Corrigé

Cours de Théorie des groupes
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 3
12 octobre 2015
Quiz 4
Question 1. Soit G un groupe et soit N un sous-groupe normal de G. On note
π : G → G/N la projection canonique. Quelle est l’image de π ? Et son noyau ?
Solution. Par définition, π(g) = gN . La projection canonique est clairement
surjective : tout élément de G appartient à une classe d’équivalence. Donc l’image
de π est G/N .
L’élément neutre de G/N est la classe 1G N = N . Donc le noyau de π est
l’ensemble de g tels que π(g) = gN = N , c’est-à-dire l’ensemble de g ∈ N , à
savoir N .
Question 2. Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. On note i : H → G
l’inclusion, défini par i(h) = h. Prouver que i est un homomorphisme. Quelle est
l’image de i ? Et son noyau ?
Solution. Soient h1 , h2 ∈ H. On a i(h1 · h2 ) = h1 · h2 = i(h1 ) · i(h2 ), donc i est
un homomorphisme.
L’image de i est {i(h) | h ∈ H} = {h | h ∈ H} = H.
Le noyau de i est {h ∈ H | i(h) = 1G } = {h ∈ H | h = 1G } = {1G }.
Question 3. Prouver que tout sous-groupe d’un groupe abélien est normal.
Solution. Soit A un groupe abélien. Si H est un sous-groupe de A, on a
a · h · a−1 = a · a−1 · h = 1A · h = h ∈ H,
pour tout a ∈ A et pour tout h ∈ H. Donc H est normal dans A.
Cours de Théorie des groupes
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 3
12 octobre 2015
Série 4
Exercice 1. (les résultats de cet exercice sont à retenir).
Soit n un entier. Soit A l’ensemble de tous les sous-groupes de Z contenant nZ,
et B l’ensemble de tous les sous-groupes de Z/nZ.
(1) Caractériser les éléments de A.
(2) Montrer que tout élément de B est cyclique.
(3) Montrer que l’homomorphisme π : Z → Z/nZ induit une bijection entre
A et B.
Solution.
(1) Tout sous-groupe de Z est cyclique, c’est à dire de la forme mZ avec
m ∈ Z. De plus on a nZ ⊆ mZ si et seulement si n ∈ mZ c’est-à-dire si
et seulement si m|n. Donc
A = {mZ | m|n}.
(2) Soit H un sous-groupe de Z/nZ. Nous allons montrer que H est cyclique.
Soit g ∈ H tel que hgi n’est pas contenu proprement dans un autre sousgroupe cyclique de H (g existe parce que H est fini). Montrons que H =
hgi.
Soit a ∈ Z tel que g = [a]n . Soit b ∈ Z tel que [b]n ∈ H. En considérant
une relation de Bézout (a, b) = ua + vb (avec u, v ∈ Z) on voit que
[(a, b)]n ∈ H.
Or hgi = h[a]n i ⊆ h[(a, b)]n i, donc, h[a]n i = h[(a, b)]n i. En plus [b]n ∈
h[(a, b)]n i et donc [b]n ∈ h[a]n i. Ceci étant vrai pour tout [b]n ∈ H on a
bien H = h[a]n i.
(3) On va montrer premièrement que
B = {h[m]n i | m|n}.
Clairement l’inclusion “⊇” est vraie. Si on a H ∈ B, on sait, par (2), que
H = h[a]n i pour un certain [a]n ∈ Z/nZ. On a que [0]n = [n]n appartient
à H, parce que H est un sous-groupe. Comme en (2), on a [(a, n)]n ∈ H
et donc H = h[(a, n)]n i. Par définition, (a, n)|n. Donc l’inclusion “⊆” est
vraie aussi.
Finalment, on constate que la surjection canonique π : Z → Z/nZ induit
une bijection mZ 7→ π(mZ) = h[m]n i entre A et B.
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Exercice 2.
(1) Soit G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. Prouver que HK est
un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH.
(2) Donner un exemple d’un groupe G et de deux sous-groupes H et K de G
tels que HK ne soit pas un sous-groupe de G.
Solution.
(1) Si HK = KH, alors pour tous h1 k1 , h2 k2 ∈ HK on a
(h1 k1 )(h2 k2 )−1 = h1 k1 k2−1 h−1
1 .
−1 −1
Mais (k1 k2−1 h−1
1 ) ∈ KH = HK et donc (k1 k2 h1 ) = h3 k3 pour certains
h3 ∈ H et k3 ∈ K. Ainsi,
(h1 k1 )(h2 k2 )−1 = h1 h3 k3 ∈ HK
et donc HK est un sous-groupe (Série 2, Quiz 2).
Supposons maintenant que HK soit un sous-groupe. Soit kh ∈ KH.
Comme k ∈ HK et h ∈ HK, on voit que kh ∈ HK. Donc KH ⊆ HK.
Vice versa, soit hk ∈ HK. Alors (hk)−1 = k −1 h−1 ∈ KH ⊆ HK. Ainsi
(hk)−1 = h0 k 0 pour certains h0 ∈ H et k 0 ∈ K. Finalement,
hk = ((hk)−1 )−1 = (h0 k 0 )−1 = k 0−1 h0−1 ∈ KH.
Par conséquent, HK ⊆ KH.
(2) Soient G = S3 , H = h(1, 2)i et K = h(1, 3)i. On a
HK = {Id, (1, 2), (1, 3), (1, 3, 2)}
et
KH = {Id, (1, 2), (1, 3), (1, 2, 3)}.
Donc HK n’est pas un sous-groupe de G par (1).
Exercice 3. Trouver un sous-groupe normal N de GLn (Z) tel que G/N soit
isomorphe à {1, −1}.
Solution. GLn (Z) est l’ensemble des matrices à coefficients dans Z qui ont un
inverse à coefficients dans Z. C’est bien un groupe. Pour tout A ∈ GLn (Z) on a
det(A) ∈ Z. Si A a inverse B (à coefficients dans Z), on a, par le cours d’Algèbre
Linéaire, det A · det B = det In = 1, et donc det1 A ∈ Z, c’est-à-dire det A = 1 où
det A = −1.
Or, la function det : GLn (Z) → {1, −1} est bien un homorphisme.
Elle est surjective : det In = 1 et det J = −1, où J est la matrice diagonale
diag(−1, 1, . . . , 1) (J a comme inverse elle-même et donc elle est dans GLn (Z)).
On note
SLn (Z) := {A ∈ GLn (Z) | det A = 1}.
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C’est le noyau de l’homomorphisme det et donc c’est un sous-groupe normal de
GLn (Z).
Par le premier théorème d’isomorphisme on a finalement que
GLn (Z)/SLn (Z) ' {1, −1}.
Exercice 4. Soient
A=
√
1/2 − 3/2
√
3/2 1/2
et
0
B = ( −1
0 1).
Soient H = hAi et K = hBi les sous-groupes de GL2 (R) engendrés par A et B.
(1) Montrer que K ⊆ NGL2 (R) (H).
(2) Montrer que HK est un sous-groupe de GL2 (R) et que H est un sousgroupe normal de HK.
(3) Montrer que HK/H est isomorphe à {1, −1}.
Solution.
(1) Comme K = {I2 , B}, il suffit de montrer que BHB −1 = H. Comme H est
cyclique et engendré par A, il suffit de montrer pour tout i ∈ Z l’existence
i
d’un ji ∈ Z tel que BAi B −1 = Aji . Or BAi B −1 = (BAB −1 ) , donc il suffit
de montrer l’existence de k ∈ Z tel que BAB −1 = Ak . On a
√
−1
−1 0
1/2 − 3/2
−1 0
−1
√
BAB
=
0 1
0 1
1/2
√ 3/2
1/2
3/2
√
=
− 3/2 1/2
√
−1
1/2
−
3/2
√
=
.
3/2
1/2
On a donc bien K ⊆ NGL2 (R) (H).
(2) Comme K ⊆ NGL2 (R) (H), on sait par une proposition du cours que HK
est un sous-groupe de GL2 (R) et que H est un sous-groupe normal de
HK.
(3) Comme A et B ne commutent pas, on sait que B ∈
/ hAi et donc que
H ∩ K = {I2 }. Comme H est un sous-groupe normal de HK, on sait
par le deuxième théorème d’isomorphisme que HK/H est isomorphe à
K/(H ∩ K) = K. Or K est cyclique d’ordre 2, donc HK/H ' K est
isomorphe à {1, −1}.
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Exercice 5. (Groupe des quaternions - à retenir).
On appelle groupe des quaternions, et on note H8 , le sous-groupe de GL2 (C)
engendré par les matrices
i 0
0 −1
0 −i
I=
J=
K=
.
0 −i
1 0
−i 0
(1) Montrer que H8 = {±Id, ±I, ±J, ±K}.
(2) Donner une liste des sous-groupes normaux de H8 et déterminer les quotients correspondants.
Solution.
On prouve premièrement un lemme.
Lemme. Si G est un groupe et H = {h1 , . . . , hm } un sous-ensemble fini de G
tel que pour tout h, h0 ∈ H on a hh0 ∈ H, alors H est un sous-groupe de G.
Preuve : En effet, si h ∈ H, alors {hh1 , . . . , hhm } = {h1 , . . . , hm } et donc il
existe i tel que hhi = h, ce qui force hi = 1G . De la même manière, pour tout h,
il existe j tel que hhj = hi = 1G , c’est-à-dire hj = h−1 . (1) Tout d’abord
I 2 = J 2 = K 2 = −Id.
On en déduit que −Id ∈ H8 et donc {±Id, ±I, ±J, ±K} ⊆ H8 .
Par ailleurs,
IJ = K, JK = I, KI = J, JI = −K, KJ = −I, IK = −J.
ce qui montre que {±Id, ±I, ±J, ±K} est bien un sous-groupe par le
lemme ci-dessus.
Par conséquent, H8 = {±Id, ±I, ±J, ±K}
(2) Les seuls sous-groupes cycliques de H8 sont :
• hIi = {±Id, ±I},
• hJi = {±Id, ±J},
• hKi = {±Id, ±K},
• h−Idi = {±Id},
• {Id} .
En plus, on peut prouver que, avec H8 , ce sont tous les sous-groupes de
H8 . Par exemple, soit H un sous-groupe qui contient proprement hIi.
Alors au moins un élément x de {±J, ±K} est dans H. On observe que
xhIi = {±J, ±K} et donc, par la stabilité de la loi de composition, on a
que si x est dans H alors tout élément de {±J, ±K} est dans H. Ainsi H8
est le seul sous-groupe qui contient hIi. De la même manière, H8 est le seul
sous-groupe qui contient hJi et hKi. Finalement, si H est un sous-groupe
qui contient proprement h−Idi, alors il contient au moins un élément de
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{±I, ±J, ±K}. Alors H = hIi ou H = hJi ou H = hKi ou H = H8 .
On peut facilement vérifier qu’ils sont tous normaux : par exemple,
(±J)(±I)(±J)−1 = (−K)(±J −1 ) = (−K)(∓J) = ±KJ = ∓I,
(±K)(±I)(±K)−1 = J(±K −1 ) = J(∓K) = ∓KJ = ∓I,
de façon que hIi est normal dans H8 .
Finalement, on détermine les quotients :
• H8 /hIdi ' H8 ;
• H8 /h−Idi = {h−Idi, Ih−Idi, Jh−Idi, Kh−Idi} ;
• H8 /hIi = {hIi, JhIi} ;
• H8 /hJi = {hJi, KhJi} ;
• H8 /hKi = {hKi, IhKi} ;
• H8 /H8 ' {Id}.