Fiches 11-15

CAPES de Math´ematiques Universit´e Joseph Fourier
Pr´eparation `a l’´ecrit Ann´ee 2007-2008
Alg`ebre et probabilit´es
Fiche 11 : Alg`ebre (5) Polynˆomes
«Ma cohabitation passionn´ee avec les math´ematiques m’a laiss´e
un amour fou pour les bonnes d´efinitions, sans lesquelles il n’y a
que des `a-peu-pr`es. »Gustave Flaubert, Vie de Henry Brulard
1 Rappels de cours
On se donne un sous-corps Kdu corps Cdes nombres complexes et on note K[X] la K-alg`ebre
des polynˆomes en une ind´etermin´ee Xsur K.
L’ind´etermin´ee Xest un ´el´ement de K[X], qui engendre K[X] en tant que K-alg`ebre, ainsi tout
´el´ement Pde K[X] s’´ecrit comme une somme finie
P=a0+a1X+···+anXn=
n
X
i=0
aiXi, ai∈K.
De plus, Xengendre K[X] librement, c’est-`a-dire que (Xi)i∈Nest une base du K-espace vectoriel
K[X].
De fa¸con ´equivalente, l’´ecriture de Pcomme une s´erie P=X
i>0
aiXiavec ai= 0 pour isuffisam-
ment grand est unique, c’est-`a-dire que si Q=X
i>0
biXiavec bi= 0 pour isuffisamment grand,
alors P=Qsi et seulement si ai=bipour tout i>0. Un morphisme naturel de Kdans K[X]
est a7→ aX0.
Les lois de l’alg`ebre K[X] sont les suivantes : pour tout ´el´ement ade Ket tousPet Q´el´ements
de K[X] d´efinis ci-dessus, on pose
aP =X
i>0
(aai)Xi, P +Q=X
i>0
(ai+bi)Xi,
et
P Q =X
i>0
ciXi,avec ci=
i
X
k=0
akbi−k.
L’alg`ebre K[X] est une K-alg`ebre libre sur l’´el´ement X: cela signifie que pour toute K-alg`ebre
Aet tout ´el´ement αde A, il existe un unique morphisme de K-alg`ebre Eα:K[X]→A, dit
morphisme d’´evaluation, tel que Eα(X) = α. Le morphisme Eαest donn´e par
P=X
i>0
aiXi7→ Eα(P) = X
i>0
aiαi.
1

On note aussi Eα(P) = P(α). Dans le cas particulier o`u A=K[X] et α=X, l’unicit´e de
Eαmontre que EXest l’application identit´e sur K[X]. C’est pourquoi on note souvent P(X) le
polynˆome P.
Si A=K, la fonction polynomiale associ´ee `a Pest l’application FP:K→Ktelle que, pour
tout xdans K,FP(x) = Ex(P). On note FP=P.
Le degr´e du polynˆome Pvaut deg(P) = −∞ si P= 0, et, si P6= 0,
deg(P) = max{i∈N;ai6= 0}.
Pour tous Pet Qdans K[X],
deg(P+Q)6max{deg(P),deg(Q)},deg(P Q) = deg(P) + deg(Q),
avec la convention (−∞) + d=−∞ pour tout d. Le coefficient dominant de Pvaut 0 si P= 0
et adsi deg(P) = d>0. Le terme dominant de Pvaut 0 si P= 0 et adxdsi deg(P) = d>0. Un
polynˆome est unitaire si son coefficient dominant vaut 1.
L’anneau K[X] est euclidien : cela signifie que pour tous polynˆomes Uet Vavec V6= 0, il existe
un unique couple de polynˆomes (Q, R) tel que
U=V Q +R, deg(R)6deg(V)−1.
2 Vrai ou faux
1. L’anneau K[X] des polynˆomes `a coefficients dans un corps Kest int`egre.
2. Les inversibles de K[X] sont les polynˆomes de degr´e 0.
3. Soit d>0 un entier. L’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans Kde degr´e inf´erieur ou
´egal `a dest :
a) un sous-groupe du groupe additif K[X].
b) un sous-K-espace vectoriel de K[X] de dimension dsur K.
c) un id´eal de K[X].
4. Soit Ket Ldeux sous-corps de Cavec K⊂L. Alors K[X]⊂L[X] et :
a) un polynˆome de degr´e 1 est irr´eductible dans K[X].
b) un polynˆome irr´eductible dans K[X] est de degr´e 1.
c) si un polynˆome de K[X] est irr´eductible dans L[X], il est irr´eductible dans K[X].
d) si un polynˆome de K[X] est irr´eductible dans K[X], il est irr´eductible dans L[X].
5. L’ensemble U⊂K[X] des polynˆomes unitaires `a coefficients dans un corps Kest : a) stable
par multiplication ; b) un id´eal de K[X].
6. a) Tout polynˆome est multiple d’un unique polynˆome unitaire.
b) Tout polynˆome irr´eductible est multiple d’un unique polynˆome unitaire.
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3 Exercices de cours
1. Soit aun nombre. Effectuer les divisions euclidiennes de X4−5X2+ 6 par X−aet par
(X−a)2.
2. Effectuer la division euclidienne de X6−X4−X2+ 1 par X3−1.
3. D´eterminer un pgcd des polynˆomes P(X) = X4+ 2X2−X+5 et Q(X) = X4+3X2+X+1.
4. Soit Pun polynˆome de degr´e 3 sur un corps Ktel que pour tout xdans K,P(x)6= 0.
Prouver que Pest irr´eductible dans K[X].
5. Soit K⊂L⊂Cdeux sous-corps de C. Soit Pet Qdes ´el´ements de K[X] et Dun ´el´ement
de L[X] tels que P6= 0 et P=QD. Prouver que Dappartient `a K[X], au sens o`u tous les
coefficients de Dappartiennent `a K.
6. Soit Pun ´el´ement de R[X] et α=a+ ibun nombre complexe tel que b6= 0 et P(α) = 0.
Prouver que Q(X) = X2−2aX +a2+b2divise Pdans R[X].
4 Exercices
1. ` A l’aide de la formule du binˆome et de la formule donnant le produit de deux polynˆomes,
calculer, pour tous entiers positifs met n, les deux membres de l’´egalit´e
(X+ 1)m(X+ 1)n= (X+ 1)m+n.
En choisissant m=n, en d´eduire la valeur de la somme
n
X
k=0 µn
k¶2
.
Donner une d´emonstration alternative de la formule obtenue en d´enombrant les parties `a n
´el´ements d’un ensemble Xr´eunion disjointe de deux ensembles Aet Bde cardinal n.
2. a) Soit Pet Qdes ´el´ements de K[X] tels que P2−XQ2= 0. En consid´erant les degr´es de
P2et XQ2, prouver que P=Q= 0.
b) On suppose que dans Kl’´equation a2+b2= 0 n’admet que la solution triviale a=b= 0.
Prouver que si les ´el´ements P,Qet Rde K[X] sont tels que P2−XQ2+R2= 0, alors
P=Q=R= 0.
c) Donner des exemples de sous-corps Kde Csatisfaisant l’hypoth`ese de b).
3. a) Prouver que X3= 1 dans l’anneau K[X]/(X2+X+ 1).
En d´eduire les valeurs de l’entier naturel mpour lesquelles le polynˆome X2+X+ 1 divise le
polynˆome (X+ 1)m−Xm−1.
b) Prouver que pour tout entier naturel m, le polynˆome X2−X+ 1 divise (X−1)m+2 +X2m+1.
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4. Si aet bsont des ´el´ements d’un anneau commutatif et i>1 un entier, on rappelle l’identit´e
remarquable
ai−bi= (a−b)
i−1
X
j=0
ajbi−j−1.
a) Soit aun ´el´ement de Ket Pun ´el´ement de K[X] tels que P(a) = 0. Montrer que X−adivise
P.
a’) Donner une autre preuve de a) en utilisant la division euclidienne.
b) Soit Pun ´el´ement de K[X]. Montrer que P−Xdivise P◦P−X, c’est-`a-dire qu’il existe Q
dans K[X] tel que P(P(X)) −X=Q(X)(P(X)−X).
c) Soit k>1 et P=
k
X
i=1
Xnio`u les entiers ni>0 v´erifient les congruences ni≡i−1 modulo k.
Prouver que (X−1)Pest divisible par Xk−1. En d´eduire que Pest divisible par Q=
k
X
i=1
Xi−1.
5. Soit ∆ la transformation de K[X] d´efinie par
∆(P)(X) = P(X+ 1) −P(X).
On pose ∆0= IdK[X]puis, pour tout n>0, ∆n+1 = ∆ ◦∆n.
R´esoudre la question a) ou la question a’), puis la question b).
a) a1) Prouver que si deg(P) = d, alors ∆d+1(P) = 0 et ∆d(P)6= 0.
a2) On pose C0(X) = µX
0¶= 1 puis, pour tout nombre entier d>1,
Cd(X) = µX
d¶=1
d!X(X−1) ···(X−d+ 1).
Calculer ∆(Cd(X)) pour tout d>0. En d´eduire que, si deg(P) = d>0,
P(X) =
d
X
i=0
∆i(P)(0) Ci(X).
a3) D´eduire de a2) que si Pest un polynˆome de degr´e d>0 `a valeurs enti`eres sur les entiers
naturels, c’est-`a-dire si P(N)⊂Z(on rappelle que N⊂Kpuisque Kest un sous-corps de C),
alors le polynˆome Ps’´ecrit de mani`ere unique comme une combinaison lin´eaire `a coefficients
dans Zdes polynˆomes binomiaux Ci(X) pour 1 6i6d.
a’) Montrer que l’application ∆ : Kd[X]→Kd−1[X] est lin´eaire et calculer son image et son
noyau.
b) Prouver que pour tout polynˆome Qde degr´e au plus d−1, il existe un unique polynˆome P
de degr´e au plus dtel que ∆(P) = Qet P(0) = 0.
En d´eduire une expression pour les sommes Q(0) + Q(1) + ···+Q(n) pour tout entier n>0,
puis la valeur des sommes 12+ 22+···+n2et 13+ 23+···+n3.
6. Soit Pun polynˆome de R[X] tel que P(t)>0 pour tout nombre r´eel t. Prouver qu’il existe
deux polynˆomes Aet Bde R[X] tels que P=A2+B2.
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Indication : on pourra d´eduire de la d´ecomposition de Pen facteurs irr´eductibles dans C[X] qu’il
existe un polynˆome Qde C[X] tel que P=QQ, o`u on note
Q=
m
X
i=0
biXi, bi∈C,Q=
m
X
i=0
biXi.
7. Soient Kun corps et a0, . . . , andes ´el´ements de Kdeux `a deux distincts.
a) Prouver que si b0, ..., bnsont des ´el´ements de K, il existe un unique polynˆome Pde K[X]
de degr´e deg(P)6ntel que pour tout 0 6i6n,P(ai) = bi.
Montrer les formules d’interpolation de Lagrange, qui affirment que Pvaut
P=
n
X
i=0
bi
Pi(X)
Pi(ai), Pi(X) = Y
j6=i
(X−aj).
b) Soit Qun polynˆome de degr´e deg(Q)6n−1 En consid´erant le coefficient du terme de degr´e
ndu polynˆome P, fourni par la question a), tel que deg(P)6net, pour tout 0 6i6n,
P(ai) = Q(ai), montrer que
Q(a0)
P0(a0)+Q(a1) P1(a1)+···+Q(an) Pn(an)= 0.
8. Calculer le pgcd de Pet Qpour :
a) P=X2+aX +bet Q=X2+pX +qavec p6=a;
b) P=aX2+bX +cet Q= 2X+aavec a6= 0 ;
c) P=X3+pX +qet Q= 3X2+pavec p6= 0.
En d´eduire qu’il existe des polynˆomes Aet Bdont les coefficients sont des expressions po-
lynˆomiales `a coefficients entiers en (a, b, p, q) dans le cas a), en (a, b, c) dans le cas b) et en (p, q)
dans le cas c), tels que AP +BQ soit ´egal `a (b−q)2+p(b−q)(p−a) + q(p−a)2dans le cas a),
b2−4ac dans le cas b), et 4p3−27q2dans le cas c).
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