Corrigé du contrôle n˚1

2013-2014 Terminale 06-07-08 Spécialité
Corrigé du contrôle n˚1
Exercice 1
Si n+ 2 divise 3n2+ 13n+ 23, alors il divise toute compbinaison linéaire de 3n2+ 13n+ 23 et
de n+ 2.
n+ 2 divise donc (3n2+ 13n+ 23) −3n(n+ 2) = 7n+ 23.
De même, il divise toute combinaison linéaire de 7n+ 23 et de n+ 2.
n+ 2 divse donc (7n+ 23) −7(n+ 2) = 9.
L’ensemble des diviseurs de 9 est :{−9; −3; −1; 1; 3; 9}.
•n+ 2 = −9⇐⇒ n=−11 /∈N
•n+ 2 = −3⇐⇒ n=−4/∈N
•n+ 2 = −1⇐⇒ n=−3/∈N
•n+ 2 = 1 ⇐⇒ n=−1/∈N
•n+ 2 = 3 ⇐⇒ n= 1 ∈N
•n+ 2 = 9 ⇐⇒ n= 7 ∈N
Les seules valeurs possibles de nsont 1 et 7.
Réciproquement :
•Si n= 1, n+ 2 = 3 et 3n2+ 13n+ 23 = 39 = 3 ×13 donc n+ 2 divise 3n2+ 13n+ 23 = 39.
•Si n= 7, n+ 2 = 9 et 3n2+ 13n+ 23 = 261 = 9 ×29 donc n+ 2 divise 3n2+ 13n+ 23 = 39.
L’ensemble des solutions est donc : S={1; 7}
Exercice 2
1. (a) (n+ 1)3=n3+ 3n2+ 3n+ 1 = n2(n+ 3) + 3n+ 1.
(b) 3n+ 1 est le reste de la division euclidienne de (n+ 1)3par n2si et seulement si
063n+ 1 < n2⇐⇒ −n2+ 3n+ 1 <0.
On cherche les racines du trinôme −x2+ 3x+ 1.
∆ = 13, les racines sont 3−√13
2et 3 + √13 2.
−x2+ 3x+ 1 <0⇐⇒ x∈−∞;3−√13
2∪3 + √13 2; +∞.
−n2+ 3n+ 1 <0⇐⇒ n>4.
On en conclut que le reste de la division euclidienne de (n+ 1)3par n2est 3n+ 1 si
et seulement si n>4.
2. La division euclidienne de apar bs’écrit : a=bq +ravec bet qentiers tels que 0 6r < b.
On a a+b= 86 ⇐⇒ a= 86 −bet r= 9 donc :
a+bq =r⇐⇒ 86 −b=bq + 9 avec b > 9⇐⇒ (b+ 1)q= 77 avec b > 9.
b+ 1 est un diviseur positif de 77.
L’ensemble des diviseurs positifs de 77 est : {1; 7; 11; 77}.
Les valeurs possibles de bsont donc : 11 et 77.
Si b= 11, a= 75, on a bien a > b.
Si b= 77, a= 9 et on a a > b.
L’unique couple solution est donc : (75; 11).
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2013-2014 Terminale 06-07-08 Spécialité
Exercice 3
1. (a) Si a≡6[11] et b≡5[11], alors 2a+ 3b≡2×6 + 3 ×5[11], soit 2a+ 2b≡27[11].
27 = 2 ×11 + 5 donc le reste de la division euclidienne de 27 par 11 est 5.
2a+ 3ba le même reste dans la division eucildienne par 11, soit 5.
a2+b2≡62+ 52[11] soit a2+b2≡61[11].
61 = 5 ×11 + 6 donc le reste de la division euclidienne de 61 par 11 est 6.
a2+b2a le même reste dans la division eucildienne par 11, soit 6.
ab ≡6×5[11] soit ab ≡30[11].
30 = 2 ×11 + 8 donc le reste de la division euclidienne de 30 par 11 est 8.
ab a le même reste dans la division eucildienne par 11, soit 8.
(b) a2−b2≡62−52[11], soit a2−b2≡11[11].
11 ≡0[11] donc a2−b2≡0[11], ce qui signifie que a2−b2est divisible par 11.
2. On dresse un tableau de congruences modulo 6 :
x0 1 2 3 4 5
2x0 2 4 0 2 4
S={6k+ 1,6k+ 4, k ∈Z}.
3. (a) 21≡2[17], 22≡4[17], 23≡8[17], 24≡16[17] ou 24≡ −1[17] donc 28≡1[17]
2012 = 251 ×8 + 4 donc 22012 = (28)251 ×24≡1251 ×16[17], soit 22012 ≡16[17].
Le reste de la division euclidienne de 22012 par 17 est 16.
(b) 2n+2 + 32n+1 = 4 ×2n+ 9n×3.
9≡2[7] donc 9n≡2n[7].
On a alors :
2n+2 + 32n+1 ≡4×2n+ 2n×3[7]
≡7×2n[7]
≡0[11]
2n+2 + 32n+1 est donc divisible par 7.
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