ENS 2015-2016 2 année

ENS
2eme année
Dr. Aicha. Lazraq Khlass
2015-2016
Chapitre II
Probabilités
Section II
II. II. Variables aléatoires.
II. II. 1. Préliminaires.
Dans ce paragraphe, on ne considère que des univers …nis ou in…nis dénombrables.
.
II. II. 1. i. Dé…nition.
Lorsqu’à chaque événement élémentaire ! d’un univers on associe un nombre réel, on dit que l’on dé…nit une variable aléatoire réelle. Une variable aléatoire est donc une application X :
! R:
.
II. II. 1. ii. Notation.
"X = k" = f! 2 tels que X(!) = kg = X 1 (fkg)
.
II. II. 1. iii. Exemple.
On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. L’univers associé à cette
expérience aléatoire est constitué de 8 événements élémentaires, nombre de listes
de 3 éléments de l’ensemble fP ; F g; = fP P P ; P P F ; P F P ; P F F ; F P P ; F P F ; F F P ; F F F g:
Si on suppose la pièce bien équilibrée, on peut considérer que ces huit issues
sont équiprobables. A chaque issue de l’expérience, on associe le nombre de fois
où le côté "face" apparait, X est une variable aléatoire qui prend les valeurs 0 ;
1 ; 2 ou 3: Plus précisément, on a X( ) = f0; 1; 2; 3g. On notera, par exemple
"X = 2" ou (X = 2) ou encore [X = 2] l’événement "face est sorti exactement
deux fois".
Univers
Variable aléatoire X
.
.
.
.
.
.
.
II. II. 1. iv. Remarques.
* On n’a pas besoin de probabilité pour dé…nir une variable aléatoire.
* La variable aléatoire X permet de dé…nir un nouvel univers numérique
X( ). Si l’univers inital est muni d’une probabilité P , la variable aléatoire
X induit également une nouvelle probabilité PX sur cet univers X( ).
1
.
II. II. 1. v. Dé…nition.
Soit P une probabilité sur un univers . Soit X une variable aléatoire
dé…nie sur
telle que X( ) soit …ni de cardinal n: Lorsqu’à chaque valeur
xi (1 i n) de X on associe les probabilités pi de l’événement "X = xi ", on
dit que l’on dé…nit la loi de probabilité PX de la variable aléatoire X.
.
II. II. 1. vi. Théorème.
P
L’application PX : P(X( )) ! [0; 1] ; A 7 !
P X 1 (x) est une
x2A
probabilité sur X( ).
Preuve.
P
PX (X( )) =
P X
1
(x) = P
x2
[ P X
x2
1
(x)
= P( ) = 1
Soient A1 , A2 , ... ,An des événements, éléments P(X( ); deux à deux
disjoints, on a :
P
P
P
P
PX
[ Ai =
P X 1 (x) =
(
P X 1 (x) ) =
PX (Ai )
1 i n
x2
1
[
i
Ai
1 i n x2Ai
n
1 i n
Donc PX est une probabilité sur X( ).
.
II. II. 1. vii. Remarque.
En pratique, la loi de probabilité PX de X est présentée sous forme de
tableau.
Avec l’exemple de la pièce de monnaie lancée trois fois et X est le nombre
de face obtenus, cela donne :
Valeur xi de lavariable
x1 = 0 x2 = 1 x3 = 2 x4 = 3
aléatoire X
Probabilité pi de
p1 = 18 p2 = 38 p3 = 38 p4 = 18
l0événement "X = xi"
.
II. II. 2. Espérance, variance et écart type d’une variable aléatoire.
II. II. 2. i. Espérance.
Soit l’univers correspondant à une expérience aléatoire. Soit P une probabilité sur . Soit X une variable aléatoire dé…nie sur telle que X( ) soit …ni
de cardinal n.
Notons fx1 ; x2 ; :::; xn g l’ensemble X( ), c’est-à-dire l’ensemble des valeurs
prises par X. L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre, noté E(X), dé…ni par :
P
E(X) =
p1 x1 + p2 x2 + ::: + pn xn
1 i n
L’espérance est la moyenne des valeurs xi pondérées par les probabilités pi :
On pourrait aussi calculer l’espérance E(X) en revenant aux événements
élémentaires de l’univers au lieu d’utiliser les valeurs xi de la variable aléatoire
X :
2
E(X) =
P
P (!)X(!)
!2
.
* Sur l’exemple
comme P (w) = 81 ; cela donnerait :
P précédent,
1
1
X(!) = 8 (X(P P P ) + X(P P F ) + X(P F P ) + X(P F F ) +
E(X) = 8
!2
X(F P P ) + X(F P F ) + X(F F P ) + X(F F F ))
E(X) = 81 (0 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3) =
3
2
.
II. II. 2. ii. Variance.
La variance de la variable aléatoire X est le nombre, noté V (X), dé…ni par :
P
p1 (x1
V (X) = E((X E(X))2 ) =
2
2
E(X)) + p2 (x2 E(X)) + ::: + pn (xn
2
E(X)) ( )
1 i n
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
.
II. II. 2. iii. Ecart type.
L’écart type de la variable aléatoire X est le nombre, noté (X), dé…ni par :
p
(X) = V (X)
L’écart type est bien dé…ni car la variance est une quantité positive.
.
II. II. 2. iv. Théorème (Linéarité de l’espérance).
Soient X et Y deux variables aléatoires dé…nies sur le même univers
de
cardinal …ni. Soit P une probabilité sur . On a : E(X + Y ) = E(X) + E(Y ):
En particulier, pour tout réel b : E(X + b) = E(X) + b et E(kX) = kE(X)
pour tout réel k:
Preuve.
P
P
P
E(X + Y ) =
P (!) (X + Y ) (!) =
P (!)X(!) +
P (!)Y (!) =
!2
!2
!2
E(X) + E(Y )
.
II. II. 2. v. Théorème. (Formule de Koenig-Huyghens).
La variance d’une variable aléatoire X peut se calculer avec la relation suivante :
V (X) = E(X 2 )
[E(X)]2
La variance est l’écart entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne.
Preuve.
V (X) = E((X
E(X))2 ) = E(X 2
2XE(X) + E(X)2 ) = E(X 2 )
2
2E(X)E(X) + E(X) E(1)
V (X) = E(X 2 ) [E(X)]2
3
Pour le calcul de la variance, on préférera l’emploi de cette dernière formule
plutôt que la formule ( ). En e¤et, outre un intérêt pratique indéniable pour
mener le calcul, la formule de Koenig-Huyghens est surtout plus …able lorsque
l’espérance E(X) ne tombe pas juste. En e¤et, dans la formule ( ) l’erreur due
à l’arrondi de E(X) se propage tout au long du calcul alors qu’elle n’apparaît
que dans le dernier terme dans la dernière formule.
Exemple.
Reprenons l’exemple de la pièce de monnaie lancée trois fois de suite, X
désigne le nombre de "face" obtenu.
E(X2) = 18 02 + 38 12 + 83 22 + 18 32 = 3
V (X) = E(X 2 ) [E(X)]2 = 3 49 = 34
.
II. II. 2. vi. Corollaire.
Soit X une variable aléatoire. Soient a et b deux réels. On a :
V (aX + b) = a2 V (X) et (aX + b) = jaj (X)
En particulier : V (aX) = a2 V (X) et (aX) = jaj (X)
V (X + b) = V (X) et (X + b) = (X)
Preuve.
On a : V (aX + b) = E(a2 X 2 + 2abX + b2 ) [E(aX + b)]2
Et d’après la linéarité de l’espérance :
V (aX + b) = a2 E(X 2 ) + 2abE(X) + b2 [aE(X) + b]2
V (aX + b) = a2 E(X 2 ) + 2abE(X) + b2 a2 [E(X)]2 2abE(X) b2
Donc,
V (aX + b) = a2 V (X)
D’où, par passage à la racine carrée : (aX + b) = jaj (X)
En particularisant b = 0, puis a = 1, on obtient :
V (aX) = a2V (X) et (aX) = jaj (X)
V (X + b) = V (X) et (X + b) = (X)
Une translation n’a pas d’incidence sur la variance ou l’écart type d’une
variable aléatoire.
.
II. II. 2. vii. Dé…nition. (Fonction de répartition d’une variable
aléatoire).
Soit X une variable aléatoire. La fonction de répartition F associée à X est
la fonction dé…nie sur R par : F (x) = P (X x) : La fonction de répartition
est toujours une fonction croissante et bornée par 0 et 1.
.
II. II. 2. vii. Exemple. : avec toujours les mêmes données précédentes,
on a :
Pour x 2] 1; 0[, on a : F (x) = 0
Pour x 2 [0; 1[, on a : F (x) = 81
Pour x 2 [1; 2[, on a : F (x) = 18 + 38 = 12
Pour x 2 [2; 3[, on a : F (x) = 81 + 38 + 38 = 78
Pour x 2 [3; +1[, on a : F (x) = 18 + 38 + 38 + 18 = 1
4
Représentation graphique :
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
II. II. 2. viii. Dé…nition. (Indépendance de variables aléatoires).
Soient X et Y deux variables aléatoires dé…nies sur un univers telles que
X( ) et Y ( ) soient …nis. On note x1 ; :::; xn et y1 ; :::; yp les valeurs de X et Y:
On dit que X et Y sont des variables aléatoires indépendantes lorsque :
pour tout i 2 [1; n] et tout j 2 [1; p], les événements "X = xi " et "Y = yj " sont
indépendants.
.
II. II. 2. ix. Exemple.
On lance deux dés bien équilibrés. On note S la somme des résultats obtenus
et P le produit. Donner, sous forme de tableau la loi de probabilité du couple
(S; P ): Les variables aléatoires S et P dé…nies sur = f(i; j) =i 2 [1; 6] et j 2 [1; 6]g :sontelles indépendantes ?
On dresse deux tableaux donnant les di¤érentes possibilités de sommes et
de produits :
P 1 2
3
4
5
6
S 1 2 3 4
5
6
1 1 2
3
4
5
6
1 2 3 4 5
6 7
2 2 4
6
8 10 12
2 3 4 5 6
7 8
3 3 6
9 12 15 18
3 4 5 6 7
8 9
4 4 8 12 16 20 24
4 5 6 7 8
9 10
5 5 10 15 20 25 30
5 6 7 8 9 10 11
6 6 12 18 24 30 36
6 7 8 9 10 11 12
S=P
1
2
3
4
5
6
8
9 10 12 15 16 18 20 24 25
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
36
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0 36
2
1
4
0
0 36
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
36
2
2
5
0
0
0 36
0 36
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
1
6
0
0
0
0 36
0 36
0
0
0
0
0
0
0
0
36
2
2
2
7
0
0
0
0
0 36 0
0 36
0
0
0
0
0
0
36
2
2
1
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0 36
0
0
0
0
36
36
2
2
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 36
0
0
36
2
1
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 36
36
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
2
3
2
4
2
1
2
4
2
1
2
2
2
1
Loi de P 36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
5
30
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
36
0
2
36
36
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
36
1
36
Loi de S
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
1
Les variables aléatoires S et P ne sont pas indépendantes. En e¤et :
P ("S = 2" \ "P = 2") = 0
1
2
2
P (S = 2)P (P = 2) = 36
36 = 362 6= 0
.
II. II. 2. x. Modélisation d’expériences. Répétition d’expériences
indépendantes.
Voici trois règles pratiques pour calculer des probabilités directement sur des
arbres.
* Exemple de situation où l’on réitère deux fois une expérience comportant deux issues A et B contraires l’une de l’autre. On note A1 (resp. A2 )
l’événement "A se réalise à la première (resp. deuxième) expérience". Mêmes
notations pour B. L’univers associé à cette situation comporte 4 issues :
=
fA1 A2 ; A1 B2 ; B1 A2 ; B1 B2 g
R1 : la somme des probabilités des branches partant d’une même racine est
toujours égale à 1 : P (A1 ) + P (B1 ) = 1 (ceci provient du fait que A et B sont
contraires)
R2 : la probabilité d’un chemin est égale au produit des probabilités des
branches de ce chemin : la probabilité du chemin A1 A2 est : P (A1 \ A2) =
P (A2jA1)P (A1) (formule de probabilité conditionnelle)
R3 : la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins
correspondant à cet événement : La probabilité de l’événement "obtenir exactement une fois A" est : P (A1 \ B2 ) + P (B1 \ A2 )
.
* Si on suppose que les deux expériences se déroulent de manière indépendante. On a alors l’arbre suivant :
La probabilité du chemin A1 A2 sera donc P (A1 )P (A2 )
.
* Cas particulier : si on répète n fois, de manière indépendante une expérience. La probabilité p qu’un événement A de cette expérience se réalise n fois
sera : p = (P (A))n :
Exemple :
On lance un dé n fois . Comment choisir n pour que la probabilité pn
d’obtenir au moins un 6, au cours des n lancers, soit supérieure ou égale à 0; 95?
On note : A = "on obtient au moins un 6 au cours des n lancers"
On a : A = "on obtient aucun 6 au cours des n lancers"
L’événement A se réalise, si et seulement si, pour chacun des n lancers, on
n’obtient pas de 6. D’après le cas particulier vu ci-dessus, on a :
n
P (A) = 65
5 n
D’où : pn = P (A) = 1
6
On cherche maintenant n tel que : pn 0; 95
5 n
0; 95
1
6
n
5
0;
05
6
La fonction ln étant croissante sur ]0; +1[, cette dernière inéquation équivaut à :
nln 65 ln0; 05
6
Et puisque ln 56 < 0 , on a : n
ln0;05
ln 56
La calculatrice donne : ln0;05
= 16; 4 à 10 1 près
ln 56
Et comme n est un entier : n 17
On doit donc lancer le dés au moins 17 fois pour être sûr à 95% d’obtenir
au moins un 6.
7