C[X, Y ] - ENS Rennes

Développement: C[X, Y ]/(Y − X 2) et C[X, Y ]/(XY − 1)
sont principaux
Adrien Fontaine
8 avril 2013
Référence : Serge Francinou, Hervé Gianella, Exercices de Mathématiques pour l’agrégation,
Algèbre 1
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C[X, Y ]/(Y − X 2) est principal
Le polynôme Y − X 2 est irréductible dans C[X, Y ] car irréductible dans C[X][Y ] (unitaire
de degré 1). Donc, (Y − X 2 ) est premier (C est factoriel, donc C[X, Y ] aussi, donc les notions
d’élément premiers et irréductibles coïncident dans C[X, Y ]). Donc, C[X, Y ]/(Y − X 2 ) est intègre.
Soit ψ : P (X, Y ) ∈ C[X, Y ] 7→ P (T, T 2 ) ∈ C[T ]. ψ est un morphisme d’anneau. De plus, comme
ψ(X) = T , ψ est surjectif.
Il est par ailleurs clair que (Y − X 2 ) ⊂ Ker(ψ).
Montrons l’inclusion réciproque. Soit P (X, Y ) ∈ Ker(ψ). On remarque que le coefficient dominant
de Y − X 2 en tant qu’élément de C[X][Y ] est 1, qui est donc inversible dans C[X]. Donc, on peut
effectuer la division euclidienne de P (X, Y ) par Y − X 2 .
Donc, il existe Q(X, Y ) et R(X, Y ) ∈ C[X, Y ] tels que
P (X, Y ) = (Y − X 2 )Q(X, Y ) + R(X, Y )
avec de plus degY (R) = 0. Autrement dit, R(X, Y ) = R(X) ∈ C[X]. On a alors :
ψ(P ) = 0 = P (T, T 2 ) = R(T )
Donc, R = 0 et P ∈ (Y − X 2 ). D’où, l’inclusion réciproque.
On a donc un isomorphisme
C[X, Y ]/(Y − X 2 ) ' C[T ]
Or, C[T ] est principal (il est même euclidien puisque C est un corps).
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C[X, Y ]/(XY − 1) est principal
De même que précédemment, XY − 1 est irréductible dans C[X, Y ], donc C[X, Y ]/(XY − 1)
est intègre.
On considère le morphisme d’anneau ψ : P (X, Y ) ∈ C[X, Y ] 7→ P (T, T1 ) ∈ C(T ).
On a clairement (XY − 1) ⊂ Ker(ψ).
Montrons l’inclusion réciproque. Soit P (X, Y ) ∈ Ker(ψ). Contrairement au cas précédent, on ne
peut effectuer la division euclidienne de P (X, Y ) par XY − 1 car ni X, ni Y ne sont inversibles
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2 C[X, Y ]/(XY − 1) EST PRINCIPAL
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dans C[X] et C[Y ] respectivement. Pour remédier à cela, on se place dans C(X)[Y ] (de telle sorte
que désormais X est bien un élément inversible de C(X)). On peut donc effectuer la division
euclidienne (dans C(X)[Y ] !) :
P (X, Y ) = (XY − 1)Q(Y ) + R(X)
où, Q est un polynôme à coefficients dans C(X) et R ∈ C(X). En multipliant par A(X), le ppcm
du dénominateur de R(X) et des dénominateurs des coefficients de Q, on obtient
A(X)P (X, Y ) = (XY − 1)Q0 (Y ) + R0 (X)
Alors, si ψ(P ) = 0, on a :
ψ(A(X)P (X, Y )) = A(T )ψ(P (X, Y )) = 0 = R0 (T )
Donc, P ∈ (XY − 1). Et donc, Ker(ψ) = (XY − 1).
Enfin, Im(ψ) = C[T, T1 ].
Donc, C[X, Y ]/(XY − 1) ' C[T, T1 ].
Il nous reste à montrer que C[T, T1 ] est principal. En fait, on va même montrer qu’il est euclidien,
ce qui nous permettra de conclure.
Pour cela, notons F = {1, T, T 2 , ..., T k , ...}. On a alors :
C[T,
P
1
] = { ∈ C(T ), P ∈ C[T ], Q ∈ F } := F −1 C[T ]
T
Q
Montrons que F −1 C[T ] est un anneau euclidien. Tout d’abord, il est clair que c’est un sous-anneau
de C(T ).
C[T ] est principal, de stathme le degré. Soit x ∈ F −1 C[T ]. On note :
ν(x) = inf {deg(T n x), n ∈ T n x, et T n x ∈ C[T ]}
x s’écrit
P
Tk
avec P ∈ C[T ], P (0) 6= 0 et k ∈ N. Donc,
ν(x) = ν(
P
) = inf {deg(T n−k P } = inf deg(T n P ) = deg(P )
n≥0
n≥k
Tk
Montrons que F − 1C[T ] est euclidien pour ν. Soient (x, y) ∈ F −1 C[T ]2 , y 6= 0. On écrit x et y
sous la forme x = TPk1 et y = TQk2 avec P1 (0) et P2 (0) 6= 0.
Alors,
∃Q, R ∈ C[T ]/P1 = QP2 + R avec deg(R) < deg(P2 )
Donc :
Tk P2
R
P
= (Q 2 ) k2 + k1
k
1
T
Tk1 T
T
C’est à dire
x = y(Q
T k2
R
)
+
k
T 1
T k1
De plus,
R
) ≤ deg(R) < deg(P2 ) = ν(y)
T k1
Ce qui termine la preuve du fait que F −1 C[T ] est euclidien.
En particulier, C[X, Y ]/(XY − 1) est euclidien, donc principal.
ν(