Espaces vectoriels de dimension finie sur R - FR

ESIEE Paris – E3FI
Carmelo Guarneri
Espaces vectoriels de dimension finie sur R
I.
Introduction
En informatique, on peut représenter les images de deux façon. Soit on définit des points avec une
position et une couleur, qu'on appelle des pixels. L'ensemble de ces points définit des images
bitmaps. Cette méthode est économique en termes de calculs, mais s'adapte mal aux transformations
de l'image, induisant un effet d'escalier. De plus elle s’adapte difficilement à la représentation des
objets dans l'espace, car par exemple, une rotation de l'objet ne peut se faire qu'en enregistrant une
image pour chaque angle de vue, ce qui limite les possibilités puisque qu'il y en a une infinité.
Une autre méthode consiste à représenter les images sous forme d'objets géométriques, sous forme
de points, de lignes, de polygones ou de courbes avec des attributs de forme de position et de
couleurs. C'est ce qu'on appelle des dessins vectoriels. Cette méthode est beaucoup plus coûteuse en
termes de calculs mais élimine l'effet d'escalier. De plus elle rend beaucoup plus aisée la
représentation des objets dans l'espace puisque les images sont calculés a partir d'un seul fichier
dans n'importe quelle position.
Les espaces vectoriels offrent un cadre théorique pour étudier cette représentation des images.
II. Les vecteurs du plan
Si on considere deux points dans un plan, la droite qui les relie définit une direction, et une fleche
sur cette droite définit un sens.
Un sens
Une direction
Deux points
⃗ . Sur des vecteurs
Deux points avec une direction et un sens forment un vecteur du plan noté AB
de meme origine, on peut définir deux opérations (cohérentes avec ce que vous avez vu des forces
en physique) :
•
L’addition : Regle du parallélogramme
⃗
AB
+
⃗
AC
=
⃗
AD
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•
Le produit d’un vecteur par un nombre. On obtient un vecteur de meme direction et de «
longueur » multipliée par λ . Le signe de λ peut alors modifier le « sens » du vecteur
résultat :
•
⃗
Deux vecteurs AB
parallélogramme.
⃗ sont égaux si le quadrilatere ABDC est un
et CD
III. Généralités
Définition :
Un espace vectoriel est un ensemble E munis d'une addition interne et d'une multiplication externe
sur le corps ℝ .
L'ensemble (E,+) est une groupe commutatif, c'est à dire que :
2
iv) ∀( x , y)∈ E
x+ y= y+x
3
v) ∀( x , y , z)∈ E
x+( y+ z)=(x+ y)+z
x+0=0+ x=x
vi) ∀ x ∈ E
vii) ∀ x ∈ E ∃ ! y ∈E x + y= y+x =0 ( y est noté − x )
La multiplication externe est une application de ℝ × E dans E telle que :
viii)
∀ λ ∈ℝ ∀( x , y )∈ E 2 λ (x + y )=λ x +λ y
ix) ∀(λ ,μ) x ∈ℝ2 ∀ x ∈ E (λ+μ) x =λ x +μ x
1 x= x
x) ∀ x ∈ E
Un élément d'un espace vectoriel s'appelle un vecteur.
Le corps ℝ est le corps des scalaires de E. Les éléments de E s’appellent les scalaires.
Remarque :
-La propriété vii peut sembler inutile, mais on comprends son utilité si on considere la loi de
2
composition externe d'un élément x des ℝ (ensemble des couples ( x , y)où x , y∈ℝ ) avec un
élément a de ℝ R définie par : a (x , y)=(ax ,0) .
-On notera indifféremment 0 l’élément neutre de l'addition de E et le scalaire 0.
-L'addition interne de E s'appelle aussi la loi de composition interne de E.
-La multiplication par un scalaire s'appelle aussi la loi de composition externe de E.
Exemples :
- ℝ est un espace vectoriel, en effet ℝ muni de l'addition est un groupe commutatif et :
2
∀ a ∈ℝ
a (x+ y)=ax+ay (c'est la distributivité)
∀( x , y)∈ℝ
2
∀ x ∈ℝ (a+b) x=ax +bx
∀(a , b)∈ℝ
∀ x ∈ℝ 1 x=x
-L'ensemble des vecteurs du plan est un espace vectoriel.
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Proposition :
∀ λ ∈ℝ et ∀ x ∈E on a :
i)
λ 0=0 et 0x=0
ii) λ x=0 ⇒ λ=0 ou x=0
iii) −(λ) x=λ (−x)=−(λ x) , on peut donc écrire −λ x
Proposition :
Si E et F sont deux espaces vectoriels euclidiens, l'ensemble produit ExF définit par les couples
(u,v) où u∈E et v ∈E peut être muni d'une structure naturelle d'espace vectoriel avec les
opérations suivantes :
L'opération d'addition est donné pour (u,v) et (u',v') par : (u,v)+(u',v')=(u+u',v+v')
L'opération de multiplication externe est donné pour (u,v) et a ∈ℝ par : a(u,v)=(au, av)
Démonstration :
Cette démonstration est laissée à titre d'exercice.
Conséquence :
n
L'ensemble ℝ est un espace vectoriel. En particuliers
ℝ
2
et ℝ
3
sont des espaces vectoriels.
IV. Sous-espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel
Définition :
Soit F un sous ensemble de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si F est un espace
vectoriel pour les lois d'addition et de multiplication par un scalaire définies sur E.
Remarque :
Cette définition identifie les sous-espaces vectoriels de E comme des espaces vectoriels.
Il en découle les criteres d'identification suivant pour les sous-espaces vectoriels.
Théorème :
Soit F un sous-ensemble de E. F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si :
i) F est non vide : F ≠∅
2
ii) F est stable pour l'addition : ∀( x , y)∈ F
x+ y∈ F
∀ a ∈ℝ ax ∈F
iii) F est stable pour la multiplication par un scalaire : ∀ x ∈F
Exemple :
L'ensemble E est un sous-espace vectoriel de E.
L'ensemble {0} est un sous espace vectoriel de E.
Corollaire :
Soit F un sous-ensemble de E. F est un sous-espace vectoriel de E si :
i)
0∈ F
2
ii) ∀( x , y)∈ F
∀ λ ∈ℝ λ x+ y ∈ F
Exercices:
Montrer que l'ensemble F1={ ( x , y , z)∈ℝ3 tel que z=0} est un espace vectoriel .
Montrer que l'ensemble F2={ ( x , y)∈ℝ2 tel que 2x+y=0} est un sous-espace vectoriel de ℝ 2 .
2
2
Montrer que l'ensemble F3={ ( x , y)∈ℝ tel que x −4y=0 } n'est pas un espace vectoriel.
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Proposition:
L’intersection de deux sous espaces vectoriels est un sous espace vectoriel.
Démonstration :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E
i) 0∈ F et 0∈G donc 0∈ F ∩G
ii) Soient x , y∈ F ∩G et λ ∈ℝ , x , y∈ F donc λ x+ y∈ F , x , y∈G donc
λ x+ y∈G et au final λ x+ y∈ F ∩G
Remarque :
La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est pas un sous espace vectoriel en général.
V. Combinaison linéaires, famille génératrice.
Soit E un espace vectoriel.
Définition :
Soit ( u1, . . . , u p ) une famille de p vecteurs de E et
p
∑ λi ui
scalaires. Le vecteur
( λ 1,
. . . , λ p ) une famille de
est appelé une combinaison linéaire de E.
i=1
Remarques :
-Il y a au moins un vecteur dans une combinaison linéaire et il peut y en avoir n'importe quel
nombre et ils peuvent etre égaux ou nul.
-Les coefficients d'une combinaison linéaire peuvent etre nuls.
-Un vecteur peut s'écrire d'une infinité de façon comme combinaison linéaire de différentes familles
de vecteurs.
Exemple :
2
Dans ℝ (14,4) est une combinaison linéaire des vecteurs (3,1) et de (1,0) car :
4(3,1)+2(1,0)=(12,4)+(2,0)=(14,4)
Proposition :
L'ensemble des combinaisons linéaires d'une famille de vecteurs ( u 1, . . . , u p ) de E est un
sous-espace vectoriel de E.
On dit que c'est le sous-espace vectoriel engendré par E et on le note Vect ( u1, . . . , u p ) .
Démonstration :
Soit ( u1, . . . , u p ) un famille de E
p
i)
∑ 0i ui=0
i=1
ii) Soient
donc 0∈Vect ( u1, . . . , u p )
x , y∈Vect ( u 1, . . . , u p ) et
∃ ( λ 1, . . . , λ p ) ∈ℝ
p
p
tel que
p
p
i=1
i=1
∑ λi ui
i=1
p
γ∈ℝ
et ∃ ( μ 1, . . . ,μ p ) ∈ℝ
γ x+ y=γ ∑ λ i ui +∑ μ i u i =∑ (γ λ i +μ i )ui donc
i=1
p
p
tel que
∑ μi u i
i=1
γ x+ y ∈Vect ( u 1, . . . , u p )
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Définition :
Les vecteurs ( u 1, . . . , u p ) forment une famille génératrice de E si la famille
( u1, . . . , u p ) engendre E autrement dit si E = Vect ( u1, . . . , u p ) .
Exemples :
3
-Dans ℝ ( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ) est une famille génératrice.
2
2
-Nous avons vu que F2={ ( x , y)∈ℝ tel que 2x+y=0} est un sous-espace vectoriel de ℝ
2
Cherchons une famille génératrice de F2. On a y=-2x d'ou F2={ ( x ,−2x )∈ℝ tel que x∈ℝ },
2
et finalement F2={ x (1,−2)∈ℝ tel que x∈ℝ } donc ( (1,-2) ) est une famille génératrice de
F2.
Proposition :
Toute famille de vecteurs qui contient une famille génératrice est une famille génératrice.
VI. Dépendance linéaire et indépendance linéaire.
Soit E un espace vectoriel.
Définition :
Soit ( u 1, . . . , u p ) une famille de p vecteurs de E et ( a1 , ….., a p ) une famille de
scalaires.
p
Si
∑ a i ui =0
i=1
⇒ ∀i , 1≤i ≤ p , a i =0 on dit que ( u 1, . . . , u p ) est une famille libre. On
dit aussi que les vecteurs u1, . . . , u p sont linéairement indépendants.
Exemple :
3
- Dans ℝ (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) sont linéairement indépendants.
- Dans un espace vectoriel quelconque un vecteur u non nul est linéairement indépendant.
Proposition:
Toute sous-famille d'une famille libre est une famille libre.
Exemple :
3
- Dans ℝ (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) sont linéairement indépendants donc (0,1,0) et (0,0,1) sont
linéairement indépendants .
Définition :
Une famille ( u1, . . . , u p ) est une famille liés si elle n'est pas libre.
On dit que les vecteurs u1, . . . , u p sont linéairement dépendants.
Remarques :
- Deux vecteurs u et v de E sont linéairement dépendants si et seulement si ∃ λ ∈ℝ
- Dans un espace vectoriel quelconque le vecteur 0 est linéairement dépendant.
u=λ v
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VII. Bases et dimension d'un espace vectoriel.
Soit E un espace vectoriel.
Définition :
Une famille ( u1, . . . , u n ) de E est une base de E si c'est une famille libre et génératrice.
Proposition :
Une famille ( u1, . . . , u n ) de E est une base de E si et seulement si tout élément x de E peut
s'écrire d'une maniere unique comme combinaison linéaire de ( u1, . . . , u n ) .
Théorème :
Toute base de E a le meme nombre de vecteurs.
Définition :
Un espace vectoriel E est dit de dimension finie n si il admet une base de n vecteurs.
On la note dim(E)=n.
Conséquence :
Soit une base B = ( b1, ... , bn ) d'un espace vectoriel E alors tout vecteur x de E s’écrit de façon
p
unique : x =
∑ ai bi
i=1
où ∀ i , 1≤i≤ p , ai ∈ℝ
Les réels ( a1 , ….., a n ) sont appelés les coordonnées (on dit aussi les composantes) de x
relativement à la base B .
On peut alors noter le vecteur x sous la forme x=
vectoriel E s'identifie à l'espace vectoriel ℝ
n
.
()
a1
.
.
an
ou x=
( a1,
. . . , a n ) et l'espace
Remarque :
n
Les n vecteurs de ℝ notés e i dont les coordonnées sont toutes nulles sauf à la i-éme position
n
n
forment une base orthonormée de ℝ qu'on appelle la base canonique de ℝ .
3
Sur ℝ la base canonique est formée des vecteurs e 1 =(1,0,0), e 2 = (0,1,0) et e 3 =(0,0,1).
Définition :
On appelle rang d'une famille de vecteurs (u1, ... , u p ) de E la dimension du sous-espace
vectoriel Vect (u1, ... , u p ) . On le note rg (u 1, ... ,u p ) et on a :
rg (u 1, ... ,u p ) =dim( Vect (u1, ... , u p ) )
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VIII.
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Somme, somme directe et sous-espaces supplémentaires.
Soit E un espace vectoriel.
Définition :
Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. La somme de F et de G, noté
l'ensemble de toutes les sommes u+v avec u∈ F et v ∈G , c'est à dire :
F +G={u+v /u∈ F et v ∈G}
F +G et
Théorème:
La somme de deux sous espaces vectoriels de E est aussi un sous espace vectoriel de E.
Démonstration :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E
i) 0∈ F et 0∈G donc 0+0∈ F +G
ii) Soient x , y∈ F +G et λ ∈ℝ ,
∃ x ' ∈ F ∃ x ' ' ∈G tel que x= x ' + x ' ' et ∃ y ' ∈ F ∃ y ' ' ∈G tel que
donc λ x ' + y ' ∈ F et λ x ' ' + y ' ' ∈G et au final
λ x ' + y ' + λ x ' ' + y ' ' =λ( x ' + x ' ' )+( y ' + y ' ' )=λ x+ y ∈ F +G
y= y ' + y ' '
Théorème:
Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E de dimension finie. F +G est de dimension
finie et : dim( F +G )=dim( F )+dim(G )−dim( F ∩G )
Exemples
Soient F = Vect ( (1,0) ,(12,4) ,(2,0)) et G = Vect ( (4,0) ,(12,9) ,(3,0)) deux sous-espaces
3
vectoriels de ℝ , F+G= Vect ( (1,0) ,(12,4) ,(12,9)) .
Définition :
Soient F et G et H = F +G deux sous espaces vectoriels de E. On dit que H est la somme
directe des sous-espaces vectoriels F et G, notée H = F ⊕G , si ∀ x ∈H ,∃u ∈F ,∃ v∈G tels
que x=u+v
Théorème:
Le sous espace vectoriel H de E est la somme directe des sous espaces vectoriels F et G si et
seulement si :
F ∩G ={0} et F +G= H
Exemples :
3
Soit F= Vect ( (1,0 ,0) ,(0,4 ,1)) et G= Vect ( (1,0 ,4) ) deux sous-espaces vectoriels de ℝ .
Monter que F ∩G ={0} et trouver F+G.
Définition :
Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. On dit que F et G sont supplémentaires dans E si
F et G sont en somme directe et que E= F ⊕G
Exemples :
3
Monter que F= Vect ( (1,0 ,0) ,(0,4 ,1)) et G= Vect ( (1,0 ,4) ) sont supplémentaires dans ℝ .
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IX. Produit scalaire, norme et orthogonalité.
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Définition:
Un produit scalaire φ sur E est une application bilinéaire symétrique définie positive sur ℝ
2
c'est à dire que φ est une application de E dans ℝ telle que:
3
∀ λ ∈ℝ
i) (bilinéaire) ∀( x , y , z)∈ E
ϕ( x+λ y , z)=ϕ(x , z)+ λ ϕ( y , z ) et ϕ( x , y+λ z)=ϕ(x , y)+λ ϕ( x , z)
2
ϕ( x , y)=ϕ( y , x)
ii) (symétrique) ∀( x , y)∈ E
iii) (positive) ∀ x ∈E
ϕ(x , x )≥0
ϕ( x , x)=0⇒ x=0
iv) (définie) ∀ x ∈E
Définition:
Un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire est appelé un espace vectoriel
euclidien.
Définition:
Soit φ un produit scalaire sur E, on dit que les vecteurs x et y de E sont orthogonaux par rapport à
φ si φ(x,y)=0
Remarque :
Si φ(x,y)=-φ(y,x) alors la propriété ii) permet de conclure que φ(x,y)=0 donc que x et y sont
orthogonaux.
Le vecteur 0 est orthogonal a tout les vecteurs de E car ϕ(x ,0)=0 ϕ(x , y )=0
Définition:
Soit φ un produit scalaire sur E alors l'application noté ∥.∥ de E dans ℝ définit par
√ ϕ(. , .) est une norme sur E et vérifie :
i)
∀ x ∈E ∥ x∥≥0
ii) ∀ x ∈E ∥ x∥=0⇒ x=0
iii) ∀ x ∈E ∀ λ ∈ℝ ∥λ x∥=∣λ∣∥ x∥
2
iv) ∀( x , y)∈ E
∥ x∥+∥ y∥≥∥x+ y∥
Définition:
Soit x un vecteur de E, on dit que x est normé si
∥ x∥=1
Exercice :
Monter que si deux vecteurs u et v de E on meme norme alors u+v et u-v sont orthogonaux.
Définition :
Soit ( b1, . . . , bn ) une base de vecteurs de E. On dit que ( b1, . . . , bn ) est
orthonormée si ses vecteurs sont normés et deux à deux orthogonaux.
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Conséquence :
Soit E un espace vectoriel muni d'un produit scalaire φ et B=( b1 , ….., bn ) une base
orthonormée de E, et soient x= ( x 1, . . . , xn ) et y= ( y 1, . . . , y n ) deux vecteurs de E
n
(en identifiant E à ℝ relativement à la base B), on a :
p
i)
ii)
ϕ( x , y)= ∑ xi y i et on note plus simplement x.y=ϕ(x , y) ou
∥ x∥=
√
<x.y >=ϕ( x , y )
i=1
p
∑ x2i
i=1
Exemple :
3
- Soient x= ( x 1, x 2, x n ) et y= ( y 1, y 2, y n ) deux vecteurs de ℝ . x.y= x 1× y 1+ x 2× y 2+x 3× y 3
2
- Dans ℝ les vecteurs (1,0) et (0,1) sont orthogonaux.
X. Produit vectoriel et colinéarité en dimension 3.
Dans cet partie on considere un espace vectoriel E de dimension 3 muni d'une base orthonormée
3
qu'on identifieras à l'espace vectoriel ℝ .
Définition :
Soient x=( ( x 1, x 2 , x 3) ) et y=( ( y 1, y 2 , y 3 ) ) deux vecteurs de E.
Le produit vectoriel de x et de y noté x∧ y est un vecteur définit par :
x 2 y 3 − x3 y 2
x∧ y = x3 y 1 − x1 y3
x 1 y 2 − x2 y 1
(
)
Proposition:
Deux vecteurs x et y de E sont colinéaires si et seulement si
x∧ y =0.
Proposition:
Soient x et y deux vecteurs de E, alors ( x∧ y). x=0 et ( x∧ y). y=0 .
Autrement dit x∧ y est orthogonal à Vect (x , y) .
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