Feuille d`exercices n

Feuille d’exercices no5
Mathématiques spéciales
1. Compacité
Exercice 1.
Exercice 1.
Soit Eun espace vectoriel normé et A⊂E.
Montrer que si Aest compact, alors il existe a, b ∈Atels que :
diam(A) = d(a, b).
Exercice 2.
Exercice 2.
Soit Eun espace vectoriel normé et A, B des parties compacts de E.
Montrer que si A∩B=∅, alors d(A, B)>0.
Exercice 3.
Exercice 3.
Soit Eun espace vectoriel normé et Cun compact de E.
1. Montrer que si Best un fermé de E, alors la partie
B+C={x+y|x∈B, y ∈C}
est fermée.
2. On suppose 0E/∈C. Montrer que la partie :
A={λ.x |λ∈R+, x ∈C}
est fermée.
Montrer que An’est pas fermé en général si 0E∈K.
Indication.
Indication.
Pour le 2), montrer que si le complémentaire d’un compact (ou même d’un fermé) contient 0E,
alors il contient une boule de centre 0Eet de rayon strictement positif.
Exercice 4.
Exercice 4.
Soit f:R→R.
1. On suppose fcontinue. Montrer que son graphe Gf={(x, f(x)) |x∈R} ⊂ R2est fermé.
2. On suppose fbornée et que Gfest un fermé de R2. Montrer que fest continue.
3. Que dire du 2) si on ne suppose plus fbornée ?
1

2. Connexité par arcs
Exercice 5.
Exercice 5.
Les sous-ensembles de R2suivants sont-ils convexes ? étoilés ? connexes par arcs ?
—A={(x, y)|x, y ∈R∗
+et xy ≥1}.
—R2∖ Z2={(x, y)|x/∈Zet y/∈Z}.
—Gf∪ Ggoù Gfet Ggsont les graphes de fonctions anes fet gde Rdans R.
—R2∖ Q2={(x, y)|x/∈Qet y/∈Q}.
—(R∖Q)2={(x, y)|x/∈Qou y/∈Q}.
Exercice 6.
Exercice 6.
Soit Eun espace vectoriel normé et A, B des parties de E. On suppose Aet Bconnexe par arcs.
1. Montrer que A×Best connexe par arcs.
2. En déduire que A+B={a+b|a∈A, b ∈B}est connexe par arcs.
Exercice 7.
Exercice 7.
Soit Eun espace vectoriel normé et A, B des parties de E. On suppose Aet Bconnexe par arcs.
1. On suppose Aconnexe par arcs. Aest-il connexe par arcs ?
2. On suppose Aconnexe par arcs. ˚ Aest-il connexe par arcs ?
3. On suppose ˚ Aconnexe par arcs. Aest-il connexe par arcs ?
4. (plus dicile) On suppose Aconnexe par arcs. Aest-il connexe par arcs ?
Exercice 8.
Exercice 8.
Soit Eun espace vectoriel normé et A⊂E.
On suppose Aest ouvert de E. Montrer que les composantes connexes de Asont des ouverts de
E.
Exercice 9.
Exercice 9. gThéorème de DarbouxThéorème de Darboux
Soit Iun intervalle non vide de R. On note A={(x, y)∈I×I|x < y}.
1. Montrer que Aest une partie connexe par arcs de R2.
2. Soit f:I→Rune fonction dérivable. On considère l’application :
φ:A→R
(x, y)7→ f(y)−f(x)
y−x
— Montrer que g(A)⊂f′(I)⊂g(A)
2

— En déduire que f′(I)est un intervalle.
Indication.
Indication.
Dans la question 2.a), pour l’inclusion φ(A)⊂f′(I), penser au théorème des accroissements nis.
3. Espaces vectoriels normés de dimension nie
Exercice 10.
Exercice 10.
Soit n∈Net E=Rn[X]l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Démontrer qu’il existe c > 0tel que, pour tout P∈E, on a
∫1
0
|P(t)|dt ≥csup
t∈[0,1]
|P(t)|.
Exercice 11.
Exercice 11.
On considère On(R) = {M∈Mn(R)|t MM =In}
— Montrer que On(R)est une partie compacte de Mn(R).
— Montrer que On(R)n’est pas connexe par arcs.
Exercice 12.
Exercice 12.
Soit Nune norme sur Mn(R). Démontrer qu’il existe une constante C > 0telle que, pour tout
A, B ∈ Mn(R), on a
N(AB)≤CN(A)N(B).
Exercice 13.
Exercice 13. gThéorème de RieszThéorème de Riesz
Soit Eun espace vectoriel normé et Fun sous-espace vectoriel de dimension nie de E.
1. Démontrer que pour tout a∈E, il existe x∈Ftel que d(a, F ) = ∥a−x∥.
2. On suppose F̸=E. Soit a∈E\Fet soit x∈Ftel que d(a, F ) = ∥a−x∥.
On pose b=a−x
∥a−x∥. Montrer que :
d(b, F ) = 1 et ∥b∥= 1.
On suppose que Eest de dimension innie.
3) Construire une suite (bn)n∈Nà valeurs dans Etelle que, pour tout n∈N,
∥bn∥= 1 et d(bn,Vect(b0, . . . , bn−1)) = 1.
4) En déduire que la boule unité fermée de En’est pas compacte.
3

Exercice 14.
Exercice 14.
Soit Eun espace vectoriel de dimension nie et Aune partie bornée de Enon vide.
1. Soit a∈E. Démontrer qu’il existe une boule Bf(a, Ra)de rayon minimal qui contient A.
2. On pose R=inf{Ra|a∈E}. Démontrer qu’il existe b∈Etel que A⊂Bf(b, R).
4