Feuille d`exercices n

Mathématiques spéciales
Feuille d’exercices no5
1. Compacité
Exercice 1.
Soit E un espace vectoriel normé et A ⊂ E.
Montrer que si A est compact, alors il existe a, b ∈ A tels que :
diam(A) = d(a, b).
Exercice 2.
Soit E un espace vectoriel normé et A, B des parties compacts de E.
Montrer que si A ∩ B = ∅, alors d(A, B) > 0.
Exercice 3.
Soit E un espace vectoriel normé et C un compact de E.
1. Montrer que si B est un fermé de E, alors la partie
B + C = {x + y | x ∈ B, y ∈ C}
est fermée.
2. On suppose 0E ∈
/ C. Montrer que la partie :
A = {λ.x | λ ∈ R+ , x ∈ C}
est fermée.
Montrer que A n’est pas fermé en général si 0E ∈ K.
Indication.
Pour le 2), montrer que si le complémentaire d’un compact (ou même d’un fermé) contient 0E ,
alors il contient une boule de centre 0E et de rayon strictement positif.
Exercice 4.
Soit f : R → R.
1. On suppose f continue. Montrer que son graphe Gf = {(x, f (x)) | x ∈ R} ⊂ R2 est fermé.
2. On suppose f bornée et que Gf est un fermé de R2 . Montrer que f est continue.
3. Que dire du 2) si on ne suppose plus f bornée ?
1
2. Connexité par arcs
Exercice 5.
Les sous-ensembles de R2 suivants sont-ils convexes ? étoilés ? connexes par arcs ?
— A = {(x, y) | x, y ∈ R∗+ et xy ≥ 1}.
— R2 ∖ Z2 = {(x, y) | x ∈
/ Z et y ∈
/ Z}.
— Gf ∪ Gg où Gf et Gg sont les graphes de fonctions affines f et g de R dans R.
— R2 ∖ Q2 = {(x, y) | x ∈
/ Q et y ∈
/ Q}.
— (R ∖ Q)2 = {(x, y) | x ∈
/ Q ou y ∈
/ Q}.
Exercice 6.
Soit E un espace vectoriel normé et A, B des parties de E. On suppose A et B connexe par arcs.
1. Montrer que A × B est connexe par arcs.
2. En déduire que A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} est connexe par arcs.
Exercice 7.
Soit E un espace vectoriel normé et A, B des parties de E. On suppose A et B connexe par arcs.
1. On suppose A connexe par arcs. A est-il connexe par arcs ?
2. On suppose A connexe par arcs. Å est-il connexe par arcs ?
3. On suppose Å connexe par arcs. A est-il connexe par arcs ?
4. (plus difficile) On suppose A connexe par arcs. A est-il connexe par arcs ?
Exercice 8.
Soit E un espace vectoriel normé et A ⊂ E.
On suppose A est ouvert de E. Montrer que les composantes connexes de A sont des ouverts de
E.
Exercice 9.
gThéorèmededeDarboux
Théorème
Darboux
Soit I un intervalle non vide de R. On note A = {(x, y) ∈ I × I | x < y}.
1. Montrer que A est une partie connexe par arcs de R2 .
2. Soit f : I → R une fonction dérivable. On considère l’application :
φ:
A
→
(x, y)
7→
— Montrer que g(A) ⊂ f ′ (I) ⊂ g(A)
2
R
f (y) − f (x)
y−x
— En déduire que f ′ (I) est un intervalle.
Indication.
Dans la question 2.a), pour l’inclusion φ(A) ⊂ f ′ (I), penser au théorème des accroissements finis.
3. Espaces vectoriels normés de dimension finie
Exercice 10.
Soit n ∈ N et E = Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Démontrer qu’il existe c > 0 tel que, pour tout P ∈ E, on a
∫ 1
|P (t)|dt ≥ c sup |P (t)|.
t∈[0,1]
0
Exercice 11.
On considère On (R) = {M ∈ Mn (R) | tM M = In }
— Montrer que On (R) est une partie compacte de Mn (R).
— Montrer que On (R) n’est pas connexe par arcs.
Exercice 12.
Soit N une norme sur Mn (R). Démontrer qu’il existe une constante C > 0 telle que, pour tout
A, B ∈ Mn (R), on a
N (AB) ≤ CN (A)N (B).
Exercice 13.
gThéorèmededeRiesz
Théorème
Riesz
Soit E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E.
1. Démontrer que pour tout a ∈ E, il existe x ∈ F tel que d(a, F ) = ∥a − x∥.
2. On suppose F =
̸ E. Soit a ∈ E\F et soit x ∈ F tel que d(a, F ) = ∥a − x∥.
a−x
On pose b =
. Montrer que :
∥a − x∥
d(b, F ) = 1 et ∥b∥ = 1.
On suppose que E est de dimension infinie.
3) Construire une suite (bn )n∈N à valeurs dans E telle que, pour tout n ∈ N,
∥bn ∥ = 1 et d(bn , Vect(b0 , . . . , bn−1 )) = 1.
4) En déduire que la boule unité fermée de E n’est pas compacte.
3
Exercice 14.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et A une partie bornée de E non vide.
1. Soit a ∈ E. Démontrer qu’il existe une boule Bf (a, Ra ) de rayon minimal qui contient A.
2. On pose R = inf{Ra | a ∈ E}. Démontrer qu’il existe b ∈ E tel que A ⊂ Bf (b, R).
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