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Chapitre*X*:*Modélisation*des*actions*mécaniques*
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I. Introduction$
$$
Le$ concept$ d’action$ mécanique$ recouvre$ une$ réalité$ invisible,$ non$ susceptible$ d’une$
perception$directe$par$les$sens,$et$par$conséquent$impossible$à$quantifier$directement.$
$
On$peut$définir$les$actions$mécaniques$comme$des$causes$qui$ne$sont$observables$qu’au$
travers$de$leurs$effets$sur$la$matière$:$
• Modification$de$la$vitesse$d’un$corps$en$mouvement$
! Trajectoire$non$rectiligne$(modification$de$la$direction$de$la$vitesse)$$
! Accélération$ou$décélération$(modification$de$la$norme$de$la$vitesse)$$
• Déformation$des$corps$(allongement$d’un$ressort)$
• Dégagement$de$chaleur$(frottement).$
$
$
II. Classification*des*actions*mécaniques$
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1. Classification*par*nature$
$
On$distingue$:$$
$$
• Les$actions$à$distance$qui$s’exercent$en$tout$point$du$système$matériel,$dont$
l’exemple;type$est$l’attraction$gravitationnelle$(pesanteur).$Ces$actions$à$distance$
sont$toujours$connues$en$fonction$des$paramètres$de$position$de$S/𝑅.$
$
• Les$actions$de$contact$qui$n’existent$que$sur$la$frontière$du$domaine$matériel$
considéré$(exemple$:$pression$exercée$par$un$fluide$sur$la$paroi$du$récipient$qui$le$
contient).$
$
$
2. Classification*par*rapport*au*système$
$$
Cette$classification$nécessite$de$définir$au$préalable$le$système$étudié,$et$conduit$alors$à$
différentier$:$$
$
• Les$actions$extérieures$:$exercées$sur$le$système$S!étudié$par$l’univers$extérieur$à$S.$
$
• Les$actions$intérieures$:$exercées$par$une$partie$du$système$S$sur$une$autre$partie$du$
système$S.$
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3. Exemple$
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Considérons$un$cycliste$sur$une$route$en$pente.$
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• 1er$cas$:$S!=${$cycliste$+$vélo$}$
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! L’action$ de$ la$ pesanteur$ sur$ le$ cycliste$ et$ sur$ le$ vélo$ est$ une$ action$
extérieure$à$distance.$
! L’action$ de$ la$ route$ sur$ les$ roues$ du$ vélo$ est$ une$ action$ extérieure$ de$
contact.$
! L’action$ de$ la$ main$ du$ cycliste$ sur$ le$ guidon,$ du$ frein$ sur$ la$ jante,$ de$ la$
fourche$sur$la$roue$avant,$…$sont$des$actions$intérieures$de$contact.$
$
• 2ème$cas$:$S!=${$roue$avant}$
$
! L’action$de$la$pesanteur$sur$la$roue$est$une$action$extérieure$à$distance.$
! L’action$de$la$fourche$sur$la$roue,$du$frein$sur$la$jante,$du$sol$sur$la$roue$
sont$des$actions$extérieures$de$contact.$
! L’action$ d’un$ rayon$ de$ la$ roue$ sur$ la$ jante$ est$ une$ action$ intérieure$ de$
contact.$
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III. Modélisation*des*actions*mécaniques*à*distance.*Cas7type*:*la*pesanteur$
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Rappel$:$Soit$un$point$P,$de$masse$m,$à$l’altitude$h.$
$
$
On$ schématise$ l’effort$ à$ distance$ qui$ en$ résulte$ par$ cette$ densité$ massique$ de$ forces$
𝑔𝑀$telle$que$chaque$élément$de$centre$M$subisse$de$sa$part$la$force$:$
𝑑𝐹
d→Σ$=$𝑔𝑀.$dm!
On$sait$que$le$champ$de$gravitation$de$la$Terre$en$
P$s’écrit$:$
𝑔(𝑃)
!
!
!
!
!
!
!
!
!
⃗
=−𝐺!!!
(!!!!)!!!𝑢
!
⃗
!

$
A$cette$distribution,$on$associe$un$torseur$Fd→Σ$:$«$torseur$des$efforts$à$distance$sur$$Σ$»$
dont$les$éléments$de$réduction$en$un$point$O$quelconque$sont$:$
Fd→Σ
𝑒𝑛!𝑂
𝑅d→Σ!=𝑔𝑀
Σ
.𝑑𝑚!
𝑀d→Σ(𝑂)!=𝑂𝑀!^
Σ
𝑔𝑀.𝑑𝑚
$
$
En$pratique,$dans$ce$cours,$les$systèmes$Σ$seront$supposés$de$dimension$petite$vis;à;vis$
du$rayon$de$la$Terre$(𝑅!=6,4!10!$m).$Alors,$tant$en$norme$qu’en$direction,$𝑔𝑀$peut$
être$considérée$comme$constante.$$
$
On$posera$donc$:$$𝑔𝑀$=$𝑔$
$
Dans$ces$conditions$:$
$
ℱd→Σ
𝑒𝑛!𝑂
𝑅d→Σ!=𝑔
Σ.𝑑𝑚 =𝑔𝑑𝑚 =𝑚Σ!𝑔 Σ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
𝑀d→Σ(𝑂)!=𝑂𝑀!^
Σ𝑔.𝑑𝑚 =𝑂𝑀.𝑑𝑚!^ Σ𝑔=𝑚Σ!𝑂𝐺!^𝑔
$$
$
⇒ $
ℱd→Σ
𝑒𝑛!𝑂
𝑅d→Σ=𝑚Σ!𝑔!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
𝑀d→Σ(𝑂)!=𝑚Σ!𝑂𝐺!^𝑔$
$
$
Calculons$les$éléments$de$réduction$de$ce$torseur$au$point$G$:$$
$
ℱd→Σ
𝑒𝑛!𝐺
𝑅d→Σ=𝑚Σ!𝑔!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
𝑀d→Σ(𝐺)!=𝑀d→Σ(𝑂)+𝐺𝑂^𝑚Σ!𝑔=!𝑂𝐺^𝑚Σ𝑔−𝑂𝐺^𝑚Σ𝑔=0$
$
Conclusion$:$Dans$l’hypothèse$où$$$𝑔𝑀$=$𝑔$uniforme,$on$a$:$$$
ℱd→Σ
𝑒𝑛!𝐺
𝑅d→Σ=𝑚Σ!𝑔
𝑀d→Σ(𝐺)!=0$
$
Rq$:$Puisque$Σ!est$constitué$de$N$parties$disjointes$𝑆!,$de$masses$m(𝑆!)$et$de$centres$
d’inertie$𝐺!,$on$peut$encore$écrire$:$$
ℱd→Σ
𝑒𝑛!𝑂
𝑅d→Σ!=𝑔
Σ=∪!!
.𝑑𝑚 =𝑔
!!
.𝑑𝑚 =𝑚𝑆!!𝑔=!
!
!!!
!
!!!
𝑅d→!!
!
!!!
!!!!!!!!!
𝑀d→Σ(𝑂)!=𝑂𝑀!^
Σ=∪!!
𝑔.𝑑𝑚 =𝑂𝑀.𝑑𝑚!^
!!
𝑔=!
!
!!!
𝑀d→!!(𝑂)
!
!!!
$
$
⇒$$$ℱd→Σ$=$ ℱd→!!
!
!!!$
$
Le$poids$de$Σ!est,$au$sens$des$torseurs,$la$somme$du$poids$des$différentes$parties$𝑆!.$
!
!
!

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IV. Modélisation*des*actions*mécaniques*de*contact$
L’interaction$ entre$ deux$ solides$ en$ contact$ fait$ intervenir$ des$ forces$ dont$ l’étude$
détaillée$ est$ délicate.$ Ces$ forces$ dépendent$ de$ la$ nature$ des$ matériaux$ en$ contact,$ de$
leur$rugosité$et$des$déformations$locales$des$surfaces$en$contact.$
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1. Modélisation*des*actions*de*contact*entre*deux*solides$
$
Considérons$deux$solides,$𝑆!$et$𝑆!,$en$contact$ponctuel$(ex$:$sphère$sur$sphère,$ sphère$
sur$plan).$$
$
En$ réalité,$ du$ fait$ même$ du$ contact$ entre$ les$ solides,$ il$ existe$ une$ petite$ zone$ de$
déformation$autour$du$point$de$contact$I.$Aussi,$les$actions$mécaniques$exercées$par$𝑆!$
sur$𝑆!$au$point$I$sont$caractérisées$par$un$torseur$a$priori$quelconque.$
$
$ $
$
ℱ!!→!!
𝑒𝑛!𝐼
𝑅!!→!!!!!!!!!
𝑀
!!→!!(𝐼)!$
$
$
On$peut$toujours$définir$un$plan$tangent$commun$en$I$aux$deux$surfaces$de$contact,$(P),$
et$ décomposer$ systématiquement$ 𝑅!!→!!$et$ 𝑀
!!→!!(𝐼)$en$ une$ composante$ normale$
(portée$par$la$normale$ 𝑛$au$plan$tangent$(P))$et$ une$composante$tangentielle$(dans$le$
plan$(P)).$
$
ℱ!!→!!
𝑒𝑛!𝐼
𝑅!!→!!=𝑁+𝑇!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
𝑀
!!→!!(𝐼)=𝑀!𝐼+𝑀!𝐼
$
$
Nous$allons$examiner$le$rôle$de$ces$différentes$composantes,$ce$qui$va$introduire$les$lois$
de$frottement.$
$
Rq$:$ La$composante$normale$de$ la$résultante,$𝑁,$est$ responsable$de$l’écrasement$local$
des$surfaces$ et$ joue$ donc$un$ rôle$ fondamental$ dans$ les$ lois$ empiriques$ de$ frottement,$
établies$par$Coulomb$(1736;1806).$
$
Dans$ le$ cas$ d’un$ contact$ ponctuel$ parfait,$ où$ le$ frottement$ est$ négligé,$ le$ torseur$ des$
actions$de$contact$en$I$devient$:$ $ $ $ $
ℱ!!→!!
𝑒𝑛!𝐼
𝑅!!→!!=𝑁!𝑛!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
𝑀
!!→!!(𝐼)=0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$
$
$
!
!

2. Interprétation*de*la*composante*tangentielle*𝑻:*Frottement*de*glissement$
$
Considérons$ici$le$cas$plus$général$d’un$contact$surfacique.$La$réaction$𝑅$provient$alors$
de$forces$élémentaires$réparties$sur$la$surface$de$contact,$représentée$ici$par$une$force$
résultante$appliquée$en$un$point$I$de$la$surface.$
Soit$un$corps$de$masse$m$(ex$:$une$caisse)$posé$sur$un$sol$horizontal,$que$l’on$cherche$à$
faire$glisser$en$exerçant$sur$lui$une$force$horizontale$𝐹.$$
$
L’expérience$montre$que$si$la$norme$de$𝐹$est$trop$faible,$le$corps$reste$immobile.$
Analysons$cette$situation$d’équilibre$statique$:$
$
$$$$F!+!T!=!0$
!!!!mg!+!N!=!0$
$$$$$$$
La$composante$tangentielle$s’oppose$au$
glissement.$
$
$
L’expérience$permet$de$dégager$des$lois$(approchées),$dites$lois$de$Coulomb$ou$lois$du$
frottement$sec$(valables$en$l’absence$de$lubrifiant).$
$
a) Il$n’y$a$pas$de$glissement$si$:$$ 𝑇$<$ f !$𝑁$
$
où$ f !$est$le$coefficient$de$frottement$statique,$qui$ne$dépend$que$de$la$nature$et$de$l’état$
de$surface$des$matériaux$en$contact.$
$
b) S’il$y$a$glissement$:$$$$$𝑇$=$"$ f(’ $$ 𝑁$
!
!
!
!
$
où$ f(’ !est$le$coefficient$de$frottement$dynamique$( f(’ !<! f $)$et$𝑉
!$est$la$vitesse$de$
glissement.$
Ainsi,$lorsqu’il$y$a$glissement,$𝑇$est$opposée$à$la$vitesse$de$glissement$et$possède$sa$
valeur$maximale,$proportionnelle$à$N.$
$
Rq$:$On$peut$donner$une$interprétation$géométrique$simple$à$la$condition$ 𝑇$<! f $$ 𝑁,$
en$introduisant$l’angle$Φ$appelé$angle$de$frottement,$tel$que$:$ f !=$tg$(Φ)$
$
$$
!
!$<$tg$(Φ)$$⇒$Il$n’y$a$pas$de$glissement$tant$que$la$
réaction$𝑅$reste$à$l’intérieur$du$cône$de$frottement$:$cône$de$
sommet$I,$de$demi;angle$au$sommet$Φ$et$d’axe$𝑛.$
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3. Interprétation*de*!𝑴𝒏𝑰:*Frottement*de*pivotement$
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