nN
n=a2+b2a, b N
Σ = {nN/a, b Nn=a2+b2}.
Z[i] = {a+ib C/ a, b Z}
N(a+ib) = |z|2=a2+b2
pN
pΣp= 2 p1 [4].
pΣpZ[i].
pΣp=a2+b2= (a+ib)(aib)p
a6= 0 b6= 0 a+ib a ib Z[i]=
{1,1, i, i}pZ[i]
p=zz0z, z06∈ Z[i]={1,1, i, i}N(p) =
N(z)N(z0) = p2N(z), N(z0)6= 1 p=N(z) = N(z0)
p=N(z) = N(a+ib) = a2+b2Σ
Z[i]
pZ[i](p)
Z[i]/(p).
Z[i]
=Z[X]/(X2+ 1) ϕ:Z[X]Z[i]
ϕ(X) = i ϕ P Z[X]
ϕ(P) = 0 P X2+1 P= (X2+1)Q+R
ϕ(P)=0 R(i)=0 R61 (1, i)
R= 0 Ker(ϕ)=(X2+ 1) Z[X]/Ker(ϕ)
=Z[i]
Z[i]/(p)
=Z[X]/(X2+ 1)/(p)
=Z[X]/(X2+ 1, p)
=Z[X]/(p)/(X2+ 1)
=(Z/pZ)[X]/(X2+ 1) = Fp[X]/(X2+ 1).
Z[i]/(p)Fp[X]/(X2+ 1)
(X2+ 1)
X2+ 1 Fp,
Fp
Fp[X]
X2+ 1 FpX2+ 1 Fp
⇒ −1F
p
p= 2 p1 [4].
p6= 2 q=p
q=prr>1
ϕ:F
qF2
q
x7−x2
F2
q={xF
q/yF
q, x =y2} {−1,1}
X211 1
Im(ϕ) = F2
q
=F
q/Ker(ϕ) Card(F2
q) = q1
2
F2
q=nxFq/ xq1
2= 1o.
X6q1
2
Xq1
21xF2
qx=y2
xq1
2=yq1= 1 F2
qX
1F2
p(1)p1
2= 1 p1
2p1 [4].
nNn6= 1 n
n=Qp∈P pvp(n)
nΣvp(n)p3 [4].
nΣ
nΣ⇒ ∃zZ[i]n=N(z).
N n, n0Σn=N(z)n0=N(z0)
nn0=N(zz0)Σ
n
pipiΣpi= 2 pi1 [4] pi3 [4] p2
iΣ
Σp2
i=p2
i+ 0
p3 [4] vp(n)
vp(n)vp(n)=0 p n =a2+b2= (a+ib)(aib)
p6∈ Σp3 [4] p
Z[i]p(a+ib) (aib)p p
a b a =pa0b=pb0n
p2=a02+b02Σvpn
p2=vp(n)2
vp(n)
f:AB
I= Ker(f)JI A p :AA/J
f:A/J B f =fp
f J =I
f f
Im(f)
=A/Ker(f)
FpFpFp
1Fp{0}1
x6= 0 x1x= 1 FpFp{0}= (0)
Fp= (1) Fp
Z[i]={−1,1,i, i}
zZ[i]z0Z[i]zz0= 1 N(zz0) =
N(z)N(z0) = N(1) = 1 N(z), N(z0)NN(z) = N(z0)=1
z=a+ib a2+b2= 1
Z[i]N
z, t Z[i]\{0}z t
z
tCz
tq
z
t=x+iy q =a+ib a b x y
z
tq=p(xa)2+ (yb)26s1
22
+1
22
=2
2<1.
r=zqt Z[i]|r|=|t|z
tq<|t|
N(r)< N(t)z=qt +r N(r)< N(t)
Z[i]/(p)
=(Z/pZ)[X]/(X2+ 1).
ϕ:Z[i](Z/pZ)[X]/(X2+ 1)
a+ib 7−a+bΠ(X)
Π : (Z/pZ)[X](Z/pZ)[X]/(X2+ 1)
ϕ(p) = pZ[i]
A
(p)p
A p
(p)
(p)p=ab ab (p)
(p)a(p)b(p)
a(p)p a a =pc c A p =ab =pbc A
bc = 1 i.e. b Ap
p ab (p)kA ab =kp
A a, b k
ab kp p a b a (p)b(p)
(p)
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