ab - groupoïdes et groupes

AB - GROUPOÏDES ET GROUPES
Généralités
Définitions On appelle groupoïde (G, ∗)un ensemble Gmuni d’une loi de composition
interne ∗.
Le groupoïde sera dit associatif, si la loi ∗est associative, et commutatif si la loi ∗est commu-
tative.
Elément neutre
Définitions
– On appelle élément neutre à droite (resp. à gauche), un élément ede Gvérifiant pour tout
xde G
x∗e=x(resp. e∗x=x).
– On appelle élément neutre un élément qui est à la fois neutre à droite et à gauche.
Propriétés des éléments neutres
N1 Si dans un groupoïde il existe un neutre à droite et un neutre à gauche, ils sont égaux.
N2 Dans un groupoïde, il existe au plus un élément neutre.
N3 Si la loi ∗est commutative, il existe au plus un élément neutre.
N1 Si eest neutre à droite et fneutre à gauche, on a à la fois
f∗e=fet f∗e=e .
Les propriétés N2 et N3 s’en déduisent immédiatement.
Remarque : on peut avoir dans un groupoïde plusieurs éléments neutres à droite distincts. Il résulte
de N1 qu’il n’y a pas alors de neutre à gauche. Par exemple si l’on définit dans un ensemble Gla loi ∗
par
x∗y=x
tout élément de Gest neutre à droite.

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Elément symétrique
Définitions
– Dans un groupoïde (G, ∗)muni d’un élément neutre à droite (resp. à gauche) e, on appelle
élément symétrique à droite (resp. à gauche) de xun élément yvérifiant
x∗y=e(resp. y∗x=e).
– Dans un groupoïde (G, ∗)muni d’un élément neutre e, on appelle élément symétrique de x
un élément yà la fois symétrique de xà gauche et à droite.
Propriétés des symétriques
S1 Soit un groupoïde associatif (G, ∗)possédant un élément neutre e. Si un élément xpossède un
symétrique à gauche et un symétrique à droite, ils sont égaux.
S2 Dans un groupoïde associatif possédant un élément neutre, un élément xpossède au plus un
symétrique.
S3 Si la loi ∗est commutative, tout symétrique à gauche ou à droite de xest un élément symétrique
de x.
S4 Soit un groupoïde associatif (G, ∗). Si yest un élément symétrique à droite de xpour le neutre
à droite e, et zun élément symétrique à droite de tpour le même neutre à droite e, alors x∗y
est un symétrique à droite de x∗tpour e. (Même chose à gauche).
S5 Dans un groupoïde fini associatif et possédant un neutre e, tout symétrique à droite ou à gauche
de xest un élément symétrique de x. Il est donc unique.
S1 Si l’on a
x∗y=z∗x=e ,
on peut écrire
y=e∗y= (z∗x)∗y=z∗(x∗y) = z∗e=z .
Les propriétés S2 et S3 sont évidentes.
S4 On a
(x∗t)∗(z∗y) = x∗(t∗(z∗y))
=x∗((t∗z)∗y)
=x∗(e∗y)
=x∗y
=e .
S5 Soit xpossédant ycomme symétrique à droite. A partir de x1=x, on définit une suite de Gpar
la relation
xn=x∗xn−1.

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Une conséquence de S4 (par récurrence) est que xnpossède yncomme symétrique à droite.
Comme Gest fini, il existe au moins deux termes de cette suite qui sont égaux. Donc, il existe des
entiers pet qtels que
xp=xq+p=xq∗xp.
Alors
e=xp⋆ yp=xq⋆(xp⋆ yp) = xq∗e=xq.
Donc
xq=xq−1∗x=x∗xq−1=e ,
Il en résulte que xq−1est le symétrique de x. Alors d’après S1
xq−1=y .
Remarque : on peut trouver un groupoïde associatif possédant un élément neutre, et tel qu’un de ses
éléments xpossède deux symétriques à droite. D’après ce qui précède Gest infini, l’élément xne peut
posséder de symétrique à gauche et la loi ∗n’est pas commutatif.
Exemple Soit E={a, b, c}un ensemble à trois éléments. Notons Fl’ensemble {(a, b),(a, c)}. Pour
n≥2, soit E′nle sous-ensemble de Enformé des n−uplets (x1,...,xn)tels que, pour tout icompris
entre 1et n−1, le couple (xi, xi+1)n’appartienne pas à F. On note aussi
E′0={( )}et E′1={(a),(b),(c)}
et l’on pose
G=[
n≥0
E′n.
L’ensemble Gest l’ensemble de mots formés à partir des lettres a,bet cdans lesquels on ne trouve
jamais ab et ac.
On définit dans cet ensemble, une loi de composition interne, notée ∗de la manière suivante : soit
x= (x1,...,xp)et y= (y1,...,yq). On pose
x⋆y =
(x1,...,xp−s, ys+1,...,yq)si (xp, y1),...,(xp−s+1, ys)sont dans Fet (xp−s, ys+1)n’y est pas
(x1,...,xp−q)si (xp, y1),...,(xp−q+1, yq)sont dans Fet p > q
(yp,...,yq)si (xp, y1),...,(x1, yp)sont dans Fet p < q
( ) si (xp, y1),...,(x1, yp)sont dans Fet p=q
Enfin, pour tout xde G, on pose
x∗( ) = ( ) ∗x=x .
Le mot x∗yest donc la concaténation de xet de ydans laquelle on supprime tous les doublets ab et ac.
Il résulte de cette définition que la loi est associative admet pour neutre ( ), et que
(a)∗(b) = (a)∗(c) = ( ) .
Donc (a)possède deux symétriques à droite.

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Elément absorbant
Définitions
– On appelle élément absorbant à droite (resp. à gauche), un élément ade Gvérifiant pour
tout xde G
x∗a=a(resp. a∗x=a).
– On appelle élément absorbant un élément qui est à la fois absorbant à droite et à gauche.
Propriétés des éléments absorbants
A1 Si dans un groupoïde il existe un absorbant à droite et un absorbant à gauche, ils sont égaux.
A2 Dans un groupoïde, il existe au plus un élément absorbant.
A3 Si la loi ∗est commutative, il existe au plus un élément absorbant.
A4 Un élément absorbant possède un symétrique si et seulement si Gest un singleton
A1 Si aest absorbant à droite et bà gauche, on a à la fois
b∗a=aet b∗a=b .
Les propriétés A2 et A3 s’en déduisent immédiatement.
A4 Soit aabsorbant, el’élément neutre et xle symétrique de a. On a
a=a∗x=e .
Alors si yest un élément de G,
y=y∗e=y∗a=a ,
et donc
G={a}.
Trois manières de définir un groupe
Proposition Soit (G, ∗)un groupoïde associatif. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1) U1il existe un élément neutre e
V1tout élément de Gpossède un symétrique
2) U2il existe un élément neutre à droite e
V2tout élément de Gpossède un symétrique à droite
3) U3quel que soit xet ydans G, il existe ztel que x∗z=y
V3quel que soit xet ydans G, il existe ttel que t∗x=y .
On dit dans ce cas que le groupoïde (G, ∗)est un groupe .

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Remarque : dans 2) on peut remplacer “à droite” par “à gauche”. Il suffit en fait d’avoir les propriétés
d’un seul côté pour les avoir des deux côtés.
La proposition est évidente si Gne contient qu’un seul élément xcar dans ce cas la loi ∗est définie par
x∗x=x , et toutes les propriétés sont vraies. On suppose désormais que Gcontient au moins deux
éléments.
2) ⇒1)
Soit xdans G,yun symétrique à droite de xet zun symétrique à droite de y. Alors, d’après S4, y∗z
est symétrique à droite de y∗x, donc eest symétrique à droite de y∗x, ce qui implique
y∗x=e .
Alors
e∗x= (x∗y)∗x=x∗(y∗x) = x∗e .
Donc eest neutre à gauche. Et on a aussi
x∗y=y∗x=e .
Donc tout élément admet un symétrique.
1) ⇒3)
Soit xet ydans G, et ule symétrique de x. Si l’on pose
z=u∗y ,
on a
x∗z=x∗(u∗y) = (x∗u)∗y=e∗y=y .
De même, en posant
t=y∗u ,
obtient-on
t∗x=y .
3) ⇒2)
Soit xdans G. Soit uun autre élément de G. D’après V3, il existe idans Gtel que
i∗u=u
et d’après U3 il existe jdans Gtel que
x∗j=x .
Puis, successivement en utilisant U3 ou V3, il existe k,l,m,ndans Gtels que
k∗j=i l ∗x=k i ∗m=j u ∗n=m .