Espaces vectoriels de dimension finie sur R - FR
Espaces vectoriels de dimension finie sur R
I. Introduction
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II. Les vecteurs du plan
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AB
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AB
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AB
⃗
CD
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III. Généralités
Définition :
+espace vectoriel$""!
!
ℝ
#"$/41!!"(2
1
∀(x , y)∈E=
x+y=y+x
1
∀(x , y , z)∈E
x+( y+z)=(x+y)+z
1
∀x∈E
x+>=>+x=x
1
∀x∈E
∃! y∈E x+y=y+x=>
/
y
−x
1
#!!
ℝ×E
E
2
1
∀λ∈ℝ
∀( x , y )∈E=
λ(x+y)=λ x+λ y
1
∀(λ ,μ) x∈ℝ=
∀x∈E
(λ+μ) x=λ x+μ x
1
∀x∈E
?x=x
+"! !"vecteur
#!
ℝ
!scalaires#'!
3 2
@# $!!-
!"
ℝ=
/$!
(x , y)où x , y∈ℝ
1 !
ℝ
32
a(x , y)=(ax >)
@7>'"!>
@#""loi de composition interne
@#!!"loi de composition externe
2
@
ℝ
! !
ℝ
"!2
∀a∈ℝ
∀(x , y)∈ℝ=
a(x+y)=ax+ay
/!"$ 1
∀(a , b)∈ℝ=
∀x∈ℝ
(a+b)x=ax +bx
∀x∈ℝ
?x=x
@#"$ !! !
A
Proposition :
∀λ ∈ℝ
∀x∈E
2
1
λ>=>
>=>
1
λx=>⇒ λ=>ou x=>
1
−(λ) x=λ (−x)=−(λ x)
!!
−λ x
Proposition :
Si E et F sont deux espaces vectoriels euclidiens, l'ensemble produit ExF définit par les couples
(u,v) où
u∈E
et
v∈E
peut être muni d'une structure naturelle d'espace vectoriel avec les
opérations suivantes :
L'opération d'addition est donné pour (u,v) et (u',v') par : (u,v)+(u',v')=(u+u',v+v')
L'opération de multiplication externe est donné pour (u,v) et
a∈ℝ
par : a(u,v)=(au, av)
Démonstration :
Cette démonstration est laissée à titre d'exercice.
! 2
#"$
ℝn
! !!
ℝ=
ℝ
! !
IV. Sous-espaces vectoriels
! !
Définition :
$7sous-espace vectoriel!
!"!!
3 2
@! !!! !
!!-"! @! !
Théorème :
@$@! !2
1 2
F≠∅
1 $"2
∀(x , y)∈ F=
x+y∈F
1 $!!2
∀x∈F
∀a∈ℝ
ax ∈F
2
#"$@! !
#"$B>C! !
Corollaire :
@$@! !2
1
>∈F
1
∀(x , y)∈F=
∀λ∈ℝ
λx+y∈F
!!2
D"$?5B
(x , y , z)∈ℝ
05>C! !
D"$=5B
(x , y)∈ℝ=
=4*5>C@! !
ℝ=
D"$5B
(x , y)∈ℝ=
x=−E*=>
C"! !
F
Proposition:
#'!! !! !
& 2
@! !
1
>∈F
>∈G
!
>∈F∩G
1
x , y∈F∩G
λ∈ℝ
x , y∈F
!
λx+y∈F
x , y∈G
!
λx+y∈G
λx+y∈F∩G
3 2
#! !"! !
V. Combinaison linéaires, famille génératrice.
! !
Définition :
(
u? , u p
)
!
(
λ? ,λp
)
!# !
∑
i=?
p
λiui
combinaison linéaire
3 2
@* !!$* "
$ .
@#!!"!$ .
@+ !"!"!!$
!
2
&
ℝ=
/?EE1!$ !/?1/?>1!2
E(?)+=(?>)=(?=E)+(=>)=(?EE)
Proposition :
#"$!$" !
(
u? , u p
)
@! !
7!"@! !engendré
Vect
(
u? , u p
)
& 2
(
u? , u p
)
1
∑
i=?
p
>iui=>
!
>∈Vect
(
u? , u p
)
1
x , y∈Vect
(
u? , u p
)
γ∈ℝ
∃
(
λ? ,λp
)
∈ℝp
∑
i=?
p
λiui
∃
(
μ? ,μp
)
∈ℝp
∑
i=?
p
μiui
γx+y=γ ∑
i=?
p
λiui+∑
i=?
p
μiui=∑
i=?
p
(γ λi+μi)ui
!
γx+y∈Vect
(
u? , u p
)
?>
Définition :
# !
(
u? , u p
)
famille génératrice
(
u? , u p
)
5
Vect
(
u? , u p
)
2
@&
ℝ
//?>>1/>?>1/>>?11!
@G =5B
(x , y)∈ℝ=
=4*5>C@! !
ℝ=
%!%!=7*5@="=5B
(x ,−= )∈ℝ=
x∈ℝ
C
=5B
x(?−=)∈ℝ=
x∈ℝ
C!//?@=11!
=
Proposition :
H !!!!
VI. Dépendance linéaire et indépendance linéaire.
! !
Définition :
(
u? , u p
)
!/
a?
I
ap
1
!
∑
i=?
p
aiui=>
⇒∀i , ?≤i≤p , ai=>
(
u? , u p
)
famille libre7
!
u? , u p
linéairement indépendants
2
@&
ℝ
/?>>1/>?>1/>>?1
@&! !! !
Proposition:
H@"$$
2
@&
ℝ
/?>>1/>?>1/>>?1!/>?>1/>>?1
Définition :
+/
u? , u p
1famille liés"$
7 !
u? , u p
linéairement dépendants
3 2
@& !
∃ λ ∈ℝ
u=λ v
@&! !! !>
??
6
7
8
9
1
/
9
100%
