calcul differentiel

LEÇONS SUR LE CALCUL
DIFFÉRENTIEL
ING2-ECE-PARIS
2014-2015
ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES DE L’ECE
1
Chapitre 1
Fonctions de plusieurs variables
1.1
Définitions générales
Rn = R × R × ... × R est l’ensemble des n-uplets de réels, x = (x1 , ..., xn ). De la même
façon qu’on a défini les fonctions d’une seule variable réelle, on peut définir les fonctions de
plusieurs variables réelles :
f : D ⊂ Rn → R
(x1 , ..., xn ) → f (x1 , ..., xn )
En pratique, on travaillera le plus souvent avec n = 2 ou n = 3. On utilisera parfois dans ce
cas la notation (x, y) ou (x, y, z) plutôt que (x1 , x2 ) ou (x1 , x2 , x3 ).
• Produit scalaire : Comme le Rn est un espace vectoriel, on peut définir un produit scalaire
suivant :
n
X
n
∀u, v ∈ R , < u, v >=
ui vi ∈ R
i=1
2
3
• Norme : On introduit en analogie avec R ou R , la norme ||x|| d’un vecteur x de Rn par
v
u n
uX
x2i
||x|| = t
i=1
• La boule ouverte : Soit u ∈ Rn , R > 0, La boule ouverte de centre u et de rayon R, notée
B(u, R), est le sous-ensemble de Rn définie par
B(u, R) = {v ∈ Rn /||u − v|| < R}
• La boule fermée : Soit u ∈ Rn , R > 0, La boule fermée de centre u et de rayon R, notée
B̄(u, R), est le sous-ensemble de Rn définie par
B̄(u, R) = {v ∈ Rn /||u − v|| ≤ R}
2
• La Sphère : On appelle la sphère de centre u et de rayon R, notée S(u, R), le sous-ensemble
de Rn définie par
S(u, R) = {v ∈ Rn /||u − v|| = R}
1.1.1
Représentations graphiques, courbes de niveau
On a appris au lycée à représenter graphiquement une fonction rélle définie sur une partie
de R. Il n’existe aucune solution évidente pour représenter graphiquement une fonction
numérique définie sur une partie de R3 . Le cas d’une fonction numérique définie sur une
partie de R2 se prête lui a des représentations pratiques.
Soit f : U ⊂ R2 → R une fonction définie sur une partie U du plan.
Définition 1. On appelle représentation graphique de f, ou surface représentative de f l’ensemble
Sf des points de l’espace de coordonnées (x, y, f (x, y)), où (x, y) décrit l’ensemble des coordonnées
possibles d’un point de U.
On dit aussi que Sf est la surface d’équation z = f (x, y).
Regardons par exemple la fonction f : R2 → R, (x, y) → ax + by + c, a, b et c étant des réels
fixés. La surface Sf est l’ensemble des points de coordonnées
Définition 2. Soit k un nombre réel. On appelle courbe de niveau k de la fonction f l’ensemble des
points M (x, y) de R2 dont les coordonnées
1.1.2
Limites
Définition 3. On écrit
lim
f (x, y) = l
(x,y)→(x0 ,y0 )
(l ∈ R)
et on dit que la limite de f (x, y) quand (x, y) tend vers a = (x0 , y0 ) vaut L si les valeurs de f (x, y)
deviennent aussi proches que lŠon veut de L en choisissant (x, y) suffisamment proche de (x0 , y0 )
mais sans l’égaler.
En terme mathématique, on a
h
i
lim f (x, y) = l ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃R > 0, (x ∈ D, ||x − a|| < R) ⇒ ||f (x) − l|| < ε
(x,y)→a
Rappel : En une variable, il n’y a que deux directions d’approche pour une limite : la gauche
et la droite. On se souvient que
lim f (x) = l ⇐⇒ lim− f (x) = l et lim+ f (x) = l.
x→x0
x→x0
x→x0
3
Autrement dit, si la limite à gauche diffère de celle à droite, on conclut que la limite n’existe
pas.
À deux variables, il y a une infinité de directions d’approches pour un point (x, y). Pour une
fonction f (x, y), dès que la limite obtenue par un chemin d’approche est différente d’une
autre obtenue par un chemin différent, la limite de f au point (x, y) n’existe pas.
Exemple : Soit la fonction f donnée par la formule ci-dessous, calculons sa limite lim f (x, y),
(x,y)→(0,0)
f (x) =
sin(2x) − 2x + y
x3 + y 3
on voit que
f (0, y) =
1
y
= 2 (y 6= 0) ⇒ lim f (0, y) = +∞
3
(x,y)→(0,0)
y
y
2x −
sin(2x) − 2x
=
f (x, 0) =
3
x
Puisque
lim
f (0, y) 6=
(x,y)→(0,0)
(2x)3
3!
lim
(x,y)→(0,0)
+ o(x3 ) − 2x
4
4
= − (x 6= 0) ⇒ lim f (x, 0) = −
3
(x,y)→(0,0)
x
3
3
f (x, 0), donc la fonction f (x, y) n’a pas de limite à (0, 0).
Exemples :
• Approcher la fonction f (x, y) par l’axe Ox et ensuite par l’axe Oy pour vérifier que la
limite de f (x, y) quand (x, y) → (0, 0) n’existe pas.
f (x, y) =
x2 − y 2
x2 + y 2
• Approcher la fonction g(x, y) par l’axe Ox, par Oy et ensuite par la droite y = x pour
vérifier que la limite de de g(x, y) quand (x, y) → (0, 0) n’existe pas.
g(x, y) =
xy
x2 + y 2
•Approcher la fonction h(x, y) par toutes les droites non verticales y = mx puis ensuite par
la parabole x = y 2 pour vérifier que la limite de h(x, y) quand (x, y) → (0, 0) n’existe
pas.
xy 2
h(x, y) = 2
x + y4
Remarque 1. Les exemples précédents montrent bien qu’on ne peut pas présumer qu’une limite
existe. Une technique pour démontrer qu’une limite existe est d’analyser le comportement de la distance entre f (x, y) et la valeur l ∈ R candidate pour la limite.
Calcul de la limite
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) : souvent on regarde tout d’abord sur les trois directions
dites usuelles : x = 0, y = 0 et x = y, si l’une des trois limites est différente aux autres, on
peut conclure de non existence de la limite en ce point, sinon (c-à-d les trois limites sont
identiques), on peut rien conclure, mais il faut continuer les calculs, par d’autre moyen,
parmi ces moyens, on peut citer à titre d’exemple les méthodes suivantes :
4
• Coordonnés polaires :
Un point M (x, y) du plan peut aussi être repéré par ses coordonnés polaires (r, θ), définies
par x = r cos(θ), y = r sin(θ), avec r ≥ 0 et θ ∈ [0, 2π[. r est appelé rayon, et θ angle polaire
ou argument.
Ce changement de coordonnés (x, y) → (r, θ) est bijectif de R2 − (0, 0) vers R∗+ × [0, 2π[.
p
x
y
, sin(θ) = p
.
Le changement inverse est : r = x2 + y 2 , cos(θ) = p
x2 + y 2
x2 + y 2
Proposition :
lim f (x, y) = lim f (r cos(θ), r sin(θ))
r→0
(x,y)→(0,0)
Exemple : Soit f donnée par
x2 y
x2 + y 2
En remplaçant via les coordonnées polaires, on obtient
f (x, y) =
r3 cos2 (θ) sin(θ)
(r cos(θ))2 (r sin(θ))
= r cos2 (θ) sin(θ),
=
f (x, y) = f (r cos(θ), r sin(θ)) = 2
2
2
2
r
r (cos (θ) + sin (θ))
d’où
lim f (r, θ) = lim r cos2 (θ) sin(θ) = 0
r→0
r→0
Donc,
lim
f (x, y) = 0
(x,y)→(0,0)
• Développement limité : On peut utiliser le développement limité, afin de calculer la
limite d’une fonction. Comme exemple prenons :
f (x, y) =
cos(x) − 1 + (x2 /2)
x4 + y 4
Calculons, tout d’abord les limites sur les directions usuelles, on trouve
f (0, y) =
cos(0) − 1 + (02 /2)
=0
04 + y 4
x2
2!
x4
4!
+ o(x4 ) − 1 +
x4
1
⇒ lim f (x, 0) =
(x,y)→(0,0)
24
1−
cos(x) − 1 + (x2 /2)
f (x, 0) =
=
x4 + 0 4
cos(x) − 1 +
f (x, x) =
2x4
Puisque
lim
f (0, y) 6=
(x,y)→(0,0)
x2
2
x2
2!
+
x4
4!
+ o(x4 ) − 1 +
=
2x4
1
⇒ lim f (x, x) =
(x,y)→(0,0)
48
lim
1−
+
f (x, 0) 6=
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(0,0)
n’a pas de limite à (0, 0).
5
x2
2
x2
2
=
=
1
+ o(1)
24
1
+ o(1)
48
f (x, x), donc la fonction f (x, y)
1.2
Continuité
La définition de la continuité d’une fonction de plusieurs variables est une généralisation du
cas d’une fonction d’une seule variable.
Définition 4. Soit f : D ⊂ R2 → R, f est continue en a = (x0 , y0 ) si et seulement si
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x0 , y0 ).
On dit que f est continue si elle est continue en chaque point de son domaine.
Exemple : Étudions la continuité de la fonction f : R2 → R, au point (0, 0), avec

 (x2 + y 2 ) sin( 1 ) si (x, y) 6= (0, 0),
xy
f (x, y) =

0
si (x, y) = (0, 0)
∀(x, y) ∈ R2 , on a
|f (x, y)| ≤ (x2 + y 2 ) →(x,y)→(0,0) 0 = f (0, 0)
Donc la fonction f est continue au point (0, 0).
6
f (x, y) =
Chapitre 2
Calcul Différentiel
2.1
2.1.1
Dérivation d’une fonction de plusieurs variables
Dérivées partielles d’ordre 1
Définition 5. Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn , soit un point a = (a1 , ..., an ) ∈ U.
On dit qu’une fonction f admet une dérivée partielle en a = (a1 , ..., an ) par rapport à la variable xi
si et seulement si
f (a1 , ..., ai + h, ..., an ) − f (a1 , ..., ai , ..., an )
existe et est finie.
h→0
h
lim
∂f
f (a1 , ..., ai + h, ..., an ) − f (a1 , ..., ai , ..., an )
(a) = lim
est la dérivée partielle en
h→0
∂xi
h
a par rapport à la variable xi .
On a alors que
∂f
∂f
:x→
(x) est une fonction sur U et à valeurs dans R.
∂xi
∂xi
Cas d’une fonction de deux variables :
∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂x
h
∂f
f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
k→0
∂y
k
∂f
Remarque 2. Sauf si f est prolongée au point (x0 , y0 ), le calcul de
(x0 , y0 ) s’obtient en dérivant
∂x
f par rapport à la variable xi et en considérant les autres coordonnées comme des constantes.
7
2.1.2
Calcul pratique des dérivées partielles
Dans la pratique on dérive par rapport à une variable, en considérant les autres variables
comme des constantes ; on écrira par exemple :
∂ 3
x − 3x2 y 2 + y = 3x2 − 6xy 2 .
∂xi
Les règles de calcul sont les mêmes que pour les dérivées des fonctions d’une variable ; par
exemple, pour un produit :
∂(f g)
∂f
∂g
=
g+f
,
∂xi
∂xi
∂xi
et la dérivation partielle est linéaire :
∂f
∂g
∂(αf + g)
=α
+
.
∂xi
∂xi ∂xi
Proposition 1. (Première application) Si f : U ⊂ R2 → R de classe C 1 admet un extremum local
∂f
∂f
(a) = 0 et
(a) = 0, mais la réciproque est fausse.
en a = (x0 , y0 ) ∈ U, alors
∂x
∂y
2.1.3
Dérivée directionnelle
Soit f une fonction de Rn vers R, et (e1 , ..., en ) la base canonique de Rn , et a ∈ Rn .
Définition 6. Soit d un vecteur de Rn . On appelle dérivée directionnelle de f au point a dans la
∂f
(a) :
direction d, notée ∂d
f (a + hd) − f (a)
f (a1 + hd1 , ..., an + hdn ) − f (a1 , ..., an )
∂f
(a) = lim
= lim
si elle existe
h→0
h→0
∂d
h
h
∂f
La dérivée directionnelle
est donc une fonction de Rn vers R.
∂d
Exemples :
• Soit f (x, y) = x3 y − y et d = ( 21 ,
√
3
).
2
On a :
∂f
(x, y)
∂d
= 32 x2 y +
√
3
(x3
2
− 1).
• En physique, on parle souvent de dérivée normale et de dérivée tangentielle pour désigner la dérivée directionnelle en un point d’une courbe ou d’une surface donnée, dans
la direction normale ou tangente à cette courbe ou surface.
Remarque 3. C’est clair que la dérivée partielle d’ordre 1 de f par rapport à i-ème variable xi (voir
la Définition 5) ce n’est que la dérivée directionnelle par rapport la direction du vecteur ei .
8
2.1.4
Gradient d’une fonction
∂f
(a), ...,
(a) est appelé gradient de f au point a, noté grad f (a)
Définition 7. Le vecteur
∂x1
∂xn
ou ∇f (a).
∂f
Dans le cas de R2 , ∇f (a) =
∂f
(a), ∂f
(a)
∂x
∂y
Proposition 2. Si ∇f (a) existe, alors
Définition 8. Le scalaire
, et dans le cas de R3 , ∇f (a) =
∂f
(a)
∂d
∂f
(a), ∂f
(a), ∂f
(a)
∂x
∂y
∂z
.
= ∇f (a).d
∂f
∂f
(x0 , y0 ) + (x0 , y0 ) est appelé divergence de f au point (x0 , y0 ), noté
∂x
∂y
diva (f ).
Définition 9. f est partiellement dérivable en a si et seulement si ses dérivées partielles en a par
rapport à chaque variable existent.
2.1.5
Fonctions réelles de classe C 1
Définition 10. Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn , soit un point a = (x0 , y0 ) de U,
f est une fonction de classe C 1 en a si et seulement si :
1. f est continue au point a.
2. Les dérivées partielles
∂f
(a)
∂xi
existent ∀i ∈ {1, ..., n}.
3. Les dérivées partielles
∂f
(a)
∂xi
sont continues en a, ∀i ∈ {1, ..., n}.
Proposition 3. (Deuxième application) Si f admet ses deux dérivées partielles en tout point de
U et si celles-ci sont continues sur U, alors f admet un développement limité d’ordre 1 en tout point
a ∈ U, c’est à dire
f (a + h) = f (a) + h1
∂f
∂f
(a) + h2 (a) + ||h||ε(h) avec
∂x
∂y
lim ε(h) = 0
h→(0,0)
En prenant le produit scalaire canonique de R2 , le développement limité d’ordre 1 de f en a
s’écrit
f (a + h) = f (a)+ < ∇f (a), h > +o(h).
Remarque 4. Pour une fonction de plusieurs variables, l’existence dedérivées partielles en un point
n’entraine pas la continuité à ce point, alors pour une fonction d’une variable la dérivabilité entraîne
la continuité. En effet, il suffit d’une direction pour parcourir la droiteréelle, mais deux directions ne
permettent pas de juger du comportement d’une fonction dans un plan !
9
Différentiabilité des fonctions de Rn dans R
2.1.6
Nous considérons toujours une fonction f définie sur un ouvert U de Rn et un point a ∈ U.
Définition 11. On suppose que f admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable au point
a. On appelle différentielle de f en a et on note dfa l’application linéaire de Rn dans R définie par :
dfa : h = (h1 , ..., hn ) −→
n
X
∂f
(a)hi .
∂x
i
i=1
Remarque 5. Le calcul de la différentielle est linéaire, c’est-à-dire que si f et g sont deux applications
admettant des dérivées partielles en a et si λ ∈ R, alors
d(λf + g)a = λdfa + dga
Remarque 6. (Très importante)
1. Si f est différentiable au point a ⇒
(i)
∂f
(a)
∂xi
existe pour tout i = 1, ..., n.
(ii) f est continue au point a.
La réciproque est fausse.
2. Si f est de classe C 1 sur U ⇔
(i) f est différentiable en tout point a de U
(ii)
∂f
(a)
∂xi
existe pour tout i = 1, ..., n et pour tout a de U et est continue sur U.
(iii) f est continue au point a.
Dans la base {dx1 , ..., dxn } du dual de Rn (cf. cours d’algèbre linéaire sur la dualité), la différentielle de f s’écrit :
n
X
∂f
dfa =
(a)dxi .
∂x
i
i=1
On rappelle que les dxi sont les formes linéaires :
dxi : h = (h1 , ..., hn ) → hi
Exemples
(i) L’application f : (x, y) → 2x3 + xy 2 a pour différentielle au point M (x, y) : dfM = (6x +
2xy)dx + 2xydy. Par exemple au point A(1, 1), la différentielle sera : dfA = 8dx + 2dy.
C’est l’application linéaire qui au vecteur (h, k) associe 8h + 2k.
(ii) Si f est déjà une forme linéaire sur Rn , alors en tout point a on a : dfa = f.
10
Définition 12. (Différentiabilité de f en a)
Nous considérons toujours une fonction f définie sur un ouvert U de Rn et un point a ∈ U. On
suppose que f admet des dérivées partielles par rapport à chaque variable au point a. On dira que f
est différentiable en a si et seulement si pour tout accroissement vectoriel ~h = (h1 , ..., hn ) ∈ Rn assez
petit, on peut écrire un développement limité au premier ordre de la forme
f (a + ~h) = f (a) + dfa (~h) + o(k h k).
Soit encore
n
X
∂f
(a)hi + o(k h k).
f (a + h1 , ..., an + hn ) = f (a1 , ..., an ) +
∂xi
i=1
Exemples
(i) Considérons la fonction f définie par : f (x, y) = x2 + y 2 . Alors, f est différentiable en tout
point (a, b) de R2 , en effet :
f (a + h, b + k) = f (a, b) + 2ah + 2bk + (h2 + k 2 )
et si on choisit la norme euclidienne, il est clair que, en otant u = (h, k), on a bien :
h2 + k 2 =k u k2 = o(k u k).
(ii) Considérons la fonction f définie par f (x, y) = √ xy
pour (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 0.
2
2
x +y
On montre facilement que f est continue en tout point de R2 , en particulier au point
(0, 0). Aussi, on montre facilement que ∂f
(0, 0) = ∂f
(0, 0) = 0 (existent). Montrons que
∂x
∂y
f n’est pas différentielle en (0, 0).
On considère
∂f
∂f
Ψ(h, k) = f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) − h (0, 0) − k (0, 0)
∂x
∂y
Pour que f soit différentiable en (0, 0) il faut et il suffit que Ψ(h, k) =k (h, k) k ε(h, k),
avec ε(h, k) → 0 quand (h, k) → (0, 0). On a
hk
Ψ(h, k)
= 2
,
k (h, k) k
h + k2
Ψ(h,h)
on observe déjà que k(h,h)k
→ 12 , ce qui permet de déduire que
pas différentiable en (0, 0).
2.1.7
Ψ(h,k)
k(h,k)k
9 0. Donc f n’est
Fonctions de plusieurs variables à valeurs vectorielles
Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans Rm par
f (x1 , x2 , ..., xn ) = (f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn ))
où les fi sont des fonctions réelles
11
Définition 13. f est continue au point a, si et seuelement si toutes ses composantes fi ,
{1, ..., m} sont continues au point a.
i ∈
Définition 14. On dit que f est de calsse C 1 au point a, si et seuelement si toutes ses composantes
fi , i ∈ {1, ..., m} sont de calsse C 1 au point a.
Définition 15. On appelle la matrice Jacobienne de f en point M , la matrice de dimension m × n,
définie comme suit
 ∂f
∂f1
1
(M )
(M ) · · ·
 ∂x1
∂x2
 ∂f2
∂f2

(M )
(M ) · · ·

∂x2
 ∂x1
..
..
..
Jacf (M ) = Jf (M ) = 

.
.
.

..
..
..

.
.
.

 ∂f
∂f
m
m
(M )
(M ) · · ·
∂x1
∂x2
∂f1
(M )
∂xn
∂f2
(M )
∂xn
..
.
..
.
∂fm
(M )
∂xn






 ∈ Mm,n (R)





Dans le où m = n, la matrice Jacobienne devienne une matrice carrée, là, on parle du Jacobien de f
en M comme un déterminant de la matrice Jacobienne. On a
Jacobien(f )(M ) = det(Jacf (M ))
2.1.8
Dérivées partielles d’ordre 2
Définition 16. Soit U un ouvert de R2 et soit f : U → R une fonction de classe C 1 sur U, on dit que
f est de classe C 2 sur U lorsque ses deux dérivées partielles d’ordre 1 sont de classe C 1 sur U.
Notations :
∂ f
=
∂x2
∂
∂ 2f
∂y 2
∂
2
=
∂f
∂x
∂x ∂f
∂y
∂y
=
=
∂ ∂f ∂x ∂x
∂ ∂f ∂y ∂y
∂f
∂y
∂
∂ 2f
∂ ∂f =
=
∂x∂y
∂x
∂x ∂y
∂ ∂f
∂x
∂ 2f
∂ ∂f =
=
∂y∂x
∂y
∂y ∂x
Remarque 7. Les fonctions polynomiales ou rationnelles en x et y sont de classe C 2 sur leur ensemble
de définition.
12
∂f
∂x
∂f
∂ 2f
∂ 2f
2
2
2
(resp.
). De même façon, on note par ∂x f (resp. ∂y f , ∂xy f ) la dérivée d’ordre 2
(resp.
,
∂y
∂x2
∂y 2
∂ 2f
)
∂x∂y
Remarque 8. Pour simplifier l’écriture, on note parfois par ∂x f (resp. ∂y f ) la dérivée d’ordre 1
Théorème 1. ( Théorème de Schwarz) Si f est de classe C 1 , et si
sont continues en a, alors
∂ 2f
∂ 2f
et
existent et
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
∂ 2f
∂ 2f
(a) =
(a)
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Corollaire 1. Si f est de classe C 2 sur U, alors
∂ 2f
∂ 2f
=
∂x∂y
∂y∂x
Contre Exemple :
Soit f : R2 → R définie par :
xy 3
f (x, y) = x2 + y 2

0


si (x, y) 6= (0, 0),
si (x, y) = (0, 0)
f est de classe C 1 sur R2 , et f admet des dérivées partielles secondes croisées
sur R2 et
2.1.9
∂ 2f
∂ 2f
,
∂x∂y ∂y∂x
∂ 2f
∂ 2f
(0, 0) 6=
(0, 0)
∂x∂y
∂y∂x
Dérivées partielles successives
Soit une fonction f de U ⊂ Rn vers R.
Définition 17. Soient {i1 , ..., ik } ∈ {1, ..., n}k . On dit que f admet une dérivée partielle d’ordre k
au point a ∈ Rn par rapport aux variables xi1 , ..., xik si et seulement si
∂f ∂f
∂ ∂f ∂ ∂
1.
,
, ...,
...
... existent dans un voisinge de a
∂xi1 ∂xi2 ∂xi1
∂xik−1 ∂xik−2
∂xi1
∂f ∂f
∂ ∂f ∂ ∂
2.
,
, ...,
...
... (a) existe
∂xi1 ∂xi2 ∂xi1
∂xik−1 ∂xik−2
∂xi1
On note cette dérivée
∂kf
.
∂xik ...∂xi1
13
Définition 18. On dit que f est de classe C k sur U si et seulement si toutes les dérivées partielles de
f jusqu’à l’ordre k existent et sont continues sur U.
Remarque 9. On en déduit à partir du théorème de Schwarz, que pour f de classe C k , l’ordre de
dérivation dans le calcul des dérivées partielles n’a par d’importance.
2.1.10
Formule de Taylor à l’ordre 2
Soit une fonction f de Rn vers R, de classe C 2 . Soit a = (a1 , ..., an ) ∈ Df ⊂ Rn . On alors pour
tout incrément h = (h1 , ..., hn ), la forule de Taylor à lordre 2 suivante :
f (a + h) = f (a) +
n
X
i=1
n
n
1 XX
∂ 2f
∂f
(a) +
hi hj
(a) + o(||h||2 )
hi
∂xi
2 i=1 j=1
∂xi ∂xj
Application : Dans le cas d’une fonction de deux variables, cette formule devient :
∂f
∂f
(x, y) + k (x, y)
∂x
∂y
2 2
2
h ∂ f
∂ f
k2 ∂ 2f
+
(x, y) + hk
(x, y) +
(x, y) + o(||(h, k)||2 )
2
2
2 ∂x
∂x∂y
2 ∂y
f (x + h, y + k) = f (x, y) + h
On peut aussi l’exprimer sous la forme suivante : il existe θ ∈]0, 1[ tel que
∂f
∂f
(x, y) + k (x, y)
∂x
∂y
2 2
h ∂ f
∂ 2f
k2 ∂ 2f
+
(x
+
θh,
y
+
θk)
+
k
(x
+
θh,
y
+
θk)
+
(x + θh, y + θk)
2 ∂x2
∂x∂y
2 ∂y 2
f (x + h, y + k) = f (x, y) + h
2.1.11
Dérivation de fonctions composées
Proposition 4. Soit f : U1 ⊂ Rn → Rp et g : U2 ⊂ Rp → R. On suppose, que g ◦ f soit définie,
que f (U1 ) ⊂ U2 . Soit a ∈ U1 . On suppose f est différentiable en a et que g est différentiable en f (a).
Alors g ◦ f est différentiable en a et D(g ◦ f )[a] = Dg[f (a)] ◦ Df [a].
MAtriciellement, ceci est équivalent à
Jg◦f (a) = Jg (f (a)) × Jf (a)
Application au changement de variables Soit Φ un changement de coordonnées (x1 , ..., xn ) →
(y1 , ..., yn ). Soit f une fonction de classe C 1 et g = f ◦ Φ : g(x1 , ..., xn ) = f (y1 , ..., yn ). La propriété précédente s’écrit
n
X ∂f
∂g
∂yk
∀i = 1, ..., n
(x1 , ..., xn ) =
(y1 , ..., yn )
∂xi
∂yi
∂xi
k=1
14
Cette formule est parfois appelée formule des dérivées totales.
Exemple 1 : Soit une fonction f de R2 vers R. On note g son expression en coordonnées
polaires g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) = f (x, y). On a alors :

∂f ∂x ∂f ∂y
∂f
∂f
x
y
∂g
∂f
∂f


=
+
=
cos θ
+ sin θ
= p
+p


∂x ∂r
∂y ∂r
∂x
∂y

x2 + y 2 ∂x
x2 + y 2 ∂y
 ∂r



∂g
∂f ∂x ∂f ∂y
∂f
∂f



=
+
= −r sin θ
+ r cos θ
=
∂θ
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂x
∂y
−y
∂f
∂f
+x
∂x
∂y
qui s’inverse en

∂f
∂g 1
∂g


= cos θ
− sin θ


∂r r
∂θ
 ∂x



∂g 1
∂g
∂f


= sin θ
+ cos θ
∂y
∂r r
∂θ
Exemple 2 :
Soit f (u, v) =
Alors
uv
u2 +v 2
et g(x, y) = (g1 (x, y), g2 (x, y)) avec g1 (x, y) = sin(xy), g2 (x, y) = cos(xy).
(f ◦ g)(x, y) = f g(x, y) = f g1 (x, y), g2 (x, y) =
1
sin(xy) cos(xy)
sin(2xy).
=
2
2
sin (xy) + cos2 (xy)
On a
∂(f ◦ g
∂f
∂g1
∂f
∂g2
(x, y) =
(u, v)
(x, y) +
(u, v)
(x, y),
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
où u = g1 (x, y) et v = g2 (x, y).
2.2
Exercices
Exercice 1 Étudier la continuité des fonctions suivantes

x−y
 x+y
si sin(x, y) 6= (0, 0),
e
sin(x + y)
f (x, y) =
f (x, y) =
1

1
sinon.
Exercice 2 Étudier la classe des fonctions suivantes :
 3
 x + y3
ex
si
(x,
y)
=
6
(0,
0),
2
2
f (x, y) =
f
(x,
y)
=
x +y
ex cos(y)

0
sinon.
15
si y ≥ x,
sinon.
si y ≥ 0,
sinon.
Chapitre 3
Extrema
3.1
Extrema des fonctions de Rn vers R
Soit une fonction f de D ⊂ Rn vers R.
Définitions
• f admet un minimum local en a si et seulement si il existe un voisinage V de a tel que
∀x ∈ V, f (x) ≥ f (a)
• f admet un minimum global en a si et seulement si ∀x ∈ D, f (x) ≥ f (a)
• f admet un maximum local en a si et seulement si il existe un voisinage V de a tel que
∀x ∈ V, f (x) ≤ f (a)
• f admet un minimum global en a si et seulement si ∀x ∈ D, f (x) ≤ f (a)
• Extremum : minimum ou maximum
Définition On dit que a ∈ D est un point critique si et seulement si les dérivées partielles
premières de f en a existent et sont nulles (c’est à dire ∇f (a) = 0).
Théorème 2. On suppose que les dérivées partielles de f existent en un point a n’appartenant pas
au bord de D. Une condition nécessaire pour que f admette un extremum en a est que ∇f (a) = 0.
Théorème 3. Si D est un domaine fermé et borné , et si f est continue sur D, alors f admet un
minimum et un maximum globaux sur D.
Théorème 4. Les extremas d’une fonction C 1 sur un domaine fermé et borné sont soit des points
critiques, soit des points du bord de D.
Proposition 5. Si le point a de D est un extremum local pour f alors a est un point critique de f.
Remarque La réciproque est fausse, considérons à l’origine l’application f définie par
f (x, y) = xy
16
3.2
Optimisation d’une fonction de R2 vers R
Définition 19. Soit f : D ⊂ R2 → R. On appelle la matrice Hessienne de f , notée par Hessf au
point M , la matrice suivante
 2

∂ f
∂ 2f
 ∂x2 (M ) ∂x∂y (M ) 
 ∈ M2,2 (R)
Hessf (M ) = 
 ∂ 2f

∂ 2f
(M )
(M
)
∂y∂x
∂y 2
Il se trouve que, comme pour toute matrice symétrique rélle, il existe une matrice orthogonale P ∈ M2,2 (R) (vérifiant P −1 = P t ) et deux réels λ et µ tels que :
Hessf = P
λ 0
0 µ
P −1 .
Les deux réls λ et µ sont les valeurs propres de la matrice hessienne. Pour les calculer, il suffit
de connaître leur somme, qui la trace de la matrice hessienne, et leur produit, qui est son
déterminant.
Proposition 6. Si λ < 0 et µ < 0, alors le point M est un maximum local de f.
Si λ > 0 et µ > 0, alors le point M est un minimum local de f.
Si λ > 0 et µ < 0, alors le point M est un point selle local de f.
Exemple : Soit f la fonction suivante
f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y
le grandient et la matrice hessienne au point (x, y) sont :
−3x2 + 3y 2 − 15
6x 6y
∇f =
, Hessf =
6xy − 12
6y 6x
Le gradient s’annule en 4 points dans le plan. Nous les donnons avec les valeurs propres de
la matrice hessienne et la nature du point.

(2, 1)
λ = 6, µ = 18
minimum



(−2, −1) λ = −6, µ = −18 maximum
(1, 2)
λ = −6, µ = 18 point selle



(−1, −2) λ = 6, µ = −18 point selle
Remarque 10. Le théorème ne permet pas de conclure si det(Hessf (M )) = 0 (une étude supplémentaire est nécessaire).
17
Exemple :
a) Si f (x, y) = x4 + y 4 alors f (x, y) ≥ f (0, 0), ∀(x, y) ∈ R2 , donc (0, 0) est un minimum local
(et global) bien que le théorème ne s’applique pas dans ce cas (det(Hessf (M )) = 0).
b) Si g(x, y) = x4 − y 4 alors g(x, 0) ≥ g(0, 0), ∀x ∈ R., mais g(0, y) ≤ g(0, 0), ∀y ∈
R. Donc (0, 0) est un point-selle bien que le théorème ne s’applique pas dans ce cas
(det(Hessf (M )) = 0).
Technique via les notations de Monge : Ici, on présente la même méthode précédente, via
des notations dits de Monge.
Soit une fonction f de D ⊂ R2 vers R de classe C 2 au voisinage d’un point critique (x0 , y0 ).
On pose (notations de Monge) :
r=
•
•
•
•
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
(x
,
y
)
t
=
(x
,
y
)
s
=
(x0 , y0 ).
0
0
0
0
∂x2
∂x∂y
∂y 2
Si s2 − rt < 0 et r < 0 : f admet un maximum local strict en (x0 , y0 ).
Si s2 − rt < 0 et r > 0 : f admet un minimum local strict en (x0 , y0 ).
Si s2 − rt > 0 : f a un point-selle (ni min, ni max) en (x0 , y0 ).
Si s2 − rt = 0 : on ne peut pas donner de conclusion générale. Il faut étudier localement le
comportement de f au voisinage (x0 , y0 ).
3.3
Optimisation d’une fonction de Rn vers R
L’étude précédent se généralise aux fonctions de Rn dans R.
Proposition 7. Soit D un domaine ouvert de Rn , f une fonction deux fois continûment différentiable
sur D et M un point de D. Alors
1. Si ∇f (M ) = 0 et si Hessf (M ) a toutes ses valeurs propres strictement négatives, alors M est
un maximum local de f.
2. Si ∇f (M ) = 0 et si Hessf (M ) a toutes ses valeurs propres strictement positives, alors M est
un minimum local de f.
3.4
Quelques exercices sur le chapitre
Exercice 1 Déterminer les extrémas locaux et globaux des fonctions suivantes pour lesquelles
on donnera l’ensemble de départ et l’image de f (x, y) de (x, y).
f (x, y)
f (x, y)
f (x, y)
f (x, y)
=
=
=
=
x2 + (x + y − 1)2 + y 2
x3 + xy 2 − x2 y − y 3
(x + y)2 + x4 + y 4
x2 y − 3x2 y + y 2
18
Exercice 2 Déterminer les extrema locaux des applications suivantes et donner le maximum
de précisions possibles sur ces extrema :
1.
f : R2 → R
(x, y) → f (x, y) = x4 + x2 + y 2 + y 4
2.
f : R2 → R
(x, y) → f (x, y) = x3 − 2xy − 5x + 5y
3.
f : R2 → R
2
2
(x, y) → f (x, y) = (3x + 7)e−((x+1) +y )
4.
f : R2 → R
(x, y) → f (x, y) = 6x2 y 3 − 2x3 y 3 − 3x2 y 4
5.
f : R2 → R
(x, y) → f (x, y) = cos(x)esin(x)
6.
f : R2 → R
(x, y) → f (x, y) = x ln2 (x) + xy 2
19
Chapitre 4
Théorème des fonctions implicites
4.1
Introduction
Considérons la fonction f définie sur R2 par
f (x, y) = x2 + y 2 − 1,
et un point (a, b) tel que
f (a, b) = 0.
On se demande si l’on peut résoudre l’équation
f (x, y) = 0,
pour des valeurs voisines de a, c’est-à-dire si l’on peut trouver une fonction g définie au
voisinage de a telle que, pour x voisin de a,
f (x, g(x)) = 0.
On voit par exemple que si (a, b) est le point (0, 1), ceci est possible puisque
√
g(x) = 1 − x2
vérifie les conditions ci-dessus. C’est encore possible si (a, b) est (0, −1) avec cette fois
√
g(x) = − 1 − x2 .
Par contre ce n’est pas possible en (1, 0) ou (−1, 0).
On remarque que dans les deux premiers cas, la dérivée partielle
que dans les deux autres cas elle est nulle.
20
∂f
(x, y)
∂x
est non nulle, alors
4.2
Théorème des fonctions implicites
Nous donnons ici un théorème très important qui nous servira dans la suite. Il s’agit du
théorème des fonctions implicites que nous énonçons sous une forme simplifiée :
Théorème 5. Soient U un ouvert de Rn × R, (a, b) un point de U et f : (x, y) → f (x, y) une
(a, b) est
fonction de classe C 1 de U dans R. On suppose que f (a, b) = 0 et que la dérivée partielle ∂f
∂y
non nulle. Alors l’équation f (x, y) = 0 peut être résolue localement par rapport à la variable y. Ce
qui signifie que l’on peut trouver un voisinage V de a dans Rn et W de b dans R et une application
φ de classe C 1 unique, telle que
x ∈ V, y ∈ W et f (x, y) = 0 ⇔ x ∈ V et y = φ(x) .
Exemple
Prenons un exemple simple. Considérons la fonction
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1
L’équation x2 + y 2 + z 2 = 1 qui définit
la sphère peut aussi s’écrire sous forme explicite
p
par rapport à la variable z : z = ± 1 − x2 − y 2 mais il y’a deux expressions selon que l’on
considère la partie "supérieure" (z > 0) ou "inférieure de la sphère" (z < 0). Si on choisit
un point M (x, y, z) dans la partie
p supérieure (resp. inférieure)
palors la fonction φ est définie
2
2
de manière unique φ(x, y) = 1 − x − y (resp. φ(x, y) = 1 − x2 − y 2 ). Par contre pour
tout point M situé sur le cercle intersection entre la sphère et le plan z = 0 le théorème n’est
(x, y, 0) = 0.
visiblement pas applicable. On vérifie en effet que sur ce cercle ∂f
∂z
21
Chapitre 5
Introduction aux Équations aux Dérivées
Partielles (EDP)
La plupart des phénomènes physiques peuvent être décrits, tout au moins de façon simplifiée, par des équations aux dérivées partielles (EDP) qui traduisent en général des principes tels
que conservation de la masse, de la chaleur, de la quantitié de mouvement...
5.1
5.1.1
Compléments de calcul différentiel
Composition
Proposition 8. Soit f : U ⊂ Rn −→ Rp et g : V ⊂ Rp −→ R. On suppose que g◦f soit bien définie,
tel que f (U ) ⊂ V. Soit a ∈ U. On suppose que f est différentiable en a et que g est différentiable en
f (a.) Alors g ◦ f est différentiable en a et
D(g◦f ) [a] = Dg [f (a)] ◦ Df [a]
Matriciellement, ceci est équivalent à
Jg◦f (a) = Jg (f (a)) × Jf (a)
Applications au changement de variables
Soit Φ un changement de coordonnées
Φ : (x1 , ..., xn ) −→ (y1 , ..., yn )
22
Soit f : Rn −→ R une fonction de classe C 1 et
g = f ◦ Φ : g(x1 , ..., xn ) = (f ◦ Φ)(x1 , ..., xn ) = g(y1 , ..., yn ).
La propriété précédente s’écrit
n
X ∂f
∂g
∂yk
∀i = 1...n
(x1 , ..., xn ) =
(y1 , ..., yn )
∂xi
∂yk
∂xi
k=1
Cette formule est parfois appelée formule des dérivées totales.
Deux exemples détaillés
Exemple-1 (Coordonnées polaires)
Soit une fonction f de R2 vers R. On note g son expression en coordonées polaires
g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ) = f (x, y).
On a alors :

∂g


=

∂r
∂g


=

∂θ
∂f ∂x ∂f ∂y
∂f
∂f
+
=
cos θ
+ sin θ
∂x ∂r
∂y ∂r
∂x
∂y
∂f ∂x ∂f ∂y
∂f
∂f
+
= −r sin θ
+ r cos θ
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂x
∂y
=p
x
y
∂f
∂f
+p
x2 + y 2 ∂x
x2 + y 2 ∂y
∂f
∂f
= −y
+x
∂x
∂y
qui s’inverse en


 ∂f = cos θ ∂g − 1 sin θ ∂g
∂x
∂r r
∂θ
∂f
∂g 1
∂g


= sin θ
+ cos θ
∂x
∂r r
∂θ
Exemple-2 (Changement de coordonnées)
Soit g une fonction de R2 dans R et f la fonction définie par
f : R2 −→
R
(x1 , x2 ) −→ f (x1 , x2 ) = (f1 (x1 , x2 ), f2 (x1 , x2 )) = (x1 + x2 , x1 − x2 ).
Si h := g ◦ f, on souhaite exprimer les dérivées partielles de h en fonction de celle de g. Cet
exemple est essentiel. Nous comprendrons mieux son utilité dans la section suivante. On a
Jg (f (a)) = ∇g(f (a)) =
∂g
∂g
(f (a)),
(f (a))
∂x1
∂x2
23

∂f1
∂f1
(a) ∂x2 (a)
1 1

 ∂x1
Jf (a) =  ∂f
=
2
1 −1
∂f2
(a)
(a) ∂x
2
∂x1
Par conséquent, en appliquant la formule de la proposition précédente, on trouve :
∂h
1 1 ∂g
∂h
∂g
Jh (a) = ∇h(a) =
(a),
(a) =
×
(f (a)),
(f (a)) .
1 −1
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2

Par conséquent :

∂h
∂g


(a) =
(f (a)) +
∂x1
∂x1
∂h
∂g


(a) =
(f (a)) −
∂x2
∂x1
5.1.2
∂g
(f (a))
∂x2
∂g
(f (a))
∂x2
Quelques opéreteurs différentiels
Dans ce paragraphe, nous considérons une fonction f : U ⊂ Rn −→ R, suffisamment régulière pour pouvoir définir les opérateurs ci-dessous, c’est-à-dire soit de classe C 1 (U ) soit de
classe C 2 (U ).
Définition 20. On définit respectivement le gradient, la divergence et le laplacien de f suffisamment
régulière, en un point a de U par
∂f
−−→
∂f
(a), ...,
(a)
gradf (a) = ∇f (a) =
∂x1
∂xn
n
X
∂f
∂f
∂f
(a) + ... +
(a) =
(a)
divf (a) =
∂x1
∂xx
∂x
i
i=1
n
X ∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
∆f (a) =
(a)
+
...
+
(a)
=
(a)
2
∂x21
∂x21
∂x
i
i=1
Nous retrouverons ces opérateurs, car ils interviennent régulièremedans les équations aux dérivées
partielles.
5.2
Deux méthodes de résolution explicite d’EDP
Dans cette section, nous travaillons à l’aide d’exemples, car la théorie qui se cache derrière
est souvent un peu ardue.
24
5.2.1
Méthode du changement de coordonnées
On s’intéresse à résoudre l’EDP suivante
∂f
∂f
−
= a, avec a ∈ R.
∂x ∂y
On va utiliser le changement de coordonnées :
u = x+y
x =
⇐⇒
v = x−y
y =
u+v
2
u−v
2
On choisit donc de poser
∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = f (
u+v u−v
,
) = F (u, v).
2
2
L’idée est de se ramener à une équation réécrite en variables u et v que l’on sait facilement
résoudre, puis d’utiliser les relations reliant F et f pour en déduire l’expression de f (x, y)
en fonction de x et de y.
Tout d’abord, on va exprimer ∂f
et ∂f
en fonction de ∂F
et ∂F
.
∂x
∂y
∂u
∂v
On appelle φ la fonction du changement de variables, donnée par
φ : R2 −→
R
(x, y) −→ φ(x, y) = (x + y, x − y) = (u, v)
φ est une fonction de classe C 1 (R2 ) et on a

∂u
 ∂x
Jφ (x, y) =  ∂v
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y


=
1 1
1 −1
Puisque
Jb (F ◦ φ) = Jφ(b) F × Jb φ, ∀b ∈ R2 ,
alors
on obtient
∂f ∂f ∂F ∂F 1 1 ,
=
,
×
,
1 −1
∂x ∂y
∂u ∂v

∂f
∂F
∂F


=
+
)
∂x
∂u
∂v
∂f
∂F
∂F


=
−
∂y
∂u
∂v
Par conséquent notre EDP devient
2
∂F
(u, v) = a,
∂v
25
autrement dit
a
∂F
(u, v) = .
∂v
2
Par intégration directe, on en déduit qu’il existe une fonction g de classe C 1 sur R tel que
a
F (u, v) = v + g(u).
2
Cette relation devient donc
∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = F (x + y, x − y),
qui devient
5.2.2
a
∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = (x − y) + g(x, y), avec g ∈ C 1 (R).
2
Méthode de séparation des variables
On s’intérèse à résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante :
∂f
∂f
=
∂x
∂y
(5.1)
L’idée est de séparer les variables, c’est-à-dire que l’on suppose que la solution de notre
équation s’écrit sous la forme
∀(x, y) ∈ R2 , f (x, y) = F (x)G(y),
où F et G sont deux fonctions de classe C 1 sur R.
On peut alors écrire que : ∀(x, y) ∈ R2 , on a

∂f
∂F



 ∂x = G(y) ∂x (x)


∂f


∂y
= F (x)
∂G
(y)
∂y
L’équation (5.1) se réécrit donc sous la forme suivante
G(y)
∂F
∂G
(x) = F (x)
(y).
∂x
∂y
Si l’on suppose de plus que F et G ne s’annulent pas sur leur domaine de définition, on a
∀(x, y) ∈ R2 ,
1 ∂F
1 ∂G
(x) =
(y).
F (x) ∂x
G(y) ∂y
26
1 ∂F
1 ∂G
(x) et y −→
(y) sont respectivement des fonctions de x et de y.
F (x) ∂x
G(y) ∂y
On en déduit l’existence d’une constante c ∈ R telle que
 0
 F (x) = cF (x)
Or, x −→

0
G (y) = cG(y).
On reconnaît deux équations différentielles ordianaires et homogènes du premier ordre que
l’on résout sans difficulté. Ainsi, pour tout x et y réels, on a
f (x, y) = αec(x+y) , avec α ∈ R.
Remarquons que la solution obtenue par la méthode de séparation des variables ne fournit
qu’une solution particulière ou un ensemble de solutions particulière, mais en aucun cas
l’ensemble des solutions d’une EDP. Pour se convaincre, il faut constater que l’équation résolue par la méthode de séparation des variables est l’équation résole par changement de
variable dans le cas a = 0.
5.3
Exercices du chapitre
Exercice 1 Le but de cet exercice est de résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante :
x
p
∂f
∂f
+y
= x2 + y 2 .
∂x
∂y
1. Passage en coordonnées polaires
ON se place dans le repère orthonormé du plan (O,~i, ~j). Soit f une fonction de classe
C 1 sur son ensemble de définition Df . Posons

 x = r cos θ

y = r sin θ,
avec r > 0 et θ ∈ [0, 2π[. On appelle g la fonction définie par
f (x, y) = f (r cos θ, rθ) = g(r, θ).
On appelle Φ la fonctidéfinie sur R∗+ × [0, 2π[ par
Φ(r, θ) = (r cos θ, rθ).
On pose a = (r, θ), et pour tout réel θ de l’intervalle [0, 2π[.
(a) Déterminer Ja Φ la matrice jacobienne de Φ en a, et JΦ(a) f la matrice jacobienne de
f en Φ(a).
27
∂g
∂g
∂f
∂f
et
en fonction de
et
.
∂r
∂θ
∂x
∂y
∂f
∂f
∂g
∂g
(c) Exprimer de
et
en fonction de
et
∂x
∂y
∂r
∂θ
2. Déduire de la question précédente que l’équation (E) est équivalente à l’équation
(b) En déduire les expressions de
0
(E )
∂g
=1
∂r
0
3. Résoudre l’équation (E ) et démontrer que la fonction f est de la forme
y
p
,
f (x, y) = x2 + y 2 + ψ
x
où ψ est une fonction de classe C 1 sur R.
Exercice 2 On souhaite résoudre l’équation aux dérivées partielles :
∂ 2f
∂ 2f
−
= 2(x − y).
∂x2
∂y 2
f désigne bien-sûr une fonction de classe C 2 sur R2 .
1. Démontrer que le changement de variable u = x+y et v = x−y définit un C 1 −difféomorphisme
sur R2 .
2. En utilisant ce changement de variables, résoudre l’équation aux dérivées partielles
ci-dessus.
28