C[X, Y ] - ENS Rennes

Développement: C[X, Y ]/(Y−X2)et C[X, Y ]/(XY −1)
sont principaux
Adrien Fontaine
8 avril 2013
Référence : Serge Francinou, Hervé Gianella, Exercices de Mathématiques pour l’agrégation,
Algèbre 1
1C[X, Y ]/(Y−X2)est principal
Le polynôme Y−X2est irréductible dans C[X, Y ]car irréductible dans C[X][Y](unitaire
de degré 1). Donc, (Y−X2)est premier (Cest factoriel, donc C[X, Y ]aussi, donc les notions
d’élément premiers et irréductibles coïncident dans C[X, Y ]). Donc, C[X, Y ]/(Y−X2)est intègre.
Soit ψ:P(X, Y )∈C[X, Y ]7→ P(T, T 2)∈C[T].ψest un morphisme d’anneau. De plus, comme
ψ(X) = T,ψest surjectif.
Il est par ailleurs clair que (Y−X2)⊂Ker(ψ).
Montrons l’inclusion réciproque. Soit P(X, Y )∈Ker(ψ). On remarque que le coefficient dominant
de Y−X2en tant qu’élément de C[X][Y]est 1, qui est donc inversible dans C[X]. Donc, on peut
effectuer la division euclidienne de P(X, Y )par Y−X2.
Donc, il existe Q(X, Y )et R(X, Y )∈C[X, Y ]tels que
P(X, Y ) = (Y−X2)Q(X, Y ) + R(X, Y )
avec de plus degY(R) = 0. Autrement dit, R(X, Y ) = R(X)∈C[X]. On a alors :
ψ(P) = 0 = P(T, T 2) = R(T)
Donc, R= 0 et P∈(Y−X2). D’où, l’inclusion réciproque.
On a donc un isomorphisme
C[X, Y ]/(Y−X2)'C[T]
Or, C[T]est principal (il est même euclidien puisque Cest un corps).
2C[X, Y ]/(XY −1) est principal
De même que précédemment, XY −1est irréductible dans C[X, Y ], donc C[X, Y ]/(XY −1)
est intègre.
On considère le morphisme d’anneau ψ:P(X, Y )∈C[X, Y ]7→ P(T, 1
T)∈C(T).
On a clairement (XY −1) ⊂Ker(ψ).
Montrons l’inclusion réciproque. Soit P(X, Y )∈Ker(ψ). Contrairement au cas précédent, on ne
peut effectuer la division euclidienne de P(X, Y )par XY −1car ni X, ni Yne sont inversibles
1

2C[X, Y ]/(XY −1) EST PRINCIPAL 2
dans C[X]et C[Y]respectivement. Pour remédier à cela, on se place dans C(X)[Y](de telle sorte
que désormais Xest bien un élément inversible de C(X)). On peut donc effectuer la division
euclidienne (dans C(X)[Y]!) :
P(X, Y ) = (XY −1)Q(Y) + R(X)
où, Qest un polynôme à coefficients dans C(X)et R∈C(X). En multipliant par A(X), le ppcm
du dénominateur de R(X)et des dénominateurs des coefficients de Q, on obtient
A(X)P(X, Y )=(XY −1)Q0(Y) + R0(X)
Alors, si ψ(P)=0, on a :
ψ(A(X)P(X, Y )) = A(T)ψ(P(X, Y )) = 0 = R0(T)
Donc, P∈(XY −1). Et donc, Ker(ψ)=(XY −1).
Enfin, Im(ψ) = C[T, 1
T].
Donc, C[X, Y ]/(XY −1) 'C[T, 1
T].
Il nous reste à montrer que C[T, 1
T]est principal. En fait, on va même montrer qu’il est euclidien,
ce qui nous permettra de conclure.
Pour cela, notons F={1, T, T 2, ..., T k, ...}. On a alors :
C[T, 1
T] = {P Q∈C(T), P ∈C[T], Q ∈F}:= F−1C[T]
Montrons que F−1C[T]est un anneau euclidien. Tout d’abord, il est clair que c’est un sous-anneau
de C(T).
C[T]est principal, de stathme le degré. Soit x∈F−1C[T]. On note :
ν(x) = inf{deg(Tnx), n ∈Tnx, et Tnx∈C[T]}
xs’écrit P
Tkavec P∈C[T],P(0) 6= 0 et k∈N. Donc,
ν(x) = ν(P
Tk) = inf
n≥k{deg(Tn−kP}= inf
n≥0deg(TnP) = deg(P)
Montrons que F−1C[T]est euclidien pour ν. Soient (x, y)∈F−1C[T]2,y6= 0. On écrit xet y
sous la forme x=P
Tk1et y=Q Tk2avec P1(0) et P2(0) 6= 0.
Alors,
∃Q, R ∈C[T]/P1=QP2+Ravec deg(R)< deg(P2)
Donc : P
Tk1= (QTk2 Tk1
)P2
Tk2+R Tk1
C’est à dire
x=y(QTk2
Tk1) + R Tk1
De plus,
ν(R
Tk1)≤deg(R)< deg(P2) = ν(y)
Ce qui termine la preuve du fait que F−1C[T]est euclidien.
En particulier, C[X, Y ]/(XY −1) est euclidien, donc principal.