concours iscae 2015 correction ect2

Mohiieddine Benayad
Concours de l’Iscae
Épreuve Commune de Mathématiques (2015)
Voici l’énoncé de l’épreuve commune de Mathématiques du concours d’entrée à l’ISCAE de l’année 2015,
ainsi que l’intégralité du corrigé. Les corrigés des épreuves des années précédentes seront prochainement
disponibles dans un ouvrage édité par eDukaty.
Comme à l’accoutumée, cette épreuve est un QCM de 20 questions, d’une durée de 3 heures, qui
aborde les quatre principaux thèmes du programme de Mathématiques des prépas ECT : Analyse
(fonctions, suites, intégrales, etc.), Matrices Récurrentes, Probabilités Discrètes, et Probabilités
Continues. Bien qu’étant un QCM, l’équipe pédagogique d’eDukaty considère les épreuves de l’ISCAE
assez difficiles, compte tenu du fait qu’elles sont destinées à des élèves de la filière ECT et à des Bac
+2. Toutefois, comme nous ne cessons de le rappeler à nos élèves, lors d’un concours, l’objectif n’est pas
d’avoir une excellente note dans l’absolu, mais uniquement de faire relativement mieux que les autres
candidats. Et nous pensons de plus qu’un étudiant qui a travaillé consciencieusement les derniers mois
avant les concours est en mesure de traiter une grande partie des questions d’une telle épreuve.
Ce corrigé a été entièrement réalisé par Mohiieddine Benayad, responsable à eDukaty de l’enseigement
des Mathématiques aux élèves préparant le concours de l’Iscae.
Naturellement tout lecteur qui repérerait une erreur pourra nous contacter en nous envoyant un
email à l’adresse suivante : [e-mail].
Bonne chance à vous tous !
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05 22 22 26 71 - 06 76 82 36 08
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Mohiieddine Benayad
Question 1.
Soit Xune variable aléatoire réelle dont la loi de probabilité est définie par :
∀k∈N, P (X=k) = ak2+ 1
k!où aest un nombre réel strictement positif.
La valeur de aest égale à :
a.1
3eb.1 e
c.2 ln 2 d.1
2
e.Autre réponse
Correction
Xest une v.a.r dont la loi de probabilité est définie par
∀k∈N, p(X=k) = ak2+ 1
k!où a > 0.
On nous demande la valeur de a?
En d’autre termes on nous demande pour quelle valeur de aest ce que (p(X=k))k∈Nest bien une loi
de probabilité c’est-à-dire
+∞
X
k=0
p(X=k) = 1.
Donc il s’agit de calculer cette somme en fonction de a.
Or
+∞
X
k=0
ak2+ 1
k!=
+∞
X
k=0
ak2
k!+
+∞
X
k=0
a
k!
=a
+∞
X
k=0
k2
k!+a
+∞
X
k=0
1
k!
=a
+∞
X
k=0
k(k−1 + 1)
k!+a
+∞
X
k=0
1
k!
=a
+∞
X
k=0
k(k−1)
k!+a
+∞
X
k=0
k
k!+a
+∞
X
k=0
1
k!
=a
+∞
X
k=0
k(k−1)
(k−2)! ×(k−1)k+a
+∞
X
k=0
k
(k−1)!k+a
+∞
X
k=0
1
k!
À ce stade notons 
S=
+∞
X
k=0
k(k−1)
(k−2)! ×(k−1)k
T=
+∞
X
k=0
k
(k−1)!k
R=
+∞
X
k=0
1
k!
Donc
+∞
X
k=0
p(X=k) = aS +aT +aR
Calculons chacune de ces 3sommes à part.
•On sait déjà que R=
+∞
X
k=0
1
k!=e
•Pour pouvoir calculer T, on va la séparer en 2parties :
T=
+∞
X
k=0
k
(k−1)!k=
+∞
X
k=0
1
(k−1)!
=1
−1! +1 0! +1 1! +···
Comme −1! n’existe pas, il fallait anticiper et le sortir de la somme avant de pouvoir simplifier
k
k!=1 (k−1)!
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Ce qui nous donne :
T=
+∞
X
k=0
k
k!
=0
0! +
+∞
X
k=1
k
k!
=
+∞
X
k=1
k
k!
=
+∞
X
k=1
k
(k−1)!
Maintenant on va faire un changement de l’indice kpour pouvoir se ramener à une expression qu’on
connait bien de la forme +∞
X
k=1
1
(k−1)! =
+∞
X
k=0
1
k!
Ces deux écritures sont équivalentes et égales, on a juste décaler l’indice kde 1:
+∞
X
k=1
1
(k−1)! =1 (1 −1)! +1 (2 −1)! +···
=1
0! +1 1! +···
=
+∞
X
k=0
1
k!=e
Au final T=
+∞
X
k=1
1
(k−1)! =e
En suivant le même raisonnement cette fois-ci pour calculer Son trouve
S=
+∞
X
k=0
k(k−1)
k!
=0(0 −1)
0! +1(1 −1) 1! +
+∞
X
k=2
k(k−1)
k!
= 0 + 0 +
+∞
X
k=2
1
(k−2)!
=
+∞
X
k=2
1
(k−2)!
=1
(2 −2)! +1 (3 −2)! +1 (4 −2)! +···
=1
0! +1 1! +1 2! +···
=
+∞
X
k=0
1
k!=e
donc S=e
Au final +∞
X
k=0
p(X=k) = aS +aT +aR
=ae +ae +ae
= 3ae
Donc la condition
+∞
X
k=0
p(X=k) = 1 ⇐⇒ 3ae = 1 ⇐⇒ a=1
3e
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Question 2.
La durée de vie d’un certain type de composants électroniques, exprimée en centaines heures, est
une variable aléatoire Xdont la fonction de répartition Fest définie sur Rpar
F(x) = ((1 −e−x)2si x>0
0sinon
La durée de vie moyenne en heures de ce type de composant est égale à :
a.100 b.200 c.150 d.120 e.Autre réponse
Correction
L’énoncé nous fournit la fonction de répartition FX(x) = ((1 −e−x)2si x>0
0sinon
Pour calculer l’espérance (la durée de vie moyenne) de ce composant, on a besoin de la densité de
probabilité de X
Car : E(X) = Z+∞
−∞
xfX(x) dx
Or fX(x) = F′
X(x) = ((1 −e−x)2′si x>0
0sinon
Et (1 −e−x)2′= 2(1 −e−x)′(1 −e−x)
= 2e−x(1 −e−x)
= 2e−x−2e−2x
donc fX(x) = (2e−x−2e−2xsi x>0
0sinon
Alors
E(X) = Z+∞
−∞
xfX(x) dx
=Z0
−∞
xfX(x) dx+Z+∞
0
xfX(x) dx
= 0 + Z+∞
0
x(2e−x−2e−2x) dx
=Z+∞
0
2xe−xdx−Z+∞
0
2xe−2xdx
= 2 Z+∞
0
xe−xdx−2Z+∞
0
xe−2xdx
= 2 [−xe−x]+∞
0+Z+∞
0
e−xdx−[−xe−2x]+∞
0+Z+∞
0
e−2xdx
= 2 [0 −0] + [−e−x]+∞
0− [0 −0] + −e−2x
2+∞
0!
= 2 ([0 + 1]) −0
2+1 2
= 2 −1
2=3 2= 1,5
donc E(X) = 1,5en centaines d’heures.
Soit E(X) = 1,5×100 =⇒E(X) = 150 h.
Question 3.
On considère le système linéaire suivant :
(S)
ax +y+z= 0
x+ay +z= 0
x+y+az = 0
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Mohiieddine Benayad
où a∈R.
Pour quelle(s) valeur(s) de ale système (S)admet une infinité de solutions ?
a. a ∈ {−2,1}
b. a =3
2
c. a ∈−1,1
2
d. a ∈−1
2,0,2
e.Autre réponse
Correction
Soit le système (S) : 
ax +y+z= 0 (L1)
x+ay +z= 0 (L2)
x+y+az = 0 (L3)
Appliquons la méthode du pivot pour échelonner le système (S).
•On effectue les opérations élémentaires suivantes pour faire disparaître les xdes lignes 2et 3:
ax +y+z= 0 L1
(a2−1)y+ (a−1)z= 0 L2←aL2−L1
(a−1)y+ (a2−1)z= 0 L3←aL3−L1
•On effectue les opérations élémentaires suivantes pour faire disparaître yde la ligne 3.
ax +y+z= 0 L1
(a2−1)y+ (a−1)z= 0 L2
[(a−1)(a2−1) −(a−1)]z= 0 L3←(a+ 1)L3−L2
Dans le cas a= 1 , le système devient :
x+y+z= 0
0 = 0
0 = 0
donc dans ce cas le système admet bien une infinité de solution.
Dans le cas a6= 1, on peut donc simplifier le système en divisant par (a−1)
(Dans ce cas on a le droit de diviser par a−1car a−16= 0)
Alors le système devient 
ax +y+z= 0 L1
(a+ 1)y+z= 0 L2←L2
a−1
[(a+ 1)(a+ 1) −1]z= 0 L3←L3
a−1
Soit encore 
ax +y+z= 0
(a+ 1)y+z= 0
a(a+ 2)z= 0
Dans le cas a= 0 le système devient 
y+z= 0
y+z= 0
0 = 0
Ce système admet lui aussi une infinité de solutions.
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