Etude de fonctions polynômes, cours, terminale - MathsFG

Etude de fonctions polynômes, cours, terminale STMG
F.Gaudon
8 juillet 2015
Table des matières
1 Fonction dérivée 2
2 Opérations sur les fonctions dérivables 2
2.1 Somme .............................................. 2
2.2 Multiplication par un nombre réel k............................... 3
3 Étude de fonctions 3
3.1 Du sens de variation au signe de la dérivée ............................ 3
3.2 Du signe de la dérivée au sens de variation ............................ 4
4 Exemples d’étude de fonctions polynômes 6
1

Étude de fonctions polynômes, cours, classe de terminale STMG
1 Fonction dérivée
Définition :
Soit fune fonction définie sur un intervalle Idont l’expression algébrique est donnée dans
la première colonne du tableau ci-dessous. On appelle fonction dérivée de la fonction f
la fonction f0dont l’expression algébrique f0(x)est donnée dans le tableau ci-dessous.
Pour tout réel ade l’ensemble de définition de f0, on appelle nombre dérivé f0(a)l’image
de apar f0. On dit alors que fest dérivable en a.
f(x)f0(x)ensemble de définition de f0
ax2+bx +cavec a,b,créels 2ax +bR
ax3+bx2+cx +davec a,b,cet dréels 3ax2+ 2bx +cR
constante réelle k0R
x1R
mx +pavec met préels mR
x22xR
xnavec nentier naturel nxn−1R
2 Opérations sur les fonctions dérivables
2.1 Somme
Propriété :
Soient uet vdeux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, alors u+vest
définie et dérivable sur Iet :
(u+v)0=u0+v0
Exemple :
Soit fla fonction définie sur R+par f(x) = x+ 3x2.
•Méthode 1 : On peut poser u(x) = xet v(x)=3x2.uet vsont deux fonctions de
référence. On a pour tout xstrictement positif u0(x) = 1 et v0(x) = 6xdonc f0(x) =
1+6x.
•Méthode 2 : fest une fonction polynôme du 2nd degré f(x) = ax2+bx+cavec a= 3,
b= 1 et c= 0. D’où la dérivée est donnée par f0(x) = 2ax +b= 2 ×3x+ 1 = 6x+ 1.
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2.2 Multiplication par un nombre réel k
Propriété :
Soient uune fonction définie et dérivable sur un intervalle Iet kun nombre réel, alors ku
est définie et dérivable sur Iet :
(ku)0=ku0
Exemple :
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = 5x3.
•Méthode 1 : on peut poser u(x) = x3, la fonction uest une fonction de référence et on
a pour tout xréel u0(x)=3x2donc f0(x) = 5 ×3x2= 15x2.
•Méthode 2 : on remarque que fest une fonction polynôme du 3edegré f(x) = ax3+
bx2+cx +savec a= 5,b= 0,c= 0 et d= 0. On a alors f0(x)=3ax2+ 2bx +c=
3×5x2+ 2 ×0x+ 0 = 15x2.
3 Étude de fonctions
3.1 Du sens de variation au signe de la dérivée
Propriété :
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I.
•Si fest croissante sur I, alors pour tout réel xde I,f0(x)≥0;
•si fest décroissante sur I, alors pour tout réel xde I,f0(x)≤0;
•si fest constante sur I, alors pour tout réel xde I,f0(x) = 0.
Exemple :
Soit fune fonction définie sur [−3; 5] et telle que :
x-3 -1 0 5
variations de 4 1
f(x)& % &
-2 0
Alors la fonction dérivée f0a pour tableau de signes :
x-3 -1 0 5
f0(x)- 0 + 0 -
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3.2 Du signe de la dérivée au sens de variation
Propriété :
•Si pour tout réel xde I,f0(x)>0sauf en quelques points où elle s’annule, alors fest
strictement croissante sur I;
•si pour tout réel xde I,f0(x)<0sauf en quelques points où elle s’annule, alors fest
strictement décroissante sur I;
•si pour tout réel xde I,f0(x) = 0, alors fest constante sur I.
Exemple avec un tableau de signes :
Soit fune fonction définie sur [−3; 5] et telle que :
x-3 -2 0 5
signe de f0(x)+ 0 - 0 +
Le tableau de variations de fest :
x-3 -2 0 5
variations de
f(x)% & %
Exemple par le calcul :
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x)=4x3+5.fest dérivable sur Ret pour
tout réel x,f0(x) = 4 ×3x2= 12x2. Donc pour tout réel x,f0(x)>0et par conséquent,
fest une fonction croissante sur R.
Définition :
Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet x0un réel de I.
•Dire que f(x0)est un maximum local de fsignifie que l’on peut trouver un intervalle
ouvert Jinclus dans Iet contenant x0tel que pour tout xde J,f(x)≤f(x0).
•Dire que f(x0)est un minimum local de fsignifie que l’on peut trouver un intervalle
ouvert Jinclus dans Iet contenant x0tel que pour tout xde J,f(x)≥f(x0).
•Un minimum local ou un maximum local est appelé un extremum local.
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Propriété :
Si fest une fonction définie et dérivable sur un intervalle Iouvert (c’est à dire de la forme
]a;b[)
•Si fadmet un maximum ou un minimum en x0∈Iavec x0, alors f0(x0)=0;
•si f0s’annule en x0en changeant de signe, alors fadmet en x0un extremum local.
Visualisation :
Cas d’un minimum :
x x0
Signe f0(x)- 0 +
Variations
f(x)& %
f(x0)
Cas d’un maximum :
x x0
Signe f0(x)+ 0 -
Variations f(x0)
f(x)% &
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