ENS 2015-2016 2 année

ENS
2eme année
Dr. Aicha. Lazraq Khlass
2015-2016
Chapitre II
Probabilités
Section I
II. I. 1. Notions de probabilités.
La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant
l’étude d’expériences dont le résultat ne peut être prévu avec une totale certitude.
En voici un exemple :
Expérience
Résultat observable
Lancer d0 un dé Un entier k 2 f1; :::; 6g
.
La théorie moderne des probabilités utilise le langage des ensembles pour
modéliser une expérience aléatoire. On note
l’ensemble dont les éléments
représentent tous les résultats possibles ou événements élémentaires d’une expérience aléatoire donnée. Les événements ou événements composés seront
représentés par des parties de :
.
Lors de la réalisation d’une expérience aléatoire, on est amené à choisir
successivement :
II. I. 1. i) Un univers :
* Il représente l’ensemble toutes les issues envisagées de l’expérience.
.
* Exemples.
On lance un dé et on regarde le numéro de la face obtenue :
= f1; 2; 3; 4; 5; 6g
On lance un dé et on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou
impair :
= fP ; Ig
On lance une pièce de monnaie : = fP ; F g
On lance deux pièces de monnaie : = fP P ; P F ; F P ; F F g
On lance deux dés : = f(i; j) où, 1 i 6 et 1 j 6g
.
II. I. 1. ii) Une famille de parties de appelées "événements".
* Il s’agit des issues discernables ou mesurables par l’observateur. Lorsque
l’univers
est …ni ou dénombrable, chaque partie de l’univers peut être considérée comme un événement. Les éléments de sont appelés des événements
élémentaires. Un événement élémentaire est donc une partie de réduite à un
seul élément.
.
1
* Exemples.
On lance deux dés et on regarde la somme des résultats obtenus. On a,
S = f2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12g.
La partie E = f2; 4; 6; 8; 10; 12g est un événement qui peut se décrire par la
phrase "la somme obtenue est un nombre pair".
On choisit 6 numéros au hasard entre 1 et 49. L’univers est = f1; :::; 49g : Les
événements sont les parties de qui ont 6 éléments, donc les combinaisons de
49
6 numéros choisis parmi 49. Leur nombre est
:
6
.
* Etant donnés deux événements A et B :
- L’événement A implique B si et seulement si la réalisation de A implique
celle de B donc si et seulement si x 2 A =) x 2 B;donc si et seulement si
A B:
- A [ B est l’événement qui est réalisé si et seulement si au moins un des
événements A ou B est réalisé.
- A \ B, l’élément de P ( ) est l’événement réalisé si et seulement si les
événements A et B sont tous deux simultanément réalisés.
.
II. I. 1. iii) Une loi de probabilité.
C’est une application P de l’ensemble des parties de à valeurs dans [0; 1]
véri…ant les deux conditions :
P( ) = 1
Si (Ai )i2I ; I N; est une famille d’événements deux à deux disjoints, alors
:
P
[Ai
=
i2I
P
P (Ai )
i2I
En particulier, si A et B sont deux événements incompatibles c’est à dire
disjoints, alors P (A [ B) = P (A) + P (B):
En conséquence, on a : 1 = P ( ) = P ( [ ?) = P ( ) + P (?)
Donc : P (?) = 0
Une telle application P s’appelle probabilité ou loi de probabilité.
Grâce à la propriété d’additivité, on en déduit la propriété suivante indispensable pour calculer des probabilités de manière conforme à notre intuition
:
La probabilité P (E) d’un événement E est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
.
II. I. 2. Propriétés.
a) Lorsque est de cardinal …ni et que l’on a¤ecte la même probabilité à
chaque événement élémentaire, on dit que l’on choisit une probabilité P équirépartie. On a alors :
1
pour tout événement élémentaire ! de : P (!) = Card(
)
pour tout événement E : P (E) =
Card(E)
Card( )
2
On dit aussi qu’il y a équiprobabilité.
.
b) 8A; B 2 P ( ) ; on a :
i) P A = 1 P (A)
ii) P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B)
iii) Si A B, alors P (A) P (B) :
iv) * P A \ B = P (A) P (A \ B)
* P A \ B = P (B) P (A \ B)
Preuve.
Card( ) card(A)
Card(
= Card(
i) P A = Card(A)
Card( ) =
Card( )
Card(A[B)
Card( )
Card(A)
Card( )
)
Card(A)
)
Card( ) = 1
Card(B)
Card(A\B)
Card( )
Card( )
Card(B)
Card( )
Card(A\B)
Card( )
P (A)
ii) P (A [ B) =
=
+
= P (A) +
P (B) P (A \ B)
Card(A)
iii) Si A B, alors Card(A) Card(A) et Card(A)
Card( )
Card( ) c’est à dire
P (A) P (B) :
Card(A)
Card(A\B)
iv) * P A \ B = Card(A\B)
P (A \ B)
Card( ) = Card( )
Card( ) = P (A)
Card(A\B)
Card( )
= P (B) P (A \ B)
.
II. I. 3. Probabilités conditionnelles.
II. I. 3. 1) Théorème.
Soit une expérience aléatoire d’univers de cardinal …ni, P une probabilité
sur
et B un événement tel que P (B) 6= 0. L’application P ( ) dans [0; 1];
dé…nie par PB (A) = P P(A\B)
.
(B) ; pour tout A 2 ; est une probabilité sur
Preuve.
\B)
P (B)
P ( ) = P P( (B)
=P
(B) = 1
Si (Ai )i2I ; I N; est une famille d’événements deux à deux disjoints, alors
:
P
P (Ai \B)
P [Ai \B
P
[Ai \B
P
i2I
i2I
i2I
=
=
= PB (Ai )
PB [Ai =
P (B)
P (B)
P (B)
* P A\B =
=
i2I
i2I
car les événements Ai \ B sont deux à deux disjoints puisque les Ai le sont.
L’application PB est bien une probabilité.
.
II. I. 3. 2) Dé…nition.
L’application PB ainsi dé…nie s’appelle "probabilité B conditionnelle".
La quantité PB (A) se lit "probabilité, sachant B, de A" notée P (AjB):
On a ainsi : P (AjB) = PB (A) = P P(A\B)
(B) , c’est la formule de Bayes.
.
II. I. 3. 3) Théorème de Bayes.
Soit (An )n un système complet d’événements, tous de probabilité non nulle.
Alors, pour tout
P événement B, on a :
P (B) =
P (BjAn )P (An )
n 1
Si de plus P (B) > 0, on a pour tout entier k l’égalité :
k )P (Ak )
P (Ak =B) = PP (B=A
P (BjAn )P (An )
n
1
3
Cette formule est souvent utilisée lorsque le système complet est A; A .
Dans ce cas, la formule se simpli…e en :
P (B=A)P (A)
P (A=B) = P (B=A)P
(A)+P (B=A)P (A)
.
II. I. 3. 4). Propriétés.
Soit B un événement réalisable. Alors :
* P (?=B) = 0
* P ( =B) = 1
* Si A 2 ; P (A=B) = 1 P (A=B)
* Si A1 ; A2 2 ; P (A1 [ A2 =B) = P (A1 =B) + P (A2 =B) P (A1 \ A2 =B)
* Formule de Poincaré ou du crible :
Pour toute suite (Ai )1 i n d’événements , ona :
!
P
P
k+1
P
[ Ai =
( 1)
P (Ai1 \ ::: \ Aik )
1 i n
1 i1 <i2 :::<ik n
1 i n
.
II. I. 3. Indépendance.
II. I. 3. 1) Dé…nition.
Soit P une probabilité sur un univers .
On dit que deux événements A et B de probabilités non nulles sont P indépendants
lorsque la réalisation ou non de l’un n’a pas d’in‡uence sur la probabilité de réalisation de l’autre.
Autrement dit deux événements A et B sont indépendants lorsque PB (A) =
P (A) ou PA (B) = P (B).
.
II. I. 3. 2). Remarque.
Si deux événements A et B sont indépendants, alors P (A \ B) = P (B)
P (A).
.
II. I. 3. 3). Théorème.
Si deux événements A et B sont indépendants, alors :
* A et B le sont aussi.
* A et B le sont aussi.
* A et B le sont aussi.
Preuve.
* On a : B = (A \ B) [ A \ B et (A \ B) \ A \ B = ?
Donc, P (B) = P (A \ B) + P A \ B
P A \ B = P (B) P (A \ B) = P (B) P (B) P (A) = (1 P (A)) P (B) =
P (A) P (B)
* On a : A = (A \ B) [ A \ B et (A \ B) \ A \ B = ?
Donc, P (A) = P (A \ B) + P A \ B
P A \ B = P (A) P (A \ B) = P (A) P (B) P (A) = (1 P (B)) P (A) =
P (B) P (A)
* P A \ B = P (A [ B) = 1 P (A [ B) = 1 P (A) P (B) + P (A \ B)
= 1 P (A) P (B) + P (A) P (B) = (1 P (A)) (1 P (B)) = P (A) P (B)
4