Corrigé du contrôle n˚1

2013-2014
Terminale 06-07-08 Spécialité
Corrigé du contrôle n˚1
Exercice 1
Si n + 2 divise 3n2 + 13n + 23, alors il divise toute compbinaison linéaire de 3n2 + 13n + 23 et
de n + 2.
n + 2 divise donc (3n2 + 13n + 23) − 3n(n + 2) = 7n + 23.
De même, il divise toute combinaison linéaire de 7n + 23 et de n + 2.
n + 2 divse donc (7n + 23) − 7(n + 2) = 9.
L’ensemble des diviseurs de 9 est :{−9; −3; −1; 1; 3; 9}.
• n + 2 = −9 ⇐⇒ n = −11 ∈
/N
• n + 2 = −3 ⇐⇒ n = −4 ∈
/N
• n + 2 = −1 ⇐⇒ n = −3 ∈
/N
• n + 2 = 1 ⇐⇒ n = −1 ∈
/N
• n + 2 = 3 ⇐⇒ n = 1 ∈ N
• n + 2 = 9 ⇐⇒ n = 7 ∈ N
Les seules valeurs possibles de n sont 1 et 7.
Réciproquement :
• Si n = 1, n + 2 = 3 et 3n2 + 13n + 23 = 39 = 3 × 13 donc n + 2 divise 3n2 + 13n + 23 = 39.
• Si n = 7, n + 2 = 9 et 3n2 + 13n + 23 = 261 = 9 × 29 donc n + 2 divise 3n2 + 13n + 23 = 39.
L’ensemble des solutions est donc : S = {1; 7}
Exercice 2
1. (a) (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 = n2 (n + 3) + 3n + 1.
(b) 3n + 1 est le reste de la division euclidienne de (n + 1)3 par n2 si et seulement si
0 6 3n + 1 < n2 ⇐⇒ −n2 + 3n + 1 < 0.
On cherche les racines du trinôme
−x2 +√3x + 1.
√
3 + 13
3 − 13
et
.
∆ = 13, les racines sont
2
√2 √
3 − 13
3 + 13
−x2 + 3x + 1 < 0 ⇐⇒ x ∈ −∞;
∪
; +∞ .
2
2
−n2 + 3n + 1 < 0 ⇐⇒ n > 4.
On en conclut que le reste de la division euclidienne de (n + 1)3 par n2 est 3n + 1 si
et seulement si n > 4.
2. La division euclidienne de a par b s’écrit : a = bq + r avec b et q entiers tels que 0 6 r < b.
On a a + b = 86 ⇐⇒ a = 86 − b et r = 9 donc :
a + bq = r ⇐⇒ 86 − b = bq + 9 avec b > 9 ⇐⇒ (b + 1)q = 77 avec b > 9.
b + 1 est un diviseur positif de 77.
L’ensemble des diviseurs positifs de 77 est : {1; 7; 11; 77}.
Les valeurs possibles de b sont donc : 11 et 77.
Si b = 11, a = 75, on a bien a > b.
Si b = 77, a = 9 et on a a > b.
L’unique couple solution est donc : (75; 11).
1
2013-2014
Terminale 06-07-08 Spécialité
Exercice 3
1. (a) Si a ≡ 6[11] et b ≡ 5[11], alors 2a + 3b ≡ 2 × 6 + 3 × 5[11], soit 2a + 2b ≡ 27[11].
27 = 2 × 11 + 5 donc le reste de la division euclidienne de 27 par 11 est 5.
2a + 3b a le même reste dans la division eucildienne par 11, soit 5.
a2 + b2 ≡ 62 + 52 [11] soit a2 + b2 ≡ 61[11].
61 = 5 × 11 + 6 donc le reste de la division euclidienne de 61 par 11 est 6.
a2 + b2 a le même reste dans la division eucildienne par 11, soit 6.
ab ≡ 6 × 5[11] soit ab ≡ 30[11].
30 = 2 × 11 + 8 donc le reste de la division euclidienne de 30 par 11 est 8.
ab a le même reste dans la division eucildienne par 11, soit 8.
(b) a2 − b2 ≡ 62 − 52 [11], soit a2 − b2 ≡ 11[11].
11 ≡ 0[11] donc a2 − b2 ≡ 0[11], ce qui signifie que a2 − b2 est divisible par 11.
2. On dresse un tableau de congruences modulo 6 :
x 0 1 2 3 4 5
2x 0 2 4 0 2 4
S = {6k + 1, 6k + 4, k ∈ Z}.
3. (a) 21 ≡ 2[17], 22 ≡ 4[17], 23 ≡ 8[17], 24 ≡ 16[17] ou 24 ≡ −1[17] donc 28 ≡ 1[17]
2012 = 251 × 8 + 4 donc 22012 = (28 )251 × 24 ≡ 1251 × 16[17], soit 22012 ≡ 16[17].
Le reste de la division euclidienne de 22012 par 17 est 16.
(b) 2n+2 + 32n+1 = 4 × 2n + 9n × 3.
9 ≡ 2[7] donc 9n ≡ 2n [7].
On a alors :
2n+2 + 32n+1 ≡ 4 × 2n + 2n × 3[7]
≡ 7 × 2n [7]
≡ 0[11]
2n+2 + 32n+1 est donc divisible par 7.
2