ENS 2015-2016 2 année

ENS 2015-2016
2eme année
Dr. Aicha. Lazraq Khlass
Chapitre II
Probabilités
Section II
II. II. Variables aléatoires.
II. II. 1. Préliminaires.
Dans ce paragraphe, on ne considère que des univers …nis ou in…nis dénom-
brables.
.
II. II. 1. i. Dé…nition.
Lorsqu’à chaque événement élémentaire !d’un univers on associe un nom-
bre réel, on dit que l’on dé…nit une variable aléatoire réelle. Une variable aléa-
toire est donc une application X:  ! R:
.
II. II. 1. ii. Notation.
"X=k" = f!2tels que X(!) = kg=X1(fkg)
.
II. II. 1. iii. Exemple.
On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. L’univers associé à cette
expérience aléatoire est constitué de 8événements élémentaires, nombre de listes
de 3éléments de l’ensemble fP;Fg; = fPPP;PPF;PFP;PFF;FPP;FPF;FFP;FFFg:
Si on suppose la pièce bien équilibrée, on peut considérer que ces huit issues
sont équiprobables. A chaque issue de l’expérience, on associe le nombre de fois
où le côté "face" apparait, Xest une variable aléatoire qui prend les valeurs 0;
1;2ou 3:Plus précisément, on a X() = f0; 1; 2; 3g. On notera, par exemple
"X= 2" ou (X= 2) ou encore [X= 2] l’événement "face est sorti exactement
deux fois".
Univers Variable aléatoire X
.
.
.
.
.
.
.
II. II. 1. iv. Remarques.
* On n’a pas besoin de probabilité pour dé…nir une variable aléatoire.
* La variable aléatoire Xpermet de dé…nir un nouvel univers numérique
X(). Si l’univers inital est muni d’une probabilité P, la variable aléatoire
Xinduit également une nouvelle probabilité PXsur cet univers X().
1

.
II. II. 1. v. Dé…nition.
Soit Pune probabilité sur un univers . Soit Xune variable aléatoire
dé…nie sur telle que X() soit …ni de cardinal n: Lorsqu’à chaque valeur
xi(1 in)de Xon associe les probabilités pide l’événement "X=xi", on
dit que l’on dé…nit la loi de probabilité PXde la variable aléatoire X.
.
II. II. 1. vi. Théorème.
L’application PX:P(X()) ! [0;1] ; A7! P
x2A
PX1(x)est une
probabilité sur X().
Preuve.
PX(X()) = P
x2
PX1(x)=P[
x2PX1(x)=P() = 1
Soient A1,A2, ... ,Andes événements, éléments P(X();deux à deux
disjoints, on a :
PX[
1inAi=P
x2 [
1inAi
PX1(x)=P
1in
(P
x2Ai
PX1(x)) = P
1in
PX(Ai)
Donc PXest une probabilité sur X().
.
II. II. 1. vii. Remarque.
En pratique, la loi de probabilité PXde Xest présentée sous forme de
tableau.
Avec l’exemple de la pièce de monnaie lancée trois fois et Xest le nombre
de face obtenus, cela donne :
Valeur xide lavariable
aléatoire Xx1= 0 x2= 1 x3= 2 x4= 3
Probabilité pide
l0événement "X=xi"p1=1
8p2=3 8p3=3 8p4=1 8
.
II. II. 2. Espérance, variance et écart type d’une variable aléatoire.
II. II. 2. i. Espérance.
Soit l’univers correspondant à une expérience aléatoire. Soit Pune prob-
abilité sur . Soit Xune variable aléatoire dé…nie sur telle que X() soit …ni
de cardinal n.
Notons fx1;x2;:::;xngl’ensemble X(), c’est-à-dire l’ensemble des valeurs
prises par X. L’espérance mathématique de la variable aléatoire Xest le nom-
bre, noté E(X), dé…ni par :
E(X) = P
1in
p1x1+p2x2+::: +pnxn
L’espérance est la moyenne des valeurs xipondérées par les probabilités pi:
On pourrait aussi calculer l’espérance E(X)en revenant aux événements
élémentaires de l’univers au lieu d’utiliser les valeurs xide la variable aléatoire
X:
2

E(X) = P
!2
P(!)X(!)
.
* Sur l’exemple précédent, comme P(w) = 1
8;cela donnerait :
E(X) = 1
8P
!2
X(!) = 1
8(X(PPP) + X(PPF) + X(PFP) + X(PFF) +
X(FPP) + X(FPF) + X(FFP) + X(FFF))
E(X) = 1
8(0+1+1+2+1+2+2+3)= 3 2
.
II. II. 2. ii. Variance.
La variance de la variable aléatoire Xest le nombre, noté V(X), dé…ni par :
V(X) = E((XE(X))2) =
P
1in
p1(x1E(X))2+p2(x2E(X))2+::: +pn(xnE(X))2()
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
.
II. II. 2. iii. Ecart type.
L’écart type de la variable aléatoire Xest le nombre, noté (X), dé…ni par :
(X) = pV(X)
L’écart type est bien dé…ni car la variance est une quantité positive.
.
II. II. 2. iv. Théorème (Linéarité de l’espérance).
Soient Xet Ydeux variables aléatoires dé…nies sur le même univers de
cardinal …ni. Soit Pune probabilité sur . On a : E(X+Y) = E(X) + E(Y):
En particulier, pour tout réel b:E(X+b) = E(X) + bet E(kX) = kE(X)
pour tout réel k:
Preuve.
E(X+Y) = P
!2
P(!) (X+Y) (!) = P
!2
P(!)X(!) + P
!2
P(!)Y(!) =
E(X) + E(Y)
.
II. II. 2. v. Théorème. (Formule de Koenig-Huyghens).
La variance d’une variable aléatoire Xpeut se calculer avec la relation suiv-
ante :
V(X) = E(X2)[E(X)]2
La variance est l’écart entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne.
Preuve.
V(X) = E((XE(X))2) = E(X22XE(X) + E(X)2) = E(X2)
2E(X)E(X) + E(X)2E(1)
V(X) = E(X2)[E(X)]2
3

Pour le calcul de la variance, on préférera l’emploi de cette dernière formule
plutôt que la formule (). En e¤et, outre un intérêt pratique indéniable pour
mener le calcul, la formule de Koenig-Huyghens est surtout plus …able lorsque
l’espérance E(X)ne tombe pas juste. En e¤et, dans la formule ()l’erreur due
à l’arrondi de E(X)se propage tout au long du calcul alors qu’elle n’apparaît
que dans le dernier terme dans la dernière formule.
Exemple.
Reprenons l’exemple de la pièce de monnaie lancée trois fois de suite, X
désigne le nombre de "face" obtenu.
E(X2) = 1
802+3 812+3 822+1 832= 3
V(X) = E(X2)[E(X)]2= 3 9
4=3 4
.
II. II. 2. vi. Corollaire.
Soit Xune variable aléatoire. Soient aet bdeux réels. On a :
V(aX +b) = a2V(X)et (aX +b) = jaj(X)
En particulier : V(aX) = a2V(X)et (aX) = jaj(X)
V(X+b) = V(X)et (X+b) = (X)
Preuve.
On a : V(aX +b) = E(a2X2+ 2abX +b2)[E(aX +b)]2
Et d’après la linéarité de l’espérance :
V(aX +b) = a2E(X2)+2abE(X) + b2[aE(X) + b]2
V(aX +b) = a2E(X2)+2abE(X) + b2a2[E(X)]2 2abE(X)b2
Donc,
V(aX +b) = a2V(X)
D’où, par passage à la racine carrée : (aX +b) = jaj(X)
En particularisant b= 0, puis a= 1, on obtient :
V(aX) = a2V(X)et (aX) = jaj(X)
V(X+b) = V(X)et (X+b) = (X)
Une translation n’a pas d’incidence sur la variance ou l’écart type d’une
variable aléatoire.
.
II. II. 2. vii. Dé…nition. (Fonction de répartition d’une variable
aléatoire).
Soit Xune variable aléatoire. La fonction de répartition Fassociée à Xest
la fonction dé…nie sur Rpar : F(x) = P(Xx):La fonction de répartition
est toujours une fonction croissante et bornée par 0et 1.
.
II. II. 2. vii. Exemple. : avec toujours les mêmes données précédentes,
on a :
Pour x2] 1; 0[, on a : F(x) = 0
Pour x2[0; 1[, on a : F(x) = 1
8
Pour x2[1; 2[, on a : F(x) = 1
8+3 8=1 2
Pour x2[2; 3[, on a : F(x) = 1
8+3 8+3 8=7 8
Pour x2[3; +1[,ona:F(x) = 1
8+3 8+3 8+1 8= 1
4

Représentation graphique :
.
.
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.
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.
.
.
II. II. 2. viii. Dé…nition. (Indépendance de variables aléatoires).
Soient Xet Ydeux variables aléatoires dé…nies sur un univers telles que
X() et Y() soient …nis. On note x1; :::; xnet y1; :::; yples valeurs de Xet Y:
On dit que Xet Ysont des variables aléatoires indépendantes lorsque :
pour tout i2[1; n]et tout j2[1; p], les événements "X=xi"et "Y=yj"sont
indépendants.
.
II. II. 2. ix. Exemple.
On lance deux dés bien équilibrés. On note Sla somme des résultats obtenus
et Ple produit. Donner, sous forme de tableau la loi de probabilité du couple
(S; P ):Les variables aléatoires Set Pdé…nies sur  = f(i;j)=i 2[1; 6] et j2[1; 6]g:sont-
elles indépendantes ?
On dresse deux tableaux donnant les di¤érentes possibilités de sommes et
de produits :
S1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
P123456
1123456
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
S=P 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36 Loi de S
21
36 00000000000000000 1 36
3 0 2
36 0000000000000000 2 36
4 0 0 2
36
1
36 00000000000000 3 36
5 0 0 0 2
36 02 36 000000000000 4 36
6 0 0 0 0 2
36 02 36
1
36 0000000000 5 36
7 0 0 0 0 0 2
36 0 0 2 36
2
36 00000000 6 36
8 0000000002
36
2
36
1
36 000000 5 36
9 0000000000002
36
2
36 0000 4 36
10 000000000000002
36
1
36 0 0 3 36
11 00000000000000002
36 02 36
12 000000000000000001
36
1
36
Loi de P1
36
2
36
2
36
3
36
2
36
4
36
2
36
1
36
2
36
4
36
2
36
1
36
2
36
2
36
2
36
1
36
2
36
1
36 1
5