Chapitre1

Biomécanique
Chapitre 1
Vecteurs et système de vecteurs
1
Repère
1. Définition
Un repère est défini par la donnée d'un point O, son origine et de
trois axes (x, y, z). Si ces trois axes sont perpendiculaires, le
repère est orthogonal. On notera le repère R (O / x, y, z).
z
R (O / x, y, z)
O
x
2
y
2. Coordonnées
Un repère R (O / x, y, z) permet de positionner un point matériel
M dans l'espace. On définit alors les coordonnées (X, Y, Z) du
point M dans le repère R (O / x, y, z) comme les projections du
point M sur les trois axes (O, x), (O, y) et (O, z).
z
R (O / x, y, z)
Z
O
X
x
3
M (X, Y, Z)
Y
y
Vecteur
1. Définition
Un vecteur est un être mathématique défini par :
Une origine ou point d'application
Une direction ou droite support
Un sens
Un module ou norme
On notera le vecteur de la manière suivante :
4
→
2. Exemple
Soient deux points de l'espace A et B, on peut définir le
vecteur
→
par
Son origine : A
→
Sa direction : droite (AB)
Son sens : A
→
B
Sa norme : longueur AB ou
5
A
→
B
3. Différents types de vecteurs
Vecteur libre :
→
Il est défini par une direction, un sens et une norme
Vecteur glissant :
Il est assujetti à glisser sur une droite support (∆)
(∆)
→
→
Vecteur lié :
B
→
Il est défini par une direction, un sens,
6
une norme et une origine
A
4. Composantes d'un vecteur
→ → →
Soit R (O / x, y, z) une repère de l'espace et
unitaires définissant les axes, un vecteur libre
projections
,
et
est défini par ses
sur les axes du repère qui sont appelées les
composantes du vecteur, on note alors :
→
→
→
7
→
les vecteurs
→
→
=
→
+
→
+
→
ou
→
Opérations sur les vecteurs
1. Relations de Chasles
C'est une relation géométrique :
2. Addition
La somme de deux vecteurs
→
→
=
→
et
+
→
→
est un vecteur
→
peut se représenter géométriquement de la manière suivante :
→
→
→
→
→
→
On obtient pour le vecteur
8
:
=
=
=
+
+
+
qui
3. Multiplication par un scalaire
Définition :
Soient
→
→
un vecteur libre et λ un scalaire (nombre), le produit de
par λ est un vecteur
→
noté
→
=λ
→
de composantes
Remarque :
Si
9
→
=λ
→
, on dit que les vecteurs
→
et
→
sont colinéaires
=λ
=λ
=λ
4. Produit scalaire
Définition :
Soient deux vecteurs
→
scalaire de
par
→
→
et
→
faisant un angle α entre eux, le produit
=
est un scalaire m défini par
Propriétés :
Le produit scalaire est commutatif :
→
10
Si
et
→ →
→
+
→
=
→ →
sont perpendiculaires alors
→ →
+
→ →
=
→ →
→ →
=
→ →
=
→
→
α
Calcul :
Soient les vecteurs
composantes
=
→ →
=
→
de composantes
et
→
de
alors
+
+
Module :
On définit le module ou la norme du vecteur
par la quantité notée
→
=
+
→
de composantes
+
On dit qu'un vecteur est unitaire si sa norme vaut 1.
11
5. Produit vectoriel
Définition :
Le produit vectoriel de deux vecteurs
perpendiculaire au plan formé par
et de sens tel que le trièdre
On le note :
→
→
= ∧
→
→ → →
→
→
→
et
est un vecteur
→
et
, de norme
soit direct.
.
→
→
→
12
α
→
→
→
α
Propriétés :
Si
→
→
et
sont colinéaires
→
∧
→
=
→
Le produit vectoriel est anticommutatif :
→
∧
→
→
=− ∧
→
En général, le produit vectoriel n'est pas associatif :
→
13
∧
→
+
→
→
→
→
= ∧ + ∧
→
→
∧
→
∧
→
≠
→
∧
→
∧
→
Repère :
→
→
∧
∧
→
∧
→
→
=
→
z
=−
→
=
→
R (O / x, y, z)
→
→
→
x
14
→
O
y
Calcul du produit vectoriel
→
Soient les vecteurs
de composantes
et
→
On peut montrer que :
→
15
∧
→
=
−
→
+
−
→
+
−
→
Technique de calcul du produit vectoriel
→
→
∧
→
=
→
→
16
=
−
−
−
Moment d ’un vecteur
1. Définition
Le moment d'un vecteur
→
→
par rapport au point O est un vecteur, noté
→
→
=
→
∧
→
et défini par
→
2. Loi de transport des moments
Connaissant le moment d'un vecteur
→
en un point O, on peut le calculer en un point I
par la relation de transport des moments
→
17
→
=
→
→
+
→
∧
→
Définition d ’un système de vecteurs
Soient un ensemble de vecteurs
→
appliqués au point
, on définit alors les
grandeurs suivantes :
La somme des vecteurs ou résultante :
→
=
→
Le moment résultant du système de vecteurs par rapport à un point M :
→
=
→
∧
→
→
→
→
→
→
18
On remarque que le vecteur résultante
→
ne dépend pas du point M, c’est
donc un vecteur libre alors que le moment résultant
point M.
On construit alors le système de vecteurs ou torseur
→
{τ }
=
→
{τ }
{τ }
On le note {τ }
19
ou [τ ]
→
est dépendant du
On conserve la relation de transport des moments :
→
{τ } =
→
{τ }+
→
∧
→
En conclusion, un système de vecteurs est donc défini par un vecteur libre
non dépendant de M, la résultante et un vecteur dépendant du point M, le
moment.
→
{τ }
20
=
→
{τ }
{τ }
Exemple
→
=
→
=
appliqué au point
=
appliqué au point
=
On peut calculer le système de vecteurs résultants au point A1
→
{τ }
21
=
→
{τ } =
→
∧
{τ } =
→
+
→
+
→
→
∧
→
=
→
∧
→
Donc
→
{τ } =
→
+
→
=
+
=
Et
→
→
{τ } =
→
∧
→
=−
→
Finalement : {τ } =
22
→
→
{τ } =
→
→
→
+ +
{τ } =
→
=
→
=
→
Systèmes de vecteurs particuliers
On distingue :
→
Glisseur {τ }
=
→
→
Couple {τ }
23
=
→
{τ } ≠
→
{τ } =
{τ } =
→
{τ } ≠
→
→
Opérations sur les systèmes de vecteurs
1. Système de vecteurs nul
→
{τ } = { } s'il existe un point M tel que : {τ }
=
→
{τ } =
→
{τ } =
→
2. Egalité
→
{τ } = {τ } s'il existe un point M tel que :
24
→
→
{τ } = {τ }
{τ } =
→
{τ }
3. Somme
On peut réaliser la somme de deux torseurs si ces deux torseurs sont exprimés au
même point M, on a alors :
→
{τ }
= {τ
}
+ {τ
}
=
→
→
→
{τ } = {τ }+ {τ }
→
{τ } =
{τ }+
→
{τ }
4. Multiplication par un scalaire
Soient un scalaire λ et un torseur {τ } , on définit la multiplication par un scalaire par :
→
{τ }
25
= λ {τ
}
=
→
→
{τ } = λ {τ }
{τ } = λ
→
{τ }
5. Produit scalaire
Le produit scalaire de deux torseurs {τ
} et {τ } est un scalaire et ne peut se calculer
que si les deux torseurs sont exprimés au même point M :
= {τ
}
⊗ {τ
}
=
→
{τ }
→
→
{τ }+ {τ }
→
{τ }
6. Invariant scalaire
On définit l'invariant scalaire du torseur {τ } par la quantité :
26
=
→
{τ }
→
{τ }
Invariants
Ce sont des quantités vectorielles ou scalaires qui ne dépendent pas du point de calcul du
torseur.
1. Résultante
Par définition la résultante
→
du torseur {τ } ne dépend pas du point de calcul du torseur.
2. Invariant scalaire
=
La quantité scalaire
→
{τ }
→
{τ } ne dépend pas du point M.
3. Produit scalaire
= {τ
27
}
⊗ {τ
}
=
→
{τ }
→
→
{τ }+ {τ }
→
{τ } ne dépend pas de M.
Internet
http://sport.lab.free.fr/biomeca/cours.htm
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