export pages poly meca sy10s

Chapitre X : Modélisation des actions mécaniques I.
Introduction Le concept d’action mécanique recouvre une réalité invisible, non susceptible d’une perception directe par les sens, et par conséquent impossible à quantifier directement. On peut définir les actions mécaniques comme des causes qui ne sont observables qu’au travers de leurs effets sur la matière : • Modification de la vitesse d’un corps en mouvement ! Trajectoire non rectiligne (modification de la direction de la vitesse) ! Accélération ou décélération (modification de la norme de la vitesse) • Déformation des corps (allongement d’un ressort) • Dégagement de chaleur (frottement). II.
Classification des actions mécaniques 1. Classification par nature On distingue : • Les actions à distance qui s’exercent en tout point du système matériel, dont l’exemple-­‐type est l’attraction gravitationnelle (pesanteur). Ces actions à distance sont toujours connues en fonction des paramètres de position de S/𝑅. Les actions de contact qui n’existent que sur la frontière du domaine matériel considéré (exemple : pression exercée par un fluide sur la paroi du récipient qui le contient). 2. Classification par rapport au système Cette classification nécessite de définir au préalable le système étudié, et conduit alors à différentier : •
•
Les actions extérieures : exercées sur le système S étudié par l’univers extérieur à S. •
Les actions intérieures : exercées par une partie du système S sur une autre partie du système S. 3. Exemple Considérons un cycliste sur une route en pente. •
1er cas : S = { cycliste + vélo } •
! L’action de la pesanteur sur le cycliste et sur le vélo est une action extérieure à distance. ! L’action de la route sur les roues du vélo est une action extérieure de contact. ! L’action de la main du cycliste sur le guidon, du frein sur la jante, de la fourche sur la roue avant, … sont des actions intérieures de contact. ème
2 cas : S = { roue avant} ! L’action de la pesanteur sur la roue est une action extérieure à distance. ! L’action de la fourche sur la roue, du frein sur la jante, du sol sur la roue sont des actions extérieures de contact. ! L’action d’un rayon de la roue sur la jante est une action intérieure de contact. III. Modélisation des actions mécaniques à distance. Cas-­‐type : la pesanteur Rappel : Soit un point P, de masse m, à l’altitude h. On sait que le champ de gravitation de la Terre en P s’écrit : !!!!!!!!!⃗
𝑔(𝑃) = −𝐺 !!
(!! !!)!
𝑢
!⃗ On schématise l’effort à distance qui en résulte par cette densité massique de forces 𝑔 𝑀 telle que chaque élément de centre M subisse de sa part la force : 𝑑𝐹d→Σ = 𝑔 𝑀 . dm A cette distribution, on associe un torseur Fd→Σ : « torseur des efforts à distance sur Σ » dont les éléments de réduction en un point O quelconque sont : Fd→Σ
𝑒𝑛 𝑂
𝑅d→Σ =
𝑀d→Σ (𝑂) =
𝑔 𝑀 . 𝑑𝑚 Σ
𝑂𝑀 ^ 𝑔 𝑀 . 𝑑𝑚
Σ
En pratique, dans ce cours, les systèmes Σ seront supposés de dimension petite vis-­‐à-­‐vis du rayon de la Terre (𝑅! = 6,4 10! m). Alors, tant en norme qu’en direction, 𝑔 𝑀 peut être considérée comme constante. On posera donc : 𝑔 𝑀 = 𝑔 Dans ces conditions : ℱd→Σ 𝑅d→Σ = Σ 𝑔 . 𝑑𝑚 = 𝑔 Σ 𝑑𝑚 = 𝑚 Σ 𝑔 𝑒𝑛 𝑂 𝑀 (𝑂) =
𝑂𝑀 ^
𝑔.
𝑑𝑚
=
𝑂𝑀.
𝑑𝑚 ^
𝑔
=
𝑚
Σ
𝑂𝐺 ^𝑔
d→Σ
Σ
Σ
⇒ ℱd→Σ 𝑅d→Σ = 𝑚 Σ 𝑔 𝑒𝑛 𝑂 𝑀d→Σ (𝑂) = 𝑚 Σ 𝑂𝐺 ^𝑔
Calculons les éléments de réduction de ce torseur au point G : ℱd→Σ 𝑅d→Σ = 𝑚 Σ 𝑔 𝑒𝑛 𝐺 𝑀d→Σ (𝐺) = 𝑀d→Σ (𝑂) + 𝐺𝑂^𝑚 Σ 𝑔 = 𝑂𝐺^𝑚 Σ 𝑔 − 𝑂𝐺^𝑚 Σ 𝑔 = 0
Conclusion : Dans l’hypothèse où 𝑔 𝑀 = 𝑔 uniforme, on a : ℱd→Σ 𝑅d→Σ = 𝑚 Σ 𝑔
𝑒𝑛 𝐺 𝑀d→Σ (𝐺) = 0
Rq : Puisque Σ est constitué de N parties disjointes 𝑆! , de masses m(𝑆! ) et de centres d’inertie 𝐺! , on peut encore écrire : !
ℱd→Σ
𝑒𝑛 𝑂
𝑅d→Σ =
𝑔 . 𝑑𝑚 =
Σ=∪!!
𝑀d→Σ (𝑂) =
!
𝑔 . 𝑑𝑚 =
!!! !!
!
𝑂𝑀 ^ 𝑔. 𝑑𝑚 =
Σ=∪!!
!
𝑚 𝑆! 𝑔 = !!!
𝑅d→!! !!!
!
𝑂𝑀. 𝑑𝑚 ^ 𝑔 = !!! !!
⇒ ℱd→Σ = !
!!! ℱd→!! 𝑀d→!! (𝑂)
!!!
Le poids de Σ est, au sens des torseurs, la somme du poids des différentes parties 𝑆! . IV.
Modélisation des actions mécaniques de contact L’interaction entre deux solides en contact fait intervenir des forces dont l’étude détaillée est délicate. Ces forces dépendent de la nature des matériaux en contact, de leur rugosité et des déformations locales des surfaces en contact. 1. Modélisation des actions de contact entre deux solides Considérons deux solides, 𝑆! et 𝑆! , en contact ponctuel (ex : sphère sur sphère, sphère sur plan). En réalité, du fait même du contact entre les solides, il existe une petite zone de déformation autour du point de contact I. Aussi, les actions mécaniques exercées par 𝑆! sur 𝑆! au point I sont caractérisées par un torseur a priori quelconque. ℱ!! →!! 𝑅!! →!! 𝑒𝑛 𝐼 𝑀!! →!! (𝐼) On peut toujours définir un plan tangent commun en I aux deux surfaces de contact, (P), et décomposer systématiquement 𝑅!! →!! et 𝑀!! →!! (𝐼) en une composante normale (portée par la normale 𝑛 au plan tangent (P)) et une composante tangentielle (dans le plan (P)). + 𝑇 ℱ!! →!! 𝑅!! →!! = 𝑁
𝑒𝑛 𝐼 𝑀! →! (𝐼) = 𝑀! 𝐼 + 𝑀! 𝐼
!
!
Nous allons examiner le rôle de ces différentes composantes, ce qui va introduire les lois de frottement. Rq : La composante normale de la résultante, 𝑁, est responsable de l’écrasement local des surfaces et joue donc un rôle fondamental dans les lois empiriques de frottement, établies par Coulomb (1736-­‐1806). Dans le cas d’un contact ponctuel parfait, où le frottement est négligé, le torseur des actions de contact en I devient : = 𝑁 𝑛 ℱ!! →!! 𝑅!! →!
!
𝑒𝑛 𝐼 𝑀!! →!! (𝐼) = 0 2. Interprétation de la composante tangentielle 𝑻: Frottement de glissement Considérons ici le cas plus général d’un contact surfacique. La réaction 𝑅 provient alors de forces élémentaires réparties sur la surface de contact, représentée ici par une force résultante appliquée en un point I de la surface. Soit un corps de masse m (ex : une caisse) posé sur un sol horizontal, que l’on cherche à faire glisser en exerçant sur lui une force horizontale 𝐹 . L’expérience montre que si la norme de 𝐹 est trop faible, le corps reste immobile. Analysons cette situation d’équilibre statique : F + T = 0 mg + N = 0 La composante tangentielle s’oppose au glissement. L’expérience permet de dégager des lois (approchées), dites lois de Coulomb ou lois du frottement sec (valables en l’absence de lubrifiant). a) Il n’y a pas de glissement si : 𝑇 < f 𝑁 où f est le coefficient de frottement statique, qui ne dépend que de la nature et de l’état de surface des matériaux en contact. b) S’il y a glissement : 𝑇 = -­‐ f ’ 𝑁 !!
!!
où f ’ est le coefficient de frottement dynamique (f ’ < f ) et 𝑉! est la vitesse de glissement. Ainsi, lorsqu’il y a glissement, 𝑇 est opposée à la vitesse de glissement et possède sa valeur maximale, proportionnelle à N. Rq : On peut donner une interprétation géométrique simple à la condition 𝑇 < f 𝑁 , en introduisant l’angle Φ appelé angle de frottement, tel que : f = tg (Φ) !
!
< tg (Φ) ⇒ Il n’y a pas de glissement tant que la réaction 𝑅 reste à l’intérieur du cône de frottement : cône de sommet I, de demi-­‐angle au sommet Φ et d’axe 𝑛. 3. Interprétation de 𝑴𝒏 𝑰 : Frottement de pivotement Considérons une roue en contact avec le sol. Pour faire pivoter cette roue (i.e. tourner autour de l’axe perpendiculaire au plan de contact : 𝑛), l’expérience montre qu’il faut exercer un couple, dont la norme est supérieure à une valeur minimale correspondant au frottement de pivotement caractérisé par 𝑀! 𝐼 . Il n’y a pas pivotement tant que : 𝑀! 𝐼
< λ! 𝑁 . Lorsque cette condition n’est plus respectée, il y a pivotement et : 𝑀! 𝐼 = λ'! 𝑁 λ! et λ'! sont les coefficients de frottement de pivotement statique et dynamique, homogènes à une longueur. 4. Interprétation de 𝑴𝒕 𝑰 : Frottement de roulement Pour faire rouler une roue posée sur un sol horizontal, il faut exercer un couple dont la norme est supérieure à une valeur minimale correspondant au frottement de roulement caractérisé par 𝑀! 𝐼 . Il n’y a pas roulement tant que : 𝑀! 𝐼
< δ! 𝑁 . Lorsque cette condition n’est plus respectée, il y a roulement et : 𝑀! 𝐼
= δ'! 𝑁 δ! et δ'! sont les coefficients de frottement de roulement statique et dynamique, ou encore paramètres de roulement, homogènes là encore à une longueur. Rq : Très souvent, les frottements de pivotement et de roulement sont négligeables ⇒ 𝑀(𝐼) = 0 et les actions de contact entre solides se réduisent à une force 𝑅 appliquée au point de contact I. 5. Effet d’arc-­‐boutement Posons un solide S, de masse m, sur un plan horizontal, et essayons de le faire glisser en exerçant sur lui une force 𝐹 inclinée d’un angle α par rapport à la verticale. En supposant que le point d’application de 𝐹 ne permette pas le basculement de S autour de l’une de ses arêtes et que son poids soit négligeable devant 𝐹, le théorème de la résultante dynamique donne : m 𝑥 = -­‐ T + F sin α 0 = N -­‐ F cos α D’après les lois de coulomb : • Si S reste immobile (𝑥 = 0 ) alors T < f . N ⇒ F sin α < f . F cos α ⇒ tg α < f Ou encore tg α < tg Φ (Φ angle de frottement). Cette condition est indépendante de l’intensité de la force 𝐹 : nous pouvons augmenter cette force, si α < Φ, le solide ne glissera pas : c’est le phénomène d’arc-­‐
boutement. • Si α > Φ, le solide se met à glisser même pour une force 𝐹 d’intensité très faible. V.
Torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons usuelles parfaites (sans frottement) Rappel : Considérons deux solides, 𝑆! et 𝑆! , en contact. La puissance mutuelle s’écrit : 𝒫!↔! = ℱ!! →!! . 𝒱!! /!! = ℱ!! →!! . 𝒱!! /!! La liaison est dite parfaite si ce comoment est nul. La géométrie de la liaison entre deux solides impose la forme du torseur cinématique 𝒱!! /!! . On va donc chercher la forme suffisante du torseur d’actions mécaniques ℱ!! →!! pour que cette liaison soit parfaite, c’est-­‐à-­‐dire pour que : ℱ!! →!! . 𝒱!! /!! = 0 ∀ 𝒱!! /!! (t) compatible avec la liaison. 1. Liaison sphérique (ou rotule) parfaite La géométrie de cette liaison impose un torseur cinématique de la forme : 𝒱!!/!! (t) Ω!!/!! 𝑡 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒
𝑒𝑛 𝐴
𝑉!!/!! (A,t) = 0 Calculons : 𝒫!↔! = ℱ!! →!! . 𝒱!! /!! = 𝐹!! →!! . 𝑉!!/!! (A,t) + 𝑀!! →!! (A) . Ω!!/!! 𝑡 𝒫!↔! = 𝑀!! →!! (A) . Ω!!/!! 𝑡 = 0
Pour que la condition 𝒫!↔! = 0 ∀ Ω!!/!! 𝑡 soit respectée, il suffit que 𝑀!! →!! (A) = 0. Conclusion : Pour qu’une liaison sphérique de centre A soit parfaite, il suffit que : ℱ!! →!! 𝐹!! →!! 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒
𝑒𝑛 𝐴 𝑀!! →!! (A) = 0 Physiquement, cela signifie que les efforts de frottement entre 𝑆! et 𝑆! sont suffisamment faibles pour n’induire aucun moment en A venant freiner la rotation de 𝑆! /𝑆! . Rq : Le repérage de 𝑆! /𝑆! nécessite dans ce cas 3 angles (angles d’Euler par exemple). Les inconnues de liaison qui déterminent ℱ!! →!! sont les 3 composantes de la force 𝐹!! →!! . En tout, la liaison met en jeu 6 grandeurs inconnues. 2. Liaison cylindrique (ou verrou, ou pivot-­‐glissant) parfaite La géométrie de cette liaison impose un torseur cinématique de la forme : 𝒱!! (𝑡) Ω!!/!! 𝑡 = 𝜃 𝑢 !!
𝑒𝑛 𝐴 𝑉!! (𝐴, 𝑡) = λ 𝑢
!!
Calculons : 𝒫!↔! = ℱ!! →!! . 𝒱!! /!! = 𝐹!! →!! . 𝑉!!/!! (A,t) + 𝑀!! →!! (A) . Ω!!/!! 𝑡 𝒫!↔! = 𝐹!! →!! . (λ 𝑢) + 𝑀!! →!! (A) . (𝜃 𝑢) 𝒫!↔! = 0 ⇒ λ (𝐹!! →!! . 𝑢) + 𝜃 (𝑀!! →!! (A) . 𝑢 ) = 0 ∀ λ et 𝜃 Conclusion : Pour qu’une liaison pivot-­‐glissant d’axe (A, 𝑢) soit parfaite, il suffit que : ⏊ 𝑢 ℱ!! →!! 𝐹!! →!
!
𝑒𝑛 𝐴 𝑀!! →!! (A) ⏊ 𝑢
Physiquement, le fait que 𝐹!! →!! n’ait pas de composante parallèle à 𝑢 traduit le fait qu’il n’y a pas de frottement de glissement dans la translation de 𝑆! /𝑆! selon l’axe (A, 𝑢). De même, le fait que 𝑀!! →!! (A) n’ait pas de composante parallèle à 𝑢 traduit le fait qu’il n’y a pas de frottement de roulement venant freiner la rotation de 𝑆! /𝑆! autour de (A, 𝑢). 3. Généralisation Le nombre de composantes d’efforts transmises par une liaison parfaite est égal à 6 moins le nombre de degrés de liberté de la liaison (i.e., le nombre de mouvements de translation et de rotation indépendants que la liaison autorise). Si la liaison bloque un degré de liberté en translation suivant l’axe 𝑋, alors la liaison est capable de transmettre une composante de force dans cette direction. Si la liaison bloque un degré de liberté en rotation autour de l’axe (O, 𝑋), alors la liaison est capable de transmettre une composante de moment autour de cet axe. On parle de dualité cinémato-­‐statique. Les torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons usuelles sont donnés dans le tableau suivant, notés 𝒜!! →!! avec la résultante sur la première ligne et le moment sur la seconde ligne. Torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons mécaniques usuelles VI.
Lois de comportement des liaisons élastiques et dissipatives 1. Ressort de traction-­‐compression (liaison élastique) Supposons deux solides 𝑆! et 𝑆! liés par une liaison glissière élastique de direction 𝑢. La composante de force de 𝑆! sur 𝑆! selon l’axe 𝑢
!⃗ est !!!!!!!!!!!!⃗
!⃗ = ± K (l -­‐ l! ) 𝐹!! →!! . 𝑢
(proportionnelle à l’élongation) Où : K est la raideur du ressort (K > 0) l! est la longueur à vide ou longueur de repos (longueur pour laquelle le ressort ne produit aucune action mécanique) l est la longueur actuelle du ressort. Rq : Le signe de la composante de force est à définir en imaginant le sens de l’action du ressort (traction ou compression) pour sa longueur actuelle, en se fixant arbitrairement une longueur de repos si celle-­‐ci n’est pas définie. Pour cela, il faut se rappeler qu’un ressort tend toujours à se ramener à sa longueur de repos. Exemple : A sa longueur actuelle, le ressort est étiré : l -­‐ l! > 0 Pour se ramener à la longueur l! , la force exercée sur 𝑆! doit être de sens opposé à 𝑢
!⃗ : !!!!!!!!!!!!⃗
𝐹!! →!! . 𝑢
!⃗ < 0 ⇒ !!!!!!!!!!!!⃗
𝐹!! →!! . 𝑢
!⃗ = -­‐ K (l -­‐ l! ) 2. Amortisseur de traction-­‐compression (liaison dissipative) Supposons deux solides 𝑆! et 𝑆! liés par une liaison glissière avec amortissement, de direction 𝑢. La composante de force de 𝑆! sur 𝑆! selon l’axe 𝑢 est : 𝐹!! →!! . 𝑢 = -­‐ µ 𝑉!! /!! (𝐴, 𝑡) . 𝑢 (proportionnelle à la vitesse d’élongation) Où µ est le coefficient d’amortissement.