ENS 2015-2016 2 année

ENS 2015-2016
2eme année
Dr. Aicha. Lazraq Khlass
Chapitre II
Probabilités
Section I
II. I. 1. Notions de probabilités.
La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant
l’étude d’expériences dont le résultat ne peut être prévu avec une totale certi-
tude.
En voici un exemple :
Expérience Résultat observable
Lancer d0un dé Un entier k2 f1; :::; 6g
.
La théorie moderne des probabilités utilise le langage des ensembles pour
modéliser une expérience aléatoire. On note l’ensemble dont les éléments
représentent tous les résultats possibles ou événements élémentaires d’une ex-
périence aléatoire donnée. Les événements ou événements composés seront
représentés par des parties de :
.
Lors de la réalisation d’une expérience aléatoire, on est amené à choisir
successivement :
II. I. 1. i) Un univers :
* Il représente l’ensemble toutes les issues envisagées de l’expérience.
.
*Exemples.
On lance un dé et on regarde le numéro de la face obtenue :
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
On lance un dé et on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou
impair :
 = fP;Ig
On lance une pièce de monnaie :  = fP;Fg
On lance deux pièces de monnaie :  = fP P ;P F ;F P ;F F g
On lance deux dés :  = f(i; j)où, 1i6et 1j6g
.
II. I. 1. ii) Une famille de parties de appelées "événements".
* Il s’agit des issues discernables ou mesurables par l’observateur. Lorsque
l’univers est …ni ou dénombrable, chaque partie de l’univers peut être con-
sidérée comme un événement. Les éléments de sont appelés des événements
élémentaires. Un événement élémentaire est donc une partie de réduite à un
seul élément.
.
1

* Exemples.
On lance deux dés et on regarde la somme des résultats obtenus. On a,
S=f2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12g.
La partie E=f2; 4; 6; 8; 10; 12gest un événement qui peut se décrire par la
phrase "la somme obtenue est un nombre pair".
On choisit 6numéros au hasard entre 1et 49. L’univers est  = f1; :::; 49g:Les
événements sont les parties de qui ont 6éléments, donc les combinaisons de
6numéros choisis parmi 49. Leur nombre est 49
6:
.
* Etant donnés deux événements Aet B:
- L’événement Aimplique Bsi et seulement si la réalisation de Aimplique
celle de Bdonc si et seulement si x2A=)x2B;donc si et seulement si
AB:
-A[Best l’événement qui est réalisé si et seulement si au moins un des
événements Aou Best réalisé.
-A\B, l’élément de P() est l’événement réalisé si et seulement si les
événements Aet Bsont tous deux simultanément réalisés.
.
II. I. 1. iii) Une loi de probabilité.
C’est une application Pde l’ensemble des parties de à valeurs dans [0;1]
véri…ant les deux conditions :
P() = 1
Si (Ai)i2I; I N;est une famille d’événements deux à deux disjoints, alors
:
P[Ai
i2I=PP(Ai)
i2I
En particulier, si Aet Bsont deux événements incompatibles c’est à dire
disjoints, alors P(A[B) = P(A) + P(B):
En conséquence, on a : 1 = P() = P( [?) = P() + P(?)
Donc : P(?) = 0
Une telle application Ps’appelle probabilité ou loi de probabilité.
Grâce à la propriété d’additivité, on en déduit la propriété suivante indis-
pensable pour calculer des probabilités de manière conforme à notre intuition
:
La probabilité P(E)d’un événement Eest la somme des probabil-
ités des événements élémentaires qui le composent.
.
II. I. 2. Propriétés.
a) Lorsque est de cardinal …ni et que l’on a¤ecte la même probabilité à
chaque événement élémentaire, on dit que l’on choisit une probabilité Péquiré-
partie. On a alors :
pour tout événement élémentaire !de :P(!) = 1
Card()
pour tout événement E:P(E) = Card(E)
Card()
2

On dit aussi qu’il y a équiprobabilité.
.
b) 8A; B 2P() ;on a :
i) PA= 1 P(A)
ii) P(A[B) = P(A) + P(B)P(A\B)
iii) Si AB, alors P(A)P(B):
iv) *PA\B=P(A)P(A\B)
*PA\B=P(B)P(A\B)
Preuve.
i) PA=Card(A)
Card() =Card()card(A) Card() =Card() Card() Card(A) Card() = 1 P(A)
ii) P(A[B) = Card(A[B)
Card() =Card(A) Card() +Card(B) Card() Card(A\B) Card() =P(A) +
P(B)P(A\B)
iii) Si AB, alors Card(A)Card(A)et Card(A)
Card() Card(A) Card() c’est à dire
P(A)P(B):
iv) *PA\B=Card(A\B)
Card() =Card(A) Card() Card(A\B) Card() =P(A)P(A\B)
*PA\B=Card(A\B)
Card() =Card(B) Card() Card(A\B) Card() =P(B)P(A\B)
.
II. I. 3. Probabilités conditionnelles.
II. I. 3. 1) Théorème.
Soit une expérience aléatoire d’univers de cardinal …ni, Pune probabilité
sur et Bun événement tel que P(B)6= 0. L’application P() dans [0; 1];
dé…nie par PB(A) = P(A\B)
P(B);pour tout A2;est une probabilité sur .
Preuve.
P() = P(\B)
P(B)=P(B) P(B)= 1
Si (Ai)i2I; I N;est une famille d’événements deux à deux disjoints, alors
:
PB[Ai
i2I=
P[Ai
i2I\B
P(B)=
P[Ai
i2I
\B
P(B)=PP(Ai\B)
i2I
P(B)=PPB(Ai)
i2I
car les événements Ai\Bsont deux à deux disjoints puisque les Aile sont.
L’application PBest bien une probabilité.
.
II. I. 3. 2) Dé…nition.
L’application PBainsi dé…nie s’appelle "probabilité Bconditionnelle".
La quantité PB(A)se lit "probabilité, sachant B, de A" notée P(AjB):
On a ainsi : P(AjB) = PB(A) = P(A\B)
P(B), c’est la formule de Bayes.
.
II. I. 3. 3) Théorème de Bayes.
Soit (An)nun système complet d’événements, tous de probabilité non nulle.
Alors, pour tout événement B, on a :
P(B) = P
n1
P(BjAn)P(An)
Si de plus P(B)>0, on a pour tout entier kl’égalité :
P(Ak=B) = P(B=Ak)P(Ak)
P
n1
P(BjAn)P(An)
3

Cette formule est souvent utilisée lorsque le système complet est A; A.
Dans ce cas, la formule se simpli…e en :
P(A=B) = P(B=A)P(A)
P(B=A)P(A)+P(B=A)P(A)
.
II. I. 3. 4). Propriétés.
Soit Bun événement réalisable. Alors :
*P(?=B) = 0
*P(=B) = 1
* Si A2; P (A=B) = 1 P(A=B)
* Si A1; A22; P (A1[A2=B) = P(A1=B) + P(A2=B)P(A1\A2=B)
* Formule de Poincaré ou du crible :
Pour toute suite (Ai)1ind’événements , ona :
P[
1in
Ai=P
1in
(1)k+1 P
1i1<i2:::<ikn
P(Ai1\::: \Aik)!
.
II. I. 3. Indépendance.
II. I. 3. 1) Dé…nition.
Soit Pune probabilité sur un univers .
On dit que deux événements Aet Bde probabilités non nulles sont Pindépendants
lorsque la réalisation ou non de l’un n’a pas d’in‡uence sur la probabilité de réal-
isation de l’autre.
Autrement dit deux événements Aet Bsont indépendants lorsque PB(A) =
P(A)ou PA(B) = P(B).
.
II. I. 3. 2). Remarque.
Si deux événements Aet Bsont indépendants, alors P(A\B) = P(B)
P(A).
.
II. I. 3. 3). Théorème.
Si deux événements Aet Bsont indépendants, alors :
*Aet Ble sont aussi.
*Aet Ble sont aussi.
*Aet Ble sont aussi.
Preuve.
*Ona:B= (A\B)[A\Bet (A\B)\A\B=?
Donc, P(B) = P(A\B) + PA\B
PA\B=P(B)P(A\B) = P(B)P(B)P(A) = (1 P(A)) P(B) =
P(A)P(B)
*Ona:A= (A\B)[A\Bet (A\B)\A\B=?
Donc, P(A) = P(A\B) + PA\B
PA\B=P(A)P(A\B) = P(A)P(B)P(A) = (1 P(B)) P(A) =
P(B)P(A)
*PA\B=P(A[B) = 1 P(A[B) = 1 P(A)P(B) + P(A\B)
= 1P(A)P(B)+P(A)P(B) = (1 P(A)) (1 P(B)) = P(A)P(B)
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