ENS 2009-2010 2 année

ENS 2009-2010
2eme année
Dr. Aicha. Lazraq Khlass
Chapitre II
Probabilités
Section II (suite)
II. II. 2. viii. Dé…nition. (Indépendance de deux variables aléa-
toires).
Soient Xet Ydeux variables aléatoires dé…nies sur un univers telles que
X() et Y() soient …nis. On note x1; :::; xnet y1; :::; yples valeurs de Xet Y:
On dit que Xet Ysont des variables aléatoires indépendantes lorsque :
pour tout i2[1; n]et tout j2[1; p], les événements "X=xi"et "Y=yj"sont
indépendants.
.
II. II. 2. ix. Exemple.
On lance deux dés bien équilibrés. On note Sla somme des résultats obtenus
et Ple produit. Donner, sous forme de tableau la loi de probabilité du couple
(S; P ):Les variables aléatoires Set Pdé…nies sur  = f(i;j)=i 2[1; 6] et j2[1; 6]g:sont-
elles indépendantes ?
On dresse deux tableaux donnant les di¤érentes possibilités de sommes et
de produits :
S1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
P123456
1123456
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
S=P 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36 Loi de S
21
36 00000000000000000 1 36
3 0 2
36 0000000000000000 2 36
4 0 0 2
36
1
36 00000000000000 3 36
5 0 0 0 2
36 02 36 000000000000 4 36
6 0 0 0 0 2
36 02 36
1
36 0000000000 5 36
7 0 0 0 0 0 2
36 0 0 2 36
2
36 00000000 6 36
8 0000000002
36
2
36
1
36 000000 5 36
9 0000000000002
36
2
36 0000 4 36
10 000000000000002
36
1
36 0 0 3 36
11 00000000000000002
36 02 36
12 000000000000000001
36
1
36
Loi de P1
36
2
36
2
36
3
36
2
36
4
36
2
36
1
36
2
36
4
36
2
36
1
36
2
36
2
36
2
36
1
36
2
36
1
36 1
Les variables aléatoires Set Pne sont pas indépendantes. En e¤et :
P("S= 2" \"P= 2") = 0
1

P(S= 2)P(P= 2) = 1
36 2 36 =2 3626= 0
.
II. II. 2. x. Modélisation d’expériences. Répétition d’expériences
indépendantes.
Voici trois règles pratiques pour calculer des probabilités directement sur des
arbres.
* Exemple de situation où l’on réitère deux fois une expérience compor-
tant deux issues Aet Bcontraires l’une de l’autre. On note A1(resp. A2)
l’événement "Ase réalise à la première (resp. deuxième) expérience". Mêmes
notations pour B. L’univers associé à cette situation comporte 4 issues :  =
fA1A2;A1B2;B1A2;B1B2g
R1 : la somme des probabilités des branches partant d’une même racine est
toujours égale à 1:P(A1) + P(B1) = 1 (ceci provient du fait que Aet Bsont
contraires)
R2 : la probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des
branches de ce chemin : la probabilité du chemin A1A2est : P(A1\A2) =
P(A2jA1)P(A1) (formule de probabilité conditionnelle)
R3 : la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins
correspondant à cet événement : La probabilité de l’événement "obtenir exacte-
ment une fois A" est : P(A1\B2) + P(B1\A2)
.
* Si on suppose que les deux expériences se déroulent de manière indépen-
dante. On a alors l’arbre suivant :
La probabilité du chemin A1A2sera donc P(A1)P(A2)
.
* Cas particulier : si on répète nfois, de manière indépendante une expéri-
ence. La probabilité pqu’un événement Ade cette expérience se réalise nfois
sera : p= (P(A))n:
.
Exemple.
On lance un dé nfois . Comment choisir npour que la probabilité pn
d’obtenir au moins un 6, au cours des nlancers, soit supérieure ou égale à 0;95?
On note : A="on obtient au moins un 6au cours des nlancers"
On a : A="on obtient aucun 6au cours des nlancers"
L’événement Ase réalise, si et seulement si, pour chacun des nlancers, on
n’obtient pas de 6. D’après le cas particulier vu ci-dessus, on a :
P(A) = 5
6n
D’où : pn=P(A) = 1 5
6n
On cherche maintenant ntel que : pn0;95
15
6n0;95
5
6n0;05
La fonction ln étant croissante sur ]0;+1[, cette dernière inéquation équiv-
aut à :
nln 5
6ln0;05
Et puisque ln 5
6<0, on a : nln0;05
ln 5
6
2

La calculatrice donne : ln0;05
ln 5
6
= 16;4à101près
Et comme nest un entier : n17
On doit donc lancer le dés au moins 17 fois pour être sûr à 95% d’obtenir
au moins un 6.
.
II. III. Les lois usuelles.
II. III. 1. Loi de Bernoulli.
II. III. 1. i) Dé…nition. (Épreuve de Bernoulli).
Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues, souvent appelées
succès et échec  = fs; eg. On suppose que la probabilité de l’événement : un
succès a été obtenu vaut p; et donc, la probabilité de l’événement contraire :
un échec a été obtenu vaut q= 1 p. Soit Xla variable aléatoire qui associe
la valeur 1à un succès a été obtenu et la valeur 0à un échec a été obtenu :
X:  ! R;s7! 1et e7! 0. La variable aléatoire X suit alors la loi de
Bernoulli de paramètre p. Cette loi est notée B(p).
.
II. III. 1. ii) Théorème. (Espérance).
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli B(p). Alors, E(X) =
p:
En e¤et :
Valeur xide lavariable
aléatoire Xx1= 0 x2= 1
Probabilité pide
l0événement "X=xi"p1= 1 p p2=p
E(X) = p1x1p2x2=p
.
II. III. 1. iii) Théorème. (Variance).
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli B(p). On a : V(X) =
p(1 p) = pq.
En e¤et :
V(X) = p1x2
1+p2x2 2E(X)2=pp2=p(1 p) = pq.
.
II. III. 2. Loi binomiale.
II. III. 2. i) Dé…nition. (Schéma de Bernoulli).
On considère une épreuve de Bernoulli. On e¤ectue, dans les mêmes condi-
tions, nfois de suite cette épreuve, n2N. Les nrépétitions de l’épreuve sont
indépendantes les unes des autres. L’univers est un ensemble de nuplets.
.
II. III. 2. ii) Exemple.
On suppose que l’expérience soit répétée trois fois. Succès est représenté par
set échec par e. Dans ce cas,  = f(s;s;s); (s;s;e); (s;e;s); (e;s;s); (s;e;e); (e;s;e); (e;e;s); (e;e;e)g
On suppose que la probabilité d’obtenir ssoit égale à pet que la probabilité
d’obtenir esoit égale à q. Comme il n’y a que deux issues, on a, q= 1 p.
Les trois événements A: le résultat de la première épreuve est s,B: le
résultat de la deuxième épreuve est set C: le résultat de la troisième épreuve
est esont indépendants. On en déduit que P(f(s;s;e)g) = P(A\B\C)
3

=P(A)P(B)P(C) = pp(1 p) = p2(1 p). Comme il y a autant de
triplets où sapparaît deux fois que de sous-ensembles à deux éléments dans un
ensemble à trois éléments, on obtient que la probabilité d’obtenir exactement
deux fois le résultat slorsque l’expérience aléatoire est répétée trois fois vaut :
3
2p2(1 p):
.
II. III. 2. iii) Théorème.
On considère une épreuve ayant deux issues : set e. La probabilité d’obtenir
scomme résultat de l’expérience aléatoire est p. La probabilité d’obtenir eest
q= 1 p. On répète nfois cette épreuve dans les conditions de Bernoulli. Soit
Xla variable aléatoire comptabilisant le nombre de réalisations de sau cours
des nrépétitions de l’épreuve . On a, pour tout entier naturel k:
P(X=k) = n
kpk(1 p)nk.
Preuve.
La probabilité d’obtenir slors des kpremières répétitions de l’épreuve, puis e
lors des nksuivantes est , pk(1 p)nk, puisque les répétitions sont indépen-
dantes les unes des autres. Comme il y a autant de nuplets où a apparaît
exactement kfois que de sous-ensembles à kéléments dans un ensemble à n
éléments, on en déduit le théorème.
.
II. III. 2. iv) Dé…nition et notation. (Loi binomiale B(n; p)).
La variable aléatoire Xdu théorème précédent a pour loi de probabilité la
loi binomiale de paramètres net p. Le premier paramètre n, est le nombre de
répétitions de l’épreuve à deux issues ; le second paramètre p, est la probabilité
d’obtenir scomme résultat de l’épreuve à deux issues. La loi binomiale de
paramètres net pse note : B(n;p).
.
II. III. 2. v) Théorème. (Espérance).
L’espérance de la variable aléatoire X, suivant la loi binomiale B(n;p), est :
E(X) = np.
Preuve.
E(X) = P
0kn
kn
kpk(1 p)nk=P
1kn
kn
kpk(1 p)nk
Or, pour k6= 0,kn
k=nn1 k1
Donc, E(X) = np P
1knn1
k1pk1(1 p)n1(k1)
=np P
0kn1n1
kpk(1p)n1k=np (p+ 1 p)n1=np.
.
II. III. 2. vi) Théorème. (Variance).
La variance de la variable aléatoire X, suivant la loi de probabilité B(n;p),
est :
V(X) = np(1 p):
4

Preuve.
V(X) = P
0kn
k2n
kpk(1 p)nk(np)2=P
1kn
k2n
kpk(1 
p)nk(np)2
Or, pour k6= 0,kn
k=nn1 k1
Donc, V(X) = np P
1kn
kn1
k1pk1(1 p)n1(k1) (np)2
=np P
0kn1
(k+ 1) n1
kpk(1 p)n1k(np)2
=np P
0kn1
kn1
kpk(1 p)n1k+np P
0kn1n1
kpk(1 
p)n1k(np)2
=np (n1) p+np (p+ 1 p)n1(np)2=np (1 p).
.
II. III. 3. Loi de Poisson.
II. III. 3. i) Dé…nition et notation.
Soit 2R
+. On dit que la variable aléatoire discrète X, à valeurs dans N,
suit la loi de Poisson de paramètre , notée : P(), si pour tout kdans N:
P(X=k) = k
k!ek
.
II. III. 3. ii) Théorème. (Espérance).
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi de Poisson P(). Alors, E(X) =
:
Preuve.
On sait que : E(X) = P
k0
kk
k!e= lim
n!+1P
0kn
kk
k!e, Or, P
1kn
kk
k!e=
eP
1kn
k1
(k1)! =eP
0kn1
k
k!! ee=.
.
II. III. 3. iii) Théorème. (Variance).
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi de Poisson P(). Alors, V(X) =
:
Preuve.
On sait que : V(X) = P
k0
k2k
k!e2= lim
n!+1 P
0kn
kk
k!e!2, Or,
P
0kn
k2k
k!e=eP
1kn
kk1
(k1)! =eP
0kn1
(k+ 1) k
k!=eP
0kn1
kk
k!+
eP
0kn1
k
k!=2eP
0kn2
k
k!+eP
0kn1
k
k!! ee+2ee=
+2. D’où le résultat.
.
.
.
.
5