Trigonométrie – Distance de 2 points − Milieu

Trigonométrie
I. Dans un triangle rectangle
C
Hypoténuse
Côté opposé à
l'angle ABC
B
A
Côté adjacent à
l'angle ABC
Définition : Dans un triangle ABC rectangle en A, on note
•
•
•
AB côté adjacent
=
BC
hypoténuse
AC
côté
opposé
sin 
ABC =
=
BC hypoténuse
AC côté opposé
tan 
ABC=
=
AB côté adjacent
cos 
ABC =
ABC
le cosinus de l’angle 
ABC
le sinus de l’angle 
ABC
la tangente de l’angle 
 placer la calculatrice en mode degrés
Mnémotechnique : cahsohtoa ou sohcahtoa
II. Relations
C
x
A
B
ABC = x
Soit x un angle aigu, il existe un triangle ABC rectangle en A tel que 
On a alors : cos x =
AB
BC
; sin x =
Notations :
• (cos x)2 sera noté cos2 x
• (sin x)2 sera noté sin2 x
AC
BC
;
tan x =
AC
AB
.
(1) Calculons cos2 x + sin2 x
2
   
2
2
AB
AC
AB  AC

=
2
BC
BC
BC
cos2 x + sin2 x =
2
ABC est rectangle en A, donc, d’après le théorème de pythagore AB2 + AC2 = BC2
2
D’où
2
2
AB  AC
BC
=
2
2 =1
BC
BC
cos2 x + sin2 x = 1
(2) Calculons
sin x
cos x
AC
sin x BC AC BC AC
=
=
×
=
=tan x
cos x AB BC AB AB
BC
tan x=
sin x
cos x
Remarque : pour tout angle aigu x :
0 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ sin x ≤ 1
Application : sachant que cos x = 0,8 ; calculer sin x et tan x
cos2 x + sin2 x = 1
2
d’où sin x = 0,36
comme sin x > 0, sin x = 0,6
tan x=
0,6 3
= =0,75
0,8 4
I. supprimé : Exercice
Soit x et y 2 angles complémentaires
ABC = x et 
ACB = y
Il existe un triangle ABC rectangle en A tel que 
Dans ce triangle :
AB
BC
AC
cos y=
BC
AC
BC
AB
sin y=
BC
cos x=
sin x=
AC
AB
AB
tan y=
AC
tan x=
Que remarque t’on ?
Si deux angles x et y sont complémentaires
• Le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre : sin x = cos y ; sin y = cos x
•
On a donc :
1
Les tangentes sont inverses l’une de l’autre : tan x= tan y
sin x = cos (90° – x)
cos x = sin (90° – x)
tan x=
1
tan90 °− x
III.Quelques résultats
Angle
0°
Cos
1
Sin
0
tan
0
30°
3
2
1
2
1
3
=
3
3
45°
60°
1 2
=
2 2
1 2
=
2 2
1
2
3
2
1
3
90°
0
1
impossible