PROBL`EME 1 : Une équation matricielle PRÉLIMINAIRES PARTIE I

TD - Chapitres 19 et 20 - ALG` EBRE LIN´ EAIRE
PROBL` EME 1 : Une ´equation matricielle
Extrait sujet «Petites Mines »2010
Le but de ce probl`eme est d’´etudier diff´erentes matrices qui commutent avec leur transpos´ee, c’est `a dire qui
v´erifient la relation M.tM=tM.M (1).
Dans la suite de l’´enonc´e, on se contentera alors de dire que la matrice Mv´erifie la relation (1).
PR´ ELIMINAIRES
1. Rappeler la dimension de Mn(R) ainsi que sa base canonique.
PARTIE I
Dans toute cette partie, toutes les matrices envisag´ees seront dans l’espace vectoriel M2(R), c’est `a dire ayant
2 lignes, 2 colonnes et des coefficients r´eels.
En particulier, on notera I=1 0
0 1 ,A=0 1 1 0 ,C=0−1 1 0 .
2. Montrer que les matrices Aet Cv´erifient la relation (1).
3. Calculer A2. En d´eduire que pour tout entier naturel non nul, Anv´erifie la relation (1).
4. Montrer que Aest inversible.
Dans toute la suite on notera U=A+I.
5. Montrer que la matrice Uv´erifie la relation (1). Montrer : ∀n∈N∗,∃αn∈R, Un=αnU.
En d´eduire que toutes ses puissance Un,n∈N∗v´erifient la relation (1).
On notera dans la suite E2l’ensemble des matrices de M2(R) qui v´erifient la relation (1).
6. Calculer les produits de la matrice A+Cet de sa transpos´ee.
En d´eduire que E2n’est pas un sous-espace vectoriel de M2(R).
7. ´ Etant donn´e une matrice M=a b
c d quelconque de M2(R), d´eterminer les conditions n´ecessaires
et suffisantes sur a,b,cet dpour que Mappartienne `a E2. On donnera les deux formes possibles des
matrices de E2.
8. En d´eduire que E2est la r´eunion de deux sous-espaces vectoriels de M2(R), dont on pr´ecisera pour chacun
une base.
9. ´ Etant donn´e Met Ndeux matrices de E2, a-t-on n´ecessairement M.N ∈E2? On pourra utiliser certaines
matrices introduites pr´ec´edemment dans l’´enonc´e.
PARTIE II
On se place ici dans l’espace M3(R), et on consid`ere la matrice S=
0 1 0
0 0 1
−100
.
L’ensemble des matrices de M3(R) qui commutent avec leur transpos´ee (donc qui v´erifient la relation (1)) est
not´e E3.
10. D´eterminer S2et montrer que Set S2sont dans E3.
11. Montrer que pour tous r´eels a,bet c, la matrice R=aI3+bS +cS2appartient `a E3.
12. En d´eduire que E3contient un espace vectoriel de dimension 3 que l’on notera F.
13. Montrer que Fest stable par multiplication matricielle.
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PROBL` EME 2 : Un endomorphisme de Rn[X]
Dans tout ce probl`eme, nd´esigne un entier non nul, aet bsont deux nombres r´eels. La notation Rn[X]
d´esigne le R-espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients dans Ret ayant un degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
Pour tout P∈Rn[X], on pose ϕn(P) = (X−a)(X−b)P0−nX−a+b
2P.
Questions pr´eliminaires
1. Rappeler la dimension de Rn[X] puis donner une base de cet espace.
2. V´erifier que deg(ϕn(P)) 6n.
3. Montrer que ϕnest un endomorphisme de Rn[X].
Partie A - ´ Etude de ϕ1
Dans cette partie on suppose que n= 1.
4. On suppose dans cette question que a=b= 0.
Exprimer l’image de ϕ1d’un polynˆome P=αX +βpuis d´eterminer Ker ϕ1et Im ϕ1.
5. Retour au cas g´en´eral a∈Ret b∈R.
(a) D´eterminer ϕ1(1) et ϕ1(X).
(b) Justifier que ϕ1est un automorphisme de R1[X] et et seulement si ϕ1(1) et ϕ1(X) ne sont pas
colin´eaires.
(c) En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante sur aet bpour que ϕ1soit un automorphisme de
R1[X].
Partie B - ´ Etude du noyau de ϕn
D´esormais n∈N∗. L’objet de cette partie est l’´etude du noyau de ϕn; nous commen¸cons par un peu
d’analyse.
6. On pose α= max(a, b) et on consid`ere l’intervalle I=]α, +∞[.
(a) D´emontrer que la fonction f:x7→ 2x−(a+b)
x2−(a+b)x+ab est continue sur I.
(b) D´eterminer une primitive Fde la fonction fsur I.
(c) R´esoudre sur Il’´equation diff´erentielle (E) : y0−nx −na+b
2
(x−a)(x−b)y= 0.
7. On suppose que nest pair et on ´ecrit n= 2pavec p∈N. D´eduire de la question 6.(c) une base de
Ker(ϕ2p). Donner sa dimension.
8. On suppose maintenant que nest impair et on ´ecrit n= 2p+ 1 avec p∈N. D´eduire de la question 6.(c)
une base de Ker(ϕ2p+1). (On pourra discuter suivant les valeurs de aet b).
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PROBL` EME 1 : Une ´equation matricielle
Extrait sujet «Petites Mines »2010
PR´ ELIMINAIRES
1. dim(Mn(R)) = n2et la base canonique est (Eij)16i,j6no`u les Eij sont les matrices ´el´ementaires.
PARTIE I
2. Sans aucun calcul, on remarque que tA=Adonc tA.A =A2 = A.tAdonc Av´erifie la relation (1).
De mˆeme on remarque que tC=−Cdonc tC.C =−C2=C.tCdonc Cv´erifie la relation (1).
3. Trivialement A2=Iet donc ∀n∈N∗,An=Asi nest pair et An=Isi nest impair.
Aet Iv´erifiant la relation (1), on en d´eduit que Anv´erifie la relation (1).
4. A2=Iprouve que Aest inversible et que A−1=A.
5. Uv´erifie la relation (1) car comme pour la matrice Aelle est sym´etrique.
Montrons : ∀n∈N∗,Un= 2n−1Upar r´ecurrence :
Pour n= 1 le r´esultat donne U= 20.U donc est vrai.
Supposons que pour un entier non a Un= 2n−1Uet montrons la relation au rang n+ 1 : Un+1 =U.Un=
2n−1.U2par hypoth`ese de r´ecurrence ; Or U2= 2Ud’o`u Un+1 = 2n−12.U = 2n.U.
Les puissances Un, v´erifient (1) puisque ce sont les mˆemes que U`a une constante multiplicative pr`es.
6. A+C=0 0
2 0 donc t(A+C).(A+C) = 4 0 0 0 et (A+C).t(A+C) = 0 0 0 4 .
Ceci prouve que A+Cne commute pas avec sa transpos´ee donc n’appartient pas `a E2alors Aet Csont
dans E2.E2n’est pas un sous-espace vectoriel de M2(R) car il n’est pas stable par somme.
7. tMM =a c
b d .a b c d =a2+c2ab +dc ab +dc b2+d2De mˆeme on obtient : MtM=a2+b2ac +bd ac +bd c2+d2.
Donc M∈E2⇔
ac +bd =ab +dc
a2+b2=a2+c2
b2+d2=c2+d2
⇔b=c
ac +cd =ac +dc ou bien b=−c ac −cd =−ac +dc
Soit b=cou bien b=−cet d=−aet donc M=a c
c d ou bien M=a−c c a .
8. Donc M∈Vect 1 0
0 0 ,0 0 0 1 ,0 1 1 0  ou bien M∈Vect 1 0 0 1 ,0−1 1 0 .
E2est donc bien la r´eunion de deux espaces vectoriels.
9. Calculons U.C =1−1
1−1. Montrons qu’alors U.C /∈E2car ne commute pas avec sa transpos´ee :
1−1
1−1.1 1 −1−1=2 2 2 2 et 1 1
−1−1.1−1 1−1=2−2 −2 2 .
On n’a donc pas la propri´et´e propos´ee puisque Uet Cen donnent un contre-exemple.
PARTIE II
10. S2=
0 0 1
−100
0−1 0
. On a ´egalement tS.S =I3et S.tS=I3donc S∈E3.
Scommute donc avec sa transpos´ee, donc S2´egalement :
t(S2).S2=tS.tS.S.S =tS.S.StS=S.S.tStS=S2.t(S2) soit S2∈E3.
PSI - Lyc´ee de l’Essouriau 3 2014-2015

TD - Chapitres 19 et 20 - ALG` EBRE LIN´ EAIRE
11. tR.R = (aI3+btS+ct(S2)).(aI3+bS +cS2)
tR.R = (a2+b2+c2)I3+a.b(S+tS) + a.c(t(S2) + S2) + b.c(S.t(S2) + S2.tS)
tR.R = (a2+b2+c2)I3+a.b(S+tS) + a.c(t(S2) + S2) + b.c(S+tS)
et R.tR= (aI3+bS +cS2).(aI3+btS+ct(S2))
R.tR= (a2+b2+c2)I3+a.b(S+tS) + a.c(t(S2) + S2) + b.c(S.t(S2) + S2.tS) = tR.R donc R∈E3.
12. Notons F= Vect(I3, S, S2) = {aI3+bS +cS2|(a, b, c)∈R3}. D’apr`es la question 11., toute matrice de
Fcommute avec sa transpos´ee, donc F⊂E3.
De plus : aI3+bS +cS2= 0 ⇔
a b c
−c a b
−b−c a
= 03⇔a=b=c= 0 donc la famille (I3, S, S2) est
libre et Fest bien un espace vectoriel de dimension 3 inclus dans E3.
13. Soient (a, b, c) et (d, e, f) deux ´el´ements de R3et soit R=aI3+bS +cS2et T=dI3+eS +fS2.
R.T =adI3+ (ae +bd)S+ (af +be +cd)S2+ (bf +ce)S3+cfS4=adI3+ (ae +bd)S+ (af +be +cd)S2−
(bf +ce)I3−cfS car on prouve ais´ement que S3=?I3. Donc R.T ∈Vect(I3, S, S2) = Fet Fest bien
stable par multiplication.
PROBL` EME 2 : Un endomorphisme de Rn[X]
Questions pr´eliminaires
1. dim(Rn[X]) = n+ 1 et la base canonique de cet espace vectoriel est (1, X, X2,· · · , Xn) .
2. Raisonnons sur le degr´e :
Si deg P6n−1 alors deg ((X−a)(X−b)P0)6net deg X−a+b
2P6ndonc deg(ϕn(P)) 6n.
Si deg P=nalors P=anXn+Qavec Qde degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1.
On a donc deg(ϕn(Q)) 6nd’apr`es ce qui pr´ec`ede.
De plus ϕn(Xn) = n(X−a)(X−b)Xn−1−nX−a+b
2Xn
ϕn(Xn) = nXn+1 −n(a+b)Xn+abnXn−1−nXn+1 −a+b
2Xn=a+b 2Xn+abnXn−1.
On en d´eduit que deg(ϕn(Xn)) = net donc deg P6npar somme avec Q.
Soit, pour tout polynˆome P∈Rn[X],deg(ϕn(P)) 6n.
3. On montre facilement que ϕnest lin´eaire et `a valeurs dans Rn[X] .
D’apr`es le 2. donc ϕnest un endomorphisme de Rn[X] .
Partie A - ´ Etude de ϕ1
4. ϕ1(αX +β) = −βX donc P∈Ker ϕ1⇔β= 0 donc Ker ϕ1= Vect(X) et dim Ker ϕ1= 1 .
On a ´egalement Im ϕ1= Vect(X) et dim Im ϕ1= 1 .
5. (a) ϕ1(1) = −X+a+b
2et ϕ1(X) = −a+b 2X+ab
(b) ϕ1est un automorphisme de R1[X] et et seulement si ϕ1est surjectif (ϕ1est un endomorphisme).
Or ϕ1est surjectif si et seulement si rg ϕ1= 2 soit Im ϕ1=R1[X] ou Vect(ϕ1(1), ϕ1(X)) = R1[X].
ϕ1est un automorphisme de R1[X] et et seulement si la famille (ϕ1(1), ϕ1(X)) est libre soit
ϕ1(1) et ϕ1(X) non colin´eaires .
PSI - Lyc´ee de l’Essouriau 4 2014-2015

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(c) Dans la base canonique (1, X), ϕ1(1) a pour coordonn´ees (a+b
2,−1) et celles de ϕ1(X) sont (ab, −a+b 2).
Donc ϕ1est un automorphisme de R1[X] si et seulement si :
xy0−x0y6= 0 ⇔ −(a+b)2
4+ab 6= 0 ⇔(a−b)2 46= 0.
ϕ1est un automorphisme de R1[X] si et seulement si a6=b.
Partie B - ´ Etude du noyau de ϕn
6. On pose α= max(a, b) et on consid`ere l’intervalle I=]α, +∞[.
(a) La fonction g:x7→ x2−(a+b)x+ab = (x−a)(x−b) ne s’annule pas sur Icar α= max(a, b) et
les racines de gsont aet b.
Donc en tant que quotient de deux fonctions polynˆomes dont le d´enominateur ne s’annule pas la
fonction f:x7→ 2x−(a+b)
x2−(a+b)x+ab est continue sur I.
(b) La fonction f´etant de la forme u0
u(u´etant strictement positive), une primitive de fest :
F:x7→ ln(x2−(a+b)x+ab) = ln((x−a)(x−b))
La quantit´e dans le logarithme est bien positive sur I.
(c) L’´equation diff´erentielle est de la forme y0=n
2f(x)y. L’ensemble des solutions sur Ide (E) est :
S={I→R, x 7→ C((x−a)(x−b))n/2}
7. On suppose que nest pair et n= 2pavec p∈N.
P∈Ker ϕ2p⇔(X−a)(X−b)P0= 2pX−a+b
2P
⇔la fonction polynˆomiale associ´ee `a Pest solution de (E) sur I.
L’´equivalence r´esulte du fait que solution polynˆomiale de (E) et polynˆome Pco¨ ıncident sur Iqui contient
une infinit´e de points.
La fonction polynˆome est de la forme x7→ C((x−a)(x−b))n/2et par suite P=C((x−a)(x−b))p.
On a donc Ker(ϕ2p) = Vect[((x−a)(x−b))p] une droite vectorielle de dimension 1 .
8. On suppose maintenant que nest impair et n= 2p+ 1 avec p∈N.
De mˆeme qu’`a la question pr´ec´edente :
P∈Ker ϕ2p+1 ⇔la fonction polynˆomiale associ´ee `a Pest solution de (E) sur I.
La fonction solution de (E) est de la forme C((x−a)(x−b))n/2=C((x−a)(x−b))pp(x−a)(x−b).
•si a6=b, cette solution n’est pas polynˆomiale et donc Ker ϕ2p+1 ={0E}soit dim Ker ϕ2p+1 = 0Rn[X].
•si a=b,P=λ(x−a)2p+1 donc Ker(ϕ2p+1) = Vect((x−a)2p+1) une droite vectorielle (dimension 1) .
PSI - Lyc´ee de l’Essouriau 5 2014-2015