1) par
u, on obtient
0
p−2
− |u0 | u0 u = aup − bu2p−1 − cu.
Par suite
Z
−
0
1
0
p−2
|u (x)|
Z
0
u (x) u (x) dx =
0
0
1
aup (x) − bu2p−1 (x) − cu (x) dx.
3.1 Résultats principaux
On a
1
Z
−
22
p−2
0
|u (x)|
Z
0
0
u (x) u (x) dx =
0
1
p
|u0 (x)| dx,
0
il en résulte que
Z
1
0
Z
p
1
aup (x) − bu2p−1 (x) − cu (x) dx.
|u (x)| dx =
0
(3.2)
0
En utilisant l’inégalité
1
Z
Z
p
0
|u (x)| dx ≥ λ1 (p)
1
up (x) dx.
(3.3)
0
0
Alors d’après (3.2) et (3.3), on obtient
Z 1
Z
p
λ1 (p)
u (x) dx ≤
0
1
aup (x) − bu2p−1 (x) − cu (x) dx.,
0
c’est-à-dire
Z
1
Z
p
u dx ≥ b
(a − λ1 (p))
u
0
0
1
2p−1
Z
1
u (x) dx.
(x) dx + c
0
Comme u > 0 sur (0, 1), b > 0 et c > 0, on obtient que si a ≤ λ1 (p), le problème (3.1) n’admet
aucune solution positive.
Proposition 3.2 Si a > 0, b > 0 et c >
positive.
a2
,
4b
alors le problème (3.1) n’admet aucune solution
Preuve. Soit u une solution positive du problème (3.1) et on suppose que c >
Pour tout u > 0, on pose
f (u) = aup−1 − bu2p−2 − c.
a2
4b
L’étude des variations de la fonction f montre que f est strictement négative. Donc par le
principe du maximum le problème (3.1) n’admet aucune solution postive.
Maintenant on s’interesse à l’existence des solutions positives pour tout a > λ1 (p), b > 0 et
2
c < a4b , alors on a les résultats suivants
3.1
Résultats principaux
2
a
Théorème 3.1 On suppose que a > λ1 (p), b > 0 et 0 < c < c∗ = 2p−1
. Alors on a
2
p
4b
p
p
(A) Si 1 p−1
λ1 (p), alors il existe un réel c0 ∈ (0, c∗ ) tel que
i) Si c < c0 , le problème (3.1) admet une unique solution positive et de plus elle est dans
A+ .
ii) Si c = c0 , le problème (3.1) admet exactement deux solutions positives, une dans A+ et
l’autre dans B + .
3.2 Lemmes préliminaires
23
p
2
(2p−1)(a−λ1 (p))2
p
a
alors le
(B) Si 1 < p ≤ 2 et λ1 (p) < a ≤ p−1
λ1 (p) et c < min (p+1)
,
2
4b
b
problème (3.1) admet deux solutions positives et de plus elles sont dans A+ .
2p+1
p 1 p−2
,
, où β (., .) est la fonction Béta d’Euler définie
(C) Si p > 2 et a ≥
β
p
p
(p − 1)p−1
par
Z1
β (x, y) = tx−1 (1 − t)y−1 dt, pour tout x > 0et y > 0,
0
alors le problème (3.1) n’admet aucune
positive. i
h solution
p
p
(D) Si p > 2 et λ1 (p) < a ≤ min p−1
λ1 (p) , 2p mp (p) , où m est défini par
0
m (p) = (p )
−1
p
Z
0
1
dt
h
1
p
(1 −
tp )
−
1
2p−1
(1 −
i p1 ,
t2p−1 )
alors, le problème (3.1) admet exactement deux solutions positives et de plus elles sont dans
A .
+
3.2
Lemmes préliminaires
Lemme 3.1 Considérons l’équation en s dans R+
b
a p
p
0
2p−1
E −p
s −
s
− cs = 0
p
2p − 1
p
où p > 1, E ≥ 0, p0 = p−1
, a > λ1 (p), b > 0 et 0 < c <
Alors, il existe un réel positif
p
E∗ (p, c) =
p−1
b
a p
α −
α2p−1 − cα
p
2p − 1
a2
4b
p1
sont des paramètres réels.
où α =
(3.4)
a+
√
a2 − 4bc
2b
1
p−1
> 0,
tel que
1) Si E > E∗ (p, c), l’équation (3.4) n’admet aucune solution positive,
2) Si E = E∗ (p, c), l’équation (3.4) admet une unique solution positive s+ (p, c, E) = α,
3) Si E ∈ [0, E∗ (p, c)[, l’équation (3.4) admet une solution positive s+ = s+ (p, c, E) .
De plus
4) La fonction E → s+ (p, c, E) est de classe C 1 dans ]0, E∗ (p, c)[ et on a
∂s+
(p − 1) E p−1
> 0, ∀E ∈ ]0, E∗ (p, c)[
(p, c, E) =
2p−2
∂E
a sp−1
(p, c, E) − c
+ (p, c, E) − b s+
3.2 Lemmes préliminaires
24
Preuve. Si E = 0, on a
a p−1
b
s
−
s2p−2 − c = 0.
p
2p − 1
2p−1
Cette équation admet deux racines s1 et s2 pour tout c < p2


s1 = (2p − 1) 
a
p
−
q
a2
p2
4bc
2p−1
−
a2
4b
où
1
 p−1

2b
= s+ (p, c) ,
et


s2 = (2p − 1) 
a
p
+
q
a2
p2
4bc
2p−1
−
1
 p−1

2b
Donc on prend s1 qui est le premier zéro positif et le note s+ (p, c).
2
a
Supposons maintenant que E > 0. Pour tout p > 1 et 0 < c < 2p−1
, considérons
2
p
4b
∗
la fonction Ψdéfinie sur R+ par
b
a p
P
0
2p−1
s → Ψ (p, E, s, c) = E − p
s −
s
− cs
p
2p − 1
On a
∂Ψ
(p, E, s, c) = −p0 asp−2 − bs2p−2 − c
∂s
Cette dernière équation admet deux racines distinctes réelles
γ=
a−
√
a2 − 4bc
2b
1
p−1
et α =
a+
√
1
a2 − 4bc p−1
2b
Alors, on a le tableau de variations suivant
s
∂ψ
∂S
0
(p, c, E, s)
+
%
ψ (p, c, E, s)
Ep
γ
0
Ψ(γ)
&
−
α
0
+∞
+
+∞
%
b
E p − p0 ap αp − 2p−1
α2p−1 − cα
D’après ce tableau,
il résulte que
b
p
0 a p
1) Si E − p p α − 2p−1
α2p−1 + cα > 0, c’est-à-dire
h
i p1
p
a p
b
2p−1
E > E∗ (p, c) = p−1
α
−
α
−
cα
, l’équation (3.4) n’admet aucune solution
p
2p−1
positive,
3.2 Lemmes préliminaires
25
b
2) Si E p − p0 ap αp − 2p−1
α2p−1 + cα = 0, c’est-à-dire E = E∗ (p, c), l’équation (3.4) admet
une uniquesolution positive s+ (p,c, E∗ ) = α,
b
3) Si E p − p0 ap αp − 2p−1
α2p−1 + cα < 0, c’est-à-dire E < E∗ (p, c), l’équation (3.4) admet
une unique solution positive s+ = s+ (p, c, E) ∈ (γ, α) qui satisfait
a p
b
p
2p−1
P
s (p, c, E) −
s
(p, c, E) − cs+ (p, c, E) = 0,
(3.5)
E −
p−1 p +
2p − 1 +
pour tout E ∈ [0, E∗ [
4) En dérivant l’équation (3.5) par rapport à E, on obtient
(p − 1) E p−1
∂s+
(p, c, E) =
> 0, pour tout E ∈ (0, E∗ (p, c)) .
2p−2
∂E
a sp−1
(p, c, E) − c
+ (p, c, E) − b s+
Lemme 3.2 Pour tout p > 1 et 0 < c <
2p−1
p2
a2
,
4b
on a
1) lim+ s+ (p, c, E) = s+ (p, c)
E→0
2) lim s+ (p, c, E) = α
E→E∗
Preuve. 1) Supposons que
lim s+ (p, c, E) = l0 .
E→0+
Par passage à la limite quand E tend vers 0+ dans (3.5), on obtient
b
a p
l0 −
l2p−1 − cl0 = 0.
p
2p − 1 0
Donc l0 est un zéro de l’équation
b
a p
s −
s2p−2 − cs = 0,
p
2p − 1
alors
"
l0 = (2p − 1)
a
±
p
s
a2
p2
−
4bc
2p − 1
1
!# p−1
.
Comme la fonction E → s+ (p, c, E) est strictement croissante, il résulte que
"
lim+ s+ (p, c, E) = (2p − 1)
E→0
= s+ (p, c)
a
−
p
s
a2
p2
−
4bc
2p − 1
1
!# p−1
3.2 Lemmes préliminaires
26
2) La fonction E → s+ (p, c, E) est strictement croissante et comme s+ (p, c, E) < α.
Alors lim s+ (p, c, E) = l∗ existe et est finie.
E→E∗
Pour tout p > 1 et c ∈ (0, c∗ ), la fonction (E, s) 7−→ Ψ (p, E, s, c) est continue dans
(0, E∗ ) × [γ, α] .
La fonction E 7−→ s+ (p, c, E) est continue dans (0, E∗ (p, c)) et satisfait
Ψ (p, E, s+ (p, c, E) , c) = 0,
c’est-à-dire
p
a p
b
2p−1
E =
s (p, c, E) −
s
(p, c, E) − cs+ (p, c, E) .
p−1 p +
2p − 1 +
P
(3.6)
Par passage à la limite quand E tend vers E∗ dans (3.6), on obtient
Ψ (p, E∗ , l∗ , c) = 0.
Donc l∗ est un zéro appartenant à ]γ, α] de l’équation
Ψ (p, E∗ , s+ (p, c, E) , c) = 0.
Résolvons cette dernière équation par rapport à l∗ , on obtient
lim s+ (p, c, E) = α
E→E∗
Maintenant, pour tout p > 1, 0 < c < c∗ et E ∈ (0, E∗ ), on définit l’application temps T+
par :
Z s+ (p,c,E)
du
T+ (p, c, E) =
h
i p1 .
0
a p
b
p
0
2p−1
E − p p u − 2p−1 u
− cu
On définit aussi pour tout p > 1 et 0 < c < c∗ , l’application
Z s+ (p,c)
du
h+ (p, c) =
i p1 .
h
0
a
b
−p0 p up − 2p−1 u2p−1 − cu
Lemme 3.3
pour tout p > 1 et 0 < c < c∗ , on a
1) lim+ T+ (p, c, E) = h+ (p, c)
E→0
+∞
si 1 2,
E→E
où
Z α
−1
du
a p
b
0 P
J+ (p, c) = (p )
u −
u2p−1 − cu.
1 et F (u) =
p
2p − 1
0 [F (α) − F (u)] p
3.2 Lemmes préliminaires
27
Preuve. Pour tout p > 1 et 0 < c <
1)
2p−1
p2
a2
,
4b
s+Z
(p,c,E)
lim+ T+ (p, c, E) = lim+
E→0
E→0
on a
du
h
0
Ep
−
p0
a p
u
p
−
b
u2p−1
2p−1
Z1
= lim+
E→0
0
s+ (p, c, E) dt
h
E p − p0 ap sp+ (p, c, E) tp −
Z1
h
−p0
a p
s
p +
(p, c) tp
s+
Z(p,c)
−
b
s2p−1
2p−1 +
(p, c) t2p−1
(p, c, E) t2p−1
i p1
− cs+ (p, c, E) t
i p1 dt
− cs+ (p, c) t
du
=
0
b
s2p−1
2p−1 +
s+ (p, c)
=
0
− cu
i p1
h
−p0 ap up −
b
u2p−1
2p−1
− cu
i p1
= h+ (p, c) .
2)
s+ (p,c,E)
Z
T+ (p, c, E) =
du
1
[E p − p0 F (u)] p
0
0
= (p )
−1
p
s+ (p,c,E)
Z
1
[F (s+ (p, c, E)) − F (u)] p
s+ (p, c, E)
0
0
= (p )
du
−1
p
1
Z
1
0
dt..
[F (s+ (p, c, E)) − F (s+ (p, c, E) t)] p
Alors
0
lim T+ (p, c, E) = (p )
E→E∗
−1
p
Z
lim
E→E∗
1
s+ (p, c, E)
1
dt
[F (s+ (p, c, E)) − F (s+ (p, c, E) t)] p
Z 1
−1
α
= (p0 ) p
1 dt
0
[F (α) − F (αt)] p
Z α
−1
du
0 p
= (p )
1 .
0
[F (α) − F (u)] p
0
comme α est une racine double de l’équation F (α) − F (u) = 0, alors on peut écrire
F (α) − F (u) = (α − u)2 ψ (u) , avec ψ (α) 6= 0.
3.2 Lemmes préliminaires
28
par suite
0
lim T+ (p, c, E) = (p )
−1
p
α
Z
du
2
E→E∗
=
1
(α − u) p (ψ (u)) p
0
+∞
si 1 2.
Lemme 3.4 Pour tout p > 2, on a
−1
p
1) lim+ J+ (p, c) = a
m (p)
c→0
2) lim J+ (p, c) = a
−1
p
p1
2
(p−1)p−1
c→c∗
β
1 p−2
, p
p
3) l’application c 7−→ J+ (p, c) est strictement croissante.
Preuve. Pour tout p > 2, on a
1)
Z α
−1
du
0 P
J+ (p, c) = (p )
1
0 [F (α) − F (u)] p
0
= (p )
−1
P
α
Z
0
0
= (p )
−1
P
dt
h
a p
α
p
−
b
α2p−1
2p−1
− cα −
1
Z
a p
u
p
−
b
u2p−1
2p−1
i p1
− cu
dt
h
0
a
p
(1 −
tp )
−
b
αp−1
2p−1
(1 −
t2p−1 )
−
cα1−p
(1 − t)
i p1 .
Alors
0
lim+ J+ (p, c) = (p )
c→0
=a
−1
p
lim+
c→0
0
(p )
−1
P
0
Z
0
=a
−1
p
1
Z
−1
P
m (p) .
dt
h
a
p
(1 −
tp )
−
1
b
αp−1
2p−1
(1 −
t2p−1 )
dt
h
1
p
(1 − tp ) −
1
2p−1
i p1
(1 − t2p−1 )
−
cα1−p
(1 − t)
i p1
3.2 Lemmes préliminaires
29
2)
Z
−1
P
0
lim J+ (p, c) = (p )
c→c∗
c→c∗
Z
−1
c→c∗
=a
dt
0
(p )
h
0
= (p0 ) P lim
−1
p
1
lim
a
p
−
b
αp−1
2p−1
(1 − tp ) −
√
a+ a2 −4bc
4p−2
(1 −
tp )
1
a
p
Z1
−1
P
−
cα1−p
i p1
(1 − t)
dt
h
0
(1 −
t2p−1 )
(1 − t2p−1 ) −
√2bc
a+ a2 −4bc
i p1
(1 − t)
dt
1
i
1
1
(t − tp ) + 2p
(t2p−1 − t) p
p
p1 1 p−2
2
β
,
.
=
p p
a (p − 1)p−1
0
h
3) on a
α
Z
J+ (p, c) =
h
0
du
a p
b
α − 2p−1
α2p−1 − cα − ap up −
p
b
u2p−1
2p−1
− cu
i p1 .
En faisant le changement de variable u = αt, on obtient
Z 1
dt
J+ (p, c) =
h
i p1 .
0
a
b
(1 − tp ) − 2p−1 αp−1 (1 − t2p−1 ) − cα1−p (1 − t)
p
Comme α =
1
√
a+ a2 −4bc p−1
,
2b
alors
1
Z
J+ (p, c) =
h
0
a
p
(1 −
tp )
1
4p−2
−
a+
√
dt
a2 − 4bc (1 − t2p−1 ) −
√2bc
a+ a2 −4bc
i p1
(1 − t)
Donc
∂J+
−1
(p, c) =
∂c
p
−b
= √
p a2 − 4bc
Z
1
0
2p−1
(2p−1) a2 −4bc
h
0
Z
b
√
a
p
(1 −
tp )
−
(1 − t
h
h
a
p
(1 −
tp )
−
1
4p−2
)−
√
2ab(a+ a2 −4bc)−4b2 c
√
√
2
a2 −4bc(a+ a2 −4bc)
√
a + a2 − 4bc (1 − t2p−1 ) −
1
4p−2
1
1
(2p−1)
a+
√
(1 − t) dt
√2bc
a+ a2 −4bc
(1 − t)
i p+1
p
i
(1 − t2p−1 ) − (1 − t) dt
a2
− 4bc (1 −
t2p−1 )
−
√2bc
a+ a2 −4bc
.
i p+1
p
(1 − t)
3.2 Lemmes préliminaires
30
Posons
L (t, p) =
on a
1
1 − t2p−1 − (1 − t) ,
(2p − 1)
∂L
(t, p) = 1 − t2p−2 > 0, pour tout t ∈ (0, 1) .
∂t
Comme
L (0, p) =
2 − 2p
< 0 et L (1, p) = 0, on obtient que L (t, p) < 0, pour tout t ∈ (0, 1) .
2p − 1
Ainsi
∂J+
(p, c) > 0, pour tout p > 2 et c < c∗ .
∂c
C’est -à -dire l’application c 7−→ J+ (p, c) est strictement croissante.
Lemme 3.5 pour tout p > 1, on a
i) lim+ s+ (p, c) = 0+
c→0
1
i p−1
h
a
ii) lim s+ (p, c) = 2p−1
2p
b
c→c∗
iii)
∂s+
∂c
(p, c) =
s+ (p,c)
2p−2
asp−1
(p,c)−c
+ (p,c)−bs+
> 0, ∀c ∈ (0, c∗ )
Preuve. Pour tout p > 1, on a
i)


lim s+ (p, c) = lim+ (2p − 1) 
c→0+
a
p
−
q
a2
p2
−
4bc
2p−1

2b
c→0
1
 p−1
= 0+ .
ii)

lim s+ (p, c) =
c→c∗
c→
lim =
2p−1
p2
a2
4b
2p − 1
2p

(2p − 1) 
a
p
−
q
a2
p2
−
4bc
2p−1
2b
1
 p−1

1
p−1
a
.
b
iii) On a
a p
b
s+ (p, c) −
s2p−1 (p, c) − cs+ (p, c) = 0.
p
2p − 1 +
En dérivant cette dernière équation par rapport à c, on obtient que
∂s+
s+ (p, c)
(p, c) = p−1
> 0, pour tout c ∈ (0, c∗ ) .
2p−2
∂c
as+ (p, c) − bs+
(p, c) − c
3.2 Lemmes préliminaires
31
Lemme 3.6 Pour tout p > 1, on a
i) limh+ (p, c) =
p
2(p−1)
λ1 (p)
a
p1
.

 +∞
si 1 2.
p−1
p
p
(p−1)
c→0
iii) l’application c 7−→ h+ (p, c) et strictement croissante sur (0, c∗ ) .
Preuve. On a
Z
s+ (p,c)
du
h+ (p, c) =
h
0
−p0
a p
u
p
−
b
u2p−1
2p−1
i p1 .
− cu
En faisant le changement de variable u = s+ (p, c) t, on obtient
1 Z1
s+ (p, c)
p−1 p
h+ (p, c) =
h
i p1 dt.
p
2p−1
a p
b
− p s+ (p, c) tp − 2p−1 s+ (p, c) t2p−1 − cs+ (p, c) t
0
Comme
a p
b
s+ (p, c) −
s2p−1
(p, c) − cs+ (p, c) = 0,
p
2p − 1 +
il résulte que
1 Z1
p−1 p
h+ (p, c) =
a p
p
s (p,c)−
p +
0
=
p−1
p
s+ (p, c) dt
b
s2p−1 (p,c)
2p−1 +
s+ (p,c)
p1 Z1
a
p
(t −
tp )
+
b
sp−1
2p−1 +
a p
s
p +
s+ (p, c) t −
dt
h
0
(p, c) (t2p−1
(p, c) tp
i p1 .
− t)
i) Comme lim+ s+ (p, c) = 0+ , on obtient
c→0
lim+ h+ (p, c) =
c→0
p−1
p
p1 Z1
0
=
p−1
a
p1 Z1
p−1
a
a
t
p
− ap tp
i p1
dt
1
0
dt
h
p1
[t − tp ] p
π
(p − 1) sin πp
1
p
λ1 (p) p
=
.
2 (p − 1)
a
=
+
b
s2p−1
2p−1 +
p1
(p, c) t2p−1
3.2 Lemmes préliminaires
ii) Comme lim s+ (p, c) =
c→c∗
32
2p−1
2p
a
b
lim h+ (p, c) =
c→c∗
1
p−1
p−1
p
, on obtient
p1 Z1
dt
h
0
=a
−1
p
p−1
p
a
p
(t − tp ) +
a
2p
p1 Z1
i p1
(t2p−1 − t)
dt
h
1
p
tp )
1
2p
(t2p−1
(t −
+
− t)
0

 +∞
si 1 2.
p−1
p
p
(p−1)
i p1
iii) On a
Z
s+ (p,c)
h+ (p, c) =
du
h
0
−p ap up −
0
= (p0 )
−1
p
Z1
h
0
= (p0 )
−1
p
Z1
b
u2p−1
2p−1
− cu
i p1
s+ (p, c) dt
2p−1
a p
b
a p
s
(p,
c)
−
s
(p,
c)
t
−
s (p, c) tp −
p +
2p−1 +
p +
s+ (p, c)
1
0
b
s2p−1 t2p−1
2p−1 +
dt,
[tF (s+ (p, c)) − F (s+ (p, c) t)] p
alors
−1 ∂s
∂h+
+
(p, c) = (p0 ) p
(p, c) ×
∂c
∂c
Z1
0
L (t, s+ (p, c))
p [tF (s+ (p, c)) − F (s+ (p, c) t)]
p+1
p
dt,
où
L (t, s+ (p, c)) : = t [pF (s+ (p, c)) − s+ (p, c) f (s+ (p, c))] +
− [pF (s+ (p, c) t) − s+ (p, c) tf (s+ (p, c) t)] .
On a
h
i
∂ 2L
00
2
0
(t,
s
(p,
c))
=
−s
(p,
c)
(p
−
2)
f
(s
(p,
c)
t)
−
s
(p,
c)
tf
(s
(p,
c)
t)
+
+
+
+
+
∂t2
2p−1
(p, c) t2p−3 < 0, pour tout t ∈ (0, 1) .
= −2 (p − 1)2 bs+
Comme
L (0, s+ (p, c)) = L (1, s+ (p, c)) = 0,
i p1
3.2 Lemmes préliminaires
33
on obtient
L (t, s+ (p, c)) < 0, pour tout t ∈ (0, 1) .
Comme
∂s+
(p, c) < 0,
∂c
il résulte que
∂h+
(p, c) > 0, pour tout p > 1 et c ∈ (0, c∗ ) .
∂c
C’est -à -dire h+ (p, .) est strictement croissante.
Lemme 3.7 L’application E 7−→ T+ (p, λ, E) admet un unique point critique E ∗ .
Preuve. On a
s+Z
(p,c,E)
T+ (p, c, E) =
du
h
0
0
= (p )
−1
p
Ep
Z
−
p0
−1
p
a p
u
p
−
b
u2p−1
2p−1
i p1
− cu
s+ (p,c,E)
0
= (p0 )
du
1
b
(p,c,E)−u2p−1 )−c (s+ (p,c,E)−u)] p
[ ap (sp+ (p,c,E)−up )− 2p−1
(s2p−1
+
Ť+ (p, c, s) ,
où
Z
s := s+ (p, c, E) et Ť+ (p, c, s) =
0
s
du
h
a
p
(sp
−
up )
−
b
2p−1
(s2p−1
−
u2p−1 )
i p1 .
− c (s − u)
On a
−1 ∂s
∂T+
∂ Ť+
+
(p, c, E) = (p0 ) p
(p, c, E) ×
(p, c, s) .
∂E
∂E
∂s
+
Comme ∂s
(p, c, E) > 0, alors pour étudier les variations de T+ , il suffit d’étudier les variations
∂E
de Ť+ .
Maintenant on a
Z
∂ Ť+
d s
du
(p, c, s) =
h
i p1
∂s
ds 0 a p
p) − b
2p−1 − u2p−1 ) − c (s − u)
(s
−
u
(s
p
2p−1
Z 1
d
s
=
h
i p1 dt
ds 0 a p
b
p
2p−1
2p−1
s (1 − t ) − 2p−1 s
(1 − t
) − cs (1 − t)
p
Z s
1
H (p, c, s) − H (p, c, u)
=
i p1 du,
h
p 0
a
b
p
p
2p−1
2p−1
−u
) − c (s − u)
s p (s − u ) − 2p−1 (s
3.2 Lemmes préliminaires
34
où
H (p, c, u) = (p − 1)
b
2p−1
u
− cu .
2p − 1
Et par suite, on a
∂H
(p, c, u) = (p − 1) bu2p−2 − c ,
∂u
∂ 2H
(p, c, u) = 2 (p − 1)2 bu2p−3 > 0, pour tout u > 0,
∂u2
H (p, c, 0) = 0 et lim H (p, c; u) = +∞,
u→+∞
∂H
∂H
(p, c, 0) = (1 − p) c < 0 et lim
(p, c, u) = +∞.
u→+∞ ∂u
∂u
1
2p−2
1
Alors il existe deux réels s1 = cb 2p−2 et s2 = (2p−1)c
tels que
b
∂H
(p, c, u) < 0 dans (0, s1 ) ,
∂u
∂H
(p, c, s1 ) = 0,
∂u
∂H
(p, c, u) > 0 dans (s1 , +∞) ,
∂u
H (p, c, u) > 0 dans (s2 , +∞) ,
H (p, c, s2 ) = 0,
et
H (p, c, u) < 0 dans (0, s2 ) .
Par suite, on obtient
∂ Ť+
(p, c, s) < 0, pour tout s ∈ (0, s1 ) ,
∂s
∂ Ť+
(p, c, s) > 0, pour tout s ∈ (s2 , +∞) .
∂s
D’après ce qui précède on obtient
2p − 1 a2
∂ Ť+
∀p > 1, ∀ 0 < c <
, il existe s∗ ∈ [s1 , s2 ] tel que
(p, c, s∗ ) = 0.
2
p
4b
∂s
Maintenant, on va montrer l’unicité du point critique s∗ pour cela on va calculer la dérivée
seconde de Ť+ par rapport à s.
On a
Z
∂ 2 T̃+
p+1 s
[H (p, c, s) − H (p, c, u)]2 du
(p, c, s) =
h
i 2p+1
∂s2
p2
p
0
a
b
2
p
p
2p−1
2p−1
s p (s − u ) − 2p−1 (s
−u
) − c (s − u)
Z
1 s
Ψ (p, c, s) − Ψ (p, c, u)
+
du,
i p+1
h
p 0 2 a p
p
b
p
2p−1
2p−1
−u
) − c (s − u)
s p (s − u ) − 2p−1 (s
3.2 Lemmes préliminaires
35
où
(p − 1) (p − 2) 2p−1
bu
+ p (p − 1) u.
2p − 1
Ψ (p, c, u) =
On a
∂Ψ
(p, c, u) = (p − 1) (p − 2) bu2p−2 + p (p − 1)
∂u
Alors si p ≥ 2, on a
∂Ψ
(p, c, u) > 0,
∂u
et par suite
∂ 2 T̃+
(p, c, s) > 0.
∂s2
Maintenant, on suppose que 1 < p < 2, on a
2∂
2
T̃+
∂ T̃+
p+1
s
(p, c, s) + s
(p, c, s) =
2
∂s
∂s
p2
1
+
p
Z
0
Z
[H (p, c, s) − H (p, c, u)]2 du
s
h
0
a
p
(sp − up ) −
s
b
2p−1
i 2p+1
p
(s2p−1 − u2p−1 ) − c (s − u)
g (s) − g (u)
h
a
p
(sp
où
2
g (u) = (p − 1)
−
up )
−
b
2p−1
(s2p−1
−
u2p−1 )
− c (s − u)
du,
i p+1
p
b
2p−1
u
+ cu .
2p − 1
Comme
g 0 (u) = (p − 1)2 bu2p−2 + c > 0.
Alors, il résulte que
s2
∂ T̃+
∂ 2 T̃+
(p, c, s) + s
(p, c, s) > 0, pour tout s ∈ (s1 , s2 ) .
2
∂s
∂s
Si s∗ est un point critique, alors
∂ T̃+
∂s
(p, c, s∗ ) = 0 et par suite
∂ 2 T̃+
(p, c, s∗ ) > 0.
∂s2
Ceci montre que T̃+ est strictement convexe dans (s1 , s2 ), donc s∗ est un point critique unique
de l’application T̃+ . Par suite E ∗ est un point critique unique de l’application T+ .
Lemme 3.8 Pour tout p > 1, on a
p1
1) lim+ T+ (p, c, E ∗ ) = 12 λ1a(p)
c→0
2) L’application c 7−→ T+ (p, c, E ∗ ) est strictement croissante.
3.2 Lemmes préliminaires
36
− p1
p1 a b
p−1
1−p
∗
∗
− s+ (p, c, E ) − cs+ (p, c, E )
3) T+ (p, c, E ) ≤
,
p
p
a2
pour tout 0 < c < min c∗ ,
(p + 1)2 b
∗
1
2
λ1 (p)
p
Preuve.
1) Pour tout p > 1, on a
Zs∗
du
lim+ T+ (p, c, E ∗ ) = h
i p1
c→0
b
u2p−1 − cu
E p − p0 ap up − 2p−1
0
= (p0 )
−1
p
Zs∗
h
0
= (p0 )
−1
p
Z1
0
= (p )
−1
p
a p
s
p ∗
b
s2p−1
2p−1 ∗
(1 − tp ) −
Z1
− cu
i p1
i p1
(1 − t2p−1 ) − cs∗ (1 − t)
dt
h
0
b
u2p−1
2p−1
s∗ dt
h
0
du
2p−1
a p
b
a p
−
−
cs
−
s
s
u −
∗
∗
∗
p
2p−1
p
a
p
(1 − tp ) −
b
sp−1
2p−1 ∗
(1 − t2p−1 ) −
cs1−p
∗
i p1 .
(1 − t)
On a s1 < s∗ < s2 et comme lim+ s1 = lim+ s2 = 0+ et lim+ cs1−p
= lim+ cs21−p = 0+
1
c→0
c→0
c→0
c→0
il résulte que
∗
0
lim+ T+ (p, c, E ) = (p )
−1
p
Z1
c→0
0
=
dt
h
p−1
a
a
p
i p1
(1 − tp )
p1 Z1
dt
1
(1 − tp ) p
0
1
p−1 p 1
1
1
=
β
,1 −
a
p
p
p
p1
p−1
1 π
=
a
p sin πp
1
1 λ1 (p) p
.
2
a
2) Pour tout p > 1, c ∈ (0, c∗ ) et E ∈ (0, E∗ ), on a
−1 ∂s
∂T+
+
(p, c, E) = (p0 ) p
(p, c, E)
∂E
∂E
Z
0
s+ (p,c,E)
H(p,c,s+ (p,c,E))−H(p,c,u)
ps+ (p,c,E)[F (s+
p+1
(p,c,E))−F (u)] p
du.
(3.7)
3.2 Lemmes préliminaires
37
−1 ∂s
∂T+
+
(p, c, E) = (p0 ) p
(p, c, E)
∂c
∂c
Z s+ (p,c,E)
−1
0 p
+ (p )
0
Z
s+ (p,c,E)
0
H(p,c,s+ (p,c,E))−H(p,c,u)
ps+ (p,c,E)[F (s+
s2+
(p, c, E) − u2
ps+ (p,c,E)[F (s+
du+
p+1
(p,c,E))−F (u)] p
du.
p+1
(p,c,E))−F (u)] p
D’aprés (3.7) et (3.8), on a
∂s+
∂T+
∂s+
∂T+
(p, c, E) ×
(p, c, E) +
(p, c, E) ×
(p, c, E)
∂c
∂E
∂E
∂c
Z s+ (p,c,E)
−1
s2+ (p, c, E) − u2
0 p ∂s+
= (p )
(p, c, E)
p+1 du.
∂E
0
ps+ (p, c, E) [F (s+ (p, c, E)) − F (u)] p
−
Comme
∂s+
(p, c, E) > 0 et
∂E
s+ (p,c,E)
Z
s2+ (p, c, E) − u2
ps+ (p, c, E) [F (s+ (p, c, E)) − F (u)]
0
p+1
p
du. > 0,
il résulte que pour tout p > 1, c ∈ (0, c∗ ) et E ∈ (0, E∗ ), on a
−
Comme
∂T+
∂E
∂T+
∂s+
∂T+
∂s+
(p, c, E) ×
(p, c, E) +
(p, c, E) ×
(p, c, E) > 0.
∂c
∂E
∂E
∂c
(p, c, E ∗ ) = 0, on obtient
∂T+
(p, c, E ∗ ) > 0.
∂c
C’est-à-dire l’application c 7−→ T+ (p, c, E ∗ ) est strictement croissante.
3) On a
T+ (p, c, E ∗ ) =
Zs∗
0
du
h
i p1
p
a p
b
∗
0
2p−1
(E ) − p p u − 2p−1 u
− cu
0
= (p )
−1
p
Zs∗
h
0
= (p0 )
−1
p
Z1
0
= (p )
−1
p
a p
s
p ∗
(1 −
tp )
−
b
s2p−1
2p−1 ∗
Z1
(1 −
t2p−1 )
i p1
− cu
i p1 dt
− cs∗ (1 − t)
dt
h
0
b
u2p−1
2p−1
s∗
h
0
du
2p−1
a p
b
s − 2p−1 s∗
− cs∗ − ap up −
p ∗
a
p
(1 − tp ) −
b
sp−1
2p−1 ∗
(1 − t2p−1 ) − cs∗1−p (1 − t)
i p1
(3.8)
3.3 Preuve des résultats principaux
0
= (p )
−1
p
Z1
dt
h
0
Comme 1 − t2p−1 ≤
a
p
−
b
sp−1
2p−1 +
38
a
p
(1 −
tp )
−
b
sp−1
2p−1 +
(p, c, E ∗ ) (1
−
t2p−1 )
−
1−p
cs+
(p, c, E ∗ ) (1
i p1 .
− t)
2p − 1
(1 − tp ), 1 − t ≤ 1 − tp , pour tout t ∈ [0, 1) et
p
∗
(p, c, E ) −
cs1−p
+
a2
(p, c, E ) > 0, pour tout 0 < c < min c∗ ,
,
(p + 1)2 b
∗
on obtient que
− p1 Z1
b
dt
a
p−1
1−p
− s+ (p, c, E ∗ ) − cs+ (p, c, E ∗ )
T+ (p, c, E ∗ ) ≤
1
p p
(1 − tp ) p
0
1 − p1
1 λ1 (p) p a b p−1
1−p
∗
∗
− s (p, c, E ) − cs+ (p, c, E )
.
=
2
p
p p +
3.3
Preuve des résultats principaux
Preuve de l’assertion (A)
p
Supposons que 1 p−1
λ1 (p).
p
D’aprés les lemmes 3.3 et 3.7, on a
• lim+ T+ (p, c, E) = h+ (p, c) ,
E→0
• lim T+ (p, c, E) = +∞,
E→E∗
• l’application E 7−→ T+ (p, c, E) admet un point critique E ∗ .
Maintenant d’aprés le lemme 3.6, ona
• limh+ (p, c) < 21 ,
c→0
• lim h+ (p, c) > 12 ,
c→c∗
• l’application c 7−→ h+ (p, c) est strictement croissante.
Alors il existe un réel c0 < c∗ tel que
• h+ (p, c) < 21 , pour tout c ∈ (0, c0 ) ,
• h+ (p, c0 ) = 12 ,
• h+ (p, c) > 21 , pour tout c ∈ (c0 , c∗ ) .
Donc l’équation de la variable réelle E, T+ (p, c, E) = 12 admet une solution positive dans
[0, E∗ [ . Ainsi par le théorème (1.1), il résulte que
i) Si c < c0 , le problème (3.1) admet une unique solution positive, de plus elle est dans A+ ,
ii) Si c = c0 , le problème (3.1) admet exactement deux solutions positives, une dans B + et
l’autre dans A+ .
3.3 Preuve des résultats principaux
39
Preuve de l’assertion (B)
p
p−1
p
Supposons que 1 < p ≤ 2 et λ1 (p) < a ≤
λ1 (p) .
1
1
c 2p−2
(2p−1)c 2p−2
∗
< s+ (p, c, E ) <
et si on a
Comme
b
b
!
a2
(2p − 1) (a − λ1 (p))2
c < min
,
, on obtient que
4b
(p + 1)2 b
− p1
1 b p−1
1−p
1 λ1 (p) p a
< 12 alors d’après le lemme 3.8, il résulte
− s+ (p, c, E ∗ ) − cs+ (p, c, E ∗ )
2
p
p p
1
que , T+ (p, c, E ∗ ) <
et d’après les lemmes 3.3 et 3.7, l’équation de la variable réelle E,
2
1
T+ (p, c, E) =
admet une solution positive dans [0, E∗ (p, c)) si et seulement si 0 < c <
2
!
a2
(2p − 1) (a − λ1 (p))2
et d’après le Théorème (1.1) , il résulte que si c <
min
,
4b
(p + 1)2 b
!
a2
(2p − 1) (a − λ1 (p))2
min
,
, le problème (3.1) admet exactement deux solutions
4b
(p + 1)2 b
positives, de plus elle sont dans A+ .
Preuve de l’assertion (C)
2p+1
p 1 p−2
β p, p .
Supposons que p > 2 et a ≥
(p − 1)p−1
D’aprés le lemme 3.4 et 3.6, on a
• limh+ (p, c) < 21 ,
c→0
• lim h+ (p, c) ≤ 12 ,
c→c∗
• l’application c 7−→ h+ (p, c) est strictement croissante,
• lim J+ (p, c) < 21 ,
c→0
• lim J+ (p, c) ≤
c→c∗
1
2
• l’application c 7−→ J+ (p, c) est strictement croissante.
Donc l’équation de la variable réelle E, T+ (p, c, E) = 12 n’admet aucune solution positive
dans [0, E∗ [ .
Ainsi par le théorème (1.1), il résulte que le problème (3.1) n’admet aucune solution positive.
Preuve de l’assertion (D) p
p
λ1 (p) , 2p mp (p) et
Supposons que p > 2, a ≤ min p−1
!
2
2
a
(2p − 1) (a − λ1 (p))
– 0 < c < min
.
2 ,
4b
(p + 1) b
Dans ce cas par les lemmes 3.4 et 3.6, il résulte que si a ≤ min
p
p−1
p
λ1 (p) , 2p mp (p) ,
3.3 Preuve des résultats principaux
40
1
1
c 2p−2
2p−2
1
1
on a h (p, c) > et J (p, c) > et comme
< s+ (p, c, E ∗ ) < (2p−1)c
et si on
b
2
2
b
supposons que
!
a2
(2p − 1) (a − λ1 (p))2
, on obtient que
0 < c < min
,
4b
(p + 1)2 b
− p1
1 b p−1
1−p
1 λ1 (p) p a
∗
∗
< 12 .
− s (p, c, E ) − cs+ (p, c, E )
2
p
p p +
1
Alors d’après le lemme 3.8, on obtient que T+ (p, c, E ∗ ) < .
2
Ainsi par le Théorème (1.1) , il résulte que le problème (3.1) admet deux solutions positives
de plus elles sont dans A+ .
Chapitre 4
Sur le nombre exact des solutions
positives pour une classe de problèmes
aux limites quasilinéaires avec une non
linéarité p-concave
Introduction
L’objet de ce chapitre est de présenter quelques résultats concernant le nombre exact de
solutions positives d’une certaine classe de problemes aux limites du type
− (ϕp (u0 ))0 = µ − f (u) dans (0, 1) ,
(4.1)
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p >
1, µ > 0 et f : R+ −→ R+ satisfait les hypothèses suivantes
2
∗
(H1) f ∈ C (R+ ) ∩ C R+ .
= a où a ∈ [0, +∞[ .
(H2) lim+ ϕfp(u)
(u)
u→0
(H3) lim
f (u)
u→+∞ ϕp (u)
= b où b ∈ ]0, +∞] .
(H4) ∀p > 1, ∀u > 0, (p − 2) f 0 (u) − uf 00 (u) < 0.
0
(H5) lim+ uf (u) = 0+
u→0
f (u)
est strictement croissante.
ϕp (u)
Les problèmes aux limites avec une non linéarité p− convexe ont été étudiés par plusieurs
auteurs
Dans [12], F. Ammar Khodja a étudié le problème aux limites suivant
−u00 = u2 − µ dans (0, 1) ,
(1µ )
u (0) = u (1) = 0,
(H6) u 7→
où µ ∈ R. En utilisant la méthode de quadrature, il a montré qu’il existe un réel µ0 tel que
i) Si µ0 < µ < 0, le problème (1µ ) admet exactement deux solutions positives,
42
ii) Si µ = µ0 , ou bien 0 ≤ µ ≤ µ0 , le problème (1µ ) admet exactement une solution positive,
iii) Si µ > µ0 , le problème (1µ ) n’admet aucune solution positive.
Dans [53], B. Ruf et S. Solimini ont considéré le problème aux limites suivant
−u00 = g(u) − µ dans (0, π) ,
(2µ )
u (0) = u (π) = 0,
où g ∈ C 1 (R) , lim g 0 (s) < +∞ et lim g 0 (s) = +∞ et µ ∈ R.
s→−∞
s→+∞
En utilisant les méthodes variationnelles, ils ont montré que pour tout k ∈ N, il existe
µk ∈ R tel que pour tout µ > µk , le problème (2µ ) admet au moins k solutions distinctes.
Dans [55], C. Scovel a considéré le problème (2µ ) avec g(u) = 6u2 , il a montré que pour tout
k ≥ 1, il existe µ1 < µ2 < ... < µk tels que pour tout µ > µk , le problème (2µ ) admet au moins
k solutions distinctes.
Dans [51], M. Ramaswamy et P. N. Srikamth ont étudié le problème aux limites suivant

 −∆u = uk − µ dans B,
u>0
dans B,
(3µ )

u=0
sur ∂B,
où B est la boule unité dans RN , N ≥ 3 et µ > 0, ils ont montré que si 1 < k <
il existe un réel µ∗ > 0 tel que
i) Si µ > µ∗ , le problème (3µ ) n’admet aucune solution positive,
ii) Si µ ≤ µ∗ , le problème (3µ ) admet au moins une solution.
Dans [65], Xiaomin Zheng a étudié le problème suivant

 −∆u = f (u) − µh dans Ω,
u>0
dans Ω,

u=0
sur ∂Ω,
N +2
, alors
N −2
(4µ )
où Ω est un domaine borné de RN de frontière régulière ∂Ω, µ > 0 et f : R −→ R est une
fonction continue qui satisfait les hypothèses suivantes
i) f (0) = 0.
f (u)
= +∞ .
ii) lim
u→+∞ u
f (u)
iii) u 7→
est croissante.
u
Sous des hypohèses sur h il a montré que si µ est assez large, le problème (4µ ) n’admet
aucune solution positive.
Dans [3], I. Addou et A. Benmezai ont étudié le problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = |u|p + µ dans (0, 1) ,
(5µ )
u (0) = u (1) = 0,
où µ ∈ R et p > 1.
En utilisant la méthode de quadrature, ils ont déterminé le nombre de solutions positives
de (5µ ) .
4.1 Théorème principal
Dans [24], Nous avons étudié le problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = f (u) + µ dans (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
43
(6µ )
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, µ < 0 et f : R+ −→ R+ qui satisfait aux hypothèses
(H1 )-(H5)
En utilisant la méthode de quadrature, nous avons montré les résultats suivants
Supposons p > 1, µ < 0 et f satisfait (H1)-(H5)
(A) Si l’une des conditions suivantes est vérifiée
i) a< b ≤ λ1 (p), où
p
p
ii)
λ1 (p) ≤ a < b.
p−1
Alors pour tout µ < 0, le probleme (6µ ) n’admet aucune solution positive.
(B) Si l’une des conditions
est vérifiée
suivantes
p
p
λ1 (p), où
i) a ≤ λ1 (p) < b ≤
p − 1 p
p
λ1 (p) .
ii) λ1 (p) < a < b ≤
p−1
Alors pour tout µ < 0, le probleme (6µ ) admet exactement une solution positive et de plus
elle est dans A+.
p
p
λ1 (p) < b, alors il existe µ∗ (p, a, b) < 0 tel que
(C) Si a <
p−1
i) Si µ < µ∗ (p, a, b), le probleme (6µ ) n’admet aucune solution positive.
ii) Si µ = µ∗ (p, a, b), le probleme (6µ ) admet une unique solution positive et de plus elle est
dans B + .
iii) Si µ > µ∗ (p, a, b), le probleme (6µ ) admet une unique solution positive et de plus elle
est dans A+ .
L’objet de ce chapitre est de montrer que les résultats obtenus pour le problème (6µ ) sont
différents de ceux que nous avons obtenus dans [24] si on change la fonction p−convexe f +µ
par une fonction p−concave −µ − f où µ < 0.
Notre chapitre est divisé en quatre parties. Dans la première, on énonce le résultat principal
de ce chapitre. Dans la deuxième, on énonce et on démontre quelques résultats préliminaires.
Dans la troisième, on démontre notre résultat principal et dans la dernière partie, on donne
quelques exemples.
4.1
Théorème principal
Théorème 4.1 Supposons p > 1, µ > 0 et f satisfait (H1)-(H6)
(A) Si 1 0, le problème (4.1) admet une unique solution
positive de plus elle est dans A+ .
4.2 Lemmes préliminaires
44
(B) On suppose p > 2 et on pose par définition :
m (p) :=
p−1
p
p1 Z1
dt
0
1 p
t
p
−
1
p
p1 ,
+1−t
alors on a
i) Si a ≥ 2p mp (p) et b > 0, alors pour tout µ > 0, le probleme (4.1) n’admet aucune
solution positive,
ii) Si b ≤ 2p mp (p) et a ≥ 0, alors pour tout µ > 0, le problème (4.1) admet une unique
solution positive de plus elle est dans A+ .
(C) On suppose p > 2 et a < 2p mp (p) < b, alors il existe un réel µ∗ (p, a, b) > 0 tel que
i) Si µ > µ∗ (p, a, b), le probleme (4.1) n’admet aucune solution positive,
ii) Si µ ≤ µ∗ (p, a, b), le probleme (4.1) admet une unique solution positive et de plus elle
est dans A+ .
4.2
Lemmes préliminaires
Lemme 4.1 Considérons l’équation en s ∈ R+
E p − p0 (µs − F (s)) = 0,
où p0 =
p
,
p−1
(4.2)
Zs
µ > 0, E > 0 et F (s) :=
f (t) dt.
0
Soit α l’unique racine de l’équation µ − f (s) = 0.
i p1
h
p
Alors il éxiste un réel E∗ (p, µ) = p−1
(µα − F (α)) tel que
1) Si E > E∗ (p, µ), l’équation (4.2) n’admet aucune solution positive,
2) Si E = E∗ (p, µ), l’équation (4.2) admet une unique solution positive s+ (p, µ, E∗ ) = α,
3) Si E < E∗ (p, µ), l’équation (4.2) admet une unique solution positive s+ = s+ (p, µ, E)
appartient à (0, α) .
4) La fonction E 7→ s+ (p, µ, E) est de classe C 1 dans (0, E∗ (p, µ)) et on a
∂s+
(p − 1) E p−1
(p, µ, E) =
> 0, ∀p > 1, ∀µ > 0 et ] 0, E∗ (p, µ)[ .
∂E
µ − f (s+ (p, µ, E))
5) lim+ s+ (p, µ, E) = 0+
E→0
6) lim s+ (p, µ, E) = α.
E→E∗
4.2 Lemmes préliminaires
45
Preuve. pour tout E > 0, p > 1 et µ > 0, considérons la fonction Ψ définie sur R∗+ par
s → ψ (p, µ, E, s) = E P − p0 (µs − F (s)) .
On a
∂ψ
(p, µ, E, s) = −p0 (µ − f (s))
∂s
Comme la fonction s → µ − f (s) est strictement décroissante sur R∗+ , de plus elle est continue,
alors l’équation µ − f (s) = 0 admet une unique solution positive qu’on note α.
De plus on a
lim ψ (p, µ, E, s) = E p et lim ψ (p, µ, E, s) = +∞.
s→0
s→+∞
Alors on a le tableau de variations suivant
∂ψ
∂s
s
(p, µ, E, s)
0
α
−
+∞
+
p
ψ (p, µ, E, s)
E &
+∞
Ep −
p
p−1
[µα − F (α)] %
Par suite, on a
p
h
p
p−1
p
p−1
i p1
(µα − F (α)) ,
1) Si E −
[µα − F (α)] > 0, c’est-à-dire E > E∗ (p, µ) =
l’équation(4.2) n’admet aucune solution positive.
p
[µα − F (α)] = 0, c’est-à-dire E = E∗ (p, µ), l’équation(4.2) admet une unique
2) Si E p − p−1
solution positive s+ (p, µ, E∗ ) = α
p
[µα − F (α)] < 0, c’est-à-dire E < E∗ (p, µ), l’équation (4.2) admet dans
3) Si E p − p−1
l’intervalle (0, α) une unique solution positive s+ = s+ (p, µ, E) qui satisfait
Ep −
p
[µs+ (p, µ, E) − F (s+ (p, µ, E))] = 0, ∀E ∈ ]0, E∗ (p, µ)[ .
p−1
(4.3)
4) En dérivant l’équation (4.3) par rapport à E, on obtient
∂s+
(p − 1) E p−1
(p, µ, E) =
> 0, ∀p > 1, ∀µ > 0 et ∀E ∈ ]0, E∗ (p, µ)[ .
∂E
µ − f (s+ (p, µ, E))
5) Pour tout p > 1 fixé et µ > 0, la fonction définie dans (0, E∗ ) par : E 7→ s+ (p, µ, E) est
strictement croissante et de plus s+ (p, µ, E) ∈ (0, α) .
Alors les deux limites
lim s+ (p, µ, E) = l0 et lim s+ (p, µ, E) = l∗ existent et sont finies et on a 0 ≤ l0 < l∗ ≤ α.
E→0+
E→E∗
Pour tout p > 1 et µ > 0, la fonction (E, s) → ψ (E, s) est continue dans [0, E∗ (p, µ)] × [0, α].
La fonction E 7→ s+ (p, µ, E) est continue dans (0, E∗ ) et satisfait l’équation
ψ (E, s+ (p, µ, E)) = 0.
(4.4)
4.2 Lemmes préliminaires
46
Par passage à la limite dans(4.4) quand E tend vers 0+ , on obtient
0 = lim+ ψ (E, s+ (p, µ, E)) = ψ (0, l0 ) .
E→0
Donc l0 est un zéro qui appartient à [0, α] de l’équation ψ (0, s) = 0.
Résolvons cette dernière équation par rapport à l0 , on obtient que
lim+ s+ (p, µ, E) = 0+ .
E→0
Ainsi par passage à la limite dans (4.4) quand E tend vers E∗ , on obtient
0 = lim ψ (E, s+ (p, µ, E)) = ψ (E∗ , l∗ ) ,
E→E∗
donc l∗ est un zéro appartient à [0, α] de l’équation ψ (E∗ , s) = 0.
Résolvons cette dernière équation par rapport à l∗ , on obtient que
lim s+ (p, µ, E) = α.
E→E∗
Maintenant on définit pour tout p > 1, µ > 0 et E ∈ ]0, E∗ (p, µ)[, l’application temps T+
par
s+ (p,µ,E)
Z
T+ (p, µ, E) =
1
0
Lemme 4.2
du
[E p − p0 (µu − F (u))] p
.
pour tout p > 1 et µ > 0, on a
i) lim+ T+ (p, µ, E) = 0+ ,
E→0
+∞ si 1 2,
E→E∗
où
Z α
1
du
0 −p
J+ (p, µ) = (p )
1 .
0 [µα − F (α) − µu + F (u)] p
iii) La fonction E 7→ T+ (p, µ, E) est strictement coissante sur (0, E∗ ) .
Preuve. Pour tout p > 1 et µ > 0, on a
i)
s+ (p,µ,E)
Z
T+ (p, µ, E) =
du
1
0
[E p − p0 (µu − F (u))] p
4.2 Lemmes préliminaires
47
Comme s+ (p, µ, E) est un zéro de l’équation (4.3), il résulte que
1
0 −p
s+ (p,µ,E)
Z
T+ (p, µ, E) = (p )
du
1
[µs+ (p, µ, E) − F (s+ (p, µ, E)) − µu + F (u)] p
0
1
0 −p
Z1
dt
= (p )
h
0
1
0 −p
F (s+ (p,µ,E)t)
sp+ (p,µ,E)
−
F (s+ (p,µ,E))
sp+ (p,µ,E)
Z1
+
µ(1−t)
i p1
sp−1
+ (p,µ,E)
dt
= (p )
0
tp F (s+ (p,µ,E)t)
p
(ts+ (p,µ,E))
−
F (s+ (p,µ,E))
sp+ (p,µ,E)
+
µ(1−t)
sp−1
+ (p,µ,E)
p1
Alors
lim+ T+ (p, µ, E) = (p0 )
E→0
− p1
Z1
dt
lim
s+ (p,µ,E)→0+
0
tp F (s+ (p,µ,E)t)
p
(ts+ (p,µ,E))
−
F (s+ (p,µ,E))
sp+ (p,µ,E)
+
µ(1−t)
p−1
s+
(p,µ,E)
p1
Par l’hypothèse (H2 ) et en utilisant la rêgle de l’Hôspital, on obtient
lim T+ (p, µ, E) = 0+ .
E→0+
ii)
Z
lim T+ (p, µ, E) = lim
E→E∗
E→E∗
s+ (p,µ,E)
du
1
0
[E p − p0 (µu − F (u))] p
−1
= (p0 ) p ×
Z 1
s+ (p, µ, E) dt
lim
1 .
E→E∗ 0
[µs+ (p, µ, E) − F (s+ (p, µ, E)) − µs+ (p, µ, E) t + F (s+ (p, µ, E) t)] p
Z 1
−1
αdt
0 p
= (p )
1
0
[µα − F (α) − µαt + F (αt)] p
Z α
−1
du
0 p
= (p )
1
0
[(µα − F (α)) − (µu − F (u))] p
Comme α est racine double de l’équation :
(µα − F (α)) − (µu − F (u)) = 0,
alors on peut écrire
(µα − F (α)) − (µu − F (u)) = (α − u)2 φ (u) .avec φ (0) 6= 0 et φ (α) 6= 0.
4.2 Lemmes préliminaires
48
Par suite
0
lim T+ (p, µ, E) = (p )
E→E∗
−1
p
Z
α
du
2
1
(α − u) p (φ (u)) p
+∞
si 1 2.
0
iii) On a
s+ (p,µ,E)
Z
T+ (p, µ, E) =
du
1
[E p − p0 (µu − F (u))] p
0
1
0 −p
Z1
s+ (p, µ, E) du
= (p )
1
0
.
[µs+ (p, µ, E) − F (s+ (p, µ, E)) − µs+ (p, µ, E) t + F (s+ (p, µ, E) t)] p
Donc
1
∂T+
1 p − 1 p ∂s+
(p, µ, E) =
(p, µ, E) ×
∂E
p
p
∂E
Z1
H (µ, s+ (p, µ, E)) − H (µ, s+ (p, µ, E) t)
×
p+1 dt,
p
[µs
(p,
µ,
E)
−
F
(s
(p,
µ,
E))
−
µs
(p,
µ,
E)
t
+
F
(s
(p,
µ,
E)
t)]
+
+
+
+
0
où
H (µ, u) = p (µu − F (u)) − u (µ − f (u))
On a
∂H
(µ, u) = − (p − 1) f (u) + uf 0 (u) + (p − 1) µ > 0, d’après (H6 ) .
∂u
D’après les hypothèses (H1 ), (H2 ) et (H5 ), on a
lim+
u→0
∂H
(µ, u) = (p − 1) µ > 0.
∂u
et en utilisant l’hypothèse (H4 ), on obtient
h
i
∂ 2H
0
00
(µ, u) = − (p − 2) f (u) − uf (u) > 0.
∂u
Donc il résulte que ∂H
(µ, u) > 0, pour tout µ > 0 et u > 0.
∂u
Comme H est strictement croissante par rapport à u, il résulte que
H (µ, s+ (p, µ, E)) − H (µ, s+ (p, µ, E) t) > 0, pour tout µ > 0 et t ∈ (0, 1) .
Comme
∂s+
∂E
(p, µ, E) > 0, alors on obtient que
∂T+
(p, µ, E) > 0, pour tout p > 1, µ > 0 et E ∈ (0, E∗ ) .
∂E
4.2 Lemmes préliminaires
49
Lemme 4.3 Pour tout p > 2, on a
i) lim+ J+ (p, c) = a
−1
p
m (p) ,
µ→0
ii)
lim J+ (p, c) = b
µ→+∞
−1
p
m (p) ,
où
m (p) =
p−1
p
p1 Z1
dt
0
1 p
t
p
−
1
p
p1 .
+1−t
iii) L’application µ 7→ J+ (p, µ) est strictement décroissante.
Preuve. Pour tout p > 2, on a
i)
1
0 −p
α
Z
J+ (p, µ) = (p )
du
1
0
1
0 −p
1
Z
= (p )
[µα − F (α) − µu + F (u)] p
αdt
1
0
1
0 −p
1
Z
= (p )
0
[µα − F (α) − µαt + F (αt)] p
dt
i1 .
h
F (αt)
F (α) p
µ(1−t)
+ αp − αp
αp−1
Comme µ = f (α), on obtient
1
0 −p
Z
1
J+ (p, µ) = (p )
0
− p1
= (p0 )
Z
0
dt
h
F (αt)
αp
−
F (α)
αp
+ (1 − t)
1
f (α)
αp−1
i p1
dt
h
(αt)
tp F(αt)
p −
F (α)
αp
(α)
+ (1 − t) αfp−1
i p1
Quand µ tend vers 0+ , α tend vers le zéro de l’équation f (u) = 0
Comme u = 0 est l’unique zéro de l’équation f (u) = 0, on obtient que α tend vers 0+ .
D’après l’hypothèse (H2 ) et en utilisant la rêgle de l’Hôspital, on obtient
Z 1
1
dt
0 −p
lim+ J+ (p, µ) = (p )
h
i p1
µ→0
0
a p
a
t − p + a (1 − t)
p
1 Z
−1
p−1 p 1
dt
p
=a
h
i p1
p
0
1 p
1
t
−
+
(1
−
t)
p
p
=a
−1
p
m (p) .
4.2 Lemmes préliminaires
50
ii) Quand µ tend vers +∞, α tend vers +∞ et d’après l’hypothèse (H3 ) et en utilisant la rêgle
de l’Hôspital, on obtient
Z 1
1
dt
0 −p
lim J+ (p, µ) = (p )
i p1
h
µ→+∞
0
b
b p
t
−
+
b
(1
−
t)
p
p
p1 Z 1
−1
p−1
dt
=bp
h
i p1
p
0
1 p
1
t − p + (1 − t)
p
=b
−1
p
m (p) .
iii) On a
1
0 −p
Z
α
J+ (p, µ) = (p )
1
0
1
0 −p
Z
= (p )
∂J+
∂µ
1
(p, µ) = (p0 )− p ×
1
0 −p
×
= (p )
1
0 −p
= (p )
1
= (p0 )− p
R1
×
∂α
∂µ
0
∂µ
∂α
[pµα(1−t)+pF (αt)−pF (α)−αµ(1−t)−αtf (αt)+αf (α)]−α2 (1−t) ∂α
× ∂α
∂µ
∂µ
p+1
p
p[µα(1−t)+F (αt)−F (α)]
0
p[µα(1−t)+F (αt)−F (α)]
Rα
.
[µα (1 − t) + F (αt) − F (α)] p
dt
h
i
0
0
pµα−pF (α)+αf (α)−pµαt+pF (αt)−αµ+αµt−αtf (αt)−α2 f (α)+αf (α)αt dt
∂α
∂µ
h
p+1
p
i
0
0
(p−1)µα−pF (α)+αf (α)−α2 f (α) − (p−1)µu−pF (u)+uf (u)−αf (α)u du
0
pα[µα−F (α)−µu+F (u)]
∂α
L(u)
∂µ
Rα
0
R1
1
[µα − F (α) − µu + F (u)] p
αdt
1
0
Alors
du
pα[µα−F (α)−µu+F (u)]
p+1
p
p+1
p
du,
où
0
0
L (u) := (p − 1) µα − pF (α) + αf (α) − α2 f (α) − (p − 1) µu + pF (u) − uf (u) + αf (α) u.
On a
Comme
alors
∂L (u)
0
0
= − (p − 1) µ + (p − 1) f (u) − uf (u) + αf (α)
∂u
0
0
0
L (0) = − (p − 1) µ + αf (α) et L (α) = 0
∂ 2 L (u)
0
0
= (p − 2) f (u) − uf 00 (u) < 0 et L (α) = 0,
2
∂u
0
L (u) < 0, pour tout u ∈ (0, α) .
4.3 Preuve du théorème principal
51
Maintenant comme
L (α) = 0,
alors il resulte que
L (u) < 0, pour tout u ∈ (0, α)
et par conséquent
∂J+
(p, µ) < 0, pour tout p > 1 et µ > 0.
∂µ
4.3
Preuve du théorème principal
Preuve de l’assertion (A)
On suppose que 1 < p ≤ 2.
D’après le lemme 4.2, on a
• lim+ T+ (p, µ, E) = 0+ .
E→0
• lim T+ (p, µ, E) = +∞.
E→E∗
• La fonction E 7→ T+ (p, µ, E) est strictement croissante sur (0, E∗ ).
1
Alors l’équation de la variable E, T+ (p, µ, E) = admet une unique solution positive dans
2
(0, E∗ ).
Ainsi par le théorème (1.1), il résulte que le problème (4.1) admet une unique solutioin
positive de plus elle est dans A+ .
Preuve de l’assertion (B)
i) Supposons que p > 2, a ≥ 2p mp (p) et b ∈ ]0, +∞]
D’après le lemme 4.2, on a
• lim+ T+ (p, µ, E) = 0+
E→0
• lim T+ (p, µ, E) = J+ (p, µ)
E→E∗
• La fonction E 7→ T+ (p, µ, E) est strictement croissante sur (0, E∗ ).
Donc l’équation de la variable E, T+ (p, µ, E) = 21 admet une solution positive dans (0, E∗ )
si et seulement si J+ (p, µ) ≥ 12 .
Maintenant par le lemme 4.3, on a
• lim+ J+ (p, µ) ≤ 12
µ→0
•
lim J+ (p, µ) <
µ→+∞
1
2
• La fonction µ 7→ J+ (p, µ) est strictement décroissante sur (0, +∞) .
Donc il n’éxiste pas de réel µ > 0 tel que J+ (p, µ) ≥ 12 et par suite l’équation de la variable
E, T+ (p, µ, E) = 12 n’admet aucune solution positive.
Ainsi par le théorème (1.1), il résulte que le problème (4.1) n’admet aucune solution positive.
ii) Supposons que p > 2, b ≤ 2p mp (p) et a ∈ [0, +∞[
D’après le lemme 4.2, on a
• lim+ T+ (p, µ, E) = 0+ ..
E→0
4.4 Exemples
52
• lim T+ (p, µ, E) = J+ (p, µ) .
E→E∗
• La fonction E 7→ T+ (p, µ, E) est strictement croissante sur (0, E∗ ) .
1
Alors l’équation de la variable E, T+ (p, µ, E) =
admet une solution positive dans
2
1
(0, E∗ ) si et seulement si J+ (p, µ) ≥ .
2
Maintenant par le lemme 4.3, on a
• lim+ J+ (p, µ) > 21
µ→0
•
lim J+ (p, µ) ≥
µ→+∞
1
2
• La fonction µ 7→ J+ (p, µ) est strictement décroissante sur (0, +∞) .
1
Donc l’équation de la variable E, T+ (p, µ, E) =
admet une unique solution positive
2
dans (0, E∗ ) pour tout µ > 0.
Ainsi par le théorème (1.1), il résulte que le problème (4.1) admet une unique solution
positive et cette solution est dans A+ .
Preuve de l’assertion (C)
Supposons que p > 2 et a < 2p mp (p) < b.
1
admet une solution dans
Par le lemme 4.2, l’équation de la variable E, T+ (p, µ, E) =
2
1
(0, E∗ ) si et seulement si J+ (p, µ) ≥ .
2
• Maintenant par le lemme 4.3, on a
1
• lim+ J+ (p, µ) >
µ→0
2
1
• lim J+ (p, µ) <
µ→+∞
2
• La fonction µ 7→ J+ (p, µ) est strictement décroissante sur (0, +∞) .
Alors il est existe un unique réel µ∗ (p, a, b) > 0 tel que
1
• J+ (p, µ) > , pour tout µ < µ∗ (p, a, b),
2
1
• J+ (p, µ∗ (p, a, b)) = ,
2
1
• J+ (p, µ) < , pour tout µ > µ∗ (p, a, b) .
2
1
Donc l’équation de la variable E, T+ (p, µ, E) = admet une solution positive dans (0, E∗ )
2
si et seulement si µ ≤ µ∗ (p, a, b) .
Ainsi par le thèoreme (1.1), il résulte que
i) Si µ > µ∗ (p, a, b), le problème (4.1) n’admet aucune solution positive.
ii) Si µ ≤ µ∗ (p, a, b), le problème (4.1) admet une unique solution positive de plus elle est
dans A+ .
4.4
Exemples
Dans cette section, on donne quelques exemples pour illustrer nos résultats.
4.4 Exemples
53
Exemple 1
Considérons le problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = µ − (up + aup−1 ) dans (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
(4.5)
où p > 1, ϕp (y) = |y|p−2 y, a ≥ 0 et µ > 0.
Pour tout u > 0, on pose
f (u) = up + aup−1 .
On a
· f ∈ C 2 R∗+ ∩ C (R+ ) .
f (u)
f (u)
· lim+ p−1 = a et lim p−1 = +∞.
u→+∞ u
u→0 u
· ∀u > 0 et ∀p > 1, (p − 2) f 0 (u) − uf 00 (u) = −pup−1 < 0.
· lim+ uf 0 (u) = lim+ (pup + a (p − 1) up−1 ) = 0.
u→0
u→0
f (u)
ϕp (u)
· u 7−→
est strictement croissante.
Donc par le théorème (4.1), il résulte que
(i) On suppose que 1 0, le problème (4.5) admet une unique
solution positive et de plus elle est dans A+ .
(ii) On suppose que p > 2, alors on a
Si a ∈ [0, 2p mp (p)[, alors il existe µ∗ (p, a) < 0 tel que
· Si µ > µ∗ (p, a), le problème (4.5) n’admet aucune solution positive.
· Si µ ≤ µ∗ (p, a), le problème (4.5) admet une unique solution positive et de plus elle est
dans A+ .
(iii) Si a ∈ [2p mp (p), +∞[, alors pour tout µ > 0, le problème (4.1) n’admet aucune solution
positive.
Exemple 2
Considérons le problème aux limites suivant
(
2a
− (ϕp (u0 ))0 = µ − ( up−1 Arc tan u + aup−1 ) dans (0, 1) ,
(4.6)
π
u (0) = u (1) = 0,
où p ≥ 2, ϕp (y) = |y|p−2 y, a > 0 et µ > 0.
pour tout u ∈ R∗+ , on pose
f (u) =
2a p−1
u Arc tan u + aup−1 .
π
On a
· f ∈ C 2 R∗+ ∩ C (R+ ) .
f (u)
f (u)
· lim+ p−1 = a et lim p−1 = 2a.
u→+∞ u
u→0 u
· ∀u > 0 et ∀p ≥ 2, on a
2a
(p − 2) f 0 (u) − uf 00 (u) =
((2 − p) u2 − p) < 0
π (1 + u2 )2
4.4 Exemples
54
· lim+ uf 0 (u) = lim+
u→0
u→0
aup−1 [2 (p − 1) (1 + u2 ) Arc tan u + 2u + π (p − 1) (1 + u2 )]
.
π (1 + u2 )
=0
f (u)
· u 7−→ ϕp (u) est strictement croissante.
Donc par le théorème (4.1), il résulte que
(i) Si p = 2, alors pour tout µ > 0, le problème (4.6) admet une unique solution positive et
de plus elle est dans A+ .
(ii) Maintenant on suppose p > 2, alors on a les résultats suivants
· Si a ∈ [2p mp (p), +∞[, alors pour tout µ > 0, le problème (4.6) n’admet aucune solution
positive.
· Si a ∈ ]0, 2p−1 mp (p)], alors pour tout µ > 0, le problème (4.6) admet une unique solution
positive et de plus elle est dans A+ .
· Si a ∈ ]2p−1 mp (p), 2p mp (p)[ <, alors il existe un réel µ∗ (p, a) < 0 tel que
· Si µ > µ∗ (p, a), le problème (4.6) n’admet aucune solution positive
· Si µ < µ∗ (p, a), le problème (4.6) admet exactement une solution positive de plus cette
solution est dans A+
Exemple 3
On considère le problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = µ − (eu − 1 + aup−1 ) dans (0, 1) ,
(4.7)
u (0) = u (1) = 0,
où 1 0.
pour tout u ∈ R∗+ , on pose
f (u) = eu − 1 + aup−1 .
On a
· f ∈ C 2 R∗+ ∩ C (R+ ) .
f (u)
f (u)
a si 1 0 et ∀p ≤ 2, on a
(p − 2) f 0 (u) − uf 00 (u) = (p − 2 − u) eu < 0.
· lim+ uf 0 (u) = lim+ u (eu + a (p − 1) up−1 ) = 0.
u→0
u→0
Donc par le théorème (4.1), il résulte que pour tout alors µ > 0, le problème (4.7) admet
une unique solution positive et de plus elle est dans A+ .
Exemple 4
Considérons le problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = µ − (− ln (1 + up−1 ) + aup−1 ) dans (0, 1) ,
(4.8)
u (0) = u (1) = 0,
où p > 1, ϕp (y) = |y|p−2 y, a ≥ 1 et µ > 0.
Pour tout u ∈ R∗+ , on pose
f (u) = aup−1 − ln 1 + up−1 .
On a
4.4 Exemples
55
· f ∈ C 2 R∗+ ∩ C (R+ ) .
f (u)
f (u)
· lim+ p−1 = a − 1 et lim p−1 = a.
u→+∞ u
u→0 u
(p − 1)2 u2p−3
· ∀u > 0 et ∀p > 1, (p − 2) f (u) − uf (u) = −
< 0.
(1 + up−1 )2
p−1
· lim+ uf 0 (u) = lim+ up−1 a −
= 0.
u→0
u→0
1 + up−1
est strictement croissante.
· u 7−→ ϕfp(u)
(u)
Donc par le théorème (4.1), il résulte que
(i) On suppose que 1 0, le problème (4.8) admet une unique
solution positive et de plus elle est dans A+ .
(ii) On suppose que p > 2, alors on a les résultats suivants
· Si a ∈ [1 + 2p mp (p), +∞[, alors pour tout µ > 0, le problème (4.8) n’admet aucune
solution positive.
(iii) Si a ∈ [1, 2p mp (p)], alors pour tout µ > 0, le problème (4.8) admet une unique solution
positive et de plus elle est dans A+ .
· Si a ∈ ]2p mp (p), 1 + 2p mp (p)[, alors il existe un réel µ∗ (p, a) > 0 tel que
· Si µ ≤ µ∗ (p, a), le problème (4.8) admet une unique solution positive et de plus elle est
dans A+
· Si µ > µ∗ (p, a), le problème (4.8) n’admet aucune solution positive.
0
00
Chapitre 5
Nombre exact des solutions positives
pour une classe de problèmes aux
limites quasilinéaires avec une non
linéarité singulière
Introduction
L’objet de ce chapitre est d’étudier l’existence et la multiplicité des solutions positives du
problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = λ (uq + u−α ) dans (0, 1) ,
(5.1)
u (0) = u (1) = 0.
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, λ > 0, q > 0 et 0 ≤ α < 1 sont des paramètres réels.
Les problèmes du type (5.1) ont fait l’objet de nombreux travaux.
Dans [19], les auteurs ont considéré le problème aux limites suivant

 −∆u = u−γ1 + µuγ2 dans Ω
u
> 0 dans Ω

u
= 0 sur ∂Ω
(1µ )
où µ ≥ 0, 0 < γ1 < 1 et γ2 > 0.
Les auteurs ont montré que le problème (1µ ) admet au moins une solution pour tout µ ≥ 0
et 0 < γ2 < 1. De plus si γ2 ≥ 1, alors il existe µ∗ tel que le problème (1µ ) admet au moins une
solution si µ ∈ [0, µ∗ ) et pas de solutions si µ > µ∗ .
Dans [28] , les auteurs ont étudié l’existence et la multiplicité des solutions radiales pour le
problème aux limites suivant

 −∆p u = u−δ + uq dans Br (0) ,
u>0
dans Br (0) ,
(1δ )

u=0
sur Br (0) ,
5.1 Résultats principaux
57
où ∆p u = div |∇u|p−2 ∇u , p > 1, p − 1 < q ≤ N (p−1)+p
et Br (0) est la boule de centre 0
N −p
et de rayon r et ∂Br (0) est la frontière de la boule.
Ils ont montré l’existence d’un nombre réel r∗ tel que
i) Si r < r∗ , le problème (1δ ) admet au moins deux solutions radiales,
ii) Si r > r∗ , le problème (1δ ) n’admet aucune solution radiale.
Dans [7] , Agarwal et O’Regan ont montré que le problème aux limites suivant
”
u = δ u−α + uβ + 1 dans ( 0, 1) ,
(2δ )
u (0) = a > 0, u (1) = 0,
où 0 < α < 1, β ≥ 0 sont des paramètres réels, admet une solution positive si
(β + 1) (1 − α) a2
.
0<δ<
2 [(β + 1) a1−α + (1 − α) aβ+1 + (1 − α) (β + 1) a]
Dans [63] , Zhongli. Wei a étudié le problème aux limites suivant
−u00 = λ (uq + ku + u−m ) dans (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
(1λ )
où λ, k, q et m sont des paramètres réels positifs tels que q et m satisfont l’une des conditions
suivantes
(H1 ) 0 ≤ m ≤ 13 et 1 < q < +∞,où
q
h
i 2
1+m
1
(H2 ) 3 ≤ m ≤ 1 et 1 < q < 1 + 2(3m−1) × (3 − 5m) + (3 − 5m) + 8 (3m − 1) (1 − m)
Il a montré le résultat suivant
Supposons que (H1 ) ou (H2 ) est satisfaite, alors il existe un réel λ∗ > 0 tel que
i) Si λ > λ∗ , le problème (1λ ) n’admet aucune solution positive,
ii) Si λ = λ∗ , le problème (1λ ) admet une unique solution positive,
iii) Si λ < λ∗ , le problème (1λ ) admet exactement deux solutions positives.
Le but de ce chapitre est d’amélliorer et de généraliser les résultats obtenus dans [63] .
Notre chapitre est divisé en trois parties. Dans la première, on énonce les résultats principaux
de ce chapitre . La deuxième partie est consacrée à quelques résultats préliminaires et dans la
dernière partie, on démontre nos résultats principaux.
5.1
Résultats principaux
Théorème 5.1 On suppose que p > 1, λ > 0, q > 0 et 0 ≤ α < 1, alors on a les résultats
suivants
(A) Si 0 < q 0, le problème (5.1) admet une unique solution
positive et de plus cette solution est dans A+ .
p
(B) Si q = p − 1, alors il existe un réel λ∗ = (p − 1)
2π
p sin( πp )
tel que
i) Si λ ≥ λ∗ , le problème (5.1) n’admet aucune solution positive,
ii) Si λ < λ∗ , le problème (5.1) admet exactement une solution positive et de plus elle est
dans A+ .
5.2 Lemmes préliminaires
58
(C) Si l’une des conditions suivantes est vérifiée,
1
et p − 1 < q < +∞,ou
(H1 ) 0 ≤ α ≤ P +1
1
(H2 ) p+1
≤ α < 1 et
h
i
p−1+α
1
p − 1 < q 0 tel que
i) Si λ > λ∗∗ , le problème (5.1) n’admet aucune solution positive,
ii) Si λ = λ∗∗ , le problème (5.1) admet une unique solution positive et de plus elle est dans
A+ ,
iii) Si λ < λ∗∗ , le problème (5.1) admet exactement deux solutions positives et de plus elles
sont dans A+ .
5.2
Lemmes préliminaires
Lemme 5.1 Considérons l’équation en s > 0
1 1−α
1 q+1
p
0
s
+
s
E − λp
= 0,
q+1
1−α
(5.2)
où p > 1, q > 0, λ > 0, 0 ≤ α < 1 et E > 0 sont des paramètres réels.
Alors pour tout E > 0, l’équation (5.2) admet une unique solution positive s+ = s+ (p, λ, E).
De plus cette solution vérifie les relations suivantes
1) La fonction E 7−→ s+ (p, λ, E) est de classe C 1 dans (0, +∞) et on a
(p − 1) E p−1
∂s+
> 0, ∀E ∈ (0, +∞) .
(p, λ, E) =
∂E
λ sq+ (p, λ, E) + s−α
+ (p, λ, E)
2) lim+ s+ (p, λ, E) = 0+
E→0
3)
lim s+ (p, λ, E) = +∞
E→+∞
Pour tout p > 1, λ > 0 et E > 0, on considère la fonction Ψ définie par
q+1
s
s1−α
p
0
s 7−→ Ψ (p, λ, E, s) = E − λp
+
.
q+1 1−α
On a
∂ψ
(p, λ, E, s) = −λp0 sq + s−α < 0, ∀s > 0.
∂s
La fonction s 7−→ Ψ (p, λ, E, s) est strictement décroissante et de plus
lim+ Ψ (p, λ, E, s) = E p et lim Ψ (p, λ, E, s) = −∞.
s→0
s→+∞
Alors, il résulte que l’équation (5.2) admet une unique solution positive s+ = s+ (p, λ, E)
satisfaisant l’équation suivante
1 q+1
1 1−α
p
0
E − λp
s (p, λ, E) +
s
(p, λ, E) = 0.
(5.3)
q+1 +
1−α +
5.2 Lemmes préliminaires
59
1) En dérivant par rapport à E l’équation (5.3), on obtient la relation suivante
(p − 1) E p−1
∂s+
> 0, ∀E ∈ (0, +∞) .
(p, λ, E) =
∂E
λ sq+ (p, λ, E) + s−α
+ (p, λ, E)
2) La fonction E 7−→ s+ (p, λ, E) est strictement croissante dans ]0, +∞[ et de plus
s+ (p, λ, E) ∈ (0, +∞), alors lim+ s+ (p, λ, E) = l existe et est finie.
E→0
Par passage à la limite quand E tend vers 0+ dans (5.3), on obtient
1 1−α
1 q+1
l
+
l
= 0.
q+1
1−α
Résolvons cette dernière équation par rapport à l, on obtient que l = 0, c’est-à-dire
lim s+ (p, λ, E) = 0+ .
E→+∞
3) Supposons que lim s+ (p, λ, E) = l < +∞
E→+∞
Par passage à la limite quand E tend vers +∞ dans (5.3), on obtient
1 1−α
1 q+1
0
+∞ = λp
l
+
l
< +∞,
q+1
1−α
d’où la contradiction et par suite
lim s+ (p, λ, E) = +∞.
E→+∞
Maintenant pour tout p > 1, λ > 0 et E > 0, on définit l’application temps T+ par
Z s+ (p,λ,E)
du
T+ (p, λ, E) =
h
i p1
0
1
1
E p − λp0 q+1
uq+1 + 1−α
u1−α
Lemme 5.2 pour tout p > 1 et λ > 0, on a
1) lim+ T+ (p, λ, E) = 0+
E→0


0



 1
p
−
1
2) lim T+ (p, λ, E) =
p
E→+∞


λ


 +∞
si q > p − 1,
π
p sin
Preuve. Pour tout p > 1 et λ > 0, on a
Z s+ (p,λ,E)
T+ (p, λ, E) =
h
0
π
p
si q = p − 1,
si q < p − 1.
du
Ep
−
λp0
1
uq+1
q+1
+
1
u1−α
1−α
i p1
5.2 Lemmes préliminaires
60
D’aprés l’égalité (5.3), on a
−1
T+ (p, λ, E) = (λp0 ) p ×
Z s+ (p,λ,E)
×
h
0
0
= (λp )
−1
p
du
1
sq+1
q+1 +
(p, λ, E) +
1
s1−α
1−α +
1
(p, λ, E) − q+1
uq+1 +
1
Z
dt
h
0
1
u1−α
1−α
1
sq+1−p
q+1 +
(p, λ, E) (1 −
tq+1 )
+
1
s1−α−p
1−α +
(p, λ, E) (1 −
i p1
i p1 .
t1−α )
Donc
lim+ T+ (p, λ, E) = (λp0 )
−1
p
×
E→0
Z
× lim+
E→0
0
1
dt
h
1
sq+1−p
q+1 +
(p, λ, E) (1 −
tq+1 )
+
1
s1−α−p
1−α +
(p, λ, E) (1 −
Comme
1−α−p
lim s+
(p, λ, E) = +∞,
E→0+
alors
lim T+ (p, λ, E) = 0+
E→0+
2) Vu que
1 q+1−p
1 1−α−p
s+
s+
lim
(p, λ, E) 1 − tq+1 +
(p, λ, E) 1 − t1−α
E→+∞ q + 1
1−α

si q > p − 1
 +∞
1
p
(1 − t ) si q = p − 1
=
 p+
0
si q p − 1
π
p sin
π
p
si q = p − 1
si q 1, q ≤ p − 1 et λ > 0, on a
L’application E 7−→ T+ (p, λ, E) est strictement croissante sur (0, +∞) .
i p1 .
t1−α )
5.2 Lemmes préliminaires
61
Preuve. soit p > 1 et λ > 0 on a
Z
s+ (p,λ,E)
du
T+ (p, λ, E) =
h
0
= (λp0 )
−1
p
−1
p
−
λp0
1
uq+1
q+1
+
1
u1−α
1−α
i p1
1
Z
dt
h
0
= (λp0 )
Ep
1
sq+1−p
q+1 +
(p, λ, E) (1 − tq+1 ) +
1
s1−α−p
1−α +
i p1
(p, λ, E) (1 − t1−α )
Ť+ (p, λ, s+ (p, λ, E)) ,
où
1
Z
sdt
Ť+ (p, λ, s+ (p, λ, E)) =
h
0
1
sq+1
q+1 +
(p, λ, E) (1 −
tq+1 )
+
1
s1−α
1−α +
(p, λ, E) (1 −
Posons s := s+ (p, λ, E) , alors
−1 ∂s
∂ Ť+
∂T+
+
(p, λ, E) = (λp0 ) p
(p, λ, E) ×
(p, λ, s) .
∂E
∂E
∂s
Un calcul simple montre que
∂ Ť+
1
(p, λ, s) =
∂s
p
Z
1
0
p−1−q
q+1
sq+1 (1 − tq+1 ) +
p−1+α
1−α
s1−α (1 − t1−α )
dt.
h
i p+1
p
1
1
q+1
q+1
1−α
1−α
s (1 − t ) + 1−α s
(1 − t )
q+1
Donc
∂ Ť+
(p, λ, s) > 0
∂s
Comme
∂s+
∂E
(p, λ, E) > 0, on obtient
∂T+
(p, λ, E) > 0.
∂E
Lemme 5.4 Pour tout p > 1, q > p − 1 et λ > 0, on a
l’application E 7−→ T+ (p, λ, E) admet un unique point critique E ∗ .
Preuve.
D’après le lemme (5.2), on a
lim T+ (p, λ, E) = lim T+ (p, λ, E) = 0+ ,
E→0+
E→+∞
i p1 .
t1−α )
5.2 Lemmes préliminaires
62
ceci montre que l’application E 7−→ T+ (p, λ, E) admet au moins un point critique E ∗
D’autre part, on a
−1
T+ (p, λ, E) = (λp0 ) p Ť+ (p, λ, s) ,
où
Z
1
s := s+ (p, λ, E) et Ť+ (p, λ, s) =
0
sdt
h
1
sq+1
q+1
(1 −
tq+1 )
+
1
s1−α
1−α
(1 −
t1−α )
i p1 .
Ť+ atteint un maximum en s∗ si et seulement si T+ atteint un maximum en E ∗
Aussi d’aprés le lemme 5.1, il suit que
lim Ť+ (p, λ, s) = lim Ť+ (p, λ, s) = 0.
s→+∞
s→0+
Alors Ť+ admet au moins un point critique s∗ .
Pour montrer l’unicité du point critique, on trouve premièrement pour tout λ > 0, une
intervalle compacte qui contient tout les points critiques possibles de Ť+ et on montre que
l’application Ť+ (p, λ, .) est strictement concave dans I (λ) .
Lemme 5.5 Pour tout p > 1et q > p − 1, il existe deux réels 0 < s1 < s2 tels que
Ť+0 (p, λ, s) > 0 pour tout 0 < s < s1 et Ť+0 (p, λ, s) < 0 pour s > s2 .
Preuve. On a
∂ Ť+
1
(p, λ, s) =
∂s
p
Z
1
=
p
Z
1
s
s [F (s) − F (u)]
H (p, u) =
p−1−q
q+1
et
F (u) =
et
sq+1 (1 − tq+1 ) +
H (p, s) − H (p, u)
où
On a
p−1+α
1−α
s1−α (1 − t1−α )
dt
h
i p+1
p
1
1
q+1
q+1
1−α
1−α
s (1 − t ) + 1−α s
(1 − t )
q+1
0
0
p−1−q
q+1
u
p+1
p
q+1
du,
+
p−1+α
1−α
u1−α
1 q+1
1
u
+
u1−α .
q+1
1−α
∂H
(p, u) = (p − 1 − q) uq + (p − 1 + α) u−α ,
∂u
∂ 2H
(p, u) = q (p − 1 − q) uq−1 − α (p − 1 + α) u−α−1 < 0, ∀u > 0.
2
∂u
5.2 Lemmes préliminaires
63
D’autre part on a
H (p, 0) = 0,
lim H (p, u) = −∞,
u→+∞
et
∂H
∂H
(p, u) = +∞, lim
(p, u) = −∞.
u→+∞ ∂u
u→+0 ∂u
1
1
h
q+1 i q+α
p−1+α q+α
p−1+α
Donc, il existe deux nombres réels s1 = q+1−p
et s2 =
tels que
1−α
q+1−p
lim +
∂H
(p, u) > 0 dans (0, s1 ) ,
∂u
∂H
(p, s1 ) = 0,
∂u
∂H
(p, u) < 0 dans (s1 , +∞)
∂u
et
H (p, u) > 0 dans (0, s2 ) ,
H (p, u) < 0 dans (s2, + ∞) ,
H (p, s2 ) = H (p, 0) = 0.
Par suite, on obtient
∂ Ť+
(p, λ, s) > 0, pour tout s ∈ (0, s1 ) ,
∂s
et
∂ Ť+
(p, λ, s) < 0, pour tout s ∈ (s2 , +∞) .
∂s
D’aprés ce qui précède on a
∀p > 1, ∀q > p − 1et ∀λ > 0, il existe s∗ ∈ (s1 , s2 ) telque
∂ Ť+
(p, λ, s∗ ) = 0.
∂s
Lemme 5.6 Pour q > 1, 0 ≤ α < 1, s > 0 et 0 < t < 1, on a
l’application t 7−→ G (s, t) est strictement croissante.
où
sq+1 (1 − tq+1 ) + s1−α (1 − t1−α )
G (s, t) = sq+1
.
1−α
(1 − tq+1 ) + s1−α (1 − t1−α )
q+1
Preuve. On a
∂
G (s, t) = h
∂t
sq+1
q+1
H1 (s, t)
(1 − tq+1 ) +
s1−α
1−α
(1 − t1−α )
i2 ,
5.2 Lemmes préliminaires
64
où
H1 (s, t) = (q + 1) s
sq+1
s1−α
q+1
1−α
t + (1 − α) s t
1−t
+
1−t
+
q+1
1−α
q+1 q
1 − tq+1 + s1−α 1 − t1−α
s t + s1−α t−α
1−α −α
q+1 q
+ sq+1
=
q+α
sq+2−α t−α J1 (t) .
(q + 1) (1 − α)
Avec
J1 (t) = (1 − α) − (q + 1) tq+α + (q + α) tq+1 .
Alors pour t ∈ (0, 1), on a
J10 (t) = − (q + 1) (q + α) tq+α−1 1 − t1−α < 0,
comme
J1 (0) = 1 − α > 0 et J1 (1) = 0
il résulte que
J1 (t) > 0, pour 0 < t < 1.
Donc
∂
G (s, t) > 0, pour s > 0 et t ∈ (0, 1) .
∂t
C’est-à-dire l’application t 7−→ G (s, t) est strictement crissante.
Lemme 5.7 Si l’une des conditions (H1 )ou (H2 ) est verifiée, alors on a
1−α R 1
R
q+1−p
1−t1−α
1−tq+1
q+1 1
1) p−1+α
s
dt
=
s
p+1
p+1 dt.
∗
∗
1−α
q+1
0
0
[F (s∗ )−F (s∗ t)]
2)
∂ 2 Ť+
∂s2
p
[F (s∗ )−F (s∗ t)]
p
(p, λ, s∗ ) < 0.
Preuve. 1) Comme s∗ est point critique, alors
∂ Ť+
(p, λ, s∗ ) = 0.
∂s
C’est-à-dire
Z
0
1
p−1−q
q+1
sq+1
(1 − tq+1 ) +
∗
p−1+α
1−α
[F (s∗ ) − F (s∗ t)]
s∗1−α (1 − t1−α )
p+1
p
dt = 0.
D’où
Z
Z
1 − t1−α
1 − tq+1
p − 1 + α 1−α 1
q + 1 − p q+1 1
s∗
dt
=
s
p+1
p+1 dt.
∗
1−α
q+1
0 [F (s∗ ) − F (s∗ t)] p
0 [F (s∗ ) − F (s∗ t)] p
5.2 Lemmes préliminaires
65
2) D’apès un calcul simple, on trouve que
Z
∂ 2 Ť+
1 1 (p − 1 − q) sq (1 − tq+1 ) + (p − 1 + α) s−α (1 − t1−α )
dt+
(p, λ, s) =
p+1
∂s2
p 0
[F (s) − F (st)] p
i
h
Z 1 [sq (1 − tq+1 ) + s−α (1 − t1−α )] p−1−q sq+1 (1 − tq+1 ) + p−1+α s1−α (1 − t1−α )
q+1
1−α
p+1
−
dt
2p+1
2
p
0
[F (s) − F (st)] p
Z
1 1 [(p − 1 + α) s−α (1 − t1−α ) + (p − 1 − q) sq (1 − tq+1 )]
dt+
=
p+1
p 0
[F (s) − F (st)] p
i
h
Z 1 p−1+α s−α (1 − t1−α ) + p−1−q sq (1 − tq+1 ) [sq+1 (1 − tq+1 ) + s1−α (1 − t1−α )]
1−α
q+1
p+1
− 2
dt
2p+1
p
0
[F (s) − F (st)] p
1
1
=
p
Z
p+1
− 2
p
Z
p+1
(p − 1 + α) s−α 1 − t1−α + (p − 1 − q) sq 1 − tq+1 [F (s) − F (st)]−( p ) dt+
0
0
1
p−1−q q
p+1
p − 1 + α −α
1−α
q+1
s
1−t
+
s 1−t
G (s, t) [F (s) − F (st)]−( p ) dt
1−α
q+1
(p − 1 + α) −α
=
s
p
Z
0
1
1 − t1−α
(p − 1 − q) q
s
p+1 dt +
p
[F (s) − F (st)] p
Z
1
1 − tq+1
[F (s) − F (st)]
0
p+1
p
dt+
Z
p − 1 + α −α 1 (1 − t1−α ) G (s, t)
s
p+1 dt+
1−α
0 [F (s) − F (st)] p
Z
p + 1 q + 1 − p q 1 (1 − tq+1 ) G (s, t)
s
+ 2
p+1 dt.
p
q+1
0 [F (s) − F (st)] p
p+1
− 2
p
Comme t 7−→ G (s, t) strictement croissante alors
"
Z
Z
∂ 2 Ť+
p − 1 + α −α 1
(1 − t1−α ) dt
p−1−q q 1
(1 − tq+1 ) dt
(p,
λ,
s)
<
+
s
s
p+1
p+1 +
∂s2
p
p
0 [F (s) − F (st)] p
0 [F (s) − F (st)] p
p+1
− 2
p
p+1
+ 2
p
p−1+α
1−α
q+1−p
q+1
s
−α
1
Z
0
sq
Z
0
1
G (s, 0) (1 − t1−α )
[F (s) − F (st)]
G (s, 1) (1 − tq+1 )
[F (s) − F (st)]
dt+
p+1
p
p+1
p
#
dt
5.2 Lemmes préliminaires
66
Alors
"
Z
∂ 2 Ť+
(1 − t1−α )
p − 1 + α −α 1
s
(p,
λ,
s
)
<
∗
p+1 dt+
∗
∂s2
p
0 [F (s∗ ) − F (s∗ t)] p
p−1−q q
+
s∗
p
p+1
− 2
p
p+1
+ 2
p
p−1+α
1−α
q+1−p
q+1
1
Z
[F (s∗ ) − F (s∗ t)]
0
s−α
∗
1
Z
0
sq∗
(1 − tq+1 )
1
Z
G (s∗ , 0) (1 − t1−α )
[F (s∗ ) − F (s∗ t)]
p+1
p
G (s∗ , 1) (1 − tq+1 )
[F (s∗ ) − F (s∗ t)]
0
dt+
p+1
p
p+1
p
dt+
#
dt .
Comme s∗ est un point critique, alors
∂ 2 Ť+
(q + 1 − p) (1 − α) q
(p, λ, s∗ ) <
s∗
2
∂s
p (q + 1)
p−1−q q
+
s∗
p
p+1
− 2
p
p+1
+ 2
p
q+1−p
q+1
q+1−p
q+1
Z
0
sq∗
1
(1 − tq+1 )
[F (s∗ ) − F (s∗ t)]
0
(1 − tq+1 )
[F (s∗ ) − F (s∗ t)]
Z
1
Z
p+1
p
1
0
p+1
p
G (s∗ , 1) (1 − tq+1 )
[F (s∗ ) − F (s∗ t)]
p+1
p
dt+
dt
G (s∗ , 0) (1 − tq+1 )
[F (s∗ ) − F (s∗ t)]
0
sq∗
1
Z
p+1
p
dt+
dt.
Finalement
∂ 2 Ť+
1
(p,
λ,
s
)
<
−
∗
∂s2
p2
q+1−p q+1
sq∗
Z
K×
0
1
(1 − tq+1 )
[F (s∗ ) − F (s∗ t)]
où
K = p (q + α) − (p + 1) [G (s∗ , 1) − G (s∗ , 0)] .
On a
G (s, t) =
sq+1 (1 − tq+1 ) + s1−α (1 − t1−α )
1−α
sq+1
(1 − tq+1 ) + s1−α (1 − t1−α )
q+1
p+1
p
dt
5.2 Lemmes préliminaires
67
G (s, 0) =
sq+1 + s1−α
1
1
sq+1 + 1−α
s1−α
q+1
G (s, 1) = lim
G (s, t)
<
t→ 1
=
(q + 1) sq+1 + (1 − α) s1−α
.
sq+1 + s1−α
Alors
"
(q + 1) sq+1
+ (1 − α) s1−α
∗
∗
−
K = p (q + α) − (p + 1)
1−α
sq+1
+
s
∗
∗
= p (q + α) −
=
=
p(q+α) 2+2q
s∗
q+1
sq+1
+ s1−α
∗
∗
q+1
1
1
s
+
s1−α
q+1 ∗
1−α ∗
#
(p+1)(q+α)2 2+q−α
s
(1−α)(q+1) ∗
sq+1
+ s1−α
∗
∗
+ s2+q−α
∗
sq+1
∗
+
(q+α)
s2+q−α
(q+1)(1−α) ∗
h
s1−α
∗
1
sq+1
q+1 ∗
+
1
s1−α
1−α ∗
(q+α)[2p−q−(2p+1)α]
(q+1)(1−α)
1
sq+1
q+1 ∗
+
i
+
p(q+α) 2−2α
s∗
1−α
1
s1−α
1−α ∗
i
h
−(q+α)
q+α
2p − q − (2p + 1) α + p (1 − α) s∗ + p (q + 1) s∗
.
1 q+1
q+1
1−α
1−α
1
s∗ + s∗
s
+
s
∗
∗
q+1
1−α
Soit
K1 = 2p − q − (2p + 1) α + p (1 − α) sq+α
+ p (q + 1) s−(q+α)
∗
∗
Comme s∗ ∈ (s1 , s2 ), alors
p−1+α
1−α
q+1−p
K1 > p (1 − α)
+ p (q + 1)
+ 2p − q − (2p + 1) α
q+1−p
p−1+α
q+1
p−1+α q+1−p
+
+ (p + 1) − (2p + 1) α + (p − 1 − q)
> p (1 − α)
q+1−p p−1+α
p (1 − α) (p − 1 + α)
> (p + 1) − (2p + 1) α +
+
q+1−p
• Si (H1 ) est vérifiée, on obtient que K1 > 0
• Maintenant on suppose que (H2 ) est vérifiée
q+1−p
p−1+α
[1 − (p + 1) α] .
5.2 Lemmes préliminaires
68
Soit q = (p − 1) + z
K1 > p (1 − α)
p−1+α
z
+
z
p−1+α
+ (p + 1) − (2p + 1) α − z
!
(p − 1 + α)2 + z 2
> p (1 − α)
+ (p + 1) − (2p + 1) α − z
z (p − 1 + α)
1
p (1 − α) z 2 + (p − 1 + α)2 − z 2 (p − 1 + α) +
>
+z (p − 1 + α) [(p + 1) − (2p + 1) α]
z(p−1+α)
Donc K1 > 0 et par suite
∂ 2 Ť+
(p, λ, s∗ ) < 0.
∂s2
Ceci montre que Ť strictement concave dans (s1 , s2 ), d’où Ť+ admet un point critique unique
s∗ et par suite T+ admet un unique point critique E ∗
Remarque : La preuve de ce lemme est une généralisation du lemme 4 dans [63] .
Lemme 5.8 Pour tout p > 1, on a
1) lim+ T+ (p, λ, E ∗ ) = +∞.
λ→0
2)
lim T+ (p, λ, E ∗ ) = 0+ .
λ→+∞
3) l’application λ 7−→ T+ (p, λ, E ∗ ) est strictement décroissante.
Preuve. Pour tout p > 1, on a
1)
T+ (p, λ, E ∗ ) = sup T+ (p, λ, E) ≥ T+ (p, λ, E1 ) ,
E>0
où
T+ (p, λ, E1 ) = (λ)
−1
p
0
(p )
−1
p
Z
1
0
= (λ)
−1
p
0
(p )
−1
p
Z
0
s1
h
1
sq+1
q+1 1
(1 − tq+1 ) +
1
s1−α
1−α 1
1
1
q+1
(1 − tq+1 )
p−1+α
q−p+1
i p1 dt
(1 − t1−α )
1
q+α
p−1+α
q−p+1
q+1
q+α
+
1
1−α
(1 − t1−α )
p−1+α
q−p+1
p1
1−α
q+α
dt.
5.2 Lemmes préliminaires
69
Alors
lim T+ (p, λ, E1 ) = +∞,
λ→0+
et par suite
lim+ T+ (p, λ, E ∗ ) = +∞.
λ→0
2) On a
0
T+ (p, λ, E) = (λp )
−1
p
1
Z
dt
s+ (p, λ, E)
h
0
sq+1
+ (p,λ,E)
q+1
(1 −
tq+1 )
+
(p,λ,E)
s1−α
+
1−α
(1 −
i p1 ,
t1−α )
et
∗
0
T+ (p, λ, E ) = (λp )
−1
p
∗
1
Z
h
0
0
≤ (λp )
−1
p
∗
=
≤
≤
−1
p
p0
q+1
−1
p
p0
q+1
−1
p
λ
−1
p
p−1−q
p
s+
h
∗
sq+1
+ (p,λ,E )
q+1
∗
Z
λ
p−1−q
p
s1
λ
(p,λ,E ∗ )
s1−α
+
1−α
(1 − t1−α )
i p1
1
Z
(1 − tq+1 ) p
1
(p, λ, E1 )
p−1+α
q−p+1
i p1
dt
(p, λ, E )
dt
1
0
−1
p
(1 − tq+1 )
1
0
−1
p
(1 − tq+1 ) +
dt
s+ (p, λ, E )
p0
q+1
∗
sq+1
+ (p,λ,E )
q+1
1
Z
0
dt
s+ (p, λ, E )
p−1−q
p(q+α)
(1 − tq+1 ) p
Z 1
dt
1
0
.
(1 − tq+1 ) p
Par passage à la limite quand λ tend vers +∞, on obtient
"
#
p−1−q Z
−1
p(q+α)
1
0
p
−1
p
p
−
1
+
α
dt
0 ≤ lim T+ (p, λ, E ∗ ) ≤
× lim λ p = 0,
1
λ→+∞
λ→+∞
q+1
q−p+1
0 (1 − tq+1 ) p
d’où
lim T+ (p, λ, E ∗ ) = 0+ .
λ→+∞
3) Pour tout p > 1, λ > 0 et E > 0, on a
−1 ∂s
∂T+
+
(p, λ, E) = (λp0 ) p
(p, λ, E)
∂E
∂E
Z
s+ (p,λ,E)
H(p,s+ (p,λ,E))−H(p,u)
du
0
ps+ (p,λ,E)[F (s+
(5.4)
p+1
(p,λ,E))−F (u)] p
et
Z s+ (p,λ,E)
H(p,s+ (p,λ,E))−H(p,u)
−1
∂T+
0 p ∂s+
(p, λ, E) = (λp )
(p, λ, E)
p+1 du
∂λ
∂λ
ps+ (p,λ,E)[F (s+ (p,λ,E))−F (u)] p
0
Z s+ (p,λ,E)
−1
du
−1− p1
0 p
− (p ) λ
1 .
0
p [F (s+ (p, λ, E)) − F (u)] p
(5.5)
5.3 Preuve des résultats principaux
70
On mélange (5.4) et (5.5), on obtient
∂T+
∂s+
∂T+
∂s+
(p, λ, E) ×
(p, λ, E) +
(p, λ, E) ×
(p, λ, E)
∂λ
∂E
∂E
∂λ
Z s+ (p,λ,E)
−1
du
−1− p1 ∂s+
0 p
= − (p ) λ
(p, λ, E)
1 .
∂E
0
p [F (s+ (p, λ, E)) − F (u)] p
−
Comme
∂s+
(p, λ, E) > 0 et
∂E
s+ (p,λ,E)
Z
du
1
0
>0
p [F (s+ (p, λ, E)) − F (u)] p
il résulte que pour tout p > 1, λ > 0 et E > 0, on a
−
∂T+
∂s+
∂T+
∂s+
(p, λ, E) ×
(p, λ, E) +
(p, λ, E) ×
(p, λ, E) < 0.
∂λ
∂E
∂E
∂λ
Comme
∂T+
(p, λ, E ∗ ) = 0,
∂E
on obtient
∂T+
(p, λ, E ∗ ) < 0.
∂λ
C’est-à-dire la fonction λ 7−→ T+ (p, λ, E ∗ ) est strictement décroissante.
5.3
Preuve des résultats principaux
Preuve de l’assertion (A)
• Supposons que 0 < q < p − 1.
D’après les lemmes 5.2 et 5.3, on a
• lim+ T+ (p, λ, E) = 0+ .
E→0
•
lim T+ (p, λ, E) = +∞.
E→+∞
• La fonction E 7→ T+ (p, λ, E) est strictement croissante sur (0, +∞) .
1
admet une solution positive dans
Alors l’équation de la variable E, T+ (p, λ, E) =
2
(0, +∞) .
Ainsi par le théorème (1.1), il résulte que le problème (5.1) admet une unique solution
positive et de plus elle est dans A+ .
Preuve de l’assertion (B)
• Supposons que q = p − 1.
D’après les lemmes 5.2 et 5.3, on a
• lim+ T+ (p, λ, E) = 0+ .
E→0
p1 π
• lim T+ (p, λ, E) = p−1
.
λ
p sin π
E→+∞
p
5.3 Preuve des résultats principaux
71
• La fonction E 7→ T+ (p, λ, E) est strictement croissante sur (0, +∞) .
1
admet une solution positive dans
Alors l’équation de la variable E, T+ (p, λ, E) =
2
1
π
p
(0, +∞) si et seulement si p−1
> 12 .
λ
p sin πp
ip
h
2π
Donc si on pose λ∗ = (p − 1) p sin
on obtient que
π
p
i) Si λ ≥ λ∗ , le problème (5.1) n’admet aucune solution positive.
ii) Si λ < λ∗ , le problème (5.1) admet exactement une solution positive et de plus elle est
dans A+ .
Preuve de l’assertion (C)
• Supposons que (H1 ) ou (H2 ) est satisfaite.
D’après les lemmes 5.2 et 5.4, on a
• lim+ T+ (p, λ, E) = 0+ .
E→0
•
lim T+ (p, λ, E) = 0+ .
E→+∞
• L’application E 7→ T+ (p, λ, E) admet un unique point critique E ∗ .
1
admet une solution positive dans
Alors l’équation de la variable E, T+ (p, λ, E) =
2
1
(0, +∞) si et seulement si T+ (p, λ, E∗ ) ≥ 2 .
Maintenant par le lemme 5.8, il existe un réel λ∗∗ > 0 tel que
1
• T+ (p, λ, E ∗ ) < , pour tout λ > λ∗∗ .
2
1
∗
• T+ (p, λ∗∗ , E ) = ,
2
1
∗
• T+ (p, λ, E ) > , pour tout λ < λ∗∗ .
2
1
• Donc l’équation de la variable E, T+ (p, λ, E) =
admet une solution positive dans
2
(0, +∞) si et seulement si λ ≤ λ∗∗ .
Ainsi par le théorème (1.1) , il résulte que
i) Si λ > λ∗∗ , le problème (5.1) n’admet aucune solution positive.
ii) Si λ = λ∗∗ , le problème (5.1) admet une solution positive et de plus elle est dans A+ .
iii) Si λ < λ∗∗ , le problème (5.1) admet exactement deux solutions positives et elles sont
dans A+ .
Conclusion et perspectives
Dans cette thèse on a présenté quelques résultats concernant le nombre exact des solutions
positives pour certaines classes de problèmes aux limites quasilinéaires du type
− (ϕp (u0 ))0 = g (u) dans (0, 1) ,
(1)
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, pour y ∈ R, p > 1 et g une fonction continue de R+ dans R.
Suivant les cas particuliers de la fonction g, on a étudié l’existence et la multiplicité des
solutions positives à ce type de problèmes, en utilisant la méthode de quadrature.
Dans le premier chapitre, on a présenté la méthode de quadrature et on a donné une condition nécessaire et suffisante d’existence de solutions positives au problème considéré.
Dans le deuxième chapitre, on a étudié l’existence et la multiplicité des solutions positives
pour le problème aux limites (1) dans le cas où g (u) = aϕp (u) − bϕ2p (u) + c, avec a > 0, b > 0
et c > 0
Dans le troisième chapitre, on a considéré le cas où g (u) = aϕp (u) − bϕ2p (u) − c, avec aussi
a > 0, b > 0 et c > 0.
Dans le quatrième chapitre, on a étudié le nombre exact des solutions positives pour le
problème (1) dans le cas où g (u) = µ − f (u), avec µ > 0 et f une fonction de R+ dans R+
p−convexe satisfaisant les conditions suivantes.
(H1) f ∈ C (R+ ) ∩ C 2 R∗+ .
(H2) lim+ ϕfp(u)
= a où a ∈ [0, +∞[ .
(u)
u→0
(H3) lim
f (u)
u→+∞ ϕp (u)
= b où b ∈ ]0, +∞] .
(H4) ∀p > 1, ∀u > 0, (p − 2) f 0 (u) − uf 00 (u) < 0.
0
(H5) lim+ uf (u) = 0+
u→0
(H6) u 7→
f (u)
est strictement croissante.
ϕp (u)
Conclusion et perspectives
73
Enfin dans le dernier chapitre on a étudié l’existence et la multiplicité des solutions positives
pour le problème (1) dans le cas où g (u) = λ (uq + u−α ), avec les paramètres réels λ > 0, q > 0
et α ∈ [0, 1[ .
Pour les perspectives on propose deux problèmes ouverts
Problème 1
L’étude du nombre exact des solutions positives pour le problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = aϕp (u) − bf (u) + c dans (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
(2)
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, a > 0, b > 0, c ∈ R∗ et f une fonction de R+ dans R+
p−convexe satisfait les hypothèses précédentes (H1) − (H6)
Problème2
L’étude du nombre exact des solutions positives pour le problème aux limites suivant
− (ϕp (u0 ))0 = λ (uq + u−α ) dans (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
où ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, λ > 0,
1
2p+1
≤ α < 1 et
1
p−1+α
q >p−1+
×
2
(p + 1) α − 1
q
2
× (p + 1) − (2p + 1) α + [(p + 1) − (2p + 1) α] + 4p (1 − α) [(p + 1) α − 1] .
.
(3)
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Abstract
The objectif of this thesis is to study the existence and multiplicity of positive
solutions for a certains classes of quasilinear boundary value problems.
This thesis is divided on five chapters.
In the first chapter, we present the quadrature method. The second chapter is devoted to
the exact number of positive solutions for a class of quasilinear boundary value problems.
The third chapter is concerned to the number of positive solutions for a class of quasilinear
boundary value problems with constant yield harvesting. The fourth chapter is devoted to
the exact number of positive solutions for a class of quasilinear boundary value problems
with p-concave nonlinearity. Finally in the chapter five, we study the exact number for a
class of quasilinear boundary value problems with a singular nonlinearity.
Key words: p-Laplacian, positive solutions, time-mapping approach, p-concave function,
singular nonlinearity.
AMS subject Classification : 34B15-34C10.
Résumé
L’objet de Cette thèse est l’étude de l’existence et la multiplicité des solutions
positives pour certaines classes de problèmes aux limites quasilinéaire.
Cette thèse est divisée en cinq chapitres.
Dans le premier chapitre, on présente la méthode de quadrature. Le deuxième chapitre est
consacré au nombre exact de solutions positives d’une certaine classe de problèmes aux
limites quasilinéaire. Le troisième chapitre est consacré au nombre des solutions positives
pour une classe de problèmes aux limites quasilinéaire avec quotas constant. Le quatrième
chapitre est consacré au nombre exact de solutions positives pour une classe de problèmes
aux limites quasilinéaire avec une nonlinéarité p-concave. Finalement dans le cinquième
chapitre on étudie le nombre exact de solutions positives pour une classe de problèmes aux
limites quasilinéaire avec une nonlinéarité singuliere.
Mots clés : p-Laplacian, solutions positives, application temps, nonlinéarité p-concave ,
nonlinéarité singulière.
Classification subjective AMS : 34B15-34C10.
‫ﻣﻠﺨﺺ‬
‫اﻟﮭﺪف ﻣﻦ ھﺬه اﻷطﺮوﺣﺔ ھﻮدراﺳﺔ وﺟﻮد و ﺗﻌﺪد اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻟﺒﻌﺾ أﺻﻨﺎف ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺤﺪﯾﺔ‬
.‫اﻟﺸﺒﮫ ﺧﻄﯿﺔ‬
‫ھﺬه اﻷطﺮوﺣﺔ ﻣﻘﺴﻤﺔ اﻟﻰ ﺧﻤﺴﺔ ﻓﺼﻮل‬
‫ اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻣﺨﺼﺺ ﻟﺪراﺳﺔ ﻋﺪد اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻟﺼﻨﻒ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ‬.‫ﻓﻲ اﻟﻔﺼﻞ اﻷول’ ﻧﻘﺪم طﺮﯾﻘﺔ اﻟﺘﺮﺑﯿﻊ‬
‫ اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻣﺨﺼﺺ ﻟﺪراﺳﺔ ﻋﺪد اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻟﺼﻨﻒ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺤﺪﯾﺔ ﺷﺒﮫ ﺧﻄﯿﺔ‬.‫اﻟﺤﺪﯾﺔ ﺷﺒﮫ اﻟﺨﻄﯿﺔ‬
‫ اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺮاﺑﻊ ﻣﺨﺼﺺ ﻟﺪراﺳﺔ ﻋﺪد اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻟﺼﻨﻒ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺤﺪﯾﺔ ﺷﺒﮫ ﺧﻄﯿﺔ ﻣﻊ‬.‫ﻣﻊ ﺣﺼﺎد ﺛﺎﺑﺖ‬
‫ ﻣﻘﻌﺮ وأﺧﯿﺮا ﻓﻲ اﻟﻔﺼﻞ اﻟﺨﺎﻣﺲ ﻧﺪرس ﻋﺪد اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ ﻟﺼﻨﻒ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺎﺋﻞ اﻟﺤﺪﯾﺔ ﺷﺒﮫ ﺧﻄﯿﺔ‬p ‫طﺮف ﺛﺎن‬
.‫ﻣﻊ طﺮف ﺛﺎن ﻣﻌﺘﻞ‬
: ‫اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﻤﻔﺘﺎﺣﯿﺔ‬
.‫ ﻣﻘﻌﺮة’ ﻏﯿﺮ ﺧﻄﯿﺔ ﻣﻌﺘﻠﺔ‬p -‫’ اﻟﺤﻠﻮل اﻟﻤﻮﺟﺒﺔ’ ﺗﻄﺒﯿﻖ اﻟﺰﻣﻨﻲ’ داﻟﺔ‬p-Laplacian
Classification subjective AMS : 34B15-34C10.
Publications
INTERNATIONAL
PUBLICATIONS (USA)
Communications on Applied Nonlinear Analysis
Volume 15(2008), Number 4, 15–37
Exact Number of Positive Solutions
for a Class of Quasilinear
Boundary Value Problems1
Mohammed Derhab
Université Abou Bekr Belkaid Tlemcen
Département de Mathématiques,
Faculté des Sciences
B.P. 119 Tlemcen, 13000, Algérie.
[email protected]
Mustapha Megnafi
Centre Universitaire de Béchar
B. P. 417 Béchar, 08000, Algérie.
[email protected]
Communicated by Johnny Henderson
(Received May 2008; Accepted July 2008)
Abstract
Using time-mapping approach, we study the exact number of positive solutions of
the following quasilinear boundary value problem
0
− (ϕp (u0 )) = f (u) + µ in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
0
where p > 1, ϕp (y) = |y|p−2 y, (ϕp (u0 )) is the one dimensional p−Laplacian, µ
is a strictly negative real parameter and f is a p-convex function.
Key words: p−Laplacian; positive solutions; time-mapping approach; p−convex
function
AMS Subject Classification: 34B15, 34C10
1 Research
partially supported by a MESRS-DRS grant B0202007003
15
16
1
M. Derhab and M. Megnafi
Introduction
The purpose of this work is to study the existence and uniqueness of positive solutions of
the following quasilinear boundary value problem
0
− (ϕp (u0)) = f (u) + µ in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
(1)
p−2
where ϕp (y) = |y|
y, y ∈ R, p > 1, µ < 0 and f : R+ −→ R+ is a p-convex function.
Several authors have been interested in problem (1) including higher dimensions under
several assumptions. Let us recall some of them.
In [4], the author consider the boundary value problem:
−u00 = u2 − λ in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
(2)
where λ ∈ R.
Using the quadrature method, he obtained a complete description of the solution set of
the problem (2).
In [10], the authors studied the following problem:
where g ∈ C 1
−u00 = g(u) − λ in (0, π) ,
u (0) = u (π) = 0,
(3)
R , lim g0 (s) < +∞ and lim g0 (s) = +∞ and λ ∈ R.
s→−∞
s→+∞
Using variational methods, they show that for any k ∈ N, there exists λk ∈ R such that
for λ > λk , problem (3) has at least k distinct solutions.
Prior to the paper mentioned above, C. Scovel [11] obtained the same results as B. Ruf
and S. Solimini [10] in the special case where g(u) = 6u2. He proved that for any integer
k ≥ 1, there exists values λ1 < λ2 < ... < λk such that for λ > λk , problem (3) with
g(u) = 6u2 admits at least k distinct solutions.
In [8], the authors studied the following problem:

 −∆u = uk − λ in B,
u > 0 in B,

u = 0 on ∂B,
(4)
N +2
, then
N −2
there exists λ∗ > 0 such that for λ > λ∗ , the problem (4) has no solution and it has at least
one solution for λ ≤ λ∗ .
In [7], the author consider the problem
where B is the unit in RN , N ≥ 3 and λ > 0. They proved that if 1 < k <

 −∆u = uk − λh in Ω,
u > 0 in Ω,

u = 0 on ∂Ω,
(5)
17
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
N
where Ω is a bounded domain in R with C 2 boundary, 1 < k < 2∗ − 1, where 2∗ =
2N
if N > 2 and 2∗ = +∞ if N = 1, 2 and h is a continuous function from Ω to R and
N −2
λ > 0.
Under general assumption on h, he prove that there exists λ∗ > 0, such that problem
(5) has no solution for λ > λ∗ .
In [12], the author consider the boundary value problem

 −∆u = f (u) − λh in Ω,
u > 0 in Ω,
(6)

u = 0 on ∂Ω,
where Ω is a bounded domain in
RN with smooth boundary and f : R −→ R is a
continuous function such that f (0) = 0, u 7→
f (u)
is increasing and
u
lim
u→+∞
f (u)
= +∞
u
and λ > 0.
Under general assumption on h, he show that if λ is great enough, then problem (6) has
no solution.
p
In [1], the authors studied the problem (1) with f (u) = |u| and µ ∈ R. Using timemapping analysis, they determine a lower bound for the number of solutions and established
their nodal properties.
In [13], the authors consider the problem
−∆p u = λ (uq − 1) in Ω,
(7)
u = 0 on ∂Ω,
N
p−2
where ∆pu = div |∇u|
∇u , Ω is a connected and bounded subset of R with
Np
boundary ∂Ω of class C 1,α, α > 0 and 0 0.
Now, we ask the following question:
Do the results concerning positive solutions in [1] remain valid if one replace the function
p
u 7−→ |u| by a more general p-convex function?
The aim of this work is to give an answer to the question cited above.
The paper is organized as follows: In section 2, we state our main result. In section 3,
we state the method used to prove our main result. Some preliminary lemmas are the aim
of section 4. Section 5 is devoted to the proof of our main result. In section 6, we give some
examples to illustrate our results. Finally in section 7 we give an Appendix
2
Main result
We consider the boundary value problem
0
− (ϕp (u0)) = f (u) + µ in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
(8)
18
M. Derhab and M. Megnafi
p−2
where ϕp (y) = |y|
y, y ∈ R, p > 1, µ < 0 and f : R+ −→ R+ satisfies the following
conditions:
∗
(H1) f ∈ C R+ ∩ C 2 R+
f (u)
(H2) lim+ up−1 = a where a ∈ R+ .
u→0
(H3) lim
f (u)
u→+∞ u
p−1
= b where b ∈ ]0, +∞] .
0
(H4) lim uf (u) = 0.
u→0+
(H5) ∀p > 1, ∀u > 0, (p − 2) f 0 (u) − uf 00 (u) < 0.
Remark: The functions f satisfying the hypothesis (H5) are called p−convex.
To state our result, define
S + = u ∈ C 1 ([0, 1]) ; u > 0 in (0, 1) , u (0) = u (1) = 0 and u0 (0) > 0
Let A+ be the subset of S + composed by the functions u satisfying:
• u is symmetrical about 12 .
• The derivative of u vanishes once and only once in (0, 1) .
Let B + be the subset of C 1 ([0, 1]) composed by the functions u satisfying:
• u > 0 in (0, 1) and u (0) = u (1) = u0 (0) = 0.
• u is symmetrical about 12 .
• The derivative of u vanishes once and only once in (0, 1) .
We denote by λ1 (p) the first eigenvalue of the following boundary value problem:
0
− (ϕp (u0 )) = λϕp (u) in (0, 1)
(2.2)
u (0) = u (1) = 0
We have

λ1 (p) := (p − 1) 2
Z1
p
dt
1
0
(1 − tp ) p
 = (p − 1)
2π
p sin πp
The main result of this work is:
Theorem 2.1 Assume that p > 1, µ < 0 and f satisfies (H1)-(H5).
(A) If one of the following conditions holds:
(i) a < b ≤ λ1 (p) , or
p
p
(ii)
λ1 (p) ≤ a < b.
p−1
Then, for each µ < 0, problem (8) admits no positive solution.
!p
19
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
(B) If one of the following conditions holds:
p
p
(i) a ≤ λ1 (p) < b ≤
λ1 (p) , or
p−1
p
p
(ii) λ1 (p) < a < b ≤
λ1 (p) .
p−1
Then for each µ < 0, problem (8) admits a unique positive solution and it belongs to
A+ .
p
p
(C) If a <
λ1 (p) < b, then there exists µ∗ (p, a, b) < 0 such that:
p−1
• If µ < µ∗ (p, a, b), problem (8) admits no positive solution,
• If µ = µ∗ (p, a, b), problem (8) admits a unique positive solution and it belongs to B + ,
• If µ > µ∗ (p, a, b), problem (8) admits a unique positive solution and it belongs to A+ .
3
Time-mapping approach
In this section we introduce the well-know time mapping approach (see for instance [1]-[5]).
Consider the following boundary value problem:
0
− (ϕp (u0)) = g (u) in (0, 1) ,
(9)
u (0) = u (1) = 0,
where g ∈ C R+ , R .
Rs
Define G (s) := g (t) dt
0
For any E ≥ 0 and p > 1, let
X+ (p, E) = s > 0; E p −
p
G (ζ) > 0, ∀ ζ, 0 < ζ < s
p−1
and
S+ (p, E) =
0 if X+ (p, E) = ∅
SupX+ (p, E) otherwise
Let
D = {E ≥ 0; 0 < S+ (p, E) < +∞ and g (S+ (p, E)) > 0}
and we define the following time-map
T+ (p, E) =
S+Z(p,E)
p
E −
G (u)
p−1
p
− 1
p
du
0
We now state the following well know theorem without proof ( See for instance [5] ).
20
M. Derhab and M. Megnafi
Theorem 3.1 Assume that g ∈ C
R+ , R , E ≥ 0 and p > 1. Then:
• Problem(9) admits a solution u ∈ A+ satisfying u0 (0) = E if and only if E ∈ D ∩
(0, +∞) and T+ (p, E) = 12 . In this case the solution is unique and its sup-norm is
equal to S+ (p, E) .
• Problem(9) admits a solution u ∈ B + if and only if 0 ∈ D and T+ (p, 0) = 12 . In this
case the solution is unique and its sup-norm is equal to S+ (p, 0) .
4
Preliminary lemmas
Lemma 4.1 Consider the equation in s ∈ R+ :
Ep −
where F (s) :=
Rs
p
(F (s) + µs) = 0
p−1
(10)
f (t) dt, p > 1, µ < 0 and E ≥ 0.
0
Then for any E ≥ 0, equation (10) admits a unique positive zero r+ (p, µ, E). Moreover
i) ∀ E ≥ 0, f (r+ (p, µ, E)) + µ > 0.
ii) The function E 7→ r+ (p, µ, E) is C 1 in (0, +∞) and
∂r+
(p − 1) E p−1
(p, µ, E) =
> 0, ∀p > 1, ∀µ < 0 and ∀E > 0.
∂E
f (r+ (p, µ, E)) + µ
iii) lim r+ (p, µ, E) = r+ (p, µ, 0) .
E→0+
iv)
lim r+ (p, µ, E) = +∞.
E→+∞
Proof: The proof of this lemma is similar to that of Lemma 4.1 in [3] or Lemma 8 in [1].
So, it is omitted.
2
Now, we are ready, for any p > 1, µ < 0 and E ≥ 0, to compute X+ (p, µ, E) as defined
in section 3.
In fact
X+ (p, µ, E) = ]0, r+ (p, µ, E)[
Then
S+ (p, µ, E) = r+ (p, µ, E)
On other hand, we have
D
= {E ≥ 0, 0 < S+ (p, µ, E) < +∞ and f (S+ (p, µ, E)) + µ > 0}
= [0, +∞[
21
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
By lemma 4.1, we have
lim S+ (p, µ, E) = S + (p, µ, 0)
(11)
lim S+ (p, µ, E) = +∞
(12)
∂S+
(p − 1) E p−1
(p, µ, E) =
> 0, ∀p > 1, ∀µ < 0 and ∀E > 0.
∂E
f (S+ (p, µ, E)) + µ
(13)
E→0+
E→+∞
and
At present, we define, for any p > 1, µ < 0 and E > 0, the time-map T+ by:
T+ (p, µ, E) =
S+ (p,µ,E)
Z
p
E −
(F (u) + µu)
p−1
p
− 1
p
du
0
and for any p > 1 and µ < 0, the application h+ by:
h+ (p, µ) =
S+Z(p,µ)
p
−
(F (u) + µu)
p−1
− 1
p
du
(14)
0
where S+ (p, µ) := S+ (p, µ, 0) .
Proposition 4.2 If u is a positive solution of problem (8) , then u ∈ A+ ∪ B + .
Proof: The proof of proposition 4.2 is established in the Appendix.
Lemma 4.3 For any p > 1 and µ < 0, we have:
i) lim T+ (p, µ, E) = h+ (p, µ)
E→0+




1
1 λ1 (p) p
∗
if b ∈ R+
ii) lim T+ (p, µ, E) =
2
b

E→+∞

 0 if b = +∞
iii) The function E 7→ T+ (p, µ, E) is strictly decreasing on (0, +∞) .
Proof: Let p > 1 and µ < 0 be fixed.
i) We have
2
22
M. Derhab and M. Megnafi
lim T+ (p, µ, E) =
E→0+
=
=
=
=
− 1
p
p
E −
du
lim
(F (u) + µu)
p
−
1
E→0+
0
− 1
R1
p
p
lim S+ (p, µ, E) E p −
dt
(F (S+ (p, µ, E) t) + µS+ (p, µ, E) t)
p−1
E→0+ 0
− 1
R1
p
p
dt
S+ (p, µ) −
(F (S+ (p, µ) t) + µS+ (p, µ) t)
p−1
0
− 1
S+R
(p,µ) p
p
−
du
(F (u) + µu)
p
−
1
0
h+ (p, µ)
S+ (p,µ,E)
R
p
ii) We distinguish two cases:
∗
Case b ∈ R+
Since S+ (p, µ, E) is a zero of the equation (10), it follows that
T+ (p, µ, E) =
1
p−1 p
p
S+ (p,µ,E)
Z
1
[F (S+ (p, µ, E)) + µS+ (p, µ, E) − F (u) − µu]− p du
0
Using the change of variable u = S+ (p, µ, E) t, we obtain
T+ (p, µ, E) =
1
p−1 p
×
(15)
p
− 1
Z1 F (S+ (p, µ, E)) + µS+ (p, µ, E) − F (S+ (p, µ, E) t) − µS+ (p, µ, E) t p
×
dt
p
S+
(p, µ, E)
0
Let us rewrite (15) as
T+ (p, µ, E) =
#− 1
1 Z1 "
p
F (S+ (p, µ, E)) F (S+ (p, µ, E) t)
p−1 p
µ (1 − t)
dt
−
+ p−1
p
p
p
S+
(p, µ, E)
S+
(p, µ, E)
S+ (p, µ, E)
0
By (12), it follows that
23
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
lim T+ (p, µ, E)
E→+∞
=
lim
S+ (p,µ,E)→+∞
#− 1
1 Z1 "
p
F (S+ (p, µ, E)) F (S+ (p, µ, E) t) p
p−1 p
µ (1 − t)
dt
−
p t + p−1
p
p
S+ (p, µ, E)
(S+ (p, µ, E) t)
S+ (p, µ, E)
0
Now by the assumption (H3) and using l’Hôpital’s rule, we obtain
#− 1
1 1 "
p
p − 1 p R F (S+ (p, µ, E)) F (S+ (p, µ, E) t) p
µ (1 − t)
lim
dt
−
p t + p−1
p
S+ (p,µ,E)→+∞
p
S
(p,
µ,
E)
(S
(p,
µ,
E)
t)
S+ (p, µ, E)
+
0
+
− 1
1 p − 1 p R1 b
b p p
=
dt
− t
p
p
0 p
1
1
−
p − 1 p R1
p
=
[1 − t ] p dt
b
0
1
p−1 p
π
=
b
p sin πp
1
1 λ1 (p) p
=
2
b
Case b = +∞
By the assumption (H3), we have
lim
f (u)
u→+∞ up−1
= +∞
Then for all A1 > 0, there exists A2 > 0 such that
f (u) > A1 up−1, for all u > A2
Let t ∈ (0, 1), we have
(16)
24
M. Derhab and M. Megnafi
F (S+ (p, µ, E)) − F (S+ (p, µ, E) t)
p
S+
(p, µ, E)
S+ (p,µ,E)
R
f (u) du
S+ (p,µ,E)t
p
S+
(p, µ, E)
R1 f (S+ (p, µ, E) τ )
=
dτ
p−1
S+
(p, µ, E)
t
R1
> A1 τ p−1dτ , for all S+
t
A1
p
=
=
p
(p, µ, E) > A2
(1 − t )
Therefore for all S+ (p, µ, E) > A2 , we have
T+ (p, µ, E) ≤
≤
#− 1
1 1 "
p
R
A1
p−1 p
µ (1 − t)
dt
(1 − tp ) + p−1
p
p
S+ (p, µ, E)
0
#− 1
1 1 "
R
p−1 p
A1
µ (1 − t) p
dt
(1 − tp ) +
p
p
Ap−1
0
2
Now letting A1 → +∞, we obtain
lim T+ (p, µ, E) = 0
E→+∞
iii) Differentiating (15) with respect to E, we obtain
∂T+
(p, µ, E) =
∂E
1
p
×
p−1
p
Z1
0
1p
∂S+
(p, µ, E) ×
∂E
(17)
H (µ, S+ (p, µ, E)) − H (µ, S+ (p, µ, E) t)
[F (S+ (p, µ, E)) + µS+ (p, µ, E) − F (S+ (p, µ, E) t) − µS+ (p, µ, E) t]
where
H (µ, u) = pF (u) −uf (u) + (p − 1) µu
We have
∂H
(µ, u) = (p − 1) f (u) −uf 0 (u) + (p − 1) µ
∂u
p+1
p
dt
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
25
By the assumptions (H1), (H2) and (H4), it follows that
lim
u→0+
∂H
(µ, u) = (p − 1) µ < 0
∂u
(18)
and by the assumption (H5), we have
∂2H
(µ, u) = (p − 2) f (u) −uf 00(u) < 0
∂u2
(19)
Then by (19) and (18), it follows that
∂H
(µ, u) < 0, for all µ < 0 and u > 0
∂u
Which implies that
H (µ, S+ (p, µ, E)) −H (µ, S+ (p, µ, E) t) < 0, for all µ < 0 and t ∈ (0, 1)
Hence, the integral in (17) is negative and by (13), it follows that
∂T+
(p, µ, E) < 0, for all p > 1, µ < 0 and E > 0.
∂E
2
Lemma 4.4 For all p > 1, we have
i)
ii)
∂S+
S+ (p, µ)
(p, µ) = −
∂µ
f (S+ (p, µ)) + µ
lim S+ (p, µ) = +∞
µ→−∞
iii) lim− S+ (p, µ) = 0+
µ→0
Proof: Let p > 1 be fixed.
i) Since
F (S+ (p, µ)) +µS + (p, µ) = 0
it follows that
∂S+
S+ (p, µ)
(p, µ) = −
∂µ
f (S+ (p, µ)) + µ
26
M. Derhab and M. Megnafi
ii) We have
F (S+ (p, µ)) +µS + (p, µ) = 0
Dividing this equation by S+ (p, µ), we obtain
F (S+ (p, µ))
= −µ
S+ (p, µ)
when µ tends to −∞, it follows that
F (S+ (p, µ))
tends to +∞
S+ (p, µ)
Therefore, by the hypothesis (H3), we obtain
lim S+ (p, µ) = +∞
µ→−∞
iii) We have
F (S+ (p, µ)) +µS + (p, µ) = 0
when µ tends to 0− , S+ (p, µ) tends to the zero of the following equation:
F (u) = 0
(20)
Since u = 0 is the only zero of the equation (20), we obtain
lim S+ (p, µ) = 0+
µ→0−
2
Lemma 4.5 For all p > 1, we have



1

p
λ1 (p) p
∗
if b ∈ R+
i) lim h+ (p, µ) =
µ→−∞
2
(p
−
1)
b


 0 if b = +∞


+∞ if a = 0


1
ii) lim− h+ (p, µ) =
p
(p)
λ
∗
1
p

µ→0

if a ∈ R+

2 (p − 1)
a
iii) The function µ 7→ h+ (p, µ) is strictly increasing on (−∞, 0) .
27
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
Proof:
i) We distinguish two cases:
∗
Case b ∈ R+
Using the change of variable u = S+ (p, µ) t in (14), we obtain
h+ (p, µ) =
Z1
S+ (p, µ)
0
1
p
p
−
(F (S+ (p, µ) t) + µS+ (p, µ) t)
p−1
dt
Since
F (S+ (p, µ)) +µS + (p, µ) = 0
it follows that
h+ (p, µ) =
Z1
− 1
p
p
dt
S+ (p, µ) −
(F (S+ (p, µ) t) − F (S+ (p, µ)) t)
p−1
(21)
0
Let us rewrite (21) as
− 1
Z1 p
F (S+ (p, µ) t) p F (S+ (p, µ))
p
h+ (p, µ) =
−
dt
t −
t
p
p − 1 (S+ (p, µ) t)p
S+
(p, µ)
0
Now by the assertion ii) of lemma 4.4, we have
− 1
p
F (S+ (p, µ) t) p F (S+ (p, µ))
p
lim h+ (p, µ) =
−
dt
lim
t
p t −
p
µ→−∞
S+ (p,µ)→+∞ 0
p − 1 (S+ (p, µ) t)
S+
(p, µ)
Then from (H3) and using l’Hôpital’s rule, we obtain
R1
− 1
p
F (S+ (p, µ) t) p F (S+ (p, µ))
p
lim
−
dt
t
p t −
p
S+ (p,µ,E)→+∞ 0
p − 1 (S+ (p, µ) t)
S+
(p, µ)
− 1
R1
p
b p b
p
=
−
dt
t − t
p
−
1
p
p
0
1
1
−
p − 1 p R1
p
=
[t − t ] p dt
b
0
1
p−1 p
π
=
π
b
(p − 1) sin
p
R1
28
M. Derhab and M. Megnafi
Case b = +∞
By the assumption (H3), we have
lim
f (u)
u→+∞ up−1
= +∞
Then for all C1 > 0, there exists C2 > 0 such that
f (u) > C 1 up−1, for all u > C 2
Let t ∈ (0, 1), we have
F (S+ (p, µ)) t − F (S+ (p, µ) t)
p
S+
(p, µ)
S+R
(p,µ)
S+ (p,µ)t
R
t
f (u) du −
f (u) du
0
0
=
p
S+
(p, µ)
S+R
(p,µ)
S+ (p,µ)t
R
f (u) du −
f (u) du
0
0
 C 1 τ p−1 dτ, for all
t
C1
p
=
p
S+ (p, µ) > C 2
(1 − t )
Therefore for all S+ (p, µ) > C2 , we have
− 1
1 p − 1 p R1 C1
p
dt
(1 − tp )
p
p
0
− 1
1 p − 1 p R1 C1
p
p
dt
(1 − t )
p
p
0
h+ (p, µ) ≤
≤
Now letting C1 → +∞, we obtain
lim h+ (p, µ) = 0
µ→−∞
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
29
ii) In a similar manner as in i), we prove ii).
iii) Differentiating (21) with respect to µ, we obtain
∂h+
(p, µ) =
∂µ
∂S+
(p, µ) ×
(22)
∂µ
Z1
L (t, S+ (p, µ))
×
dt
p+1
0
p
p
p −
(F (S+ (p, µ) t) − F (S+ (p, µ)) t)
p−1
where
L (t, S+ (p, µ)) := t [pF (S+ (p, µ)) − S+ (p, µ) f (S+ (p, µ))] − [pF (S+ (p, µ) t) − S+ (p, µ) tf (S+ (p, µ) t)]
We have
∂2
2
L (t, S+ (p, µ)) = −S+
(p, µ) [(p − 2) f 0 (S+ (p, µ) t) − S+ (p, µ) tf 00 (S+ (p, µ) t)]
∂t2
By the assumption (H5), it follows that
∂2
L (t, S+ (p, µ)) > 0 for all t ∈ (0, 1)
∂t2
and since L (0, S+ (p, µ)) = L (1, S+ (p, µ)) = 0, we obtain
L (t, S+ (p, µ)) < 0 for all t ∈ (0, 1)
Hence, the integral in (22) is negative and by the assertion i) of lemma 4.4, it follows
that
∂h+
(p, µ) > 0, for all p > 1 and µ < 0.
∂µ
2
5
Proof of theorem 2.1
Proof of Assertion (A)
(i) Assume that a < b ≤ λ1 (p). By lemma 4.3, we have
30
M. Derhab and M. Megnafi
• lim+ T+ (p, µ, E) = h+ (p, µ)
E→0
•
lim T+ (p, µ, E) ≥
E→+∞
1
2
• The function E 7→ T+ (p, µ, E) is strictly decreasing on (0, +∞) .
1
admits no solution in
So, the scalar equation in the variable E, T+ (p, µ, E) =
2
[0, +∞[ .
Therefore, by theorem 3.1, it follows that problem (8) admits no positive solution for
all µ < 0.
p
p
(ii) Assume that
λ1 (p) ≤ a < b. By lemma 4.3, we have
p−1
• lim T+ (p, µ, E) = h+ (p, µ)
E→0+
•
lim T+ (p, µ, E) <
E→+∞
1
2
• The function E 7→ T+ (p, µ, E) is strictly decreasing on (0, +∞) .
1
So, it follows that the scalar equation in the variable E, T+ (p, µ, E) =
admits a
2
1
solution in [0, +∞[ if and only if h+ (p, µ) ≥ .
2
Or, by lemma 4.5, we have
•
lim h+ (p, µ) <
µ→−∞
• lim− h+ (p, µ) ≤
µ→0
1
2
1
2
• The function µ 7→ h+ (p, µ) is strictly increasing on (−∞, 0) .
1
So, there is no µ in (−∞, 0) such that h+ (p, µ) ≥ . Therefore, by theorem 3.1, it
2
follows that problem (8) admits no positive solution for all µ < 0.
Proof of Assertion (B)
(i) Assume that a ≤ λ1 (p) < b ≤
p
p−1
p
λ1 (p). By lemma 4.3, it follows that the
1
scalar equation in the variable E, T+ (p, µ, E) = admits a solution in [0, +∞[ if and
2
1
only if h+ (p, µ) ≥ .
2
Now, by lemma 4.5, we have
•
lim h+ (p, µ) ≥
µ→−∞
1
2
31
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
• lim h+ (p, µ) >
µ→0−
1
2
• The function µ 7→ h+ (p, µ) is strictly increasing on (−∞, 0) .
Therefore, the equation in the variable E, T+ (p, µ, E) =
in (0, +∞) for all µ < 0.
1
admits a unique solution
2
Thus, by theorem 3.1, it follows that for all µ < 0, problem (8) admits a unique
positive solution and it belongs to A+ .
(ii) In a similar manner as in (i), we prove (ii).
Proof of Assertion (C)
• Assume that a <
p
p−1
p
λ1 (p) < b. By lemma 4.3, it follows that the scalar
1
equation in the variable E, T+ (p, µ, E) = admits a solution in [0, +∞[ if and only
2
1
if h+ (p, µ) ≥ .
2
Now, by lemma 4.5 there exists a unique µ∗ (p, a, b) < 0 such that:
• h+ (p, µ) <
1
, for all µ < µ∗ (p, a, b) ,
2
1
• h+ (p, µ∗ (p, a, b)) = ,
2
• h+ (p, µ) >
1
, for all µ > µ∗ (p, a, b) .
2
Therefore, the equation in the variable E, T+ (p, µ, E) =
if and only if µ ≥ µ∗ (p, a, b) .
1
admits a solution in [0, +∞[
2
Thus, by theorem 3.1, it follows that
• If µ < µ∗ (p, a, b), problem (8) admits no positive solution,
• If µ = µ∗ (p, a, b), problem (8) admits a unique positive solution and it belongs to B + ,
• If µ > µ∗ (p, a, b), problem (8) admits a unique positive solution and it belongs to A+ .
6
Examples
In this section we give some examples to illustrate our results.
32
M. Derhab and M. Megnafi
6.1
Example 1
Consider the boundary value problem
0
− (ϕp (u0)) = up + aup−1 + µ in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
(23)
where p > 1, ϕp (y) = |y|p−2 y, a ≥ 0 and µ < 0.
For all u ∈ R+ , let us set
f (u) = up +aup−1
We have
• f ∈ C2
• lim
R∗+ ∩C R+
f (u)
u→0+ up−1
= a and lim
f (u)
u→+∞ up−1
• lim uf 0 (u) = lim
u→0+
u→0+
= +∞
pup + a (p − 1) up−1 = 0
• ∀u > 0 and ∀p > 1, (p − 2) f 0 (u) − uf 00 (u) = −pup−1 < 0
Therefore, by theorem 2.1, it follows that:
p
p
(i) If a ∈ 0,
λ1 (p) , then there exists µ∗ (p, a) < 0 such that:
p−1
• If µ < µ∗ (p, a), problem (23) admits no positive solution,
• If µ = µ∗ (p, a), problem (23) admits a unique positive solution and it belongs to B + ,
• If µ > µ∗ (p, a), problem (23) admits a unique positive solution and it belongs to A+ .
p
p
(ii) If a ∈
λ1 (p) , +∞ , then for all µ < 0, problem (23) admits no positive
p−1
solution.
6.2
Example 2
Consider the boundary value problem
(
2a p−1
0
− (ϕp (u0 )) =
u Arc tan u + aup−1 + µ in (0, 1) ,
π
u (0) = u (1) = 0,
where p ≥ 2, ϕp (y) = |y|p−2 y, a > 0 and µ < 0.
∗
For all u ∈ R+ , let us set
f (u) =
We have
2a p−1
u Arc tan u + aup−1
π
(24)
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
R∗+ ∩C R+
• f ∈ C2
• lim
u→0+
33
f (u)
f (u)
= a and lim p−1 = 2a
p−1
u→+∞
u
u
aup−1 2 (p − 1) 1 + u2 Arc tan u + 2u + π (p − 1) 1 + u2
• lim uf (u) = lim
u→0+
u→0+
π (1 + u2)
=0
0
• ∀u > 0 and ∀p ≥ 2, we have
(p − 2) f 0 (u) −uf 00 (u) =
2a
π (1 +
2
u2 )
(2 − p) u2 − p < 0
Therefore, by theorem 2.1, it follows that:
p
λ1 (p)
p
(i) If a ∈ 0,
λ1 (p) , +∞ , then for all µ < 0, problem (24)
or a ∈
2
p−1
admits no positive solution.
p
λ1 (p) 1
p
(ii) If a ∈
λ1 (p) , then for all µ < 0, problem (24) admits a unique
,
2
2 p−1
positive solution and it belongs to A+ .
p
p
1
p
p
(iii) If a ∈
λ1 (p) ,
λ1 (p) , then there exists
2 p−1
p−1
µ∗ (p, a) < 0 such that:
• If µ < µ∗ (p, a), problem (24) admits no positive solution,
• If µ = µ∗ (p, a), problem (24) admits a unique positive solution and it belongs to B + ,
• If µ > µ∗ (p, a), problem (24) admits a unique positive solution and it belongs to A+ .
6.3
Example 3
Consider the boundary value problem
− (ϕp (u0))0 = exp u − 1 + aup−1 + µ in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
where 1 < p ≤ 2, ϕp (y) = |y|p−2 y, a ≥ 0 and µ < 0.
∗
For all u ∈ R+ , let us set
f (u) = exp u − 1 + aup−1
We have
• f ∈ C2
R∗+ ∩C R+
(25)
34
M. Derhab and M. Megnafi
f (u)
=
u→0+ up−1
f (u)
a if 1 0 and ∀p ≤ 2,we have
(p − 2) f 0 (u) −uf 00 (u) = (p − 2 − u) exp u < 0
Therefore, by theorem 2.1, it follows that:
(i) If p = 2 and a ∈ 0, 4π2 − 1 , then there exists µ∗ (a) < 0 such that:
• If µ < µ∗ (a), problem (25) admits no positive solution,
• If µ = µ∗ (a), problem (25) admits a unique positive solution and it belongs to B + ,
• If µ > µ∗ (a), problem (25) admits a unique positive solution and it belongs to A+ .
(ii) If a ∈ 4π2 − 1, +∞ , then for all µ < 0, problem (25) admits no positive solution.
p
p
(iii) If p ∈ ]1, 2[ and a ∈ 0,
λ1 (p) , then there exists
p−1
µ∗ (p, a) < 0 such that:
• If µ < µ∗ (p, a), problem (25) admits no positive solution,
• If µ = µ∗ (p, a), problem (25) admits a unique positive solution and it belongs to B + ,
• If µ > µ∗ (p, a), problem (25) admits a unique positive solution and it belongs to A+ .
p
p
(iv) If p ∈ ]1, 2[ a ∈
λ1 (p) , +∞ , then for all µ < 0, problem (25) admits no
p−1
positive solution.
6.4
Example 4
Consider the boundary value problem
0
− (ϕp (u0)) = − ln 1 + up−1 + aup−1 + µ in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
p−2
where p > 1, ϕp (y) = |y|
∗
For all u ∈ R+ , let us set
y, a ≥ 1 and µ < 0.
f (u) = aup−1− ln 1 + up−1
We have
• f ∈ C2
R∗+ ∩C R+
(26)
35
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
f (u)
f (u)
= a − 1 and lim p−1 = a
p−1
u→+∞ u
u
p−1
• lim uf 0 (u) = lim up−1 a −
=0
u→0+
u→0+
1 + up−1
• lim
u→0+
2
• ∀u > 0 and ∀p > 1, (p − 2) f 0 (u) − uf 00 (u) = −
(p − 1) u2p−3
(1 + up−1)
2
<0
Therefore, by theorem 2.1, it follows that:
p
p
λ1 (p) + 1, +∞ , then for all µ < 0, problem (26)
p−1
admits no positive solution.
p
p
(ii) If a ∈ λ1 (p) ,
λ1 (p) , then for all µ < 0, problem (26) admits a unique
p−1
positive solution and it belongs to A+ .
p
p
p
p
(iii) If a ∈
λ1 (p) ,
λ1 (p) + 1 , then there exists
p−1
p−1
• If a ∈ [1, λ1 (p)] or a ∈
µ∗ (p, a) < 0 such that:
• If µ < µ∗ (p, a), problem (26) admits no positive solution,
• If µ = µ∗ (p, a), problem (26) admits a unique positive solution and it belongs to B + ,
• If µ > µ∗ (p, a), problem (26) admits a unique positive solution and it belongs to A+ .
7
Appendix
In this section, we prove proposition 4.2.
We consider the following initial boundary value problem:
0
− (ϕp (u0)) = f (u) + µ,
u (x0) = c, u0 (x0) = 0,
(27)
where p > 1, 0 < x0 < 1 and c > 0.
Let 
us consider the following set:

1




−
Rc
e
D=
c > 0 : ∃ ε > 0, f (s) + µ > 0, ∀ s ∈ ]c − ε, c[ and
[F (c) − F (s) + µ (c − s)] p ds < +∞


c−ε


We have the following result:
Lemma 7.1 The problem (27) has at most one right locally strictly decreasing ( left locally
e
strictly increasing ) solution. It exists if and only if c ∈ D.
36
M. Derhab and M. Megnafi
Proof: The proof of this lemma is similar to that of Lemma 1 in [6]. So, it is omitted.
2
e
Remark: It is not difficult to prove that if f (c) + µ > 0, then c ∈ D.
Corollary 7.2 If f (c) + µ > 0, then the local solution of (27) is unique.
Proof: of proposition 4.2.
Assume that u is a positive solution of (8) such that u0 (0) = E ≥ 0, then it admits at
least a maximum value. On the other hand u satisfy the energy equation ( see [[5], p. 421]
)
p
p
|u0 (x)| = E p −
(F (u (x)) + µu (x)) , for all x ∈ [0, 1] .
p−1
p
From lemma 4.1, the function s 7→ E p −
(F (s) + µs) admits a unique positive zero
p−1
S+ (p, µ, E). Then the function u admits a unique maximum value in [0, 1] and we have
∀x ∈ ]0, 1[ , u0 (x) = 0 ⇒ u (x) = S + (p, µ, E)
Now, we consider the following initial problem:
0
− (ϕp (u0)) = f (u) + µ,
u (x0) = S+ (p, µ, E) , u0 (x0) = 0,
(28)
where 0 < x0 < 1.
By the assertion i) of lemma 4.1, we have
f (S+ (p, µ, E)) +µ > 0, for all E ≥ 0
Let
v (x) := u (2x0 − x)
v is a solution of (28) . According to corollary 7.2, the problem (28) admits a unique
solution. Hence the global solution of (28) is unique, which means that u (x) = v (x) for all
1
1
x. Arguing by contradiction we obtain x0 = . Assume that x0 < , then
2
2
0 = u (0) = v (0) = u (2x0)
1
which is impossible. The assumption x0 > , leads to a contradiction in a similar way.
2
1
1
Then we must have x0 = . Since x0 = and u (x) = u (1 − x) , therefore the derivative of
2
2
u vanishes exactly once in ]0, 1[ and u is symmetrical about 12 .
2
References
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p−Laplacian with even superlinearity, Electronic J. Diff. Eqns. 9 (1999), 1-29.
A Class of Quasilinear Boundary Value Problems
37
[2] I. Addou, S. M. Bouguima, M. Derhab & Y. S. Raffed, On the number of solutions of a
quasilinear elliptic class of B. V. P. with jumping nonlinearities, Dynamic Syst. Appl.
7 (4) (1998), 575-599.
[3] I. Addou, S. M. Bouguima, A. Benmezai & M. Derhab, Exactness results for generalized
Ambrosetti-Brezis-Cerami and related one-dimensional elliptic equations, Electronic J.
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[6] J. Karátson & P. L. Simon, Exact multiplicity for degenerate two-point boundary value
problems with p−convex nonlinearity, Nonlinear Anal. T. M. A. 52 (2003), 1569-1590.
[7] F. Merle, Sur la non-existence de solutions positives d’équations surlinéaires, C. R.
Acad. Sci., Sér. 1, Math. 6, (306) (1988), 313-316.
[8] M. Ramaswamy & P. N. Srikanth, On the global set of solutions to a nonlinear O. D.
E. theoretical and numerical description, J. Biff. Ens. 65 (1986), 1-48.
[9] J. Sánchez & P. Ubilla, Uniqueness results for the one-dimensional m-Laplacian considering superlinear nonlinearities, Nonlinear Anal. T. M. A. 54 (2001), 927-938.
[10] B. Ruf & S. Solimini, On a class of Sturm-Liouville problems with arbitrarily many
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[11] C. Scovel, Geometry of some nonlinear differential operators, ph. D. thesis, Courant
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[12] Xiaomin Zheng, Un résultat de non-existence de solution positive pour une équation
elliptique, Ann. Inst. Henri Poincaré, Analyse non linéaire 2 (7) (1990), 91-96.
[13] N. Yebari & A. Zertiti, Existence of non-negative solutions for nonlinear equations in
the semi-positon case, Electronic J. Diff. Eqns., Conference 14 (2006), 249-254.
Communications in Applied Analysis 17 (2013), no. 1, 249–272
ON THE NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF
QUASILINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH
CONSTANT YIELD HARVESTING
MOHAMMED DERHAB1 AND MUSTAPHA MEGHNAFI2
1
Department of Mathematics, Faculty of Sciences
University Abou-Bekr Belkaid Tlemcen
B.P.119, Tlemcen, 13000, Algeria
E-mail: [email protected]
2
University of Béchar, Algeria
E-mail: [email protected]
ABSTRACT. Using time-mapping approach, we study the existence and multiplicity of positive
solutions for the following boundary value problem
(
′
− (ϕp (u′ )) = aϕp (u) − bϕ2p (u) − c in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
where ϕp (y) = |y|
y, y ∈ R, p > 1, aϕp (u) − bϕ2p (u) represents the logistic growth where a > 0
and b > 0 and c > 0 represents the constant yield harvesting.
p−2
AMS (MOS) Subject Classification. 34B15-34C10
1. INTRODUCTION
The purpose of this work is to study the existence and multiplicity of positive
solutions of the following quasilinear boundary value problem

′ ′

= aϕp (u) − bϕ2p (u) − c in (0, 1) ,
 − (ϕp (u ))
(1.1)
u
> 0 in (0, 1) ,


u (0) = u (1) = 0,
where ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, a > 0, b > 0 and c > 0.
The operator u 7→ (ϕp (u′ ))′ is called the one dimensional p-Laplacian. Equations
involving this operator arise in some physical problems and chemical reactions like
the study of flow and heat transfer problem under constant heat flux and constant
wall temperature conditions in the thermal entrance
region of two parallel plates for
du p−2 du electrically conducting fluid in the
a power-law non-Newtonian model τe
a dz dz
presence of a uniform transverse magnetic with viscous dissipation, where τ is the
shear stress, e
a is the half distance between the plates, u represents the axial velocity, z
Received March 10, 2013
c
1083-2564 $15.00 Dynamic
Publishers, Inc.
250
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
is the vertical distance and p represents the index of the power-law, (see [25]) and the
mass transfer in systems with chemical transformations or polymerization process, in
biological systems, and in special cases of catalytic process, (p ≤ 2, see [15]).
On the other hand boundary value problems (1.1) generalize those arising in
population dynamics, where u represents the density at different points of (0, 1) of
a biological species; the reproduction of the species follows the logistic growth, a is
the growth rate of the biological species, b represents the strife coefficient among the
biological species and c represents the rate of harvesting. On the other hand, the
presence of the p-Laplace operator (ϕp (u′ ))′ points out the diffusive character of the
species u, while the Dirichlet boundary conditions means that the domain (0, 1) is
surrounded by a completely hostile exterior such that any member of the population
which reaches the boundary dies immediately, (see [5], [7], [8], [11], [18], [23] and [26]).
Boundary value problems with constant yield harvesting have been studied by
several authors. Let us recall some of the past results for (1.1).
In [9], the authors consider the following boundary value problem

′′

= au − bu2 − c in (0, 1) ,
 −u
u
> 0 in (0, 1) ,


u (0) = u (1) = 0,
(1.2)
where a, b and c are a positive constants.
By using the quadrature method, they proved the following results
• If a ≤ λ1 = π 2 , then the problem (1.2) admits no positive solution,
• There exists c0 = c0 (a, b) such that if c > c0 , then the problem (1.2) admits no
positive solution,
2
3(a−π 2 )
3(3a+π 2 )(a−π 2 ) 6π 4
2
2
• If π < a < 3π and c < c1 = min
,
, b , then the
32b
64b
problem (1.2) admits at least one positive solution,
• If π 2 < a < 2π 2 and c < c1 , then the problem (1.2) admits at least two positive
solutions.
In [19], the authors consider


 −∆u
u


u
the following boundary value problem
= au − bu2 − ch (x) in Ω,
> 0 in Ω,
= 0 on ∂Ω,
(1.3)
where a, b and c are a positive constants, Ω is a smooth bounded region with ∂Ω of
class C 2 in RN for N ≥ 1, and h : Ω → R satisfies h (x) > 0 for x ∈ Ω, maxx∈Ω h (x) =
1, h (x) = 0 for x ∈ ∂Ω and h belongs to the class C α Ω with 0 < α < 1.
By using a perturbation argument based on implicit function theorem, the authors proved the following results
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
251
• If a ≤ λ1 , where λ1 is the first eigenvalue of −∆ with Dirichlet boundary conditions, then the problem (1.3) has no positive solution,
• If a > λ1 , then there exists c1 (a, b) such that if c > c1 (a, b), then the problem
(1.3) has no positive solution,
• If a > λ1 , then there exists c0 (a, b) such that if c < c0 (a, b), then the problem
(1.3) has a positive solution,
• If b > 0, then there exists δ > 0 such that for a ∈ (λ1 , λ1 + δ), the problem (1.3)
has exactly two positive solutions u1 (·, c) and u2 (·, c), for 0 ≤ c < c2 , exactly
one positive solution u1 (·, c) for c = c2 , and no positive solution for c > c2 .
In [27] , the authors consider the following boundary value problem
(
−∆u = au − bu2 − cg (x) in Ω,
u
= 0 on ∂Ω,
(1.4)
where a, b and c are a positive constants, Ω is a smooth bounded region with ∂Ω of
class C 2,α in RN for N ≥ 1, and g ∈ C α Ω with 0 < α < 1.
By using a theorem about the inversion of differentiable mappings between Banach spaces, they proved that for any c > 0 and g (x) ≥ 0, where is not identically
zero for x ∈ Ω, if λ1 < a < λ2 , then the problem (1.4) has either zero, or one, or
two positive solutions. Moreover, there exists c2 > 0 such that the problem (1.4) has
at least one positive solution u1 and at most two positive solutions when c ∈ (0, c2 ),
has exactly one positive solution when c = c2 and has no non-negative solution when
c < c2.
In [20], the authors studied the existence of weak positive solutions of the following problem

p−1

− uγ−1 − ch (x) in Ω,
 −∆p u = au
(1.5)
u
> 0 in Ω,


u
= 0 on ∂Ω,
where ∆p denotes the p-Laplacian operator defined by ∆p := div |∇u|p−2 ∇u , p > 1,
γ > p, a and c are a positive constants, Ω is a bounded domain in RN , N ≥ 1, with
∂Ω of class C 1,α , 0 < α < 1 and connected (if N = 1, we assume Ω is a bounded open
interval) and h : Ω → R is a continuous function in Ω satisfying h (x) ≥ 0 for x ∈ Ω,
h does not vanish identically in Ω, maxx∈Ω h (x) = 1 and h (x) = 0 for x ∈ ∂Ω.
By using the maximum principle and the method sub-solutions and super-solutions,
the authors proved the following results
• If a ≤ λ1 (p), where λ1 (p) is the first eigenvalue of −∆p with Dirichlet boundary
conditions, then the problem (1.5) has no positive solution,
• If a > λ1 (p) and c is very large, then the problem (1.5) has no positive solution,
252
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
• If a > λ1 (p), then there exists c0 (a) > 0 such that if 0 < c < c0 (a), then the
problem (1.5) has a positive solution C 1,α Ω u. Further, this solution u is such
1
p−1
for all x ∈ Ω,
that u (x) ≥ λch(x)
1 (p)
• If a > λ1 (p), then there exists c1 (a) ≥ c0 (a) such that for 0 < c < c1 (a),
problem (1.5) has a maximal a positive solution, and for c > c1 (a) problem
(1.5) has no positive solution.
In [5], the authors studied the existence of weak positive solutions of the following
problem

 −∆p u = am (x) up−1 − buγ−1 − ch (x) in Ω,

(1.6)
u
> 0 in Ω,


u
= 0 on ∂Ω,
where ∆p denotes the p-Laplacian operator defined by ∆p := div |∇u|p−2 ∇u , p > 1,
γ > p, a and c are a positive constants, Ω is a bounded domain in RN , N ≥ 3, with
∂Ω of class C 1,β , 0 < β < 1 and connected. The weight m satisfying m ∈ C (Ω)
and m (x) ≥ m0 > 0 for all x ∈ Ω, also kmk∞ = l < ∞ and h : Ω → R is a
C 1,α Ω function satisfying h (x) ≥ 0 for x ∈ Ω, h does not vanish identically in Ω,
maxx∈Ω h (x) = 1 and h (x) = 0 for x ∈ ∂Ω.
By using the maximum principle and the method sub-solutions and super-solutions,
the authors proved the following results
• If a ≤ λ1 , where λ1 is the first eigenvalue of the following Dirichlet Problem
(
−∆p u = λm (x) |u|p−2 u in Ω,
u
= 0 on ∂Ω,
then the problem (1.6) has no positive solution,
γ−1
(al) γ−p
• If a > λ1 and c >
R
m(x)dx
Ω
p−1
b γ−p
R
, then the problem (1.6) has no positive solution,
h(x)dx
Ω
1 (p)
, where λ1 (p) is the first eigenvalue of −∆p with Dirichlet boundary
• If a > λm
0
conditions, then there exists c0 (a, m0 ) > 0 such that if 0 < c < c0 (a), then
1
ch(x) p−1
the problem (1.6) has a positive solution u such that u (x) ≥ λ1 (p)
for all
x ∈ Ω.
In [6], the authors studied the nonexistence of positive solutions for the following
quasilinear elliptic system


−∆a,p u = a1 v p−1 − b1 v γ−1 − c in Ω,



p−1


− b1 uγ−1 − c in Ω,
 −∆a,p v = a1 u
u
> 0 in Ω,



v
> in Ω,




u=v
= 0 on ∂Ω,
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
253
where ∆a,p denotes the a, p-Laplacian defined by ∆a,p z = div a |∇z|p−2 ∇z ; p > 1,
γ > p; a1 , b1 and c are positive constants, Ω is a smooth bounded domain in RN
(N ≥ 1) with smooth boundary and a ∈ L∞ (Ω), a (x) ≥ a0 > 0 for all x ∈ Ω.
The object of this work is to improve and generalize the results obtained in the
one dimensional case.
The paper is organized as follows: In section 2, we state our main result. In
section 3, we state the method used to prove our main result. Some preliminary
lemmas are the aim of section 4. Finally section 5 is devoted to the proof of our main
result.
2. MAIN RESULTS
We consider the boundary value problem
(
− (ϕp (u′ ))′ = aϕp (u) − bϕ2p (u) − c in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
(2.1)
where ϕp (y) = |y|p−2 y, y ∈ R, p > 1, a > 0, b > 0 and c > 0.
To state our result, define
S + = u ∈ C 1 ([0, 1]) ; u > 0 in (0, 1) , u (0) = u (1) = 0 and u′ (0) > 0 .
Let A+ be the subset of S + composed by the functions u satisfying:
i) u is symmetrical about 21 .
ii) The derivative of u vanishes once and only once in (0, 1).
Let B + be the subset of C 1 ([0, 1]) composed by the functions u satisfying:
i) u > 0 in (0, 1) and u (0) = u′ (0) = u (1) = 0.
ii) u is symmetrical about 12 .
iii) The derivative of u vanishes once and only once in (0, 1).
From [16] the minimum λp of the Rayleigh quotient
R1
0
R1
0
|u′ (x)|p
|u (x)|
, 1 < p < +∞,
p
taken among all real valued functions u ∈ C 1 ([0, 1]) with u (0) = u (1) = 0 is equal
to the first eigenvalue λ1 (p) of the equation
′
− (ϕp (u′ )) = λϕp (u) ,
(2.2)
254
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
and from [22] λ1 (p) is expressed by
 1
Z

λ1 (p) := (p − 1) 2
0
dt
(1 −
The main results of this work are
1
tp ) p
p
 = (p − 1)
2π
p sin πp
!p
.
Proposition 2.1. If a ≤ λ1 (p), then the problem (2.1) admits no positive solution.
Proposition 2.2. If c >
a2
,
4b
then the problem (2.1) admits no positive solution.
2p−1 a2
Theorem 2.3. Assume that a > λ1 (p), b > 0 and 0 < c < c∗ := p2 4b .
p
p
λ1 (p), then there exists a real c0 ∈ (0, c∗ ) such that
(A) If 1 p−1
(i) If c < c0 , then the problem (2.1) admits a unique positive solution and it belongs
to A+ ,
(ii) If c = c0 , then the problem (2.1) admits exactly two positive solutions one belongs
+
to B + and the other belongs to
2
A . p
(2p−1)(a−λ1 (p))2
p
a
,
(B) If 1 2 and a ≥ (p−1)p−1 β p , p , where β (·, ·) is the Euler-Beta function
defined by
β (x, y) =
Z1
tx−1 (1 − t)y−1 dt, x > 0 and y > 0.
0
then the problem (2.1)
no positive solutions.
admits
p
p
p p
(D) If p > 2, a ≤ min
λ
(p)
,
2
m
(p)
and
1
p−1
2
2
(2p−1)(a−λ1 (p))
a
, where m is defined by
0 < c < min (p+1)
2 ,
4b
b
Z 1
−1
dt
′ P
m (p) = (p )
h
i 1p ,
0
1
1
p
2p−1
(1 − t ) − 2p−1 (1 − t
)
p
then he problem (2.1) admits exactly two positive solutions and they belongs to
A+ .
3. TIME-MAPPING APPROACH
In this section we introduce the well-know time mapping approach (see for instance [1]–[13]).
Consider the following boundary value problem
(
− (ϕp (u′ ))′ = g (u) in (0, 1) ,
u (0) = u (1) = 0,
(3.1)
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
255
where g ∈ C (R+ , R).
Rs
Define G (s) := g (t) dt.
0
For any E ≥ 0 and p > 1, let
X+ (p, E) = s > 0; E p −
and
S+ (p, E) =
(
p
G (ζ) > 0, ∀ ζ, 0 < ζ < s ,
p−1
0 if X+ (p, E) = ∅,
SupX+ (p, E) otherwise.
Let
D = {E ≥ 0; 0 < S+ (p, E) < +∞ and g (S+ (p, E)) > 0} ,
and we define the following time-map
T+ (p, E) =
S+Z(p,E)
0
p
E −
G (u)
p−1
p
− p1
du.
We now state the following well know theorem without proof (see for instance [13]).
Theorem 3.1. Assume that g ∈ C (R+ , R), E ≥ 0 and p > 1. Then
• Problem (3.1) admits a solution u ∈ A+ satisfying u′ (0) = E if and only if
E ∈ D ∩ (0, +∞) and T+ (p, E) = 21 . In this case the solution is unique and its
sup-norm is equal to S+ (p, E).
• Problem (3.1) admits a solution u ∈ B + if and only if 0 ∈ D and T+ (p, 0) = 21 .
In this case the solution is unique and its sup-norm is equal to S+ (p, 0).
4. PRELIMINARY LEMMAS
Lemma 4.1. Consider the following equation with s ∈ R+ :
b
a p
2p−1
p
′
s −
s
− cs = 0,
E −p
p
2p − 1
where p > 1, E ≥ 0, p′ =
(4.1)
p
,
p−1
a > λ1 (p), b > 0 and 0 < c < c∗ are real parameters.
p1
b
, where
α2p−1 − cα
Then there exists a real positive E∗ (p, c) := p′ ap αp − 2p−1
1
√
p−1
2
α := a+ a2b −4bc
such that
(i) If 0 ≤ E ≤ E∗ (p, c), the equation (4.1) admits a unique positive zero r+ (p, c, E),
(ii) If E > E∗ (p, c), the the equation (4.1)admits no positive zero.
(iii) The function E 7→ r+ (p, c, E) is C 1 in [0, E∗ (p, c)) and we have for all p > 1,
c ∈ (0, c∗ ) and E ∈ [0, E∗ (p, c)),
∂r+
(p − 1) E p−1
(p, c, E) = p−1
> 0.
2p−2
∂E
ar+ (p, c, E) − br+
(p, c, E) − c
256
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
h
(2p−1)
2b
(iv) limE→0+ r+ (p, c, E) =
(v) limE→E∗ (p,c) r+ (p, c, E) = α.
a
p
−
q
a2
p2
−
4bc
2p−1
1
i p−1
.
Proof. The proof is similar to that of Lemma 4.1 in [3]. So, it is omitted.
We are now ready to compute X+ (p, c, E) for any p > 1, c ∈ (0, c∗ ) and E ≥ 0,
as defined in section 3.
In fact
X+ (p, c, E) = (0, r+ (p, c, E)) .
Also, we have that:
S+ (p, c, E) = r+ (p, c, E) .
On other hand, if we define the function f by
f (u) = aup−1 − bu2p−2 − c for all u > 0,
we have
D = {E ≥ 0, 0 < S+ (p, c, E) < +∞ and f (S+ (p, c, E)) > 0}
= [0, E∗ (p, c)) .
By Lemma 4.1, we have
lim+ S+ (p, c, E) =
E→0
lim
E→E∗ (p,c)
"
(2p − 1)
2b
a
−
p
s
a2
p2
−
4bc
2p − 1
1
!# p−1
,
S+ (p, c, E) = α,
and for all p > 1, c ∈ (0, c∗ ) and E ∈ [0, E∗ (p, c)),
∂S+
(p − 1) E p−1
(p, c, E) =
> 0.
∂E
aS+p−1 (p, c, E) − bS+2p−2 (p, c, E) − c
(4.2)
Now, we define the time-map T+ by
T+ (p, c, E) =
S+Z
(p,c,E)
0
− p1
[E p − p′ F (u)]
du,
for any p > 1, c ∈ (0, c∗) and E ∈ [0, E∗ (p, c)), where
a
b
F (u) = up −
u2p−1 − cu,
p
2p − 1
and the application h+ by
h+ (p, c) =
S+
Z(p,c)
− p1
[−p′ F (u)]
du
(4.3)
0
for any p > 1, c ∈ (0, c∗) where S+ (p, c) := S+ (p, c, 0).
Proposition 4.2. If u is a positive solution of problem (2.1), then u ∈ A+ ∪ B + .
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
257
Proof. The proof is similar to that of Proposition 4.2 in [10]. So, it is omitted.
Lemma 4.3. For any p > 1 and 0 < c < c∗ , we have:
(i) limE→0+ T+ (p, c, E) = h+ (p,
( c).
+∞ if 1 2,
1
′ −p
J (p, c) = (p )
Zα
1
(F (α) − F (u))− p du.
0
Proof. Let p > 1 and 0 < c < c∗ be fixed.
(i) We have
lim+ T+ (p, c, E) = lim+
E→0
E→0
S+Z
(p,c,E)
− p1
[E p − p′ F (u)]
du
0
= lim+
E→0
=
Z
Z1
− p1
S+ (p, c, E) [E p − p′ F (S+ (p, c, E) t)]
dt
0
1
− p1
S+ (p, c) [−p′ F (S+ (p, c) t)]
dt
0
=
S+
Z(p,c)
− p1
[−p′ F (u)]
du
0
= h+ (p, c) .
(ii) We have
lim
E→E∗ (p,c)
′
T+ (p, c, E) = (p )
′
= (p )
= (p′ )
That is
lim
−1
p
lim
E→E∗ (p,c)
−1
p
−1
p
Z
Z
1
s+ (p, c, E)
1
0
1
[F (s+ (p, c, E)) − F (s+ (p, c, E) t)] p
α
1
[F (α) − F (αt)] p
Z α
du
1 .
0 [F (α) − F (u)] p
dt
dt
0
′
T+ (p, c, E) = (p )
−1
p
Z
α
du
(4.4)
1 .
[F (α) − F (u)] p
On the other hand, since f (α) = 0, then by Taylor’s Formula with Lagrange’s
reminder, there exists a point ζ in the open interval (u, α) such that
E→E∗ (p,c)
0
F (u) = F (α) +
where
(α − u)2 ′
f (ζ) ,
2
f ′ (ζ) = (p − 1) ζ p−2 a − 2bζ p−1 .
258
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
Which implies that
lim−
u→α
F (α) − F (u)
f ′ (α)
.
=
−
2
(α − u)2
Which means that for each ε > 0, there exists δ (ε) > 0 such that
for all
F (α)−F (u) f ′ (α) u ∈ (0, α), the condition α − u < δ (ε) implies that (α−u)2 + 2 < ε.
Now, if we choose ε > 0 such that ε < − f
I1 (p, α, ε) ≤
′ (α)
4
, then by (4.4), it follows that
T+ (p, c, E) ≤ I2 (p, α, ε) ,
lim
E→E∗ (p,c)
(4.5)
where
I1 (p, α, ε) = Ie1 (p, α, ε) + Ib1 (p, α, ε) ,
with
and
and
Ie1 (p, α, ε) = (p′ )
Ib1 (p, α, ε) = (p′ )
−1
p
Z
α−δ(ε)
du
1
[F (α) − F (u)] p
0
,
−1
′
Z α
p
du
f (α)
+ε
−
2 ,
2
α−δ(ε) [α − u] p
I2 (p, α, ε) = Ie2 (p, α, ε) + Ib2 (p, α, ε) ,
with
Ie2 (p, α, ε) = (p )
′
and
−1
p
−1
p
Z
α−δ(ε)
du
1
[F (α) − F (u)] p
0
,
−1
′
Z α
p
du
f (α)
−ε
−
2 .
2
α−δ(ε) [α − u] p
Rα
Now since the integral α−δ(ε) du 2 is convergent if and only if p > 2, then by
Ib2 (p, α, ε) = (p′ )
−1
p
[α−u] p
(4.5), it follows that

+∞
lim T+ (p, c, E) =
J (p, c)
E→E∗ (p,c)
where J (p, c) = (p′ )
−1
p
Rα
0
du
1
[F (α)−F (u)] p
if 1 2,
.
Lemma 4.4. For all p > 2, we have
−1
p
m (p), where the function m is defined by
Z 1
−1
dt
′ P
m (p) = (p )
i 1p .
h
0
1
1
p
2p−1
(1 − t ) − 2p−1 (1 − t
)
p
(i) limc→0+ J (p, c) = a
(ii) limc→c∗ J (p, c) = a
−1
p
2
(p−1)p−1
p1
β
1 p−2
, p
p
.
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
259
(iii) The function c 7−→ J (p, c) is strictly increasing.
Proof. Let p > 2 be fixed.
(i) We have
′
J (p, c) = (p )
−1
P
Z
α
1
α
[F (α) − F (u)] p
1
h
0
′
= (p )
−1
P
Z
0
′
= (p )
−1
P
Z
h
0
This implies that
′
lim+ J (p, c) = (p )
c→0
= a
−1
p
du
−1
P
a
p
Z
c→0
(p )
Z
−1
P
−1
p
b
αp−1 (1
2p−1
− cu
− t2p−1 ) − cα1−p (1 − t)
1
h
0
1
h
0
= a
b
u2p−1
2p−1
dt
(1 − tp ) −
lim+
′
du
a p
b
2p−1
α − 2p−1 α
− cα − ap up −
p
m (p) .
i p1
i p1 .
dt
a
p
(1 −
tp )
−
b
αp−1 (1
2p−1
−
t2p−1 )
dt
1
p
(1 −
tp )
−
1
2p−1
(1 −
t2p−1 )
−
cα1−p
(1 − t)
i p1
i p1
(ii) Notice that
′
lim J (p, c) = (p )
c→c∗
′
= (p )
= a
= a
(iii) We have
J (p, c) =
−1
P
−1
P
Z
lim
c→c∗
−1
p
−1
p
lim
c→c∗
′
(p )
1
0
Z
1
0
Z1
dt
h
h
h
a
p
(1 −
tp )
−
b
αp−1 (1
2p−1
−
h
t2p−1 )
−
cα1−p
(1 − t)
dt
a
p
(1 −
tp )
−
√
a+ a2 −4bc
4p−2
dt
1
p
b
u2p−1
2p−1
i p1 .
t2p−1 )
i p1
du
a p
b
2p−1 − cα − a up −
α
−
α
p
2p−1
p
−
√2bc
a+ a2 −4bc
(1 −
1
(t − tp ) + 2p
(t2p−1 − t)
0
p1 1 p−2
2
β
.
,
p p
(p − 1)p−1
α
0
−1
P
Z
− cu
Again using the change of variables u = αt, we obtain
Z 1
dt
J (p, c) =
h
i p1 .
0
a
b
(1 − tp ) − 2p−1 αp−1 (1 − t2p−1 ) − cα1−p (1 − t)
p
i p1
(1 − t)
i p1
260
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
Since α =
J (p, c) =
Z
1
1
√
a+ a2 −4bc p−1
,
2b
h
a
p
0
(1 −
tp )
−
one has
1
4p−2
dt
√
a + a2 − 4bc (1 − t2p−1 ) −
√2bc
a+ a2 −4bc
(1 − t)
Differentiating this equality with respect to c, we obtain
∂J
(p, c)
∂c
−1
=
p
Z
b
√
(2p−1) a2 −4bc
1
h
0
a
p
(1 −
tp )
−
1
4p−2
(1 − t2p−1 ) −
a+
√
−b
= √
√
2 ×
p a2 − 4bc a + a2 − 4bc
Z
1
0
a2
"
√
2c
2b(a+ a2 −4bc)+ √ 4b
a2 −4bc
√
2
(a+ a2 −4bc)
− 4bc (1 −
t2p−1 )
−
#
(1 − t)
√2bc
a+ a2 −4bc
(1 − t)
i p1
dt
i p+1
p
√
√
(1 − t2p−1 ) − 2 a + a2 − 4bc a2 − 4bc + 4bc (1 − t)
dt.
h
i p+1
√
p
1
a
2bc
p
2
2p−1
(1 − t ) − 4p−2 a + a − 4bc (1 − t
) − a+√a2 −4bc (1 − t)
p
(a+
√
a2 −4bc)
(2p−1)
2
Then, we have
∂J
(p, c)
∂c
(4.6)
= A (p, b, c)
Z
where
1
0
h
a
p
(1 −
tp )
−
1
4p−2
L (t, p, c)
√
a + a2 − 4bc (1 − t2p−1 ) −
√2bc
a+ a2 −4bc
(1 − t)
−b
A (p, b, c) = √
√
2 ,
p a2 − 4bc a + a2 − 4bc
and for all t ∈ [0, 1),
√
2
a + a2 − 4bc
1 − t2p−1
L (t, p, c) =
(2p − 1)
√
√
− 2 a + a2 − 4bc
a2 − 4bc + 4bc (1 − t) .
We have
√
2a2 − 4bc + 2a a2 − 4bc
1 − t2p−1
L (t, p, c) =
2p − 1
√
− 2a a2 − 4bc + 2a2 − 4bc (1 − t)
1 − t2p−1 √
2
− (1 − t)
= 2a a2 − 4bc + 2a − 4bc
2p − 1
Since
√
2a a2 − 4bc + 2a2 − 4bc > 0,
dt,
i p+1
p
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
and
we obtain that
1 − t2p−1
2p − 1
− (1 − t) < 0, for all t ∈ [0, 1) ,
L (t, p, c) > 0, for all t ∈ [0, 1) .
(4.7)
Then by (4.6) and (4.7), it follows that
∂J
(p, c) < 0, for all p > 2 and 0 < c < c∗ .
∂c
Which means that the function c 7−→ J+ (p, c) is strictly increasing.
Lemma 4.5. For all p > 1, we have
(i) limc→0+ s+ (p, c) = 0+ .
h
i 1
2p−1 a p−1
(ii) limc→c∗ s+ (p, c) =
.
2p
b
(iii)
∂s+
∂c
(p, c) =
s+ (p,c)
,
2p−2
asp−1
(p,c)−bs
(p,c)−c
+
+
for all c ∈ (0, c∗ ).
Proof. Let p > 1 be fixed.
(i) We have


lim (2p − 1) 
lim s+ (p, c) =
c→0+
c→0+
a
p
−
q
a2
p2
−
q
−
4bc
2p−1
2b
= 0+ .
1
 p−1

(ii) Also,
lim s+ (p, c) =
c→c∗
c→
=
“ lim ”
261
2p−1
p2
a2
4b
2p − 1
2p


(2p − 1) 
1
p−1
a
.
b
a
p
a2
p2
2b
−
4bc
2p−1
1
 p−1

ii) Notice that
b
a p
s+ (p, c) −
s2p−1 (p, c) − cs+ (p, c) = 0, for all c ∈ (0, c∗ ) .
p
2p − 1 +
Differentiating this equation with respect to c, we obtain
∂s+
s+ (p, c)
(p, c) = p−1
, for all c ∈ (0, c∗ ) .
∂c
as+ (p, c) − bs2p−2
(p, c) − c
+
Lemma 4.6. For all p > 1, we have
1
λ1 (p) p
p
(i) limc→0 h+ (p, c) = 2(p−1)
.
a
262
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI

 +∞ if 1 2.
,
p
p
(p−1)p−1
(iii) The function c 7→ h+ (p, c) is strictly increasing on (0, c∗ ).
Proof. Let p > 1 be fixed.
(i) We have
h+ (p, c) =
Z
s+ (p,c)
du
h
−p′ ap up −
0
b
u2p−1
2p−1
− cu
i p1 , for all c ∈ (0, c∗ ) .
Using the change of variables u = s+ (p, c) t, we obtain for all c ∈ (0, c∗ ),
h+ (p, c) =
p−1
p
p1 Z1
0
Since
h − ap sp+ (p, c) tp −
s+ (p, c)
b
s2p−1
2p−1 +
i 1p dt.
(p, c) t2p−1 − cs+ (p, c) t
a p
b
s+ (p, c) −
s2p−1 (p, c) − cs+ (p, c) = 0, for all c ∈ (0, c∗ ) ,
p
2p − 1 +
it follows that
1
p−1 p
×
h+ (p, c) =
p
Z1
0
a
b
sp (p,c)− 2p−1
s2p−1
(p,c)
+
p +
=
p−1
p
S+ (p,c)
p1 Z1
0
h
s+ (p, c) dt
S+ (p, c) t −
a p
s
p +
(p, c) tp +
b
s2p−1
2p−1 +
dt
a
p
(t −
tp )
+
b
sp−1 (p, c) (t2p−1
2p−1 +
− t)
Now since limc→0+ s+ (p, c) = 0+ , we obtain
lim+ h+ (p, c) =
c→0
=
p−1
p
p−1
a
p−1
a
p1 Z1
0
p1 Z1
0
p1
h
i 1p .
dt
a
t
p
−
a p
t
p
dt
1
[t − tp ] p
π
(p − 1) sin πp
1
λ1 (p) p
p
.
=
2 (p − 1)
a
=
i p1
(p, c) t2p−1
1p
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
(ii) Since limc→c∗ s+ (p, c) =
lim h+ (p, c) =
c→c∗
= a
2p−1
2p
p−1
p
−1
p
a
b
1
p−1
p1 Z1
0
p−1
p
h
263
, one has
dt
a
p
(t − tp ) +
p1 Z1
h
a
2p
(t2p−1 − t)
dt
1
p
1
2p
i p1
(t2p−1
(t −
+
− t)
0

 +∞ if 1 2.
,
β
p−1
p
p
(p−1)
tp )
i p1
(iii) Let c ∈ (0, c∗ ), we have
Z s+ (p,c)
du
h+ (p, c) =
h
i p1
0
a p
b
′
2p−1
−p p u − 2p−1 u
− cu
′
= (p )
−1
p
Z1
0
= (p′ )
−1
p
Z1
0
h
s+ (p, c)
2p−1
a p
b
a p
s
(p,
c)
−
s
(p,
c)
t
−
s (p, c) tp −
p +
2p−1 +
p +
s+ (p, c)
1
[tF (s+ (p, c)) − F (s+ (p, c) t)] p
b
s2p−1 t2p−1
2p−1 +
i p1 dt
dt.
This means that
h+ (p, c) = (p′ )
−1
p
Z1
s+ (p, c)
1
[tF (s+ (p, c)) − F (s+ (p, c) t)] p
0
(4.8)
dt.
Differentiating (4.8) with respect to c, we obtain
−1 ∂s
∂h+
+
(p, c) = (p′ ) p
(p, c)
∂c
∂c
Z1
0
e (t, s+ (p, c))
L
p [tF (s+ (p, c)) − F (s+ (p, c) t)]
p+1
p
dt,
(4.9)
where
e (t, s+ (p, c)) := t [pF (s+ (p, c)) − s+ (p, c) f (s+ (p, c))]
L
− [pF (s+ (p, c) t) − s+ (p, c) tf (s+ (p, c) t)] ,
We have
h
i
∂ L
′′
2
′
(t, s+ (p, c)) = −s+ (p, c) (p − 2) f (s+ (p, c) t) − s+ (p, c) tf (s+ (p, c) t)
∂t2
= −2 (p − 1)2 bs2p−1
(p, c) t2p−3 < 0, for all t ∈ (0, 1) ,
+
2e
and since
e (0, s+ (p, c)) = L
e (1, s+ (p, c)) = 0,
L
264
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
we obtain
e (t, s+ (p, c)) > 0, for all t ∈ (0, 1) .
L
Hence the integral in (4.9) is positive and by the assertion (iii) of lemma 4.5, it
follows that
∂h+
(p, c) > 0, for all p > 1 and c ∈ (0, c∗) .
∂c
Lemma 4.7. For all p > 1 and c ∈ (0, c∗ ), the time-map E 7→ T+ (p, c, E) admits a
unique critical point E1 on (0, E∗ (p, c)) at which its global minimum value is obtained.
Proof. Let p > 1 and c ∈ (0, c∗ ) be fixed.
We have
T+ (p, c, E) =
s+Z
(p,c,E)
0
′
= (p )
−1
p
Z
du
h
p
′
E − p ap up −
b
u2p−1
2p−1
− cu
s+ (p,c,E)
0
[ (
a
p
i p1
du
sp+ (p,c,E)−up
)
b
− 2p−1
(
s2p−1
(p,c,E)−u2p−1
+
.
)−c (s+ (p,c,E)−u)]
1
p
We observe that
T+ (p, c, E) = (p′ )
−1
p
Ť+ (p, c, s) ,
where
We have
s := s+ (p, c, E) and Ť+ (p, c, s)
Z s
du
=
h
i p1 .
0
a
b
p
p
2p−1
2p−1
(s − u ) − 2p−1 (s
−u
) − c (s − u)
p
−1 ∂s
∂T+
∂ Ť+
+
(p, c, E) = (p′ ) p
(p, c, E) ×
(p, c, s) .
(4.10)
∂E
∂E
∂s
Since for all p > 1 and c ∈ (0, c∗ ), the function E 7→ s+ (p, c, E) is strictly increasing on
(0, E∗ (p, c)) then by (4.10), it follows that to study the variations of E 7→ T+ (p, c, E),
it suffices to study those of Ť+ with respect to s.
With this in mind, we consider
Z
d s
du
∂ Ť+
(p, c, s) =
i p1
h
∂s
ds 0 a p
b
p
2p−1
2p−1
(s − u ) − 2p−1 (s
−u
) − c (s − u)
p
Z 1
s
d
=
h
i p1 dt
ds 0 a p
b
s (1 − tp ) − 2p−1 s2p−1 (1 − t2p−1 ) − cs (1 − t)
p
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
1
=
p
Z
s
0
s
where
H (p, c, s) − H (p, c, u)
h
a
p
(sp
−
up )
−
b
2p−1
b
2p−1
u
− cu .
2p − 1
H (p, c, u) = (p − 1)
We have
265
(s2p−1
−
u2p−1 )
∂H
(p, c, u) = (p − 1) bu2p−2 − c .
∂u
− c (s − u)
i 1p du,
(4.11)
(4.12)
2
a
By (4.11) and (4.12) and since p > 1 and c < c∗ = 2p−1
, it follows that there
p2
4b
exists two real numbers s1 and s2 with
√
1
1
1
c 2p−2
(2p − 1) c 2p−2
a + a2 − 4bc p−1
s1 =
< s2 =
<α=
,
b
b
2b
such that
∂H
∂u
(p, c, u) < 0 on (0, s1 ) ,
∂H
∂u
(p, c, s1 ) = 0,
∂H
∂u
(p, c, u) > 0 on (s1 , α) ,
H (p, c, u) < 0 on (0, s2 ) ,
H (p, c, s2 ) = 0,
and
H (p, c, u) > 0 on (s2 , α) .
So, it follows that
∂ Ť+
(p, c, s) < 0, for all s ∈ (0, s1 ) ,
∂s
and
∂ Ť+
(p, c, s) > 0, for all s ∈ (s2 , +∞) .
∂s
Hence for all p > 1 and c ∈ (0, c∗ ), there exists s∗ ∈ [s1 , s2 ] such that
∂ Ť+
∂s
(p, c, s∗ ) = 0.
Now, we are going to prove that the time-map s 7→ Ť+ (p, c, s) admits a unique
critical point s∗ , at which its global minimum value is obtained.
We have
2
p+1
∂ T̃+
(p,
c,
s)
=
∂s2
p2
+
1
p
Z
Z
0
s2
s
0
[H (p, c, s) − H (p, c, u)]2
s
s2
h
h
a
p
a
p
(sp
−
up )
−
b
2p−1
(s2p−1
−
u2p−1 )
Ψ (p, c, s) − Ψ (p, c, u)
(sp − up ) −
b
2p−1
du
i 2p+1
p
− c (s − u)
(s2p−1 − u2p−1 ) − c (s − u)
du,
i p+1
p
266
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
where
Ψ (p, c, u) =
Also note that,
(p − 1) (p − 2) 2p−1
bu
+ p (p − 1) u.
2p − 1
∂Ψ
(p, c, u) = (p − 1) (p − 2) bu2p−2 + p (p − 1) c.
∂u
We distinguish two cases
Case 1: p ≥ 2.
In this case we have
∂Ψ
∂u
(p, c, u) > 0 and consequently
∂ 2 T̃+
∂s2
(p, c, s) > 0.
Case 2: 1 < p < 2.
In this case, we have
s
where
2∂
2
T̃+
∂ T̃+
(p,
c,
s)
+
s
(p, c, s)
∂s2
∂s
Z
p+1 s
[H (p, c, s) − H (p, c, u)]2
=
du
h
i 2p+1
p2
p
0
b
a
p
p
2p−1
2p−1
(s − u ) − 2p−1 (s
−u
) − c (s − u)
p
Z s
1
g (s) − g (u)
+
du,
h
i p+1
p 0 a p
p
b
(s − up ) − 2p−1 (s2p−1 − u2p−1 ) − c (s − u)
p
2
g (u) = (p − 1)
e
Since
we obtain that
s
2∂
2
b
2p−2
u
+ cu .
2p − 1
ge′ (u) = (p − 1)2 bu2p−2 + c > 0,
T̃+
∂ T̃+
(p, c, s) + s
(p, c, s) > 0, for all s ∈ (s1 , s2 ) .
2
∂s
∂s
2
T̃+
(p, c, s∗) = 0 and consequently ∂∂sT̃2+ (p, c, s∗ ) > 0,
Since s∗ is a critical point, then ∂∂s
which means that the time-map s 7→ T̃+ (p, c, s) admits a unique critical point s∗ , at
which it’s global minimum value is obtained and consequently T+ admits a unique
critical point E1 on (0, E∗ (p, c)) at which it’s global minimum value is obtained.
Lemma 4.8. For all p > 1, we have
1
1 λ1 (p) p
(i) limc→0+ T+ (p, c, E1 ) = 2
.
a
(ii) The function c 7→ T+ (p, c, E1 ) is strictly increasing.
1 h
i− p1
1−p
b p−1
1 λ1 (p) p a
− p S+ (p, c, E1 ) − cS+ (p, c, E1 )
, for all 0 <
(iii) T+ (p, c, E1 ) ≤ 2
p
p
2
a
.
c < min c∗ , (p+1)
2
b
Proof. Let p > 1 be fixed.
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
267
(i) We have
lim+ T+ (p, c, E1 ) =
c→0
Zs∗
0
du
h
p
′
E1 − p ap up −
′
= (p )
−1
p
Zs∗
0
′
= (p )
−1
p
Z1
0
= (p′ )
−1
p
Z1
0
h
b
u2p−1
2p−1
− cu
i p1
du
2p−1
b
a p
s − 2p−1 s∗
− cs∗ − ap up −
p ∗
b
u2p−1
2p−1
− cu
s∗
h
a p
s
p ∗
h
a
p
(1 −
tp )
−
b
s2p−1 (1
2p−1 ∗
−
t2p−1 )
− cs∗ (1 − t)
dt
(1 −
tp )
−
b
sp−1
2p−1 ∗
(1 −
t2p−1 )
−
i p1
cs1−p
∗
(1 − t)
i p1 dt
i p1 .
=
= limc→0+ cs1−p
Since s1 < s∗ < s2 , limc→0+ s1 = limc→0+ s2 = 0+ , and limc→0+ cs1−p
2
1
+
0 , we obtain
′
lim+ T+ (p, c, E1 ) = (p )
c→0
−1
p
Z1
0
=
p−1
a
h
dt
a
p
(1 −
p1 Z1
tp )
dt
i p1
1
(1 − tp ) p
0
1
1
1
p−1 p 1
β
,1 −
=
a
p
p
p
p1
p−1
1 π
=
a
p sin πp
1
1 λ1 (p) p
=
.
2
a
(ii) Note that
∂T+
(p, c, E)
∂E
Z s+ (p,c,E)
−1
H (p, c, s+ (p, c, E)) − H (p, c, u)
′ p ∂s+
= (p )
(p, c, E)
p+1 du,
∂E
0
ps+ (p, c, E) [F (s+ (p, c, E)) − F (u)] p
(4.13)
and
∂T+
(p, c, E)
∂c
Z s+ (p,c,E)
−1
H (p, c, s+ (p, c, E)) − H (p, c, u)
′ p ∂s+
= (p )
(p, c, E)
p+1 du
∂c
0
ps+ (p, c, E) [F (s+ (p, c, E)) − F (u)] p
268
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
′
+ (p )
−1
p
Z
s+ (p,c,E)
s2+ (p, c, E) − u2
ps+ (p, c, E) [F (s+ (p, c, E)) − F (u)]
0
p+1
p
du.
By the previous equality and (4.13), one has
−
∂s+
∂T+
∂s+
∂T+
(p, c, E) ×
(p, c, E) +
(p, c, E) ×
(p, c, E)
∂c
∂E
∂E
∂c
Z s+ (p,c,E)
−1
s2+ (p, c, E) − u2
′ p ∂s+
(p, c, E)
= (p )
p+1 du.
∂E
0
ps+ (p, c, E) [F (s+ (p, c, E)) − F (u)] p
Since
∂s+
(p, c, E) > 0 and
∂E
Z
s+ (p,c,E)
s2+ (p, c, E) − u2
ps+ (p, c, E) [F (s+ (p, c, E)) − F (u)]
0
p+1
p
du > 0,
we obtain that
−
∂s+
∂T+
∂s+
∂T+
(p, c, E) ×
(p, c, E) +
(p, c, E) ×
(p, c, E) > 0.
∂c
∂E
∂E
∂c
∂s+
∂E
+
(p, c, E1 ) = 0 and
Now since ∂T
∂E
by (4.14), it follows that
(4.14)
(p, c, E) > 0 for all E ∈ (0, E∗ (p, c)), then
∂T+
(p, c, E1 ) > 0,
∂c
which means that the function c 7−→ T+ (p, c, E1 ) is strictly increasing.
(iii) We have
T+ (p, c, E1 ) =
Zs∗
0
′
= (p )
−1
p
Zs∗
0
= (p′ )
−1
p
Z1
0
′
= (p )
−1
p
Z1
0
= (p′ )
−1
p
Z1
0
h
h
E1p − p′ ap up −
du
b
u2p−1
2p−1
− cu
du
2p−1
a p
b
a p
s
s
u −
−
−
cs
−
∗
p ∗
2p−1 ∗
p
i p1
b
u2p−1
2p−1
− cu
s∗
h
a p
s
p ∗
h
a
p
h
a
p
(1 −
tp )
−
b
s2p−1 (1
2p−1 ∗
−
t2p−1 )
− cs∗ (1 − t)
dt
(1 −
tp )
−
b
sp−1 (1
2p−1 ∗
−
t2p−1 )
−
cs1−p
∗
(1 − t)
dt
(1 −
tp )
2p−1
(1 − tp ), 1
p
− cS+1−p (p, c, E1 )
Since 1 − t2p−1 ≤
b
S p−1 (p, c, E1 )
2p−1 +
−
b
S p−1 (p, c, E1 ) (1
2p−1 +
i p1
−
t2p−1 )
−
i p1 dt
i p1
cS+1−p
(p, c, E1 ) (1 − t)
i p1 .
− t ≤ 1 − tp , for all t ∈ [0, 1) and ap −
a2
, we
> 0, for all 0 < c < min c∗ , (p+1)
2
b
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
269
obtain that
− p1 Z1
dt
a b p−1
1−p
− S+ (p, c, E1 ) − cS+ (p, c, E1 )
T+ (p, c, E1 ) ≤
1
p) p
p p
(1
−
t
0
p1 − p1
a b p−1
1 λ1 (p)
1−p
.
− S
(p, c, E1 ) − cS+ (p, c, E1 )
=
2
p
p p +
5. PROOF OF MAIN RESULTS
Proof of Proposition 2.1. Let u be a positive solution of problem (2.1). Multiplying
the equation in (2.1) by u and integrating the resulting equation over (0, 1), we obtain
Z1
p
′
|u (x)| dx = a
0
Z1
p
u (x) dx − b
0
Z1
u
2p−1
(x) dx − c
0
Z1
u (x) dx.
0
Since
Z1
p
|u′ (x)| dx ≥ λ1 (p)
0
Z1
up (x) dx,
0
we obtain
λ1 (p)
Z1
p
u (x) dx ≤ a
0
Z1
p
u (x) dx − b
0
Z1
u
2p−1
(x) dx − c
0
Z1
u (x) dx.
0
That is
(a − λ1 (p))
Z1
0
up (x) dx ≥ b
Z1
0
u2p−1 (x) dx + c
Z1
u (x) dx.
0
Since u > 0 on (0, 1), b > 0 and c > 0, we obtain that if a ≤ λ1 (p), the problem (2.1)
admits no positive solution.
Proof of Proposition 2.2. Let u be a positive solution of problem (2.1) and suppose
2
that c > a4b . It is not difficult to prove that the function f is strictly negative. Then,
by the maximum principle (see Theorem 11.1 in [24]), the problem (2.1) admits no
positive solution.
Proof of Theorem 2.3.
270
M. DERHAB AND M. MEGHNAFI
Proof of Assertion (A). Assume that 1 
p
p−1
p
λ1 (p).
In this case by Lemma 4.6, there exists a unique real c0 (a, p) < c∗ such that
h+ (p, c) < 21 , for all c ∈ (0, c0 (a, p)), h+ (p, c0 (a, p)) = 12 and h+ (p, c) > 21 , for all
c ∈ (c0 (a, p) , c∗ ). So, by Lemmas 4.3 and 4.7, it follows that the scalar equation
in the variable E, T+ (p, c, E) = 21 admits a solution in [0, E∗ (p, c)) if and only if
c ∈ (0, c0 (a, p)]. Therefore, by Theorem 3.1, it follows that if c < c0 (a, p), problem
(2.1), admits a unique positive solution and it belongs to A+ and if c = c0 (a, p),
problem (2.1), admits exactly two positive solutions one belongs to B + and the other
to A+ .
p
p
Proof of Assertion (B). Assume that 1 < p ≤ 2 and λ1 (p) < a ≤ p−1
λ1 (p).
1
1
(2p−1)c 2p−2
c 2p−2
< S+ (p, c, E1 ) <
and if we choose
Since b
b
2
2
(2p−1)(a−λ1 (p))
a
, we obtain that
c < min (p+1)
2 ,
4b
b
1
2
λ1 (p)
p
1p a b p−1
− S+ (p, c, E1 ) − cS+1−p (p, c, E1 )
p p
− p1
<
1
2
and then by Lemma 4.8, it follows that T+ (p, c, E1 ) < 12 . Which implies that by
1
Lemmas 4.3 and 4.7, that the scalar equation in the variable
E, T+ (p, c, E) = 2
2
2
(2p−1)(a−λ1 (p))
a
admits a solution in [0, E∗ (p, c)) if and only if 0 < c < min (p+1)
2 ,
4b
b
2
(2p−1)(a−λ1 (p))2
a
,
and consequently by Theorem 3.1, it follows that if c < min (p+1)2 b ,
4b
problem (2.1), admits exactly two positive solutions and they belong to A+ .
2p+1
p 1 p−2
Proof of Assertion (C). Assume that p > 2 and a ≥ (p−1)p−1 β p , p .
In this case by Lemmas 4.4 and 4.6, we have h (p, c) < 12 and J (p, c) < 21 .
Then by Lemmas 4.3 and 4.7, it follows that the scalar equation in the variable E,
T+ (p, c, E) = 21 admits no solution in [0, E∗ (p, c)[ and consequently by Theorem 3.1,
it follows that the problem (2.1) admits no positive solution for all c ∈ (0, c∗).
p
p
λ1 (p) , 2p mp (p)
Proof of Assertion (D). Assume that p > 2, a ≤ min p−1
2
(2p−1)(a−λ1 (p))2
a
and 0 < c < min (p+1)2 b ,
. In this case by Lemmas 4.4 and 4.6, it
p 4b
p
p p
follows that if a ≤ min
λ1 (p) , 2 m (p) , we have h (p, c) > 21 and J (p, c) >
p−1
1
.
2
c
b
1
2p−2
< S+ (p, c, E1 ) <
On the other hand, since
2
2
(2p−1)(a−λ1 (p))
a
, we obtain that
0 < c < min (p+1)
2 ,
4b
b
1
2
λ1 (p)
p
p1 (2p−1)c
b
1
2p−2
a b p−1
− S
(p, c, E1 ) − cS+1−p (p, c, E1 )
p p +
Then by Lemma 4.8, it follows that T+ (p, c, E) < 12 .
− p1
and if we choose
1
< .
2
NUMBER OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF QUASILINEAR BVP
271
So, it follows that the scalar equation in the variable E, T+ (p, c, E) = 12 admits
exactly two solutions in [0, E∗ (p, c)[ and consequently by Theorem 3.1, it follows that
the problem (2.1) admits exactly two positive solutions in A+ .
ACKNOWLEDGMENTS
The authors thank the anonymous referee for several comments and suggestions
which contributed to improve this paper. This Research was partially supported by
a MESRS-DRS grant B02020100075 and PNR project N0 43/28/2011.
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