calcul differentiel

LEÇONS SUR LE CALCUL
DIFFÉRENTIEL
ING2-ECE-PARIS
2014-2015
ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES DE L’ECE
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Chapitre 1
Fonctions de plusieurs variables
1.1 Définitions générales
Rn=R×R×... ×Rest l’ensemble des n-uplets de réels, x= (x1, ..., xn).De la même
façon qu’on a défini les fonctions d’une seule variable réelle, on peut définir les fonctions de
plusieurs variables réelles :
f:D⊂Rn→R
(x1, ..., xn)→f(x1, ..., xn)
En pratique, on travaillera le plus souvent avec n= 2 ou n= 3.On utilisera parfois dans ce
cas la notation (x, y)ou (x, y, z)plutôt que (x1, x2)ou (x1, x2, x3).
•Produit scalaire : Comme le Rnest un espace vectoriel, on peut définir un produit scalaire
suivant :
∀u, v ∈Rn, < u, v >=
n
X
i=1
uivi∈R
•Norme : On introduit en analogie avec R2ou R3, la norme ||x|| d’un vecteur xde Rnpar
||x|| =v
u
u
t
n
X
i=1
x2
i
•La boule ouverte : Soit u∈Rn,R > 0, La boule ouverte de centre uet de rayon R, notée
B(u, R), est le sous-ensemble de Rndéfinie par
B(u, R) = {v∈Rn/||u−v|| < R}
•La boule fermée : Soit u∈Rn,R > 0, La boule fermée de centre uet de rayon R, notée
¯
B(u, R), est le sous-ensemble de Rndéfinie par
¯
B(u, R) = {v∈Rn/||u−v|| ≤ R}
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•La Sphère : On appelle la sphère de centre uet de rayon R, notée S(u, R), le sous-ensemble
de Rndéfinie par
S(u, R) = {v∈Rn/||u−v|| =R}
1.1.1 Représentations graphiques, courbes de niveau
On a appris au lycée à représenter graphiquement une fonction rélle définie sur une partie
de R.Il n’existe aucune solution évidente pour représenter graphiquement une fonction
numérique définie sur une partie de R3.Le cas d’une fonction numérique définie sur une
partie de R2se prête lui a des représentations pratiques.
Soit f:U⊂R2→Rune fonction définie sur une partie Udu plan.
Définition 1. On appelle représentation graphique de f, ou surface représentative de fl’ensemble
Sfdes points de l’espace de coordonnées (x, y, f(x, y)),où (x, y)décrit l’ensemble des coordonnées
possibles d’un point de U.
On dit aussi que Sfest la surface d’équation z=f(x, y).
Regardons par exemple la fonction f:R2→R,(x, y)→ax +by +c, a, b et cétant des réels
fixés. La surface Sfest l’ensemble des points de coordonnées
Définition 2. Soit kun nombre réel. On appelle courbe de niveau kde la fonction fl’ensemble des
points M(x, y)de R2dont les coordonnées
1.1.2 Limites
Définition 3. On écrit
lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = l(l∈R)
et on dit que la limite de f(x, y)quand (x, y)tend vers a= (x0, y0)vaut Lsi les valeurs de f(x, y)
deviennent aussi proches que lŠon veut de Len choisissant (x, y)suffisamment proche de (x0, y0)
mais sans l’égaler.
En terme mathématique, on a
lim
(x,y)→af(x, y) = l⇐⇒ h∀ε > 0,∃R > 0,(x∈D, ||x−a|| < R)⇒ ||f(x)−l|| < εi
Rappel : En une variable, il n’y a que deux directions d’approche pour une limite : la gauche
et la droite. On se souvient que
lim
x→x0
f(x) = l⇐⇒ lim
x→x−
0
f(x) = let lim
x→x+
0
f(x) = l.
3

Autrement dit, si la limite à gauche diffère de celle à droite, on conclut que la limite n’existe
pas.
À deux variables, il y a une infinité de directions d’approches pour un point (x, y).Pour une
fonction f(x, y), dès que la limite obtenue par un chemin d’approche est différente d’une
autre obtenue par un chemin différent, la limite de fau point (x, y)n’existe pas.
Exemple : Soit la fonction fdonnée par la formule ci-dessous, calculons sa limite lim
(x,y)→(0,0) f(x, y),
f(x) = sin(2x)−2x+y
x3+y3
on voit que
f(0, y) = y
y3=1 y2(y6= 0) ⇒lim
(x,y)→(0,0) f(0, y) = +∞
f(x, 0) = sin(2x)−2x
x3=2x−(2x)3
3! +o(x3)−2x
x3=−4 3(x6= 0) ⇒lim
(x,y)→(0,0) f(x, 0) = −4
3
Puisque lim
(x,y)→(0,0) f(0, y)6= lim (x,y)→(0,0) f(x, 0),donc la fonction f(x, y)n’a pas de limite à (0,0).
Exemples :
•Approcher la fonction f(x, y)par l’axe Ox et ensuite par l’axe Oy pour vérifier que la
limite de f(x, y)quand (x, y)→(0,0) n’existe pas.
f(x, y) = x2−y2
x2+y2
•Approcher la fonction g(x, y)par l’axe Ox, par Oy et ensuite par la droite y=xpour
vérifier que la limite de de g(x, y)quand (x, y)→(0,0) n’existe pas.
g(x, y) = xy
x2+y2
•Approcher la fonction h(x, y)par toutes les droites non verticales y=mx puis ensuite par
la parabole x=y2pour vérifier que la limite de h(x, y)quand (x, y)→(0,0) n’existe
pas.
h(x, y) = xy2
x2+y4
Remarque 1. Les exemples précédents montrent bien qu’on ne peut pas présumer qu’une limite
existe. Une technique pour démontrer qu’une limite existe est d’analyser le comportement de la dis-
tance entre f(x, y)et la valeur l∈Rcandidate pour la limite.
Calcul de la limite lim
(x,y)→(0,0) f(x, y): souvent on regarde tout d’abord sur les trois directions
dites usuelles : x= 0, y = 0 et x=y, si l’une des trois limites est différente aux autres, on
peut conclure de non existence de la limite en ce point, sinon (c-à-d les trois limites sont
identiques), on peut rien conclure, mais il faut continuer les calculs, par d’autre moyen,
parmi ces moyens, on peut citer à titre d’exemple les méthodes suivantes :
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•Coordonnés polaires :
Un point M(x, y)du plan peut aussi être repéré par ses coordonnés polaires (r, θ), définies
par x=rcos(θ), y =rsin(θ),avec r≥0et θ∈[0,2π[. r est appelé rayon, et θangle polaire
ou argument.
Ce changement de coordonnés (x, y)→(r, θ)est bijectif de R2−(0,0) vers R∗
+×[0,2π[.
Le changement inverse est : r=px2+y2,cos(θ) = x
px2+y2,sin(θ) = y px2+y2.
Proposition :
lim
(x,y)→(0,0) f(x, y) = lim
r→0f(rcos(θ), r sin(θ))
Exemple : Soit fdonnée par
f(x, y) = x2y
x2+y2
En remplaçant via les coordonnées polaires, on obtient
f(x, y) = f(rcos(θ), r sin(θ)) = (rcos(θ))2(rsin(θ))
r2(cos2(θ) + sin2(θ)) =r3cos2(θ) sin(θ)
r2=rcos2(θ) sin(θ),
d’où
lim
r→0f(r, θ) = lim r→0rcos2(θ) sin(θ) = 0
Donc,
lim
(x,y)→(0,0) f(x, y)=0
•Développement limité : On peut utiliser le développement limité, afin de calculer la
limite d’une fonction. Comme exemple prenons :
f(x, y) = cos(x)−1+(x2/2)
x4+y4
Calculons, tout d’abord les limites sur les directions usuelles, on trouve
f(0, y) = cos(0) −1 + (02/2)
04+y4= 0
f(x, 0) = cos(x)−1+(x2/2)
x4+ 04=1−x2
2! +x4 4! +o(x4)−1 + x2 2
x4=1 24 +o(1)
⇒lim
(x,y)→(0,0) f(x, 0) = 1
24
f(x, x) = cos(x)−1 + x2
2
2x4=1−x2
2! +x4 4! +o(x4)−1 + x2 2
2x4=1 48 +o(1)
⇒lim
(x,y)→(0,0) f(x, x) = 1
48
Puisque lim
(x,y)→(0,0) f(0, y)6= lim (x,y)→(0,0) f(x, 0) 6= lim (x,y)→(0,0) f(x, x),donc la fonction f(x, y)
n’a pas de limite à (0,0).
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