continuité d`une fonction vectorielle

continuité d’une fonction vectorielle
Dans tout le chapitre Eet Fsont des espaces vectoriels normés.
Le but est donc de généraliser les notions de limites et continuité à des fonctions à variables et/ou valeurs vectorielles.
En pratique, l’étude s’appliquera :
— aux fonctions numériques d’une ou plusieurs variables réelles ;
— aux fonctions d’une variable complexe (z7→ 1/z,z7→ ez…)
— aux applications d’une variable matricielle (M7→ det(M),M7→ M−1, …)
— aux applications linéaires ou multilinéaires...
I — Limite d’une fonction vectorielle
1) Définitions et caractérisation séquentielle
Soit f:D⊂E→F,a∈Det `∈F. On suppose Dnon borné dans les définitions avec kxk → ∞.
(1) : f(x)−→
x→a`⇐⇒ ∀ε > 0,∃δ > 0tq ∀x∈D, (dE(x, a)6δ⇒dF(f(x), `)6ε).
(2) : kf(x)k−→
x→a∞ ⇐⇒ ∀M∈R,∃δ > 0tq ∀x∈D, (dE(x, a)6δ⇒ kf(x)kF>M).
(3) : f(x)−→
kxk→∞ `⇐⇒ ∀ε > 0,∃M∈Rtq ∀x∈D, (kxkE>M⇒dF(f(x), `)6ε).
(4) : kf(x)k −→
kxk→∞ ∞ ⇐⇒ ∀M∈R,∃N∈Rtq ∀x∈D, (kxkE>N⇒ kf(x)kF>M).
(5) : Définition générique : pour tout voisinage Vde `, l’image réciproque −1 f(V) = {x∈E|f(x)∈V}est un
voisinage relatif de a.
(6) : Cas particulier : extension aux limite à droite et/ou limite à gauche quand D⊂R.
Définitions : limite d’une fonction vectorielle lorsque xtend vers a:(1)
(1) : f(x)−→
x→a`⇐⇒ pour toute suite (xn)∈DNtelle que xn−→ n→∞ a, on a f(xn)−→ n→∞ `.
(2) : f(x)/−→
x→a`⇐⇒ ∃ε > 0et (xn)∈DNtelle que xn−→ n→∞ aet d(f(xn), `)>ε.
(3) : kf(x)k/−→
x→a∞ ⇐⇒ ∃(xn)∈DNtelle que xn−→ n→∞ aet (f(xn)) est bornée.
Théorème : caractérisation séquentielle (2)
Étudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes :
1. f(x, y) = xy
x2+y2
2. f(x, y) = x2+y2
x−y
3. f(x, y) = tan x2y
x2+y2
4. f(x, y) = sin x2y2
x2+y2
5. f(x, y) = 1−cos(xy)
xy2
6. f(x, y) = xy= eyln x
7. f(x, y) = sh xsh y
x+y
8. f(x, y) = sin x−sh y
sh x−sin y
Attention : pour étudier lim(x,y)→(0,0) f(x, y), il NE SUFFIT PAS d’étudier limx→0limy→0f(x, y)...
Exercice 1 : Limites vectorielles
2) Propriétés
(1) : La notion de limite est inchangée si on remplace les normes de Eet Fpar des normes équivalentes. Lorsque
Eet Fsont de dimensions finies, cette notion est intrinsèque.
(2) : Unicité d’une limite éventuelle. Si a∈Det f(x)−→
x→a`alors `=f(a).
(3) : Si fa une limite finie en aalors il existe un voisinage relatif de asur lequel fest bornée.
Propriétés (3)
1

(1) : La limite d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des limites.
(2) : Si (F, +,×, .)est une algèbre normée, la limite d’un produit est le produit des limites,
(3) : Limite d’une composée : soit f:D→F,g:D0→Gavec f(D)⊂D0. Soit a∈D.
Si f(x)−→
x→abet g(y)−→
y→b`, alors g◦f(x)−→
x→a`
(4) : En particulier, si f(x)−→
x→a`, alors kf(x)k−→ x→ak`k.
Opérations sur les limites (4)
Si Fest de dimension finie, en notant f(x) = (f1(x), f2(x), . . . fn(x)) dans une base (e1, e2. . . , en)de F,ilya
équivalence entre :
(1) : la fonction vectorielle fconverge en a
(2) : les fonctions coordonnées fi:E→Kconvergent en a
Et dans ce cas, lim
x→af(x) = lim x→af1(a),lim x→af2(a). . . lim x→afn(a)=
n
X
i=1
lim
x→afi(a)·ei
En particulier, une fonction à valeurs complexes f:D→Cconverge en a∈D⇔Re(f)et Im(f)convergent en
aet alors lim
a(f) = lim a(Re f) + lim a(Im f).
Applications coordonnées en dimension finie (5)
Si F=F1×F2×. . . Fn, en notant f(x) = (f1(x), f2(x), . . . fn(x)) avec fi(x)∈Fi, il y a équivalence entre :
(1) : la fonction vectorielle fconverge en a
(2) : les fonctions vectorielles fi:E→Ficonvergent en a
Et dans ce cas, lim
x→af(x) = lim x→af1(a),lim x→af2(a). . . lim x→afn(a).
Généralisation au cas Fest un espace produit : (6)
3) Comparaisons de fonctions
Soient fet gdes fonctions vectorielles et φune fonction réelle.
On dit que fest négligeable devant φau voisinage de alorsque :
(1) : f(x) = o(φ(x)) ⇐⇒ ∀ε > 0,∃δ > 0tel que ∀x∈D,d(x, a)6δ⇒ kf(x)k6φ(x)(φpositive).
On dit que fest dominée devant φau voisinage de alorsque :
(2) : f(x) = O(φ(x)) ⇐⇒ ∃M∈R,∃δ > 0tel que ∀x∈D,d(x, a)6δ⇒ kf(x)k6Mφ(x)(φpositive).
On dit que fet gsont équivalentes au voisinage de alorsque :
(3) : f(x)∼g(x)⇐⇒ f(x)−g(x) = o(kg(x)k)(c’est une relation d’équivalence).
Comparaison asymptotique (7)
Si φest à valeurs strictement positives :
(1) : f(x) = o(φ(x)) ⇐⇒ f(x)/φ(x)−→
x→a0.
(2) : f(x) = O(φ(x)) ⇐⇒ (f(x)/φ(x)) est bornée.
(3) : f(x)∼φ(x)⇐⇒ f(x)/φ(x)−→
n→∞ 1.
Dans ce dernier cas de l’équivalence, fest réelle et
f(x)>0pour tout xproche de a.
(4) : f(x)−→
x→a`⇐⇒ f(x)−`=o(1).
(5) : En particulier, f(x)−→
x→a0⇐⇒ f(x) = o(1).
(6) : fest bornée au voisinage de a⇐⇒ f(x) = O(1).
Caractérisations / Propriétés (8)
L’équivalence entre fonctions à valeurs réelles est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à
une puissance constante. Pour toute autre opération entre fonctions équivalentes, écrire f(x) = g(x) + o(kg(x)k),
substituer et simplifier.
Théorème/Méthode (9)
2

II — Continuité et continuité uniforme.
1) Continuité
Soit fune fonction définie en a.
(1) : fest continue en a⇐⇒f(x)−→
x→af(a)⇐⇒fa une limite en a(dans ce cas, cette limite ne peut être que f(a)...).
(2) : fest continue sur D⇐⇒∀a∈D,f(x)−→
x→af(a).Notation : C(D, F ).
Définitions (10)
(1) : Caractérisation séquentielle de la continuité en a:f:D→Fest continue en a∈D⇔
∀(xn)N∈DN, xn−→
n→+∞a⇒f(xn)−→ n→+∞f(a)
(2) : La combinaison linéaire de fonctions continues est une fonction continue.
(3) : La composée d’une fonction continue est une fonction continue.
(4) : Si Fest une algèbre,le produit de fonctions continues est une fonction continue.
(5) : Si Fest un corps, le quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas est une
fonction continue.
(6) : Continuité des applications coordonnées :
Si Fest de dimension finie, alors f:D→Fest continue si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées
dans une base de Fle sont.
(7) : Généralisation : Si F=F1×F2×. . . ×Fnest un espace produit, alors f:D→Fest continue si et
seulement si toutes ses fonctions coordonnées à valeurs dans chaque File sont.
Propriétés (11)
Pour Equelconque :
— les fonctions constantes sont continues.
— la fonction IdE: (E, k kE)→(E, k kE)est
continue.
— la fonction IdE: (E, N1)→(E, N2)est conti-
nue ⇔N1est une norme plus fine que N2.
— la fonction k kE: (E, k kE)→(E, k kE)est
continue.
— la fonction dA:x7→ d(x, A)est continue.
— toute fonction lipschitzienne est continue.
Pour Ede dimension finie : dans toute base :
— les fonctions coordonnées sont continues,
— toute fonction polynomiale en les coordonnées
est continue,
— les fonctions rationnelles en les coordonnées est
continue
— la multiplication, la transposition, la trace, le
déterminant dans Mnp(K)sont des fonctions
continues
— la fonction A7→ A−1=1
det(A)
t
com(A)est
continue sur GLn(K)comme fraction ration-
nelle en les coefficients de A.
Exemples (12)
Soit (E, k k)un evn et a∈E\ {0}.
Soit l’application f:E→Rtelle que f(x) = kx−aksi kxk6kaket f(x) = 0 si kxk>kak
Montrer que fest continue en amais que fn’est pas continue en −a.
Exercice 2 : Exemple et contre exemple
Soient f:R→Rune fonction de classe C1et F:R2→Rla fonction définie par
F(x, y) = ®f(x)−f(y)
x−ysi y6=x
f0(x)si y=x
Montrer que la fonction Fest continue.
Exercice 3 :
(1) : Si f:D→Rest continue sur Det positive ou nulle sur une partie dense dans Dalors fest positive ou
nulle sur D. Contre-exemple avec strictement positive .
(2) : Si f:D→Fest continue sur Det nulle sur une partie dense dans Dalors fest nulle sur D.
Prolongement des inégalités (13)
3

Soit f:D→F.
(1) : la fonction fest continue sur D⇔l’image réciproque par fde tout ouvert de Fest un ouvert relatif de D
(2) : la fonction fest continue sur D⇔l’image réciproque par fde tout fermé de Fest un fermé relatif de D.
Caractérisation par les images réciproques d’ouverts ou de fermés (14)
(1) : pour f:E→Rcontinue, l’ensemble {xtel que f(x)>0}est ouvert et {xtel que f(x)>0}est fermé.
(2) : En particulier, GLn(K) = {Mtel que |det(M)|>0}est ouvert et On(R) = {Mtel que kt MM −Ink60}
est fermé. Étant borné en dimension finie, il est donc compact.
Applications : (15)
Ne pas confondre image réciproque et image directe.
On dit que fest ouverte si l’image directe de tout ouvert de Eest un ouvert de F.
La fonction f1:x7→ bxcest ouverte de Rdans Z, mais n’est pas continue.
La fonction f2:x7→ x2est continue de Rdans Rmais n’est pas ouverte.
Remarque (16)
2) Prolongement par continuité
(1) : Si fconverge vers `∈Fen a∈A\A, alors l’application ˜ f:A∪ {a} → Ftelle que ˜ f(x) = f(x)si x∈A
et ˜ f(a) = `est continue en aet s’appelle prolongement de fpar continuité en a.
(2) : Par unicité de la limite, ce prolongement est unique. On parle donc du prolongement de fpar continuité
en a
Définition (17)
Soit fdéfinie et continue sur une partie Ddense dans A. On considère ˜ fdéfinie sur Apar ˜ f(x) = limxf.
(1) : Montrer que ˜ fprolonge fet (par exemple par caractérisation séquentielle) que ˜ fest continue sur A.
(2) : Montrer que si fet gsont deux applications continues de Adans Fcoïncident sur une partie dense Ddans
A, alors elles sont égales.
(3) : Soit f:E→Fcontinue avec Eet Fdeux Respaces vectoriels. Montrer que fest linéaire si et seulement
si ∀(x, y)∈E2, f(x+y) = f(x) + f(y).
Exercice 4 : Densité / continuité
3) Continuité des applications linéaires et bilinéaires
Si f∈ L(E, F ), il y a équivalence entre :
(1) : fest continue
(2) : la restriction de fàB(0,1) est bornée
(3) : il existe k∈Rtel que : ∀x∈E,kf(x)k6kkxk.
Si fbilinéaire :E1×E2→F, il y a équivalence entre :
(4) : fest continue
(5) : la restriction de fàB1(0,1) ×B2(0,1) est bornée
(6) : il existe k∈Rtel que :
∀(x, y)∈E1×E2,kf(x, y)k6kkxkkyk.
Théorème (18)
Toute application linéaire dont l’espace de départ est de dimension finie est continue.
Toute application bilinéaire dont les espaces de départ sont de dimensions finies est continue.
On note Lc(E, F )l’espace vectoriel des applications linéaires continues de Edans F.
Dimension finie et continuité (19)
4

Déterminer si les applications linéaires ou bilinéaires suivantes sont continues :
(1) : e∞: (C([0,1],R),k k∞)→(R,|.|)telle que e∞:f7→ f(0).
(2) : e1: (C([0,1],R),k k1)→(R,|.|)telle que e1:f7→ f(0).
(3) : p∞: (C([0,1],R),k k∞)2→(C([0,1],R),k k∞)telle que p∞: (f, g)7→ f·g.
(4) : p1: (C([0,1],R),k k1)2→(C([0,1],R),k k1)telle que p1: (f, g)7→ f·g.
(5) : δ:C∞([0,1],R)→ C∞([0,1],R)telle que δ(f) = f0(peu importe la norme)
- on pourra remarquer que toute fonction linéaire continue doit avoir un spectre borné -
(6) : La dérivation dans (K[X],k k)avec kPk=|P(0)|+|P0(0)|+|P00(0)|+. . .
(7) : La dérivation dans (K[X],k k∞)avec kPk∞= sup[−1,1]|P|
(8) : Montrer la continuité des fonctions coordonnées dans la base canonique de K[X]et la discontinuité des
fonctions coordonnées dans la base (Xk/kk)k∈Npour la norme précédente.
Exercice 5 : Exemples et contre-exemples en dimension infinie
Soit f∈ L(E, F ). Montrer par contraposition que si pour toute suite (un)convergeant vers 0E, la suite (f(un))
est bornée, alors la fonction fest continue.
Exercice 6 :
III — Continuité sur un compact
1) Généralisation du théorème de l’image continue d’un segment :
Soit Kcompact et f:K−→Fcontinue. On a :
(1) : l’ensemble image f(K)est compact.
(2) : si F=R,fest bornée et atteint ses bornes.
En particulier, si fest continue sur le compact Ket strictement positive, alors il existe une constante mtelle
que 0< m 6f.
Théorème : image continue d’un compact (20)
Soit F= (x1, . . . , xn)une famille finie d’éléments de E. L’enveloppe convexe de la famille Fest par définition
l’ensemble des barycentres à coefficients positifs de x1, . . . , xn, c’est à dire les combinaisons linéaires λ1x1+···+
λnxnavec ∀i, λi>0et Piλi= 1.
(1) : Justifier que K={(λ1, . . . , λn)∈(R+)n|Piλi= 1}est un compact.
(2) : En déduire que l’enveloppe convexe d’une famille finie de points est un compact de E.
Exercice 7 : Enveloppe convexe
2) Continuité uniforme.
a) Rappels.
Soient Eet Fdeux espaces normés et f:E→Fune application. fest dite uniformément continue sur Essi :
∀ε > 0,∃δ > 0,∀(x, y)∈E×E, (kx−ykE6δ⇒ kf(x)−f(y)kF6ε).
Définition (21)
— Une fonction k-lipschitzienne est uniformément continue. Exemple : la fonction norme k kE:x7→ kxkE
.
— Toute fonction dérivable de I⊂R→Rà dérivée bornée est uniformément continue (TAF).
— La fonction x7→ x2est uniformément continue sur tout segment [a, b], mais pas sur R.
— La fonction racine est uniformément continue sur R+car ∀(x, y)∈(R+)2,|√x−√y|6p|x−y|.
— Plus généralement, on dit que fest α-höldérienne pour 0< α 61ssi
∃α, C ∈]0,1] ×R∗
+,∀(x, y)∈E×E, (kf(x)−f(y)kF6Ckx−ykα E)
Toute fonction α-höldérienne pour 0< α 61est uniformément continue.
Exemples (22)
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