mécanique GMP1 échelle simple

Mécanique - Statique des solides
GMP1 - échelle simple posée contre un mur
TD statique avec frottement
1. Aucun frottement considéré
Le problème étudié est plan ; on considère donc que l’échelle admet (G, ~x, ~y)comme plan de symétrie, avec ~x suivant
l’horizontale et ~y vertical ascendant.
Par conséquent, les actions mécaniques estimées en A(sur le mur) et B(sur le sol) correspondent dans la réalité aux
efforts sur les deux "bras" de l’échelle, tous les deux ramenés dans le plan de symétrie.
On repère l’inclinaison de l’échelle à l’aide de l’angle αqu’elle fait par rapport à la verticale.
L’échelle isolée (S), à l’équilibre statique, est soumise à trois actions mécaniques extérieures :
•action de la pesanteur, appliquée en G, représentée par le torseur
{Tpes→S}=
0 0
−mg 0
0 0
(G,~x,~y,~z)
•réaction normale du sol sur l’échelle, appliquée en B, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
sans frottement, de normale ~y)
{Tsol→S}=
0 0
YB0
0 0
(B,~x,~y,~z)
•réaction normale du mur sur l’échelle, appliquée en A, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
sans frottement, de normale ~x)
{Tmur→S}=
XA0
0 0
0 0
(A,~x,~y,~z)
Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit donc :
{Tpes→S}(A,~x,~y,~z)+{Tsol→S}(A,~x,~y,~z)+{Tmur→S}(A,~x,~y,~z)= 0
Où on choisit arbitrairement le point Acomme point de réduction.
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On transporte les torseurs au point A, soit :
•Pour l’action de pesanteur :
−−−−−−−→
MA,pes→S=−−−−−−−→ MG,pes→S+−→ AG ∧~ P=
O
O
O
+
Lsinα/2
−Lcosα/2
O
∧
0
−mg
O
=
0
0
−mgLsinα/2
donc le torseur devient
{Tpes→S}=
0 0
−mg 0
0−mgLsinα/2
(A,~x,~y,~z)
•Pour la réaction du sol :
−−−−−−→
MA,sol→S=−−−−−−→ MB,sol→S+−−→ AB ∧~ Rsol→S=
O
O
O
+
Lsinα
−Lcosα
O
∧
0
YB
O
=
0
0
LYBsinα
donc le torseur devient
{Tsol→S}=
0 0
YB0
0LYBsinα
(A,~x,~y,~z)
Le théorème de la résultante en projection sur les axes ~x et ~y et l’équation de moment au point A suivant ~z donnent :
XA= 0 /~x (1)
YB−mg = 0 /~y (2)
−mgLsinα/2 + LYBsinα= 0 /~z (3)
A priori une solution semble possible, mais en regardant bien il apparaît que les équations (2) et (3) ne peuvent pas être
satisfaites simultanément : soit YB=mg, soit YB=mg/2!
D’un point de vue graphique, l’impossibilité d’avoir un équilibre est visible : l’échelle est soumise à deux forces parallèles
qui ne sont pas de même support (les forces en Get B), donc l’équilibre n’est possible que si la troisième force est parallèle
au deux premières : or l’action en Aest horizontale. Les trois forces ne peuvent pas être concourantes et l’équilibre est
impossible.
En comparant les approches graphique et analytique, on remarque que pour un solide soumis à trois forces :
•le théorème de la résultante correspond à la condition graphique "le triangle des forces est fermé",
•l’équation du moment correspond à la condition graphique : "les forces sont concourantes en un même point".
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2. Frottement considéré au point A
Le sujet propose de mettre en place du frottement au point B.
Dans ce corrigé on souhaite montrer pourquoi ! Par conséquent, considérons un instant le cas où le frottement n’existe
qu’en A.
L’échelle isolée (S), à l’équilibre statique, est soumise à trois actions mécaniques extérieures :
•action de la pesanteur, appliquée en G, représentée par le torseur
{Tpes→S}=
0 0
−mg 0
0 0
(G,~x,~y,~z)
•réaction normale du sol sur l’échelle, appliquée en B, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
sans frottement, de normale ~y)
{Tsol→S}=
0 0
YB0
0 0
(B,~x,~y,~z)
•réaction normale du mur sur l’échelle, appliquée en A, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
avec frottement, de normale ~x)
{Tmur→S}=
XA0
YA0
0 0
(A,~x,~y,~z)
avec YA>0car s’oppose à la tendance au mouvement.
Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit donc :
{Tpes→S}(A,~x,~y,~z)+{Tsol→S}(A,~x,~y,~z)+{Tmur→S}(A,~x,~y,~z)= 0
Où on choisit le point Acomme point de réduction.
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On transporte les torseurs au point A, soit :
•Pour l’action de pesanteur :
−−−−−−−→
MA,pes→S=−−−−−−−→ MG,pes→S+−→ AG ∧~ P=
O
O
O
+
Lsinα/2
−Lcosα/2
O
∧
0
−mg
O
=
0
0
−mgLsinα/2
donc le torseur devient
{Tpes→S}=
0 0
−mg 0
0−mgLsinα/2
(A,~x,~y,~z)
•Pour la réaction du sol :
−−−−−−→
MA,sol→S=−−−−−−→ MB,sol→S+−−→ AB ∧~ Rsol→S=
O
O
O
+
Lsinα
−Lcosα
O
∧
0
YB
O
=
0
0
LYBsinα
donc le torseur devient
{Tsol→S}=
0 0
YB0
0LYBsinα
(A,~x,~y,~z)
Le théorème de la résultante en projection sur les axes ~x et ~y et l’équation de moment au point A suivant ~z donnent :
XA= 0 /~x (4)
YA+YB−mg = 0 /~y (5)
−mgLsinα/2 + LYBsinα= 0 /~z (6)
La loi de Coulomb appliquée au contact en Aindique que :
•S’il n’y a pas glissement, 0≤YA< f.XA
•Au glissement naissant, 0≤YA=f.XA
Or l’équation (1) impose XA= 0, ainsi quel que soit le cas d’équilibre (glissement naissant ou non glissement), la loi de
Coulomb indique que YA= 0 et cela revient au cas précédent (sans frottement en A).
Ce résultat est intéressant à retenir :
Dans un contact avec frottement potentiel, si l’effort normal au contact est nul, la force tangentielle est, elle aussi,
nulle : on ne peut pas créer d’effort tangentiel au contact sans effort normal.
Encore une fois, ce "non équilibre" était prévisible graphiquement : on a toujours deux forces parallèles (en Get B) donc
la seule solution d’équilibre serait que l’action en Asoit parallèle aux deux autres actions, ce qui est impossible. Et bien
sûr les trois actions ne peuvent pas être concourantes...
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3. Frottement considéré au point B
L’échelle isolée (S), à l’équilibre statique, est soumise à trois actions mécaniques extérieures :
•action de la pesanteur, appliquée en G, représentée par le torseur
{Tpes→S}=
0 0
−mg 0
0 0
(G,~x,~y,~z)
•réaction normale du sol sur l’échelle, appliquée en B, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
avec frottement, de normale ~y)
{Tsol→S}=
XB0
YB0
0 0
(B,~x,~y,~z)
avec XB<0car s’oppose à la tendance au glissement de l’échelle.
•réaction normale du mur sur l’échelle, appliquée en A, représentée par le torseur (associé à une liaison ponctuelle
sans frottement, de normale ~x)
{Tmur→S}=
XA0
0 0
0 0
(A,~x,~y,~z)
Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit donc :
{Tpes→S}(A,~x,~y,~z)+{Tsol→S}(A,~x,~y,~z)+{Tmur→S}(A,~x,~y,~z)= 0
Où on choisit le point Acomme point de réduction (pour être comparé avec les cas précédents).
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