Anneaux Exercice 1. (NEW) Exercice 5. Thm de Gauss

#3
Anneaux
Khôlles - Classes prépa
Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.
(NEW)
Soit A un anneau intègre et K = Fr(A) son corps de fraction. Soit B un sous-anneau de K contenant
A, montrez que Fr(B) = K .
Exercice 1.
Anneau de Boole
Soit E un ensemble ni et A = P(E).
1) Montrer que (A, ∆, ∩) est un anneau(commutatif. Est-il intègre ?
∀ X ∈ I, ∀ Y ⊂ X, on a Y ∈ I
2) Soit I un idéal de A. Montrer que :
∀ X, Y ∈ I, on a X ∪ Y ∈ I.
3) En déduire que I = P(E 0 ) avec E 0 ⊂ E .
4) Étudier la réciproque.
5) Si E est inni, montrer que I = {parties nies de E} est un idéal qui n'est pas de la forme P(E 0 ).
Exercice 2.
Idéaux triviaux
Soit A un anneau commutatif non nul dont les seuls idéaux sont {0} et A. Montrer que A est un corps.
Exercice 3.
Idéaux premiers
Un idéal I d'un anneau A est dit premier si : ∀ x, y ∈ A, xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I .
1) Quels sont les idéaux premiers de Z ?
2) Montrer que A est commutatif et si tous les idéaux de A sont premiers alors A est un corps.
Exercice 4.
Exercice 5.
Thm de Gauss
a divise b si b ∈ aA
a est premier à b si aA + bA = A.
Montrer que si a est premier à b et a divise bc, alors a divise c.
(
Soit A un anneau commutatif et a, b ∈ A. On dit que :
Caractéristique
Soit A un anneau. On appelle caractéristique de A l'ordre de 1 dans le groupe additif (A, +). On
suppose A de caractéristique nie, n.
1) Montrer que : ∀ x ∈ A, nx = 0.
2) Si A est intègre, montrer que n est un nombre premier.
3) Si A est intègre et commutatif, montrer que x 7−→ xn est un morphisme d'anneau.
Exercice 6.
Anneau de caractéristique 2
Soit A un anneau non nul tel que : ∀ x ∈ A, x2 = x.
1) Exemple d'un tel anneau ?
2) Quels sont les éléments inversibles de A ?
3) Montrer que : ∀ x ∈ A, x + x = 0. En déduire que A est commutatif.
4) Pour x, y ∈ A on pose : x ≤ y ⇐⇒ ∃ a ∈ A tq x = ay . Montrer que c'est une relation d'ordre.
Exercice 7.
Eléments nilpotents
Soit A un anneau commutatif, et a ∈ A. On dit que a est nilpotent s'il existe n ∈ N tel que an = 0.
1) Exemple : Déterminer les éléments nilpotents de Z/36Z.
2) Montrer que l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal de A.
3) Soit a nilpotent. Montrer que 1 − a est inversible (remarquer que 1 = 1n − an ).
Exercice 8.
14 septembre 2015
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Thierry Sageaux
Anneaux
4)
Soient a nilpotent et b inversible. Montrer que b + a est inversible.
Radical d'un idéal
Soit A un√anneau commutatif et I un idéal de A.
On note I = {x√∈ A tq ∃ n ∈ N tq xn ∈ I} (radical de I ).
1) Montrer que pI est un idéal de A.
√
√
2) Montrer que √ I = √
I.
√
√
√
√
+ J ⊃ I + J.
3) Montrer que I ∩ J = I ∩ J et I √
4) Exemple : A = Z, I = 3648Z. Trouver I .
Exercice 9.
Produit de deux idéaux
Soit A un anneau commutatif et I, J deux idéaux de A.
On note IJ = {a1 b1 + · · · + an bn tq ai ∈ I, bi ∈ J}.
1) Montrer que IJ est un idéal de A.
2) Montrer que I(J + K) = IJ + IK .
3) On suppose I + J = A. Montrer que IJ = I ∩ J .
4) Pour A = Z, I = nZ, J = pZ, qu'est-ce que IJ ?
Exercice 10.
Relation d'équivalence compatible avec les opérations d'anneau
Soit A un anneau commutatif.
1) Soit R une relation d'équivalence compatible avec l'addition et la multiplication dans A. On note
I la classe de 0. Montrer que I est un idéal de A.
2) Réciproquement, soit J un idéal de A. On pose x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ J . Montrer que ∼ est une
relation d'équivalence compatible avec + et ×.
Exercice 11.
Exercice 12. Étude de l'anneau Z2
1) Soit d ∈ N. On pose Ad = {(x, y) ∈ Z2
2)
3)
4)
tq x ≡ y [d]} (x = y pour d = 0).
Montrer que Ad est un sous-anneau de Z2 .
Montrer que l'on obtient ainsi tous les sous-anneaux de Z2 .
(
I = {x ∈ Z tq (x, 0) ∈ I}
Soit I un idéal de Z2 . On note : 1
I2 = {y ∈ Z tq (0, y) ∈ I}.
Montrer que I1 et I2 sont des idéaux de Z, et que I = I1 × I2 .
En déduire que I est un idéal principal.
Exercice 13.
Idéaux de KE
Soit K un corps,E un ensemble ni, et A = KE . Pour e ∈ E , on pose : Ie = {f ∈ A tq f (e) =
χe : x 7−→
0},
1 six = e
0 six =
6 e.
1)
2)
Montrer que Ie est un idéal principal
de A.
P
Soit f ∈ A. Vérier que f =
f (e)χe .
3)
Soit I un idéal quelconque de A, et F = {e ∈ E tq P
∃ f ∈ I tq f (e) 6= 0}.
Montrer que I est un idéal principal engendré par
χe .
e∈E
e∈F
Exercice 14.
Fonctions
trigonométriques
Soit A = f : R → R de la forme f (x) = a0 +
n
P
ak cos(kx), n ∈ N, ai ∈ R .
k=1
1)
Montrer que A est un sous-anneau de RR .
2)
Soit f ∈ A. Montrer que si f = 0, alors les coecients ak sont tous nuls calculer
3)
En déduire que A est intègre.
Z
2π
f (t) cos(nt) dt .
t=0
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Thierry Sageaux
Anneaux
Suites croissantes d'idéaux
S
Soit A un anneau commutatif et (In ) une suite croissante d'idéaux de A. On pose I =
In .
Exercice 15.
1)
2)
3)
Montrer que I est un idéal de A.
On suppose que A est principal. Montrer qu'il existe n0 ∈ N tel que I = In0 .
En déduire que RR n'est pas principal.
n∈N
Endomorphismes d'un groupe commutatif
Soit G un groupe additif et A = {morphismes f : G → G}.
1) Montrer que (A, +, ◦) est un anneau.
Exercice 16.
2)
On prend G = Z/nZ, n ≥ 2. Montrer que A est l'ensemble des applications
avec k ∈ G, et que A est isomorphe à l'anneau Z/nZ.
ϕ : G −→
x 7−→
G
kx
Entiers 2-adiques
Soit A = {m/n ∈ Q tq n est impair}.
1) Montrer que A est un sous-anneau de Q.
2) Chercher les éléments inversibles dans A.
3) Montrer que les idéaux de A sont tous principaux engendrés par les nombres de la forme 2k , k ∈ N.
Exercice 17.
Exercice 18.
Morphismes Zn > Z
Chercher les morphismes d'anneaux : Zn > Z.
Suites stationnaires
Soit A = {suites stationnaires d'entiers relatifs} muni des opérations usuelles.
1) Montrer que A est un anneau.
2) Chercher les morphismes d'anneaux : A > Z.
3) Soit I = {suites presque nulles}. Montrer que c'est un idéal non principal.
Exercice 19.
Entiers de Gauss
Soit A = {a + bi tq a, b ∈ Z}.
1) Montrer que A est un sous-anneau de C. Quels sont les éléments inversibles ?
2) Soient u, v ∈ A avec v 6= 0. Montrer qu'il existe q, r ∈ A tels que u = qv + r et |r| < |v|. A-t-on
unicité ?
3) Montrer que A est principal.
Exercice 20.
Anneau intègre ni
Soit A un anneau non nul, commutatif et intègre.
1) Montrer que si A est ni, alors c'est un corps.
2) Montrer que si A n'a qu'un nombre ni d'idéaux, alors c'est un corps (considérer les idéaux In =
xn A pour x ∈ A non nul).
Exercice 21.
Corps F4
Chercher les structures de corps à 4 éléments.
Exercice 22.
Groupe multiplicatif d'un corps ni
Soit K un corps ni. Pour x ∈ K∗ on note O(x) l'ordre multiplicatif de x et n le ppcm des ordres des
éléments de K∗ .
1) Soient a, b ∈ N∗ . Montrer qu'il existe a0 , b0 ∈ N∗ tels que a0 |a, b0 |b, a0 ∧ b0 = 1 et a0 b0 = a ∨ b.
2) Soient x, y ∈ K∗ d'ordres a et b. Montrer qu'il existe u, v entiers tels que O(xu y v ) = a ∨ b. En
déduire qu'il existe z ∈ K∗ d'ordre n.
3) Montrer que n = card(K∗ ) (ceci prouve que K∗ est cyclique).
Exercice 23.
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Thierry Sageaux
Anneaux
Groupe multiplicatif d'un corps ni
Soit K un corps ni de cardinal n. Si a, b ∈ N sont tels que ab = n − 1, on considère l'application
fa : K∗ −→ K∗
(remarquer que fa est un morphisme de groupe). On note Na = card(Ker fa ).
a
Exercice 24.
x
7−→
x
Expliquer pourquoi Na ≤ a.
Montrer que Im(fa ) ⊂ Ker fb . En déduire que Na = a et Nb = b.
Soit ϕ l'indicateur d'Euler. Montrer par récurrence sur a, diviseur de n−1, que le nombre d'éléments
de K∗ d'ordre a est égal à ϕ(a) (ceci prouve que K∗ est cyclique).
1)
2)
3)
Théorème de Wedderburn
On dit que K est un corps gauche si (K, +, ×) est un anneau et si (K \ {0}, ×) est un groupe (non
nécessairement commutatif). On vériera rapidement que la théorie des espaces vectoriels est inchangée
si on remplace le corps de base par un corps gauche. L'objet de l'exercice est de démontrer le théorème
de Wedderburn : tout corps gauche ni est commutatif.
Exercice 25.
Pour n ∈ N∗ , soitQPn l'ensemble des racines n-èmes primitives de l'unité dans C. On pose Φ1 (X) =
X − 1 et Φn (X) =
(X − ζ). Φn est appelé le n-ème polynôme cyclotomique (son degré est φ(n) où φ
ζ∈Pn
est l'indicateur d'Euler).
Q
1) Démontrer : (∀ n ∈ N∗ ) X n − 1 =
Φd (X). En déduire, par récurrence, que Φn (X) a tous ses
d|n
coecients dans Z.
2) Calculer explicitement Φn (X) pour n ≤ 16.
3)
Démontrer que, pour p premier et α ∈ N∗ , Φpα (X) =
p−1
P
X kp
α−1
.
k=0
Calculer le terme constant de chaque Φn .
Montrer que, si d < n et d divise n, alors X d − 1 divise X n − 1 dans Z[X], puis que Φn (X) divise
Xn − 1
dans Z[X].
X n − 1 et d
4)
5)
X −1
On considère K un corps gauche ni et Z(K) son centre, de cardinal q .
Montrer que Z(K) est un corps commutatif.
Montrer que K est un Z(K)-espace vectoriel de dimension nie, notée n. Donner alors le cardinal
de K en fonction de q et n.
8) Soit a ∈ K \ {0}. On note Ca = {x ∈ K | ax = xa}.
Montrer que Ca est un corps gauche, puis que c'est un Z(K)-espace vectoriel de dimension nie d
divisant n (on montrera pour cela que K est un Ca -espace vectoriel et l'on étudiera sa dimension).
9) On fait opérer le groupe multiplicatif K ∗ sur lui-même par automorphismes intérieurs.
En considérant les orbites selon cette opération montrer que l'on a :
6)
7)
qn − 1 = q − 1 +
10)
11)
k
X
qn − 1
avec, pour tout i, di |n
q di − 1
i=1
En déduire que Φn (q) divise q − 1.
En étudiant |Φn (q)| montrer que n = 1.
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Anneaux
Solutions des exercices
Exercice 4.
2) A est intègre
car {0} est premier et si a ∈ A \ {0} alors a × a ∈ (a2 ) qui est premier donc a2 divise
a d'où a est inversible.
Exercice 7.
2) 1.
3) x + y = (x + y)2 = x2 + y 2 + xy + yx = x + y + xy + yx ⇒ xy + yx = 0.
4)
Pour y = 1 : x + x = 0 ⇒ 1 = −1.
Pour y quelconque : xy = −yx = yx.
Antisymétrie : si x = ay , alors xy = ay 2 = ay = x.
Donc (x ≤ y) et (y ≤ x) ⇒ xy = x = y .
Exercice 9.
3) Réciproque
4) 114Z.
fausse : A = Z[X], I = (X), J = (X + 4).
Exercice 18.
f (x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + · · · + an xn .
f est multiplicative sur la base canonique ⇒ ai aj = 0 pour i 6= j .
f (1, . . . , 1) = 1 ⇒ un des ai vaut 1, et les autres 0.
conclusion : f = fct coordonnée.
Exercice 19.
2) idem ??
: les projections + la valeur de stationnement.
Exercice 20.
1) ±1, ±i.
2) Non : 1 + i = 0 × 2 + (1 + i) = 1 × 2 + (i − 1).
Exercice 22.
K = {0, 1, a, b} et {1, a, b} est un groupe multiplicatif ⇒ b = a2 , a3 = 1.
× 1 a a2
+ 0 1 a a2
0
1
a
a2
0
1
a
a2
1
0
a2
a
a
a2
0
1
a2
a
1
0
1 1 a a2
a a a2 1
a2 a2 1 a
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