Corrigé

Cours de Th´ eorie des groupes Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 12 octobre 2015
Quiz 4
Question 1. Soit Gun groupe et soit Nun sous-groupe normal de G. On note
π:G→G/N la projection canonique. Quelle est l’image de π? Et son noyau ?
Solution. Par d´efinition, π(g) = gN. La projection canonique est clairement
surjective : tout ´el´ement de Gappartient `a une classe d’´equivalence. Donc l’image
de πest G/N.
L’´el´ement neutre de G/N est la classe 1GN=N. Donc le noyau de πest
l’ensemble de gtels que π(g) = gN =N, c’est-`a-dire l’ensemble de g∈N, `a
savoir N.
Question 2. Soit Gun groupe et Hun sous-groupe de G. On note i:H→G
l’inclusion, d´efini par i(h) = h. Prouver que iest un homomorphisme. Quelle est
l’image de i? Et son noyau ?
Solution. Soient h1, h2∈H. On a i(h1·h2) = h1·h2=i(h1)·i(h2), donc iest
un homomorphisme.
L’image de iest {i(h)|h∈H}={h|h∈H}=H.
Le noyau de iest {h∈H|i(h) = 1G}={h∈H|h= 1G}={1G}.
Question 3. Prouver que tout sous-groupe d’un groupe ab´elien est normal.
Solution. Soit Aun groupe ab´elien. Si Hest un sous-groupe de A, on a
a·h·a−1=a·a−1·h= 1A·h=h∈H,
pour tout a∈Aet pour tout h∈H. Donc Hest normal dans A.

Cours de Th´ eorie des groupes Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 12 octobre 2015
S´erie 4
Exercice 1. (les r´esultats de cet exercice sont `a retenir).
Soit nun entier. Soit Al’ensemble de tous les sous-groupes de Zcontenant nZ,
et Bl’ensemble de tous les sous-groupes de Z/nZ.
(1) Caract´eriser les ´el´ements de A.
(2) Montrer que tout ´el´ement de Best cyclique.
(3) Montrer que l’homomorphisme π:Z→Z/nZinduit une bijection entre
Aet B.
Solution.
(1) Tout sous-groupe de Zest cyclique, c’est `a dire de la forme mZavec
m∈Z. De plus on a nZ⊆mZsi et seulement si n∈mZc’est-`a-dire si
et seulement si m|n. Donc
A={mZ|m|n}.
(2) Soit Hun sous-groupe de Z/nZ. Nous allons montrer que Hest cyclique.
Soit g∈Htel que hgin’est pas contenu proprement dans un autre sous-
groupe cyclique de H(gexiste parce que Hest fini). Montrons que H=
hgi.
Soit a∈Ztel que g= [a]n. Soit b∈Ztel que [b]n∈H. En consid´erant
une relation de B´ezout (a, b) = ua +vb (avec u, v ∈Z) on voit que
[(a, b)]n∈H.
Or hgi=h[a]ni ⊆ h[(a, b)]ni, donc, h[a]ni=h[(a, b)]ni. En plus [b]n∈
h[(a, b)]niet donc [b]n∈ h[a]ni. Ceci ´etant vrai pour tout [b]n∈Hon a
bien H=h[a]ni.
(3) On va montrer premi`erement que
B={h[m]ni | m|n}.
Clairement l’inclusion “⊇” est vraie. Si on a H∈ B, on sait, par (2), que
H=h[a]nipour un certain [a]n∈Z/nZ. On a que [0]n= [n]nappartient
`a H, parce que Hest un sous-groupe. Comme en (2), on a [(a, n)]n∈H
et donc H=h[(a, n)]ni. Par d´efinition, (a, n)|n. Donc l’inclusion “⊆” est
vraie aussi.
Finalment, on constate que la surjection canonique π:Z→Z/nZinduit
une bijection mZ7→ π(mZ) = h[m]nientre Aet B.

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Exercice 2.
(1) Soit Gun groupe et H, K deux sous-groupes de G. Prouver que HK est
un sous-groupe de Gsi et seulement si HK =KH.
(2) Donner un exemple d’un groupe Get de deux sous-groupes Het Kde G
tels que HK ne soit pas un sous-groupe de G.
Solution.
(1) Si HK =KH, alors pour tous h1k1, h2k2∈HK on a
(h1k1)(h2k2)−1=h1k1k−1
2h−1 1.
Mais (k1k−1
2h−1 1)∈KH =HK et donc (k1k−1 2h−1 1) = h3k3pour certains
h3∈Het k3∈K. Ainsi,
(h1k1)(h2k2)−1=h1h3k3∈HK
et donc HK est un sous-groupe (S´erie 2, Quiz 2).
Supposons maintenant que HK soit un sous-groupe. Soit kh ∈KH.
Comme k∈HK et h∈HK, on voit que kh ∈HK. Donc KH ⊆HK.
Vice versa, soit hk ∈HK. Alors (hk)−1=k−1h−1∈KH ⊆HK. Ainsi
(hk)−1=h0k0pour certains h0∈Het k0∈K. Finalement,
hk = ((hk)−1)−1= (h0k0)−1=k0−1h0−1∈KH.
Par cons´equent, HK ⊆KH.
(2) Soient G=S3,H=h(1,2)iet K=h(1,3)i. On a
HK ={Id,(1,2),(1,3),(1,3,2)}
et
KH ={Id,(1,2),(1,3),(1,2,3)}.
Donc HK n’est pas un sous-groupe de Gpar (1).
Exercice 3. Trouver un sous-groupe normal Nde GLn(Z) tel que G/N soit
isomorphe `a {1,−1}.
Solution. GLn(Z) est l’ensemble des matrices `a coefficients dans Zqui ont un
inverse `a coefficients dans Z. C’est bien un groupe. Pour tout A∈GLn(Z) on a
det(A)∈Z. Si Aa inverse B(`a coefficients dans Z), on a, par le cours d’Alg`ebre
Lin´eaire, det A·det B= det In= 1, et donc 1
det A∈Z, c’est-`a-dire det A= 1 o`u
det A=−1.
Or, la function det : GLn(Z)→ {1,−1}est bien un homorphisme.
Elle est surjective : det In= 1 et det J=−1, o`u Jest la matrice diagonale
diag(−1,1,...,1) (Ja comme inverse elle-mˆeme et donc elle est dans GLn(Z)).
On note
SLn(Z) := {A∈GLn(Z)|det A= 1}.

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C’est le noyau de l’homomorphisme det et donc c’est un sous-groupe normal de
GLn(Z).
Par le premier th´eor`eme d’isomorphisme on a finalement que
GLn(Z)/SLn(Z)' {1,−1}.
Exercice 4. Soient
A=1/2−√3/2
√3/2 1/2et B= ( −1 0
0 1 ).
Soient H=hAiet K=hBiles sous-groupes de GL2(R) engendr´es par Aet B.
(1) Montrer que K⊆NGL2(R)(H).
(2) Montrer que HK est un sous-groupe de GL2(R) et que Hest un sous-
groupe normal de HK.
(3) Montrer que HK/H est isomorphe `a {1,−1}.
Solution.
(1) Comme K={I2, B}, il suffit de montrer que BHB−1=H. Comme Hest
cyclique et engendr´e par A, il suffit de montrer pour tout i∈Zl’existence
d’un ji∈Ztel que BAiB−1=Aji. Or BAiB−1= (BAB−1)i, donc il suffit
de montrer l’existence de k∈Ztel que BAB−1=Ak. On a
BAB−1=−1 0
0 1  1/2−√3/2
√3/2 1/2 −1 0
0 1 −1
=1/2√3/2
−√3/2 1/2
=1/2−√3/2
√3/2 1/2−1
.
On a donc bien K⊆NGL2(R)(H).
(2) Comme K⊆NGL2(R)(H), on sait par une proposition du cours que HK
est un sous-groupe de GL2(R) et que Hest un sous-groupe normal de
HK.
(3) Comme Aet Bne commutent pas, on sait que B /∈ hAiet donc que
H∩K={I2}.Comme Hest un sous-groupe normal de HK, on sait
par le deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphisme que HK/H est isomorphe `a
K/(H∩K) = K. Or Kest cyclique d’ordre 2, donc HK/H 'Kest
isomorphe `a {1,−1}.

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Exercice 5. (Groupe des quaternions - `a retenir).
On appelle groupe des quaternions, et on note H8, le sous-groupe de GL2(C)
engendr´e par les matrices
I=i0
0−iJ=0−1 1 0 K=0−i −i0.
(1) Montrer que H8={±Id,±I, ±J, ±K}.
(2) Donner une liste des sous-groupes normaux de H8et d´eterminer les quo-
tients correspondants.
Solution.
On prouve premi`erement un lemme.
Lemme. Si Gest un groupe et H={h1, . . . , hm}un sous-ensemble fini de G
tel que pour tout h, h0∈Hon a hh0∈H, alors Hest un sous-groupe de G.
Preuve : En effet, si h∈H, alors {hh1, . . . , hhm}={h1, . . . , hm}et donc il
existe itel que hhi=h, ce qui force hi= 1G. De la mˆeme mani`ere, pour tout h,
il existe jtel que hhj=hi= 1G, c’est-`a-dire hj=h−1.
(1) Tout d’abord
I2=J2=K2=−Id.
On en d´eduit que −Id ∈H8et donc {±Id,±I, ±J, ±K} ⊆ H8.
Par ailleurs,
IJ =K, JK =I, KI =J, JI =−K, KJ =−I, IK =−J.
ce qui montre que {±Id,±I, ±J, ±K}est bien un sous-groupe par le
lemme ci-dessus.
Par cons´equent, H8={±Id,±I, ±J, ±K}
(2) Les seuls sous-groupes cycliques de H8sont :
• hIi={±Id,±I},
• hJi={±Id,±J},
• hKi={±Id,±K},
• h−Idi={±Id},
• {Id}.
En plus, on peut prouver que, avec H8, ce sont tous les sous-groupes de
H8. Par exemple, soit Hun sous-groupe qui contient proprement hIi.
Alors au moins un ´el´ement xde {±J, ±K}est dans H. On observe que
xhIi={±J, ±K}et donc, par la stabilit´e de la loi de composition, on a
que si xest dans Halors tout ´el´ement de {±J, ±K}est dans H. Ainsi H8
est le seul sous-groupe qui contient hIi. De la mˆeme mani`ere, H8est le seul
sous-groupe qui contient hJiet hKi. Finalement, si Hest un sous-groupe
qui contient proprement h−Idi, alors il contient au moins un ´el´ement de