continuité d`une fonction vectorielle

continuité d’une fonction vectorielle
Dans tout le chapitre E et F sont des espaces vectoriels normés.
Le but est donc de généraliser les notions de limites et continuité à des fonctions à variables et/ou valeurs vectorielles.
En pratique, l’étude s’appliquera :
— aux fonctions numériques d’une ou plusieurs variables réelles ;
— aux fonctions d’une variable complexe (z 7→ 1/z, z 7→ ez …)
— aux applications d’une variable matricielle (M 7→ det(M ), M 7→ M −1 , …)
— aux applications linéaires ou multilinéaires...
I — Limite d’une fonction vectorielle
1) Définitions et caractérisation séquentielle
Définitions : limite d’une fonction vectorielle lorsque x tend vers a : (1)
Soit f : D ⊂ E → F , a ∈ D et ` ∈ F . On suppose D non borné dans les définitions avec kxk → ∞.
(1) : f (x) −→ `
⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tq ∀ x ∈ D, (dE (x, a) 6 δ ⇒ dF (f (x), `) 6 ε).
x→a
tq ∀ x ∈ D, (dE (x, a) 6 δ ⇒ kf (x)kF > M ).
(2) :
kf (x)k −→ ∞
⇐⇒ ∀ M ∈ R, ∃ δ > 0
(3) :
f (x) −→ `
⇐⇒ ∀ ε > 0,
∃ M ∈ R tq ∀ x ∈ D, (kxkE > M
⇒ dF (f (x), `) 6 ε).
(4) :
kf (x)k −→ ∞ ⇐⇒ ∀ M ∈ R, ∃ N ∈ R tq ∀ x ∈ D, (kxkE > N
⇒ kf (x)kF > M ).
x→a
kxk→∞
kxk→∞
−1
Définition générique : pour tout voisinage V de `, l’image réciproque f (V ) = {x ∈ E|f (x) ∈ V } est un
voisinage relatif de a.
(6) : Cas particulier : extension aux limite à droite et/ou limite à gauche quand D ⊂ R.
(5) :
(1) :
Théorème : caractérisation séquentielle (2)
f (x) −→ `
⇐⇒ pour toute suite (xn ) ∈ DN telle que xn −→ a, on a f (xn ) −→ `.
(2) :
f (x) −→
/ `
(3) :
kf (x)k −→
/ ∞ ⇐⇒ ∃ (xn ) ∈ DN telle que xn −→ a et (f (xn )) est bornée.
x→a
n→∞
⇐⇒ ∃ ε > 0 et (xn ) ∈ DN telle que xn −→ a et d(f (xn ), `) > ε.
x→a
n→∞
x→a
n→∞
Exercice 1 : Limites vectorielles
Étudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes :
1. f (x, y) =
n→∞
xy
x2 +y 2
2. f (x, y) =
x +y
x−y
3. f (x, y) =
tan x2 y
x2 +y 2
2
2
4. f (x, y) =
sin x2 y 2
x2 +y 2
7. f (x, y) =
sh x sh y
x+y
5. f (x, y) =
1−cos(xy)
xy 2
y
y ln x
8. f (x, y) =
sin x−sh y
sh x−sin y
6. f (x, y) = x = e
Attention : pour étudier lim(x,y)→(0,0) f (x, y), il NE SUFFIT PAS d’étudier limx→0 limy→0 f (x, y)...
2) Propriétés
Propriétés (3)
La notion de limite est inchangée si on remplace les normes de E et F par des normes équivalentes. Lorsque
E et F sont de dimensions finies, cette notion est intrinsèque.
(2) : Unicité d’une limite éventuelle. Si a ∈ D et f (x) −→ ` alors ` = f (a).
(1) :
(3) :
x→a
Si f a une limite finie en a alors il existe un voisinage relatif de a sur lequel f est bornée.
1
(1) :
(2) :
(3) :
Opérations sur les limites (4)
La limite d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des limites.
Si (F, +, ×, .) est une algèbre normée, la limite d’un produit est le produit des limites,
Limite d’une composée : soit f : D → F , g : D0 → G avec f (D) ⊂ D0 . Soit a ∈ D.
Si f (x) −→ b et g(y) −→ `, alors g ◦ f (x) −→ `
x→a
(4) :
x→a
y→b
En particulier, si f (x) −→ `, alors kf (x)k −→ k`k.
x→a
x→a
Applications coordonnées en dimension finie (5)
Si F est de dimension finie, en notant f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . fn (x)) dans une base (e1 , e2 . . . , en ) de F , il y a
équivalence entre :
(1) : la fonction vectorielle f converge en a
(2) : les fonctions coordonnées fi : E → K convergent en a
n
X
Et dans ce cas, lim f (x) = lim f1 (a), lim f2 (a) . . . lim fn (a) =
lim fi (a) · ei
x→a
x→a
x→a
x→a
i=1
x→a
En particulier, une fonction à valeurs complexes f : D → C converge en a ∈ D ⇔Re(f ) et Im(f ) convergent en
a et alors lim(f ) = lim(Re f ) + lim(Im f ).
a
a
a
Généralisation au cas F est un espace produit : (6)
Si F = F1 × F2 × . . . Fn , en notant f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . fn (x)) avec fi (x) ∈ Fi , il y a équivalence entre :
(1) : la fonction vectorielle f converge en a
(2) : les fonctions vectorielles
fi : E → Fi convergent en a
Et dans ce cas, lim f (x) = lim f1 (a), lim f2 (a) . . . lim fn (a) .
x→a
x→a
x→a
x→a
3) Comparaisons de fonctions
Comparaison asymptotique (7)
Soient f et g des fonctions vectorielles et φ une fonction réelle.
On dit que f est négligeable devant φ au voisinage de a lorsque :
(1) :
f (x) = o(φ(x)) ⇐⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 tel que ∀ x ∈ D, d(x, a) 6 δ ⇒ kf (x)k 6 φ(x) (φ positive).
On dit que f est dominée devant φ au voisinage de a lorsque :
(2) :
f (x) = O(φ(x)) ⇐⇒ ∃ M ∈ R, ∃ δ > 0 tel que ∀ x ∈ D, d(x, a) 6 δ ⇒ kf (x)k 6 M φ(x) (φ positive).
On dit que f et g sont équivalentes au voisinage de a lorsque :
(3) :
f (x) ∼ g(x)
(c’est une relation d’équivalence).
⇐⇒ f (x) − g(x) = o(kg(x)k)
Caractérisations / Propriétés (8)
Si φ est à valeurs strictement positives :
(1) : f (x) = o(φ(x)) ⇐⇒ f (x)/φ(x) −→ 0.
x→a
f (x) = O(φ(x)) ⇐⇒ (f (x)/φ(x)) est bornée.
(3) : f (x) ∼ φ(x) ⇐⇒ f (x)/φ(x) −→ 1.
n→∞
Dans ce dernier cas de l’équivalence, f est réelle et
f (x) > 0 pour tout x proche de a.
(2) :
(4) :
f (x) −→ ` ⇐⇒ f (x) − ` = o(1).
(5) :
En particulier, f (x) −→ 0 ⇐⇒ f (x) = o(1).
(6) :
f est bornée au voisinage de a ⇐⇒ f (x) = O(1).
x→a
x→a
Théorème/Méthode (9)
L’équivalence entre fonctions à valeurs réelles est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à
une puissance constante. Pour toute autre opération entre fonctions équivalentes, écrire f (x) = g(x) + o(kg(x)k),
substituer et simplifier.
2
II — Continuité et continuité uniforme.
1) Continuité
Définitions (10)
Soit f une fonction définie en a.
(1) : f est continue en a ⇐⇒ f (x) −→ f (a) ⇐⇒ f a une limite en a
x→a
(2) :
(dans ce cas, cette limite ne peut être que f (a)...).
f est continue sur D ⇐⇒ ∀ a ∈ D, f (x) −→ f (a). Notation : C(D, F ).
x→a
Propriétés (11)
Caractérisation séquentielle de la continuité en a : f : D → F est continue en a ∈ D ⇔
∀(xn )N ∈ DN , xn −→ a ⇒ f (xn ) −→ f (a)
(1) :
n→+∞
n→+∞
La combinaison linéaire de fonctions continues est une fonction continue.
(3) : La composée d’une fonction continue est une fonction continue.
(4) : Si F est une algèbre,le produit de fonctions continues est une fonction continue.
(5) : Si F est un corps, le quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas est une
fonction continue.
(6) : Continuité des applications coordonnées :
Si F est de dimension finie, alors f : D → F est continue si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées
dans une base de F le sont.
(7) : Généralisation : Si F = F1 × F2 × . . . × Fn est un espace produit, alors f : D → F est continue si et
seulement si toutes ses fonctions coordonnées à valeurs dans chaque Fi le sont.
(2) :
Exemples (12)
Pour E quelconque :
Pour E de dimension finie : dans toute base :
— les fonctions constantes sont continues.
— les fonctions coordonnées sont continues,
— la fonction IdE : (E, k kE ) → (E, k kE ) est
— toute fonction polynomiale en les coordonnées
continue.
est continue,
— la fonction IdE : (E, N1 ) → (E, N2 ) est conti— les fonctions rationnelles en les coordonnées est
nue ⇔ N1 est une norme plus fine que N2 .
continue
— la fonction k kE : (E, k kE ) → (E, k kE ) est
— la multiplication, la transposition, la trace, le
continue.
déterminant dans Mnp (K) sont des fonctions
— la fonction dA : x 7→ d(x, A) est continue.
continues
1 t
— toute fonction lipschitzienne est continue.
— la fonction A 7→ A−1 =
com(A) est
det(A)
continue sur GLn (K) comme fraction rationnelle en les coefficients de A.
Exercice 2 : Exemple et contre exemple
Soit (E, k k) un evn et a ∈ E \ {0}.
Soit l’application f : E → R telle que f (x) = kx − ak si kxk 6 kak et f (x) = 0 si kxk > kak
Montrer que f est continue en a mais que f n’est pas continue en −a.
Soient f : R → R une fonction de classe C 1 et F : R2 → R la fonction définie par
® f (x)−f (y)
si y 6= x
x−y
F (x, y) =
0
f (x)
si y = x
Exercice 3 :
Montrer que la fonction F est continue.
Prolongement des inégalités (13)
Si f : D → R est continue sur D et positive ou nulle sur une partie dense dans D alors f est positive ou
nulle sur D. Contre-exemple avec strictement positive .
(2) : Si f : D → F est continue sur D et nulle sur une partie dense dans D alors f est nulle sur D.
(1) :
3
Caractérisation par les images réciproques d’ouverts ou de fermés (14)
Soit f : D → F .
(1) : la fonction f est continue sur D ⇔l’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert relatif de D
(2) : la fonction f est continue sur D ⇔l’image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé relatif de D.
Applications : (15)
pour f : E → R continue, l’ensemble {x tel que f (x) > 0} est ouvert et {x tel que f (x) > 0} est fermé.
t
(2) : En particulier, GLn (K) = {M tel que | det(M )| > 0} est ouvert et On (R) = {M tel que k M M − In k 6 0}
est fermé. Étant borné en dimension finie, il est donc compact.
(1) :
Remarque (16)
Ne pas confondre image réciproque et image directe.
On dit que f est ouverte si l’image directe de tout ouvert de E est un ouvert de F .
La fonction f1 : x 7→ bxc est ouverte de R dans Z, mais n’est pas continue.
La fonction f2 : x 7→ x2 est continue de R dans R mais n’est pas ouverte.
2) Prolongement par continuité
Définition (17)
Si f converge vers ` ∈ F en a ∈ A \ A, alors l’application f˜ : A ∪ {a} → F telle que f˜(x) = f (x) si x ∈ A
et f˜(a) = ` est continue en a et s’appelle prolongement de f par continuité en a.
(2) : Par unicité de la limite, ce prolongement est unique. On parle donc du prolongement de f par continuité
en a
(1) :
Exercice 4 : Densité / continuité
Soit f définie et continue sur une partie D dense dans A. On considère f˜ définie sur A par f˜(x) = limx f .
(1) : Montrer que f˜ prolonge f et (par exemple par caractérisation séquentielle) que f˜ est continue sur A.
(2) : Montrer que si f et g sont deux applications continues de A dans F coïncident sur une partie dense D dans
A, alors elles sont égales.
(3) : Soit f : E → F continue avec E et F deux R espaces vectoriels. Montrer que f est linéaire si et seulement
si ∀(x, y) ∈ E 2 , f (x + y) = f (x) + f (y).
3) Continuité des applications linéaires et bilinéaires
Théorème
(18)
Si f ∈ L(E, F ), il y a équivalence entre :
(1) : f est continue
(2) : la restriction de f à B(0, 1) est bornée
(3) : il existe k ∈ R tel que : ∀ x ∈ E, kf (x)k 6 kkxk.
Si f bilinéaire : E1 × E2 → F , il y a équivalence entre :
(4) : f est continue
(5) : la restriction de f à B 1 (0, 1) × B 2 (0, 1) est bornée
(6) : il existe k ∈ R tel que :
∀ (x, y) ∈ E1 × E2 , kf (x, y)k 6 kkxkkyk.
Dimension finie et continuité (19)
Toute application linéaire dont l’espace de départ est de dimension finie est continue.
Toute application bilinéaire dont les espaces de départ sont de dimensions finies est continue.
On note Lc (E, F ) l’espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F .
4
Exercice 5 : Exemples et contre-exemples en dimension infinie
Déterminer si les applications linéaires ou bilinéaires suivantes sont continues :
(1) : e∞ : (C([0, 1], R), k k∞ ) → (R, |.|) telle que e∞ : f 7→ f (0).
(2) : e1 : (C([0, 1], R), k k1 ) → (R, |.|) telle que e1 : f 7→ f (0).
2
(3) : p∞ : (C([0, 1], R), k k∞ ) → (C([0, 1], R), k k∞ ) telle que p∞ : (f, g) 7→ f · g.
2
(4) : p1 : (C([0, 1], R), k k1 ) → (C([0, 1], R), k k1 ) telle que p1 : (f, g) 7→ f · g.
∞
∞
0
(5) : δ : C ([0, 1], R) → C ([0, 1], R) telle que δ(f ) = f (peu importe la norme)
- on pourra remarquer que toute fonction linéaire continue doit avoir un spectre borné 0
00
(6) : La dérivation dans (K[X], k k) avec kP k = |P (0)| + |P (0)| + |P (0)| + . . .
(7) : La dérivation dans (K[X], k k∞ ) avec kP k∞ = sup[−1,1]|P |
(8) : Montrer la continuité des fonctions coordonnées dans la base canonique de K[X] et la discontinuité des
fonctions coordonnées dans la base (X k /k k )k∈N pour la norme précédente.
Exercice 6 :
Soit f ∈ L(E, F ). Montrer par contraposition que si pour toute suite (un ) convergeant vers 0E , la suite (f (un ))
est bornée, alors la fonction f est continue.
III — Continuité sur un compact
1) Généralisation du théorème de l’image continue d’un segment :
Théorème : image continue d’un compact (20)
Soit K compact et f : K −→ F continue. On a :
(1) : l’ensemble image f (K) est compact.
(2) : si F = R, f est bornée et atteint ses bornes.
En particulier, si f est continue sur le compact K et strictement positive, alors il existe une constante m telle
que 0 < m 6 f .
Exercice 7 : Enveloppe convexe
Soit F = (x1 , . . . , xn ) une famille finie d’éléments de E. L’enveloppe convexe de la famille F est par définition
l’ensemble des barycentres
P à coefficients positifs de x1 , . . . , xn , c’est à dire les combinaisons linéaires λ1 x1 + · · · +
λn xn avec ∀i, λi > 0 et i λi = 1.
n P
(1) : Justifier que K = {(λ1 , . . . , λn ) ∈ (R+ ) |
i λi = 1} est un compact.
(2) : En déduire que l’enveloppe convexe d’une famille finie de points est un compact de E.
2) Continuité uniforme.
a) Rappels.
Définition (21)
Soient E et F deux espaces normés et f : E → F une application. f est dite uniformément continue sur E ssi :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀(x, y) ∈ E × E, (kx − ykE 6 δ ⇒ kf (x) − f (y)kF 6 ε).
Exemples (22)
— Une fonction k-lipschitzienne est uniformément continue. Exemple : la fonction norme k kE : x 7→ kxkE
.
— Toute fonction dérivable de I ⊂ R → R à dérivée bornée est uniformément continue (TAF).
— La fonction x 7→ x2 est uniformément continue sur tout segment [a, b], mais
sur R.p
√ pas √
— La fonction racine est uniformément continue sur R+ car ∀(x, y) ∈ (R+ )2 , | x − y| 6 |x − y|.
— Plus généralement, on dit que f est α-höldérienne pour 0 < α 6 1 ssi
∃α, C ∈]0, 1] × R∗+ , ∀(x, y) ∈ E × E, (kf (x) − f (y)kF 6 Ckx − ykα
E)
Toute fonction α-höldérienne pour 0 < α 6 1 est uniformément continue.
5
(1) :
Exercice 8 : Complément : caractérisation séquentielle de l’uniforme continuité
Montrer que l’application f : D → FÅest uniformément continue sur D ssi
ã
N
N
∀((xn )N , (yn )N ) ∈ D × D , yn − xn −→ 0 ⇒ f (yn ) − f (xn ) −→ 0 .
n→+∞
n→+∞
Montrer que les fonctions f1 : x ∈ R 7→ x2 , f2 : x ∈ R+∗ 7→ 1/x et f3 : x ∈]0, 1] 7→ sin(1/x) ne sont pas
uniformément continues.
0
(3) : Montrer que si f est dérivable sur R+ et si |f | −→ +∞, alors f n’est pas uniformément continue.
(2) :
x→+∞
b) Généralisation du théorème de Heine vu en MPSI :
Théorème de Heine : (23)
Si f : K → F est une fonction continue sur un compact K, alors f est uniformément continue sur K .
Corollaire 1 (24)
Densité des fonctions en escaliers :
Soit f : [a, b] → F continue. Il existe une suite (fn ) de fonctions en escalier telle que kfn − f k∞ −→ 0.
n→∞
Cela permet entre autre de définir l’intégrale d’une fonction (vectorielle) continue sur un segment.
c) Théorème d’approximation de Weierstrass
Corollaire 2 : théorème de Weierstrass (25)
Densité des fonctions polynômes :
Soit f : [a, b] → R continue. Il existe une suite (Pn ) de fonctions polynomiales telle que kPn − f k∞ −→ 0.
n→∞
IV — Convexité, connexité
1) Ensembles convexes
a) Barycentres
Définition (26)
Pp
p
p
(1) : Soit (xi )16i6p ∈ E et (λi )16i6p ∈ R tels que
i=1 λi 6= 0.
On appelle barycentre des points pondérés (xi , λi ) l’élément :
1
P
i
λi
·
p
X
λ i xi .
i=1
En divisant tous
P les poids par une constante non nulle, on ne modifie pas le barycentre. Dans toute la suite,
on supposera donc
λi = 1.
P
(3) : Associativité : soit (xi , λi )16i6p et (yj , λj )16j6q deux familles de points pondérés telles que s1 =
i λi 6= 0,
P
s2 = j µj 6= 0 et s1 + s2 6= 0.
Alors le barycentre des points pondérés ((x1 , λ1 ), . . . (xp , λp ), (y1 , µ1 ), . . . (yq , µq )) est le barycentre des barycentres
partiels (b1 , s1 ) et (b2 , s2 ).
(2) :
Barycentres à coefficients positifs - ensembles convexes (27)
(1) : Étant donnés deux vecteurs x1 et x2 , on note [x1 , x2 ] l’ensemble des barycentres à coefficients positifs des
points x1 et x2 . Il s’agit des vecteurs u = λx1 + (1 − λ)x2 avec λ positif !
(2) : Cette définition se généralise dans le cas d’une famille de n éléments. Par exemple, l’ensemble des barycentres
à coefficients positifs de trois points A, B et C d’un espace affine est constitué de l’intérieur géométrique du
triangle.
(3) : Un ensemble convexe est un ensemble contenant ses barycentres à coefficients positifs.
(4) : Il suffit qu’il contienne les barycentres à coefficients positifs de tout couple de points.
6
Exemples : (28)
boule, sous-espace affine, demi-espace affine dans un R-ev,
(2) : triangle dans un plan, polygones convexes (barycentres à coefficients positifs d’un nombre fini de points)
00
(3) : épigraphe d’une fonction f dérivable deux fois sur I telle que f > 0 (par exemple la fonction carrée ou la
fonction exponentielle.
(1) :
b) Propriétés et enveloppe convexe
Théorème (29)
Les parties convexes de R sont les intervalles.
(2) : L’intersection d’une famille de convexes est convexe.
(3) : L’intersection de toutes les parties convexes contenant une partie X est le plus petit convexe contenant X,
noté Conv(X) appelée enveloppe convexe de X.
(4) : Conv(X) est l’ensemble des barycentres à coefficients positifs des éléments de X.
(1) :
(1) :
Exercice 9 :
Si A est convexe alors A et Å le sont aussi.
Intérieur et adhérence d’un convexe
c) Fonctions convexes
Définition : fonction convexe de R dans R (30)
Soit f : I → R. On dit que f est convexe sur I si :
∀(x1 , x2 ) ∈ I 2 , ∀λ ∈ [0, 1], f (λx1 + (1 − λ)x2 ) 6 λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
L’épigraphe d’une fonction convexe est un convexe.
On dit que f est concave si et seulement si −f est convexe.
Exercice 10 : Somme et produit de fonctions convexes
Soient f et g deux fonctions convexes sur I. Montrer que f + g est une fonction convexe, mais que f · g ne l’est
pas nécessairement.
2) Connexité par arcs
a) Définition, exemples
Composantes connexes (31)
(1) : Deux éléments a, b ∈ A ⊂ E sont joignables par un arc (ou chemin) dans A s’il existe ϕ : [α, β] → A
continue telle que ϕ(α) = a et ϕ(β) = b.
(2) : Il s’agit d’une relation d’équivalence (réflexive, symétrique et transitive) sur les éléments de A.
(3) : La composante connexe par arcs de a dans A est l’ensemble des points b joignables à a par un arc dans A.
(4) : La famille des composantes connexes par arcs de A forme une partition de A.
(5) : A est connexe par arcs si cette famille est réduite à une seule composante, c’est à dire que deux éléments
quelconques de A sont toujours reliés par un chemin dans A.
Exemples (32)
(1) : Un ensemble convexe est connexe par arcs.
(2) : Un ensemble étoilé (= réunion de segments issus d’un même point) est connexe par arcs.
[Exemple : l’ensemble des matrices nilpotentes est un ensemble étoilé.]
(3) : Q est totalement discontinu (= chaque composante connexe par arcs est réduite à un point).
(4) : Si E est un espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à 2, l’ensemble E \ {0} est connexe par arcs.
(5) : Plus généralement, si K = C ou si dim(E) 6= 1 et A est une partie convexe bornée de E alors E \ A est
connexe par arcs.
7
b) Convexité, connexité, continuité
Théorème (33)
Pour A ⊂ R : A est connexe par arcs ⇐⇒ A est convexe ⇐⇒ A est un intervalle.
(1) :
(2) :
Théorème : image continue d’un connexe par arcs (voir TVI) (34)
L’image d’un connexe par arcs par une fonction continue est connexe par arcs.
L’image d’un connexe par arcs par une fonction continue à valeurs réelles est un intervalle.
Exercice 11 : Sphère unité en dimension > 2
Soit E un espace vectoriel normé réel de dimension (éventuellement infinie) supérieure ou égale à 2.
x
(1) : Justifier que φ : x 7→
est continue sur E \ {0}.
||x||
(2) : En déduire que la sphère unité est connexe par arcs.
(1) :
(2) :
Exercice 12 : Ensembles non homéomorphes
Montrer qu’il n’existe pas de bijection continue de C dans R.
Montrer qu’il n’existe pas de bijection continue de U dans [0, 1].
Soient g : R2 → R continue et C un cercle de centre O et de rayon R > 0.
Exercice 13 :
1. Montrer qu’il existe deux points A et B de C diamétralement opposés tels que g(A) = g(B).
2. Montrer qu’il existe deux points C et D de C, se déduisant l’un de l’autre par un quart de tour tels que
g(C) = g(D).
Exercice 14 : Théorème de Darboux
Soit I un intervalle de R et f dérivable sur I. On veut montrer que f 0 (I) est un intervalle.
f (y) − f (x)
Posons T = {(x, y) ∈ I 2 , y < x} et ϕ(x, y) =
pour tout (x, y) ∈ T .
y−x
0
(1) : Justifier que ϕ est bien définie et continue sur T , puis que ϕ(T ) ⊂ f (I) ⊂ ϕ(T ).
(2) : Conclure.
(1) :
(2) :
(1) :
(2) :
Exercice 15 :
Il n’existe pas de fonction continue injective de U dans R.
Soit A connexe par arcs et X ⊂ A ouvert relatif et fermé relatif de A. Alors X = ∅ ou X = A.
Montrer que GLn (R) n’est pas connexe par arcs dans Mn (R).
Montrer que GLn (C) est connexe par arcs dans Mn (C).
Exercice 16 : GLn (K)
Exercice 17 : Continuité et connexité par arcs du graphe
Le graphe de f : I(intervalle)→ E est connexe par arcs si et seulement si f est continue.
8
V — Travaux dirigés
Exercice 18 : PSI E3A 2004
Dans tout le problème, R désigne le corps des réels, E l’espace vectoriel des fonctions continues, définies sur
[0, 1] et à valeurs dans R, F l’espace vectoriel des fonctions de classe C 1 , définies sur [0, 1] et à valeurs dans R.
Pour tout f ∈ E, on note kf k∞ = sup |f (x)| et on rappelle que l’on définit ainsi une norme sur E.
x∈[0,1]
Si g est une application k fois dérivable sur [0, 1], g (k) désigne la dérivée k-ième de g.
On définit l’application T qui à f ∈ E associe l’application T (f
Z ), définie sur [0, 1] par :
x
∀x ∈ [0, 1] , T (f )(x) =
f (t)dt.
0
Pour tout n ∈ N∗ , on note T n = T ◦ T n−1 , sachant que T 0 = IE (application identité de E).
Lorsque U est un endomorphisme continu de E, on désigne par |kU k| le réel positif :
|kU k| = sup kU (f )k∞ .
kf k∞ 61
Question 0.
Soit n ∈ N∗ et u une fonction de classe C n sur [0, 1] telle que : ∀k ∈ {0, . . ., n − 1} , u(k) (0) = 0.
Z x
(x − t)n−1 (n)
1. Prouver que : ∀x ∈ [0, 1] , u(x) =
u (t)dt.
(n − 1)!
0
Question 1.
1. Montrer que T est un endomorphisme de E. Préciser Ker(T ) et Im(T ). Quel est le spectre de T ?
Question 2.
1. Montrer que ∀x ∈ [0, 1] , |T (f )(x)| 6 kf k∞ .
En déduire que T est une application continue de (E, k k∞ ) dans (E, k k∞ ).
2. Prouver que |kT k| 6 1.
3. On considère f0 : x ∈ [0, 1] 7→ f0 (x) = 1. Que vaut kT (f0 )k∞ ? En déduire |kT k|.
Question 3.
Soit n ∈ N∗ .
1. Montrer que T n (f ) est de classe C n sur [0, 1].
Prouver que pour tout entier naturel k ∈ {0, . . ., n − 1}, (T n (f ))
Que vaut (T n (f ))
= T n−k (f ).
(0) pour k ∈ {0, . . ., n − 1} ?
Z x
(x − t)n−1
n
2. Montrer alors que : ∀x ∈ [0, 1] , (T (f )) (x) =
f (t)dt.
(n − 1)!
0
3. Préciser Ker(T n ) et Im(T n ).
(n)
? (T n (f ))
(k)
(k)
4. Prouver que T n est un endomorphisme continu de (E, k k∞ ).
5. En utilisant la fonction f0 définie à la question 2., déterminer |kT n k| .
6. Préciser
lim T n .
n→+∞
7. Prouver que ∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1], la série
P
(T n (f )) (x) converge absolument.
n>1
On note H l’application qui a f ∈ E associe l’application H(f
Z x) définie sur [0, 1] par :
∀x ∈ [0, 1] , H(f )(x) =
ex−t f (t)dt.
Question 4.
0
1. Montrer que H est un endomorphisme de E.
2. Prouver que : ∃K > 0 tel que ∀x ∈ [0, 1], |H(f )(x)| 6 K kf k∞ .
En déduire que H est continue de (E, k k∞ ) dans (E, k k∞ ) et que |kHk| 6 e.
3. Montrer que H(f ) est C 1 sur [0, 1]. Calculer, pour x ∈ [0, 1], (H(f )) (x).
0
9
Exercice 19 : E3A MP - 2010
L’espace E = R3 est muni du produit scalaire usuel : ∀(X, Y ) ∈ E 2 , < X, Y >= t XY , et k X k2 = <X,X>.
L’espace E est orienté et B = (e1 , e2 , e3 ) est une base orthonormale directe de E. Soit u ∈ L(E) représenté dans
la base B par la matrice :
Ñ
é
2
2 1
1
−2 1 2
A=
3
1 −2 2
1. Vérifier que A est une matrice orthogonale et montrer que A est diagonalisable dans M3 (C).
2. On rappelle que si w est un endomorphisme continu de E, (w ∈ LC (E)), la norme de l’endomorphisme
w est définie par :
k| w k|= sup k w(X) k
kXk=1
a. Vérifier que u est un endomorphisme continu de E et que : k| u k|= 1.
b. Soit w ∈ LC (E). Prouver qu’il existe X0 ∈ E tel que k X0 k= 1 et k| w k|=k w(X0 ) k.
3. On définit dans LC (E) la suite (uk ) des endomorphismes itérés de u.
Prouver que la suite (uk ) est une suite bornée de LC (E).
4. Soit v l’endomorphisme de E défini par : v = idE − u.
a. Vérifier que Ker(v) = V ect(1, 0, 1) puis que Ker(v) et Im(v) sont orthogonaux et E = Ker(v) ⊕ Im(v).
b. En déduire que, ∀X ∈ E, ∃Z ∈ E, ∃!X1 ∈ Ker(v), X = X1 + Z − u(Z).
m−1
1 X k
u . Montrer que pour tout X ∈ E, la suite (pm (X)) converge
m
k=0
vers la projection de X sur Ker(v) parallèlement à Im(v).
c. On pose pour tout m ∈ N∗ , pm =
Exercice 20 : Généralisation
On prend dans cette partie E = Rn muni du produit scalaire usuel : ∀(X, Y ) ∈ E 2 , < X, Y >= t XY , la norme
d’un vecteur quelconque X de E étant notée k X k et soit B une base orthonormale de E.
Pour toute matrice A = (ai,j ) ∈ Mn (R) qui représente dans la base B un endomorphisme u de E, on note
k| A k|= sup k AX k.
kXk=1
1. Vérifier que k| k| est une norme sur Mn (R).
2. Quelques propriétés de la matrice B = t AA.
a. Montrer que B est une matrice symétrique réelle.
b. On admet qu’il existe P ∈ On (R) telle que t P BP soit diagonale réelle. Montrer alors que les valeurs
propres de B sont positives ou nulles. Étudier le cas où A ∈ GLn (R).
c. On note ρ(B) = sup {| λ |, λ ∈ Sp(B)} où Sp(B) désigne l’ensemble des valeurs propres de la matrice
B. Soit U une matrice semblable à B. A-t-on ρ(U ) = ρ(B) ?
d. Montrer que k| A k|2 6 ρ(B) puis que k| A k|2 = ρ(B).
3. On suppose dans cette question que u est une homothétie de rapport γ 6= 0.
a. Calculer k| A k|. Dans quel cas la suite (Ak )k∈N est-elle bornée ?
b. On suppose que | γ |< 1 et on pose pour tout m ∈ N∗ , Pm =
Expliciter pour tout m ∈ N∗ , Pm puis déterminer
lim Pm .
m−1
1 X k
A .
m
k=0
m→+∞
4. On suppose dans cette question que u est un endomorphisme symétrique de E (donc diagonalisable) et on
note λ1 , . . . , λn les valeurs propres de u, les λi étant distincts ou non.
a. Calculer k| A k|.
b. Dans quel cas la suite (Ak )k∈N est-elle bornée ?
c. On suppose que : ∀i ∈ {1, . . . , n} , | λi |< 1 et on pose pour tout m ∈ N∗ , Pm =
Calculer
m−1
1 X k
A .
m
k=0
lim Pm .
m→+∞
10
VI — Exercices
Exercice 21 : Points fixes
Soit f : [0 ; 1] → [0 ; 1].
1. On suppose que f est continue. Montrer que f admet un point fixe.
2. On suppose que f est croissante. Montrer que f admet un point fixe.
1. Rappeler le théorème de Cesàro et le démontrer.
Exercice 22 : Cesaro discret puis continu
2. Soit f : R+ → R une fonction continue.
On suppose que limx→+∞ f (x) = ` ∈ R et on désire établir
Z
1 x
lim
f (t) dt = `
x→+∞ x 0
a. Pour ε > 0, justifier qu’il existe A ∈ R+ tel que pour tout x > A
Z x
1
(f (t) − `) dt 6 ε
x
A
b. Conclure en écrivant
1
x
Z
0
x
1
f (t) dt − ` =
x
Z
0
A
1
(f (t) − `) dt +
x
Z
x
(f (t) − `) dt
A
Exercice 23 : Formes linéaires
Soit E = C([0, 1], R) muni de la norme k.k∞ . Soit L une forme linéaire sur E telle que si f > 0, alors
L(f ) > 0.
Montrer que L est continue.
(2) : Montrer qu’un hyperplan est soit fermé, soit dense.
(3) : Montrer qu’une forme linéaire φ est continue si et seulement si son noyau est fermé.
(4) : Soit φ une forme linéaire non nulle sur E, de noyau H. Montrer que E \ H est connexe par arcs si et
seulement si φ n’est pas continue.
(1) :
Exercice 24 : Point fixe et compact
Soit f ∈ C([a, b], [a, b]). Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que f (c) = c.
(2) : Soit (E, k.k) un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit K ⊂ E un compact non vide de E et
f : K → K telle que : ∀(x, y) ∈ K 2 , x 6= y ⇒ kf (x) − f (y)k < kx − yk.
Montrer qu’il existe un unique c ∈ K tel que f (c) = c.
(1) :
Exercice 25 : Con- ? -exité
Soit A une partie convexe non vide de R2 et f : A → R une fonction continue.
Soit a et b deux points de A et y un réel tels que f (a) 6 y 6 f (b).
Montrer qu’il existe x ∈ A tel que f (x) = y.
Soient g : R → R continue et C un cercle de centre O et de rayon R > 0.
Exercice 26 :
2
1. Montrer qu’il existe deux points A et B de C diamétralement opposés tels que g(A) = g(B).
2. Montrer qu’il existe deux points C et D de C, se déduisant l’un de l’autre par un quart de tour tels que
g(C) = g(D).
Montrer
Montrer
Montrer
Montrer
que
que
que
que
Exercice 27 : Connexité par arcs
le sous-ensemble de Mn (R) formé des matrices diagonalisables est connexe par arcs.
GLn (R) n’est pas connexe par arcs.
GLn (C) est connexe par arcs.
SO2 (R) est une partie connexe par arcs.
11
Élements de correction pour E3A 2004 PSI :
Question 0.
1. C’est la formule de Taylor intégral : la preuve n’est sans doute pas nécessaire ici dans ce sujet, mais il est bon de la
connaître : elle se démontre par récurrence sur n ∈ N∗ en utilisant une intégration par parties. On rappelle au passage
que lors d’une intégration par parties, il faut mentionner (voire démontrer) que les deux fonctions sont de classe C 1 .
Plus précisément, l’initialisation de la récurrence est exactement l’énoncé du théorème fondamental de l’analyse,
(x − t)n 0
(x − t)n−1
l’hérédité se fait en posant f (t) = −
, f (t) =
et g(t) = u(n) (t), g 0 (t) = u(n+1) (t).
n!
(n − 1)!
Voir détails dans le cours de MPSI.
Question 1.
1. On vérifie par linéarité de l’intégrale que T (f + λg) = T (f ) + λT (g). De plus, si f est continue sur [0, 1], T (f ) est la
primitive de f qui s’annule en 0. D’après le théorème fondamental de l’analyse, T (f ) est donc continue. Donc T est
bien linéaire de E dans E.
Une fonction f est dans Ker(T ) ssi T (f ) (qui est la primitive de f qui s’annule en 0) est nulle. Or f = (T (f ))0 est la
dérivée de la fonction nulle : c’est donc la fonction nulle. Donc Ker(T ) = {0}.
Une fonction g ∈ Im(T ) ssi il existe f ∈ E telle que T (f ) = g. Donc g est une primitive qui s’annule en 0. C’est donc
d’après le théorème fondamental de l’analyse une fonction de classe C 1 qui s’annule en 0.
Réciproquement
de classe C 1 qui s’annule en 0, toujours d’après le théorème fondamental de
R x si0 g est une fonction
0
l’analyse, g = 0 g (t)dt = T (g ).
Finalement, Im(T ) = {des fonction de classe C 1 qui s’annulent en 0.}.
Soit λ ∈ R et f ∈ E tels que T (f ) = λf , c’est à dire en posant F = T (f ) : F = λF 0 . Alors F (t) = C · exp(λt). Mais il
faut aussi F (0) = 0, donc F = 0 et finalement f = 0. Donc λ n’est pas valeur propre. Finalement, Sp(T ) = ∅.
Question 2.
Z x
Z x
1. ∀x ∈ [0, 1], |T (f )(x)| = |
f (t) dt 6
|f (t)| dt 6 x.kf k∞ 6 kf k∞ car x 6 1.
0
0
Donc ∀x ∈ [0, 1], |T (f )(x)| 6 kf k∞ .
En passant au sup, kT (f )k∞ 6 kf k∞ et T est linéaire ⇒ T est 1-lipschitzienne donc continue de (E, k.k∞ ) dans
lui-même.
h
i
2. ∀f ∈ E, kT (f )k∞ 6 kf k∞ ⇒ ∀f ∈ E, si kf k∞ 6 1, alors kT (f )k∞ 6 1 . Donc en passant au sup, |||T ||| 6 1
Z x
3. ∀x ∈ [0, 1], T (f0 )(x) =
dt = x ⇒ kT (f0 )k∞ = 1.
0
4. kf0 k∞ = 1 et kT (f0 )k∞ = 1 ⇒ |||T ||| > 1, or |||T ||| 6 1, d’où, par double inégalité, |||T ||| = 1.
Question 3.
1. T n (f ) est de classe C n : on peut faire une récurrence sur n, en remarquant que ∀n ∈ N∗ , (T n (f ))0 = T n−1 (f )
(T n (f ))(k) = T n−k (f ) : à k fixé, on peut faire une récurrence sur n pour n > k + 1, en utilisant de nouveau la
propriété : ∀p ∈ N∗ , (T p (f ))0 = T p−1 (f ).
On montre aussi que (T n (f ))(n) = f et (T n (f ))(k) (0) = 0 (ce sont des primitives qui s’annulent en 0...
2. C’est la question 0 appliquée à u = T n (f ) car (T n (f ))(n) = f et (T n (f ))(k) (0) = 0.
3. On a vu que Ker T = {0} donc T est injective et donc ∀n ∈ N∗ , T n est injective comme composée de fonctions
injectives.
On a vu que Im(T ) est l’ensemble des fonctions de classe C 1 qui s’annule en 0. Alors Im(T 2 ) est l’ensemble des
fonctions dont la dérivée est dans Im(T ) et qui s’annulent en 0 : c’est donc l’ensemble des fonctions de classe C 2 qui
s’annulent en 0 et dont la dérivée s’annule en 0.
Par récurrence, on montre que Im(T n ) est l’ensemble des fonctions de classe C n dont toutes les dérivées jusqu’à
l’ordre n − 1 s’annulent en 0.
4. T n est une composée d’endomorphismes continus, donc c’est un endomorphisme continu.
5. En utilisant l’égalité d’une question précédente :
Z x
Z x
(x − t)n−1
(x − t)n−1
∀x ∈ [0, 1], |(T n (f ))(x)| = |
f (t) dt| 6 (T n (|f |))(x) =
|
f (t)| dt
(n − 1)!
(n − 1)!
0
0
Z x
ï
ò
x
(x − t)n−1
(x − t)n
kf k∞
kf k∞
1
6
|
| dt.kf k∞ 6 −
.kf k∞ 6
⇒ kT n (f )k∞ 6
⇒ |||T n ||| 6 .
(n
−
1)!
n!
n!
n!
n!
0
0
Z x
ï
òx
(x − t)n−1
(x − t)n
xn
1
n
Mais pour f0 , on a : ∀x ∈ [0, 1], (T (f0 ))(x) =
dt = −
=
⇒ kT n (f0 )k∞ =
donc
(n
−
1)!
n!
n!
n!
0
0
1
1
|||T n ||| > n!
et par double inégalité |||T n || = n!
.
12
6. |||T n || =
1
n!
1
et lim n!
= 0. Donc (T n ) est une suite convergente et lim T n = 0L(E) .
kf k
7. D’après ce qui précède, 0 6 |T n (f )(x)| 6 kT n (f )k 6
qui est le terme général d’une série (exponentielle)
n!
P n
P n
convergente. Donc la série
|T (f )(x)| est convergente donc la série
T (f )(x) est absolument convergente.
Question 4.
1. ∀(f, g) ∈ E, ∀(α, β) ∈ R2 , H(αf + βg) = αH(f ) + βH(g) par linéarité de l’intégrale, ce qui nous donne la linéarité de
H.
Z x
Z x
x
−t
x
∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1], H(f )(x) = e .
e f (t) dt, or x 7→ e est continue sur [0, 1], x 7→
e−t f (t) dt est continue
0
0
sur [0, 1] comme fonction intégrale d’une fonction continue sur [0, 1] et donc H(f ) est continue comme produit de
fonctions continues. d’où ∀f ∈ E, H(f ) ∈ E.
Donc H est un endomorphisme.
Z x
ÅZ x
ã
x−t
−t
2. Soit x ∈ [0, 1]. |H(f )(x)| = |
e f (t) dt| 6
e dt . |{z}
ex . kf k∞ 6 (e − 1). kf k∞
0
0
|
{z
} 6e
R1
1
6
0
e−t dt=1− e
Donc pour K = e − 1 on a ∀x ∈ [0, 1], |H(f )(x)| 6 K. kf k∞
D’après l’inégalité précédente, on : ∀f ∈ E, kH(f )k∞ 6 K. kf k∞ et H est linéaire, ce qui nous donne la continuité
de K en tant qu’application linéaire de (E, k.k∞ ) dans lui-même et |||H||| 6 e − 1 6 e.
Donc H est continue de (E, k.k∞ ) dans lui-même et |||H||| 6 e
Rx
3. Pour f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1], H(f )(x) = ex . 0 e−t f (t) dt.
Rx
Or x 7→ ex est C 1 sur [0, 1], et x 7→ 0 e−t f (t) dt est C 1 sur [0, 1] comme fonction intégrale d’une fonction continue
sur [0, 1]. On en déduit que H(f ) est C 1 sur [0, 1] en tant que produit de fonctions de classe C 1 sur [0, 1].
Z x
∀x ∈ [0, 1], H(f )0 (x) = ex .
e−t f (t) dt + ex .e−x .f (x) = H(f )(x) + f (x).
0
Donc ∀x ∈ [0, 1], H(f )0 (x) = H(f )(x) + f (x).
13
Élements de correction pour E3A 2010 MP :
1. On calcule t AA et l’on obtient : t AA = I3 . Donc A est orthogonale.
On calcule le polynôme caractéristique de A ; on obtient :
√
√
1
2 2
1
2 2
χA (x) = (x − 1)(x − − i
)(x − + i
).
3
3
3
3
χA est scindé à racines simples dans C ; par théorème, A est diagonalisable dans M3 (C).
2. a. D’après les questions de cours, u étant linéaire et E de dimension finie,
u est un endomorphisme continu de E.
De plus, comme u est une isométrie vectorielle, on a : ∀X ∈ E, k u(X) k=k X k. D’après la définition de la norme
subordonnée qui nous est rappelée, on a donc : k| u k|= 1.
b. Soit w ∈ LC (E). Par composition, l’application X 7−→k w(X) k est continue sur E donc sur la sphère-unité
S(0E , 1) = {X ∈ E, k X k= 1}. Or, comme E est de dimension finie et que S(0E , 1) est fermée (image réciproque
du fermé {1} par l’application continue X 7−→k X k) et bornée, S(0E , 1) est un compact de E. Comme toute
application continue sur un compact y est bornée et atteint ses bornes, il existe X0 ∈ S(0E , 1) tel que k| w k|=k
w(X0 ) k.
3. ∀k ∈ N, uk est une composée d’isométries, donc une isométrie : donc ∀k ∈ N, k| uk k|= 1.
Donc la suite (uk ) est une suite bornée de LC (E).
4. Dans ce qui suit, on confond tout vecteur de E avec la matrice-colonne qui lui est canoniquement associée.
a. Ker(v) est l’axe de la rotation u. On a :
X ∈ Ker(v) ⇐⇒ AX = X ⇐⇒



2
3x
− 23 x
1
3x
+ 23 y + 13 z
+ 13 y + 23 z
− 23 y + 23 z
ß
= x
x
= y ⇐⇒
y
= z
= z
.
= 0
Donc Ker(v) = Vect((1, 0, 1)).
Soient X ∈ Ker(v) et Y ∈ Im(v).
Alors AX = X et il existe Z ∈ E tel que Y = Z − u(Z) = Z − AZ.
D’où : < X, Y >= t XY = t XZ − t XAZ.
Mais comme A est orthogonale, t A = A−1 donc
AX = X ⇐⇒ X = A−1 X ⇐⇒ X = t AX ⇐⇒ t X = t XA.
D’où : < X, Y >= t XZ − t XZ = 0. Comme ceci est vrai pour tout élément X ∈ Ker(v) et Y ∈ Im(v), Ker(v) et
Im(v) sont orthogonaux.
On pouvait aussi vérifier que (1, 0, 1) (qui engendre Ker(v)) est orthogonal à (2/3, −2/3, 1/3) et (2/3, 1/3, −2/3)
qui engendre le plan Im(v)).
On sait que Ker(v) ∩ Im(v) = {0E }. Par le théorème du rang : dim(Ker(v)) + dim(Im(v)) = dim(E), donc, par
caractérisation : E = Ker(v) ⊕ Im(v).
b. Donc, pour tout X ∈ E, il existe un unique X1 ∈ Ker(v) et un unique Y ∈ Im(v) tels que : X = X1 + Y . Mais
Y ∈ Im(v) ⇐⇒ ∃Z ∈ E, Y = Z − u(Z) ; d’où
∀X ∈ E, ∃!X1 ∈ Ker(v), ∃Z ∈ E, X = X1 + Z − u(Z).
c. Soient X ∈ E et m ∈ N∗ . D’après la question précédente : X = X1 + Z − u(Z) où X1 ∈ Ker(v) et Z ∈ E. Alors
v(X1 ) = 0E , soit u(X1 ) = X1 et donc ∀k ∈ N, uk (X1 ) = X1 . Donc :
pm (X) =
m−1
m−1
m−1
m−1
1 X k
1 X k
1 X k
1 X k+1
u (X) =
u (X1 ) +
u (Z) −
u
(Z).
m
m
m
m
k=0
k=0
k=0
k=0
m−1
m−1
m−1
1 X k
1 X k
1 X k+1
1
u (X1 ) = X1 et, par télescopage :
u (Z) −
u
(Z) = (Z − um (Z)).
m
m
m
m
k=0
k=0
k=0
1
m
D’où : pm (X) = X1 + (Z − u (Z)).
m
On a : k Z − um (Z) k6 (k Z k + k um (Z) k).
De la question 5., on déduit que : k Z − um (Z) k6 (k Z k + k| um k|k Z k) 6 2 k Z k puisque k| um k|6 1 pour
tout m ∈ N.
1
La suite (Z − um (Z))m∈N est donc bornée. D’où lim
(Z − um (Z)) = 0E .
m→+∞ m
Donc la suite (pm (X)) converge vers X1 c’est-à-dire vers la projection de X
sur Ker(v) parallèlement à Im(v).
Or,
14
Partie 2.
1. Soit A ∈ Mn (C). On suppose que k| A k|= 0.
Alors : ∀X ∈ E, k X k= 1 =⇒k AX k= 0 =⇒ AX = 0E . Mais, quitte à diviser X par sa norme, on en déduit, puisque
A0E = 0E que, pour tout X ∈ E, AX = 0E . Donc A = On .
Pour tout λ ∈ R, on a : k| λA k|= sup k λAX k= |λ| sup k AX k= |λ| k| A k|.
kXk=1
kXk=1
Pour toutes matrices A et B, on a : pour tout X ∈ E,
k (A + B)X k=k AX + BX k6k AX k + k BX k6k| A k| + k| B k|.
D’où : k| A + B k|6k| A k| + k| B k|. Donc k| k| est une norme sur Mn (R).
2. a. B est produit de matrices à coefficients réels, donc est à coefficients réels.
De plus : t B = t (t AA) = t Att A = t AA = B. Donc B est symétrique.
D’autre part : ∀X ∈ E, t XBX = t X t AAX = t (AX)AX =< AX, AX >> 0.
Donc B ∈ Sn+ (R).
b. Par théorème, B est diagonalisable et ses valeurs propres sont positives ou nulles.
Si A ∈ GLn (R), t A ∈ GLn (R) donc, par produit, B ∈ GLn (R). Donc 0 n’est pas valeur propre de B.
Si A ∈ GLn (R), B ∈ Sn++ (R) et ses valeurs propres sont strictement positives.
c. Si U est une matrice semblable à B, U et B ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres,
donc ρ(U ) = ρ(B).
Notons que, puisque les valeurs propres de B sont positives ou nulles, ρ(B) = sup{λ, λ ∈ sp(B)} = max{λ, λ ∈
sp(B)}.
d. Par le théorème spectral, on sait que B est diagonalisable dans une base orthonormale B.
Donc il existe P ∈ On (R) et une matrice D = diag(λ1 , . . . , λn ) diagonale telles que :
B = P Dt P (λ1 , . . . , λn sont les valeurs propres de B distinctes ou non).
Or, on a, pour X ∈ E : k AX k2 =< AX, AX >= t XBX = t XP Dt P X. On pose : Y = t P X ; alors t Y = t XP et
n
X
k AX k2 = t Y DY =
λi yi2 . Comme P est une matrice orthogonale, k Y k2 = t Y Y = t XP t P X = t XX =k X k2 .
i=1
Si on prend X ∈ E tel que k X k= 1, on a alors : k AX k2 6 ρ(B)
n
X
yi2 = ρ(B).
i=1
On en déduit donc que : k| A k|2 6 ρ(B).
Notons i0 un entier entre 1 et n tel que ρ(B) = λi0 et X0 un vecteur propre de B, unitaire, associé à la valeur
propre ρ(B).
On a : k AX0 k2 = t X0 BX0 = ρ(B)t X0 X0 = ρ(B). D’où : k| A k|2 = ρ(B).
3. a. Si u est une homothétie de rapport γ 6= 0, pour tout X ∈ E, on a : AX = γX donc k AX k= |γ| k X k. Donc
k| A k|= |γ|.
Pour tout k ∈ N, uk est une homothétie de rapport γ k donc k| Ak k|= |γ|k et
(Ak )k∈N est bornée ssi |γ| 6 1.
!
m−1
X
1
1 − γm
b. On a : ∀k ∈ N, Ak = γ k In donc Pm =
γ k In , soit Pm =
In car γ 6= 1. Comme | γ |< 1, il est
m
m(1 − γ)
k=0
clair que lim Pm = On .
m→+∞
4. a. Par le théorème spectral, u est diagonalisable dans une base orthonormale et A ∈ Sn (R). D’après la question 2.,
k| A k|2 = ρ(B) où B = t AA = A2 . Or, comme A est diagonalisable, les valeurs propres de A2 sont : λ21 , λ22 , . . . , λ2n .
Donc ρ(B) = ρ(A2 ) = (ρ(A))2 .
D’où : k| A k|= ρ(A).
b. Pour tout k ∈ N, les valeurs propres de Ak sont : λk1 , λk2 , . . . , λkn et Ak ∈ Sn (R). Donc, d’après ce que l’on a
démontré à la question précédente, on a : k| Ak k|= ρ(Ak ). Mais ρ(Ak ) = sup{| λk |, λ ∈ Sp(A)} = (ρ(A))k .
Donc k| Ak k|= (ρ(A))k et la suite (Ak ) est bornée ssi ρ(A) 6 1.
c. On sait qu’il existe P ∈ On (R) telle que : A = P Dt P où D = diag(λ1 , . . . , λn ).
Alors : ∀k ∈ N, Ak =ÅP Dk t P avec Dk = diag(λk1ã, . . . , λkn ).
1 − λm
1 − λm
n
1
t
D’où : Pm = P diag
,...,
P.
m(1 − λ1 )
m(1 − λn )
Comme, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, | λi |< 1, alors lim Pm = O.
m→+∞
15