7 Probabilités et fréquences Chapitre

78
Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences
© Éditions Belin 2010
Ce chapitre commence par un cours classique introduisant les notions essentielles
permettant de calculer de manière théorique la probabilité d’un événement.
Nous avons fait le choix de commencer par introduire le vocabulaire des
événements et des ensembles avant de défi nir la notion de probabilité. La seconde
partie aborde une autre approche, l’approche dite « fréquentiste » qui permet
de réinvestir le chapitre précédent de statistique. C’est l’occasion de présenter
à nouveau des exercices de simulation (déjà proposés dans le chapitre 6) en
utilisant la possibilité de confronter les résultats à un calcul théorique.
Probabilités
et fréquences Chapitre 7
Ouverture
Le hasard, mot d’origine arabe, a d’abord
désigné les jeux de dé (az-zahr : le dé). Si les
jeux de dés sont les ancêtres étymologiques
des probabilités, ils en sont aussi les ancêtres
mathématiques. Que ce soit la question du
Duc de Toscane à Galilée ou celle du Che-
valier de Méré demandant à Blaise Pascal
s’il est plus probable d’obtenir (au moins)
un six lors de quatre lancers d’un seul dé,
qu’un double six (au moins) lors de vingt-
quatre lancers de deux dés, on constate
dans les deux cas que les probabilités ont
d’abord été envisagées pour répondre à des
problèmes liés à des jeux de dés et, aussi, de
lancers de pièces.
Jusqu’à Buffon, cette théorie, développée en
particulier par Pascal et Fermat, porta essen-
tiellement sur des problèmes de dénombre-
ment : le fameux quotient, nombre de cas
favorables divisé par nombre de cas possibles.
Buffon, dans son traité d’arithmétique
morale, fi t entrer les probabilités dans le
domaine continu en étudiant le jeu de
« franc-carreau » et le jet d’aiguille sur un
parquet, en « généralisant » à des proba-
bilités géométriques le quotient précédent.
Le séisme du paradoxe de Bertrand remit
tout en cause ; il montra la nécessité de défi -
nitions précises dans le cadre du continu et
d’une théorie axiomatisée des probabilités,
théorie achevée au XXe siècle par le russe
Kolmogorov.
Durant tout ce développement, comme le
montre la question du Duc de Toscane, les
fréquences ont été sous jacentes ; le double
aspect des probabilités : celles calculables en
utilisant un modèle théorique et celles obte-
nues comme limites de fréquences est très
naturel.
Si nous revenons au Duc de Toscane, on
peut écrire les décompositions suivantes (à
l’ordre près) :
9 = 1 + 2 + 6 10 = 1 + 3 + 6 12 = 1 + 5 + 6
9 = 1 + 3 + 5 10 = 1 + 4 + 5 12 = 2 + 4 + 6
9 = 1 + 4 + 4 10 = 2 + 2 + 6 12 = 2 + 5 + 5
9 = 2 + 2 + 5 10 = 2 + 3 + 5 12 = 3 + 3 + 6
9 = 2 + 3 + 4 10 = 2 + 4 + 4 12 = 3 + 4 + 5
9 = 3 + 3 + 3 10 = 3 + 3 + 4 12 = 4 + 4 + 4
Dans chacune fi gurent trois décompositions
avec trois chiffres différents, chacune ayant
la même probabilité d’apparaître 1
36
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟, des
décompositions utilisant deux chiffres différents
qui ont aussi la même probabilité d’apparaître
1
72
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟, mais 9 et 12 font apparaître une décom-
position utilisant un seul chiffre qui n’a qu’une
probabilité de 1
216 d’apparaître. Ainsi les pro-
babilités de réaliser 9 ou 12 sont 25
216 et celle

7979
Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences
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de réaliser 10 est, elle, de 27
216, différence très
faible mais que l’on peut observer en jouant
beaucoup !
Pour bien commencer
Exercice 1 1. 17 élèves de TS1 n’étudient pas
l’allemand en seconde langue et 16 en TS2.
TS1
30
17 16
TS2
32
13 16
2. a/ La probabilité qu’il soit de TS1 est 30
62.
b/ La probabilité qu’il étudie l’allemand est
29
62.
3. La probabilité qu’il soit de TS1 est 13
29.
Exercice 2 1. L’arbre pondéré complété est :
1
–
2
1
–
2
2
–
6
2
–
3
1
–
6
1
–
3
3
–
8
3
–
4
1
–
8
1
–
4
1 2
2. La probabilité de tirer une boule blanche
est 1
2
2
3
1
2
1
4
2
6
1
8
11
24
×+× = + = .
Exercice 3 1. Le tableau à double entrée est :
Filles Garçons
Majeur(e) 1 34
Mineur(e) 11 18 29
12 21 33
2. La probabilité que ce soit une fi lle mineure
est 11
33
1
3
=.
Activités d’introduction
Commentaires
Les diagrammes, les tableaux à doubles
entrées et les arbres des possibles sont les
principaux outils développés en collège. Ils
sont réinvestis dans des exercices plus éla-
borés qui permettent de faire le point sur les
acquis nécessaires.
L’activité 4 est consacrée à l’usage et la signi-
fi cation du « et » et du « ou » inclusif.
Activité 1
24 536
LV
a/ Faux, il y en a 9.
b/ Vrai, il y en a 2.
c/ Vrai, ils sont 6 dans l’équipe V.
d/ Vrai, ils sont 6 dans l’équipe L.
e/ Vrai, ils sont 2.
f/ Faux, il existe 9 footballeurs de l’équipe L
qui ne jouent pas dans l’équipe V.
g/ Vrai.
h/ Faux, 18 joueurs ne jouent que dans une
des deux équipes.
i/ Vrai.
Activité 2 1. Le tableau à double entrée
complété est :
Vaccinés Non-vaccinés Total
Malades 41822
Bien portants 36 42 78
40 60 100
2. a/ 22 % d’élèves sont malades dans le lycée.
b/ 4
22
2
11 018==, soit 18 % d’élèves vaccinés,
parmi les élèves malades.
c/ 42
78
7
13 0 538==, soit 54 % d’élèves non
vaccinés, parmi les élèves bien portants.

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Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences
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Activité 3
0,03 0,97
0,02 0,01 0,99
0,98
défectueux
refusé accepté
non défectueux
refusé accepté
Activité 4
Amélie majeure − de 1 m 75 autorisée
Alia mineure − de 1 m 75 interdite
Anatole mineur + de 1 m 75 interdit
Adrien majeur + de 1 m 75 interdit
Baio majeur accompagné autorisé
Béatrice mineure accompagnée autorisée
Benjamin mineur seul interdit
Bertrand majeur seul autorisé
Exercices et problèmes
VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS
1
1
1. a/ Vrai ; b/ faux ; c/ vrai.
2. a/ Vrai ; b/ vrai ; c/ faux.
2
2
a/ A ∩ B = {c, d, e} ;
A ∩ C = {b, d, e} ;
C ∩ B = {d, e}.
On peut remarquer que A ∩ C = C, donc que
C ⊂ A.
b/ A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h} ;
A ∪ C = {a, b, c, d, e} ;
C ∪ B = {b, c, d, e, f, g, h}.
On peut remarquer que A ∪ C = C.
On retrouve ainsi C ⊂ A.
c/ A ∩ Ω = A ; A ∪ Ω = Ω.
4
4
a/ On effectue
la différence du plus grand
par le plus petit.
Ω = {0 ; 1 ; 2 ; 3}.
1234
10123
21012
32101
43210
b/ On effectue
la somme des deux
nombres obtenus.
Ω = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}.
1234
12345
23456
34567
45678
c/ On effectue
le produit des deux
nombres obtenus.
1234
11234
22468
336912
4481216
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 16}.
6
6
« les deux lettres forment dans l’ordre
une note de musique » = {FA ; MI}.
8
8
a/ Il existe 4 choix pour le premier chiffre,
5 pour le second et 6 pour le troisième.
Il existe 4 × 5 × 6 = 120 triplets possibles.
b/ Le contraire de « au moins deux chiffres
différents » est « trois chiffres identiques ».
C’est-à-dire 000 111 222 ou 333.
Le nombre de triplets à « au moins deux
chiffres différents » est 116 (120 − 4 = 116).
10
10
a/
E ∩ F
50
50100 152102
EF
b/ card F = card(E ∪ F) + card(E ∩ F) − card E
= 202 + 50 − 100 = 152.
11
11
a/ L’arbre des choix possibles est :
A
BC ABC
ACB
BAC
BC
A
CAB
CB
A
BC
C
A B
AB
B
AC
A
C
L’univers de cette expérience est :
Ω = {ABC ; ACB ; BAC ; BCA ; CAB ; CBA}.
b/ La longueur de chaque tournée est
ABC : 17 km ; ACB : 34 km ; BAC : 21 km ;
BCA : 34 km ; CAB : 21 km ; CBA : 17 km.
Les tournées les plus courtes sont ABC et CBA.

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Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences
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12
12
a/
A ∩ B
5
4045 6055
AB
b/ card(A ∩ B) = card A + card B − card(A ∪ B)
= 45 + 60 − 100 = 5.
13
13
a/ L’événement U ∪ D représente « on tire
le 1 en premier ou on tire le 2 en second ».
L’événement U ∩ D représente « on tire le 1
en premier puis le 2 en second ».
b/ Le 1
en 1er
Un autre
nombre
en 1er Total
Le 2 en 2d156
Un autre
nombre en 2d52530
Total 6336
c/ L’événement U ∪ D est constitué de :
5 + 5 + 1 = 11 éléments.
14
14
a/ Faux ; b/ vrai ; c/ vrai ; d/ faux ; e/ vrai ;
f/ vrai ; g/ faux ; h/ faux ; i/ faux ; j/ faux.
16
16
La probabilité d’obtenir une boule mar-
quée « 1 » est : 2
3.
La probabilité d’obtenir une boule blanche :
2
3.
La probabilité d’obtenir une boule blanche
marquée « 1 » : 1
3.
La probabilité d’obtenir une boule blanche
ou une boule marquée « 1 » : 3
3 = 1, c’est
l’événement certain.
18
18
1. a/ Probabilité de l’événement « lire un
B » = 1
6.
b/ Probabilité de l’événement « lire un A »
= 2
6
1
3
=.
2. a/ Probabilité de « lire BE » = 1
36.
b/ Probabilité de « lire AN » = 4
36
1
9
=.
19
19
a/ L’événement « obtenir un nombre
impair » = {1 ; 3 ; 5 ; 7}.
La probabilité d’obtenir un nombre impair
est 4
8
1
2
=.
b/ L’événement « obtenir un multiple de 3 »
= {3 ; 6}.
La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est
2
8
1
4
=.
c/ L’événement « obtenir un multiple de 4 »
= {4 ; 8} et sa probabilité est 2
8
1
4
=.
La probabilité de ne pas obtenir un multiple
de 4 est
1
2
8
6
8
3
4
−==
.
20
20
a/ L’événement « obtenir un nombre pair »
= {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20}.
La probabilité d’obtenir un nombre pair est
10
20
1
2
=.
b/ L’événement « obtenir un multiple de 3 »
= {3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18}.
La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est
6
20
3
10
=.
c/ L’événement « obtenir un multiple de 5 »
= {5 ; 10 ; 15 ; 20}.
La probabilité d’obtenir un multiple de 5 est
4
20
1
5
=.
21
21
a/ A = {11 ; 21 ; 31 ; 41 ; 51 ; 61 ; 71 ;
81 ; 91}, donc p(A) = 9
90
1
10
=.
b/ B = {10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ;
18 ; 19}, donc p(B) = 10
90
1
9
=.
c/ Le contraire de : « le chiffre 1 ne fi gure
pas dans le nombre lu » est « le chiffre 1
apparaît » c’est A ∪ B = C.
C = {10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ;17 ; 18 ;
19 ; 21 ; 31 ; 41 ; 51 ; 61 ; 71 ; 81 ; 91}.
L’ensemble C est composé de 18 nombres.
Il reste donc 90 − 18 = 72 nombres.
p(C) = 72
90
4
5
=.

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Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences
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PROBABILITÉS ET FRÉQUENCES
22
22
a/ Faux ; b/ faux ; c/ faux.
Exemple : si on considère une urne contenant
10 000 boules de 10 couleurs différentes,
pour modéliser le tirage de boules rouges,
il suffi t de connaître le nombre de boules
rouges (et le nombre de boules total). Inutile
de connaître le nombre de boules de cha-
cune des autres couleurs.
24
24
@ fi chier Excel corrigé disponible sur
www.libtheque.fr/mathslycee.
1. a/ Voir fi chier corrigé.
b/ en B5 : « = ALEA()*2-1 ».
c/ en C5 : « = ALEA()*2-1 ».
d/ en D5 : « =RACINE(B5*B5+C5*C5) ».
2. a/ Le point d’impact se trouve dans la
cible circulaire.
Dans la cellule E5 : « =SI(D5<=1;1;0) ».
Dans la cellule F5 : « =E5 », puis dans la cel-
lule F6 : « =F5+E6 », etc.
b/ Dans la cellule G5 : =F5/A5.
3. a/ En cellule A2 : =$G$4002
En cellule B2 : =$G$5002
En cellule G2 : =$G$10002
b/ Voir fi chier corrigé.
c/ Soit p la probabilité d’atteindre le disque
d’aire π cm2.
On a donc pp
ππ
=−
−
1
4, soit π
4.
Cette simulation permet de calculer π comme
fréquence limite de 4p.
25
25
n:= 0;
Pour (x:= 1; x <= 10; x:= x + 1)
Pour (y:= 1; y <= 10; y:= y + 1)
Pour (z:= 1; z <= 10; z: = z + 1)
Si (x * y > 3 * z) alors n:= n + 1 ;
FinPour
FinPour
FinPour
Afficher(n);
SUR L’ENSEMBLE DU CHAPITRE
27
27
On marque
d’une croix
les éléments de
l’événement A.
123456
1
2
3
4
5
6
On marque
d’un cercle
les éléments de
l’événement B.
123456
1䊊䊊䊊
2䊊䊊䊊
3䊊䊊䊊
4䊊䊊䊊
5䊊䊊䊊
6䊊䊊䊊
On marque
d’un « plus »
les éléments de
l’événement C.
123456
1
2⫹⫹⫹⫹⫹
3⫹
4⫹⫹⫹⫹
5⫹⫹
6⫹⫹⫹
On constate que A et B n’ont aucun élément
en commun.
Les événements A et B sont incompatibles.
On constate que A et C n’ont aucun élément
en commun.
Les événements A et C sont incompatibles.
Notons que ce résultat était évident : lorsqu’un
nombre est pair, son produit par tout entier
est pair.
Pourtant, les éléments: (2 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 2),
(4 ; 5), (5 ; 2), (5 ; 4) sont communs aux
événements B et C.
Les événements B et C ne sont pas incom-
patibles.
La relation de compatibilité n’est pas tran-
sitive.