Chapitre VII : Dérivation 1 Dérivabilité d`une fonction en un réel x0

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques
Chapitre VII : Dérivation
Notations : On reprend dans ce chapitre les notations du chapitre précédent : soit Iun intervalle
non vide, on note ˚ Il’intérieur de I. Si x0est un nombre réel, on notera Ix0un voisinage de x0(i.e.
un intervalle ouvert contenant x0), et I∗
x0=Ix0r{x0}. Si x0= +∞, alors Ix0désigne un intervalle
ouvert du type ]γ; +∞[et si x0=−∞,Ix0=] − ∞;γ[.
1 Dérivabilité d’une fonction en un réel x0
Rappels : Soit fune fonction définie sur un intervalle I, et a<bdeux réels de I. On appelle
taux d’accroissement de f(ou taux de variation de f, ou accroissement moyen de f) entre aet
ble rapport f(b)−f(a)
b−a. Dans un repère orthogonal, ce rapport est le coefficient directeur de la
droite (AB)où A(a, f(a)) et B(b, f(b)).
A
B
~ı
~jxB−xA
yB−yA
xAxB
yA
yB
m=yB−yA
xB−xA
=f(b)−f(a)
b−a
y=mx +p
Figure 1 – Accroissement moyen entre aet b
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Définition 1. Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert Iet x0un réel appartenant
àI.fest dite dérivable en x0si ∆f(x,x0)=f(x)−f(x0)
x−x0
admet une limite réelle (= finie) `
lorsque xtend vers x0(x6=x0).
Dans ce cas, cette limite est notée f0(x0)et est appelée nombre dérivé de fen x0.
Remarque : ∆f(x,x0)représente le coefficient directeur de la sécante (MM0)où M(x, f (x)) et
M0(x0, f(x0)). Dire que ∆f(x,x0)possède une limite quand xtend vers x0revient à dire que la
courbe représentative de fpossède au point M0une tangente de coefficient directeur f0(x0).
(tangente non verticale)
Ainsi, lorsque fest dérivable en x0, l’équation de la tangente à Cfau point M0est y=
f0(x0)(x−x0) + f(x0)(remarquer que cette droite a pour coefficient directeur f0(x0)et passe par
M0).
Exemples 1.
1. Soit f:f(x) = x2. Pour x0= 1, on a ∆f(x,1) =x2−1
x−1=x+ 1 donc lim
x→1∆f(x,1) = 2.fest
dérivable en 1et f0(1) = 2. La tangente à Cfau point A(1,1) a pour équation : y= 2x+ 1
2. Soit f:f(x) = |x−1|. Pour x0= 1, on a ∆f(x,1) =|x−1|
x−1= 1 si x > 1et −1si x < 1.
Donc ∆f(x,1) ne possède pas de limite en x0= 1 et fn’est pas dérivable en 1.
Remarque : Avec le changement de variable x0=x+h, on a l’énoncé suivant : fest dérivable en
x0si et seulement si f(x0+h)−f(x0)
hadmet une limite finie lorsque htend vers zéro et h6= 0.
Théorème 1. Théorème d’approximation affine
Soit fdéfinie sur Ix0.fest dérivable en x0si et seulement s’il existe une fonction εdéfinie
sur Ix0, continue en x0, telle que ε(x0) = 0 et un nombre réel Atels que :
∀x∈Ix0f(x) = f(x0) + A(x−x0)+(x−x0)ε(x) (∗)
Figure 2 – Approximation affine
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Définition 2. Soit fune fonction définie sur Ix0. Si le taux d’accroissement de fa une limite
finie à droite (respectivement à gauche) en x0,fest dite dérivable à droite (resp. à gauche) de x0.
On note f0
d(x0) = lim
x→x0
x>x0
f(x)−f(x0)
x−x0
et f0
g(x0) = lim
x→x0
x<x0
f(x)−f(x0)
x−x0
.
REMARQUE IMPORTANTE : Une fonction peut très bien être dérivable à droite et à
gauche en x0mais ne pas être dérivable en x0. (Voir par l’exemple ci-dessus : f0
d(2) = 0 et
f0
g(2) = −2).
Exemple 2.
Figure 3 – Point anguleux
Autres exemples de non-dérivabilité Exemple 3.
Figure 4 – Point de rebroussement
Figure 5 – Tangente verticale
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Théorème 2. Une fonction fdéfinie sur Ix0est dérivable en x0si et seulement si fest dérivable
à gauche et à droite de x0et f0
d(x0) = f0 g(x0).
Théorème 3. Soit fune fonction définie sur Ix0. Si fest dérivable en x0alors fest continue
en x0.
la réciproque est fausse : penser à la fonction « valeur absolue » qui est continue, mais non
dérivable en zéro.
2 Fonction dérivée sur un intervalle
Définition 3. Soit fune fonction définie sur un intervalle I. Si fest dérivable en tout réel de I
(si I= [a, b]est fermé on convient alors de supposer que fest dérivable à droite en aet à gauche
en b) on dit que fest dérivable sur Iet on peut alors définir la fonction dérivée de f, notée f’,
sur Ipar :
f0:I−→ R
x7−→ f0(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
Définition 4. Fonctions dérivées d’ordres supérieurs
Soit fune fonction définie et dérivable sur un intervalle Iet f0sa fonction dérivée. Si f0est
elle-même dérivable sur I, on peut considérer la fonction dérivée de f0, notée f00 ou f(2), définie
sur I. S’il est possible de réitérer cette opération nfois, on peut alors définir sur I, la fonction
dérivée nième , notée f(n).
Exercices 1.
1. Déterminer toutes les dérivées successives de f:f(x)=4x3−5x2+ 2x−1
2. Soit f:f(x)=5e−2x. Déterminer la dérivée nième de fsur R.
Les étudiants doivent connaître le tableau des fonctions dérivées des fonctions de références
suivantes : (à compléter avec les résultats que vous verrez dans le chapitre suivant)
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f:f(x) = ... f0(x) = ... Ensemble de validité
ax +b a R
xn(n∈N∗)nxn−1R
xn(n∈Z∗)nxn−1]− ∞; 0[∪]0; +∞[
√x1
2√x]0; +∞[
xα(α∈R∗)αxα−1]0; +∞[
exexR
ln x1
x]0; +∞[
ax(a∈R∗
+) (ln a)ax]0; +∞[
Opérations usuelles Soient fet gdeux fonctions dérivables sur un intervalle I: alors les fonctions
f+g,k.f (où k∈R) et f g sont dérivables sur I: Si de plus gne s’annule pas sur I,1
get f gsont
dérivables sur I
Fonction Dérivée Condition
f+g f0+g0
k.f k.f0k∈R
f×g f0×g+f×g0
1
g−g0 g2∀x∈I, g(x)6= 0
f
g
f0×g−f×g0
g2∀x∈I, g(x)6= 0
Théorème 4. Dérivée d’une fonction composée
Soient fet gdeux fonctions dérivables sur respectivement Iet Jtels que f(I)⊂J. Alors la
fonction composée g◦fest dérivable sur Iet pour tout x∈I,
g◦f0(x) = f0(x)×g0◦f(x)
On obtient ainsi les dérivées suivantes :
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