1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d’Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre VII : Dérivation Notations : On reprend dans ce chapitre les notations du chapitre précédent : soit I un intervalle non vide, on note ˚ I l’intérieur de I. Si x0 est un nombre réel, on notera Ix0 un voisinage de x0 (i.e. un intervalle ouvert contenant x0 ), et Ix∗0 = Ix0 r {x0 }. Si x0 = +∞, alors Ix0 désigne un intervalle ouvert du type ]γ; +∞[ et si x0 = −∞, Ix0 =] − ∞; γ[. 1 Dérivabilité d’une fonction en un réel x0 Rappels : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a < b deux réels de I. On appelle taux d’accroissement de f (ou taux de variation de f , ou accroissement moyen de f ) entre a et f (b) − f (a) . Dans un repère orthogonal, ce rapport est le coefficient directeur de la b le rapport b−a droite (AB) où A(a, f (a)) et B(b, f (b)). m= f (b) − f (a) yB − yA = xB − xA b−a yB B yB − yA A yA ~j xB − xA ~ı y= + mx xA xB p Figure 1 – Accroissement moyen entre a et b L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 2 Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un réel appartenant f (x) − f (x0 ) à I. f est dite dérivable en x0 si ∆f(x,x0 ) = admet une limite réelle (= finie) ` x − x0 lorsque x tend vers x0 (x 6= x0 ). Dans ce cas, cette limite est notée f 0 (x0 ) et est appelée nombre dérivé de f en x0 . Remarque : ∆f(x,x0 ) représente le coefficient directeur de la sécante (M M0 ) où M (x, f (x)) et M0 (x0 , f (x0 )). Dire que ∆f(x,x0 ) possède une limite quand x tend vers x0 revient à dire que la courbe représentative de f possède au point M0 une tangente de coefficient directeur f 0 (x0 ). (tangente non verticale) Ainsi, lorsque f est dérivable en x0 , l’équation de la tangente à Cf au point M0 est y = 0 f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) (remarquer que cette droite a pour coefficient directeur f 0 (x0 ) et passe par M0 ). Exemples 1. x2 − 1 1. Soit f : f (x) = x2 . Pour x0 = 1, on a ∆f(x,1) = = x + 1 donc lim ∆f(x,1) = 2. f est x→1 x−1 dérivable en 1 et f 0 (1) = 2. La tangente à Cf au point A(1, 1) a pour équation : y = 2x + 1 |x − 1| = 1 si x > 1 et −1 si x < 1. 2. Soit f : f (x) = |x − 1|. Pour x0 = 1, on a ∆f(x,1) = x−1 Donc ∆f(x,1) ne possède pas de limite en x0 = 1 et f n’est pas dérivable en 1. Remarque : Avec le changement de variable x0 = x+h, on a l’énoncé suivant : f est dérivable en f (x0 + h) − f (x0 ) x0 si et seulement si admet une limite finie lorsque h tend vers zéro et h 6= 0. h Théorème 1. Théorème d’approximation affine Soit f définie sur Ix0 . f est dérivable en x0 si et seulement s’il existe une fonction ε définie sur Ix0 , continue en x0 , telle que ε(x0 ) = 0 et un nombre réel A tels que : ∀x ∈ Ix0 f (x) = f (x0 ) + A(x − x0 ) + (x − x0 )ε(x) Figure 2 – Approximation affine L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion (∗) 3 Définition 2. Soit f une fonction définie sur Ix0 . Si le taux d’accroissement de f a une limite finie à droite (respectivement à gauche) en x0 , f est dite dérivable à droite (resp. à gauche) de x0 . f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) lim lim On note fd0 (x0 ) = x→x et fg0 (x0 ) = x→x . 0 0 x − x0 x − x0 x>x0 x<x0 REMARQUE IMPORTANTE : Une fonction peut très bien être dérivable à droite et à gauche en x0 mais ne pas être dérivable en x0 . (Voir par l’exemple ci-dessus : fd0 (2) = 0 et fg0 (2) = −2). Exemple 2. Figure 3 – Point anguleux Autres exemples de non-dérivabilité Exemple 3. Figure 4 – Point de rebroussement Figure 5 – Tangente verticale L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 4 Théorème 2. Une fonction f définie sur Ix0 est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite de x0 et fd0 (x0 ) = fg0 (x0 ). Théorème 3. Soit f une fonction définie sur Ix0 . Si f est dérivable en x0 alors f est continue en x0 . la réciproque est fausse : penser à la fonction « valeur absolue » qui est continue, mais non dérivable en zéro. 2 Fonction dérivée sur un intervalle Définition 3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout réel de I (si I = [a, b] est fermé on convient alors de supposer que f est dérivable à droite en a et à gauche en b ) on dit que f est dérivable sur I et on peut alors définir la fonction dérivée de f , notée f ’, sur I par : f 0 : I −→ R f (x + h) − f (x) x 7−→ f 0 (x) = lim h→0 h Définition 4. Fonctions dérivées d’ordres supérieurs Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f 0 sa fonction dérivée. Si f 0 est elle-même dérivable sur I, on peut considérer la fonction dérivée de f 0 , notée f 00 ou f (2) , définie sur I. S’il est possible de réitérer cette opération n fois, on peut alors définir sur I, la fonction dérivée nième , notée f (n) . Exercices 1. 1. Déterminer toutes les dérivées successives de f : f (x) = 4x3 − 5x2 + 2x − 1 2. Soit f : f (x) = 5e−2x . Déterminer la dérivée nième de f sur R. Les étudiants doivent connaître le tableau des fonctions dérivées des fonctions de références suivantes : (à compléter avec les résultats que vous verrez dans le chapitre suivant) L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 5 f : f (x) = ... f 0 (x) = ... Ensemble de validité ax + b a R xn (n ∈ N∗ ) nxn−1 R xn (n ∈ Z∗ ) nxn−1 ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ √ 1 √ 2 x ]0; +∞[ xα (α ∈ R∗ ) αxα−1 ]0; +∞[ ex ex R ln x 1 x ]0; +∞[ ax (a ∈ R∗+ ) (ln a)ax ]0; +∞[ x Opérations usuelles Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I : alors les fonctions 1 f f + g, k.f (où k ∈ R) et f g sont dérivables sur I : Si de plus g ne s’annule pas sur I, et sont g g dérivables sur I Fonction Dérivée f +g f 0 + g0 k.f k.f 0 f ×g f 0 × g + f × g0 1 g − Condition k∈R g0 g2 ∀x ∈ I, g(x) 6= 0 f 0 × g − f × g0 g2 f g ∀x ∈ I, g(x) 6= 0 Théorème 4. Dérivée d’une fonction composée Soient f et g deux fonctions dérivables sur respectivement I et J tels que f (I) ⊂ J. Alors la fonction composée g ◦ f est dérivable sur I et pour tout x ∈ I, 0 g ◦ f (x) = f 0 (x) × g 0 ◦ f (x) On obtient ainsi les dérivées suivantes : L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 6 3 Fonction Dérivée f n (n ∈ N∗ ) nf 0 × f n−1 f n (n ∈ Z∗ ) nf 0 × f n−1 ∀x ∈ I, f (x) 6= 0 f α (α ∈ R∗ ) αf 0 × f α−1 ∀x ∈ I, f (x) > 0 ln |f | f0 f exp(f ) f 0 × exp(f ) Condition ∀x ∈ I, f (x) 6= 0 Variations - extrema d’une fonction dérivable Théorème 5. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. 1. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0 alors f est croissante sur I. 2. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0 alors f est décroissante sur I. 3. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) = 0, alors f est constante sur I. Théorème 6. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. 1. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0 et f 0 ne s’annule qu’en des réels isolés, alors f est strictement croissante sur I. 2. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0 et f 0 ne s’annule qu’en des réels isolés, alors f est strictement décroissante sur I. Exemple : f x 7→ x3 . ∀x ∈ R, f 0 (x) = 3x2 ≥ 0 et f 0 ne s’annule qu’en x = 0, donc f est strictement croissante sur R. Définition 5. Soit f une fonction définie sur Df . 1. On dit que f admet un maximum local en x0 , s’il existe un voisinage Ix0 tel que ∀x0 ∈ Ix0 , f (x) ≤ f (x0 ). 2. On dit que f admet un minimum local en x0 , s’il existe un voisinage Ix0 tel que ∀x0 ∈ Ix0 , f (x) ≥ f (x0 ). 3. On dit que f admet un extremum en x0 si f admet un minimum ou un maximum en x0 . Théorème 7. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle Ix0 , si f admet un extremum en x0 , alors f 0 (x0 ) = 0. Conséquence graphique : Sous les conditions du théorème, la tangente à Cf est horizontale. Remarque : La réciproque du théorème précédent est fausse : par exemple soit f : x 7→ x3 , f 0 (0) = 0 mais f n’admet pas d’extremum en x = 0. L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 7 Théorème 8. Soit f une fonction définie et dérivable sur Ix0 , si f 0 (x0 ) = 0 et si f 0 (x) change de signe en x0 , alors f admet un extremum en x0 . Théorème 9. Soit f une fonction deux fois dérivable sur Ix0 . 1. Si f 0 (x0 ) = 0 et f 00 (x0 ) > 0, alors f admet un minimum en x0 . 2. Si f 0 (x0 ) = 0 et f 00 (x0 ) < 0, alors f admet un maximum en x0 . Exercice 2. Soit f définie sur R∗+ par f (x) = ln x les variations de f sur R∗+ . 4 3 − 3 ln x. Calculer f 0 (x) puis déterminer Dérivée d’une fonction réciproque Théorème 10. Soit f une bijection définie et continue d’un intervalle I sur un intervalle. Si f est 0 1 dérivable en x0 ∈ I et si f 0 (x0 ) 6= 0, alors f −1 est dérivable en y0 = f (x0 ) et f −1 (y0 ) = 0 f (x0 ) y ∈ J x ∈ I x = f −1 (y) y = f (x) ⇐⇒ 0 1 f −1 (y0 ) = f 0 (x0 ) 6= 0 0 f (x0 ) Exemples 4. ) ( ) ( x ∈ ]0; +∞[ y ∈ ]0; +∞[ 1. ⇐⇒ √ 2 y = x x = y Soit f : x 7→ x2 , f est dérivable sur ]0; +∞[, et pour tout x > 0, f 0 (x) = 2x 6= 0. La fonction réciproque de f est la fonction « racine carrée » : cette fonction est dérivable sur √ 0 1 1 y = = √ ]0; +∞[, et pour tout x ∈ ]0; +∞[, y = x2 , 2x 2 y 2. x ∈ ]0; +∞[ y = ln x ⇐⇒ y ∈ R x = exp(y) 1 Soit f : x 7→ ln x, f est dérivable sur ]0; +∞[, et pour tout x > 0, f 0 (x) = 6= 0. La x fonction réciproque de f est la fonction « exponentielle » : cette fonction est dérivable sur 0 1 1 R, et pour tout x ∈]0; +∞[, y = ln(x) et exp y = 0 = 1 = x = exp(y). On retrouve ln (x) x le fait que la fonction exponentielle est sa propre dérivée. 1 1+x Exercice 3. Soit f la fonction définie par f (x) = ln 2 1−x 1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f . 2. Démontrer que f admet une fonction réciproque f −1 sur Df . Sur quel ensemble f −1 est-elle définie ? 3. Déterminer la dérivée de f −1 là où elle est dérivable. L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 8 5 Théorème des accroissements finis Théorème 11. de Rolle Soit f une fonction définie sur un segment [a, b] de R. On suppose que f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et que f (a) = f (b). Alors il existe c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. Figure 6 – Théorème de Rolle Théorème 12. des accroissements finis Soit f une fonction définie sur un segment [a, b] de R. On suppose que f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Il existe c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c) Figure 7 – Théorème des accroissements finis Remarque : Une application de ce théorème est la démonstration du théorème qui lie signe de la dérivée et variation de la fonction L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 9 f (x) − f (x0 ) Par exemple : Si f est croissante sur I, pour tout x0 ∈ ˚ I, ≥ 0 et par passage à x − x0 la limite, on en déduit que f 0 (x0 ) ≥ 0. Réciproquement, supposons que f 0 (x) ≥ 0 pour tout x ∈ ˚ I. Soient a et b (a < b) deux réels de I : on applique le théorème des accroissements finis à f sur [a, b] : il existe c ∈ [a, b] tel que f (b) − f (a) f (b) − f (a) f 0 (c) = d’où ≥ 0, d’où f (b) − f (a) ≥ 0, et f est croissante sur I. b−a b−a Théorème 13. Inégalité des accroissements finis Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un segment [a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que pour tout x ∈]a, b[, |f 0 (x)| ≤ g 0 (x), alors |f (b) − f (a)| ≤ g(b) − g(a) Exercice 4. Première partie : étude d’une fonction g Soit g la fonction définie sur ]0; +∞[ par : g(x) = x ln x − x + 1 1. Après avoir justifié de la dérivabilité de g sur son domaine de définition, calculez la fonction dérivée de g puis donnez le tableau des variations de g (limites comprises). 2. Déterminez le signe de g sur ]0; +∞[. Seconde partie : étude d’une fonction f 1 ln x x−1 1. Déterminer la fonction dérivée de f puis donner le tableau des variations de f . Soit f la fonction définie sur ]1; +∞[ par : f (x) = 2. Calculer la limite de f en +∞. 3. Calculez la limite de f en 1+ 1 Troisième partie : étude de l’équation f (x) = 2 Dans cette partie, on a besoin de connaître ln 3 ' 1, 10 et ln 4 ' 1, 4 1 1. Montrez que l’équation f (x) = admet une unique solution α dans l’intervalle [3; 4]. 2 2. Soit h la fonction définie sur I = [3; 4] par : 1 1 h(x) = ln x + x + 2 2 (a) Montrez que α est solution de l’équation h(x) = x (b) Etudiez les variations de h sur I. 5 (c) Montrez que pour tout x de I on a : h(x) ∈ I et |h0 (x)| ≤ . 6 Quatrième partie : étude de la suite récurrente u : un+1 = h(un ) 1. Montrer que l’on peut définir la suite (un )n∈N d’éléments de [3, α] de façon récurrente par : u0 = 3 et un+1 = h(un ) On pourra justifier que pour tout entier n, un ∈ [3, α]. L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion 10 5 2. Démontrez que, pour tout entier naturel n, |un+1 − α| ≤ |un − α| 6 3. Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel n : |un − α| ≤ n 5 6 4. En déduire la convergence de la suite (un )n∈N . 6 Dérivées successives I est toujours un intervalle de R non vide et non réduit à un point et RI l’ensemble des fonctions définies sur I à valeurs dans R Définition 6. Soit f une fonction définie sur I : on définit par récurrence la dérivée nième de f,0 (n) (0) (n−1) (n) notée f par : f = f et pour tout n ∈ N : si f est dérivable sur I on note f = f (n−1) Définition 7. On dit qu’une fonction f est de classe Dn (n ∈ N∗ ) sur I lorsque f est dérivables sur I et que pour tout p ∈ [[1; n − 1]], la dérivée pième est définie sur I et f (n−1 est dérivable sur I Définition 8. Soit n ∈ N∗ . ON dit que f est de classe C n sur I quand elle est de classe Dn sur I et si f (n ) est continue sur I. Par analogie, on dit que f est de classe C 0 sur I lorsqu’elle est continue. Notation : • Dn (I) est l’ensemble des fonctions de classe Dn sur I (n ≥ 1) • C n (I) est l’ensemble des fonctions de classe C n sur I (n ≥ 1) Par analogie, on note aussi C 0 (I) l’ensemble de fonctions continues sur I. On verra dans le cours d’algèbre : Proposition 1. Pour tout n ≥ 1, Dn (I) et C n (I) sont des sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel RI Théorème 14. Formule de Leibniz Soient n ∈ N et f et g deux fonctions de Dn alors f.g appartient à Dn (I) et ! n X n (p (n−p) (n) (f g) = f )g p=0 p L1/S1 - MATH 104 - Mathématiques J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion