Probabilités et fréquences Chapitre 7 Ce chapitre commence par un cours classique introduisant les notions essentielles permettant de calculer de manière théorique la probabilité d’un événement. Nous avons fait le choix de commencer par introduire le vocabulaire des événements et des ensembles avant de définir la notion de probabilité. La seconde partie aborde une autre approche, l’approche dite « fréquentiste » qui permet de réinvestir le chapitre précédent de statistique. C’est l’occasion de présenter à nouveau des exercices de simulation (déjà proposés dans le chapitre 6) en utilisant la possibilité de confronter les résultats à un calcul théorique. © Éditions Belin 2010 Ouverture Le hasard, mot d’origine arabe, a d’abord désigné les jeux de dé (az-zahr : le dé). Si les jeux de dés sont les ancêtres étymologiques des probabilités, ils en sont aussi les ancêtres mathématiques. Que ce soit la question du Duc de Toscane à Galilée ou celle du Chevalier de Méré demandant à Blaise Pascal s’il est plus probable d’obtenir (au moins) un six lors de quatre lancers d’un seul dé, qu’un double six (au moins) lors de vingtquatre lancers de deux dés, on constate dans les deux cas que les probabilités ont d’abord été envisagées pour répondre à des problèmes liés à des jeux de dés et, aussi, de lancers de pièces. Jusqu’à Buffon, cette théorie, développée en particulier par Pascal et Fermat, porta essentiellement sur des problèmes de dénombrement : le fameux quotient, nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles. Buffon, dans son traité d’arithmétique morale, fit entrer les probabilités dans le domaine continu en étudiant le jeu de « franc-carreau » et le jet d’aiguille sur un parquet, en « généralisant » à des probabilités géométriques le quotient précédent. Le séisme du paradoxe de Bertrand remit tout en cause ; il montra la nécessité de définitions précises dans le cadre du continu et 78 Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences d’une théorie axiomatisée des probabilités, théorie achevée au XXe siècle par le russe Kolmogorov. Durant tout ce développement, comme le montre la question du Duc de Toscane, les fréquences ont été sous jacentes ; le double aspect des probabilités : celles calculables en utilisant un modèle théorique et celles obtenues comme limites de fréquences est très naturel. Si nous revenons au Duc de Toscane, on peut écrire les décompositions suivantes (à l’ordre près) : 9 = 1 + 2 + 6 10 = 1 + 3 + 6 12 = 1 + 5 + 6 9 = 1 + 3 + 5 10 = 1 + 4 + 5 12 = 2 + 4 + 6 9 = 1 + 4 + 4 10 = 2 + 2 + 6 12 = 2 + 5 + 5 9 = 2 + 2 + 5 10 = 2 + 3 + 5 12 = 3 + 3 + 6 9 = 2 + 3 + 4 10 = 2 + 4 + 4 12 = 3 + 4 + 5 9 = 3 + 3 + 3 10 = 3 + 3 + 4 12 = 4 + 4 + 4 Dans chacune figurent trois décompositions avec trois chiffres différents, chacune ayant ⎛ 1⎞ la même probabilité d’apparaître ⎜ ⎟, des ⎝36⎠ décompositions utilisant deux chiffres différents qui ont aussi la même probabilité d’apparaître ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ , mais 9 et 12 font apparaître une décom⎝72⎠ position utilisant un seul chiffre qui n’a qu’une 1 probabilité de d’apparaître. Ainsi les pro216 25 babilités de réaliser 9 ou 12 sont et celle 216 27 , différence très 216 faible mais que l’on peut observer en jouant beaucoup ! de réaliser 10 est, elle, de Commentaires Pour bien commencer Exercice 1 1. 17 élèves de TS1 n’étudient pas l’allemand en seconde langue et 16 en TS2. TS1 13 TS2 16 17 16 30 32 L 2 – 3 1. L’arbre pondéré complété est : 2 – 6 1 1 – 2 1 – 3 1 – 4 1 – 6 1 – 8 2 3 – 4 3 – 8 2. La probabilité de tirer une boule blanche 1 2 1 1 2 1 11 . est × + × = + = 2 3 2 4 6 8 24 Exercice 3 © Éditions Belin 2010 Majeur(e) Mineur(e) 1. Le tableau à double entrée est : Filles 1 11 12 Garçons 3 18 21 V 30 . 62 b/ La probabilité qu’il étudie l’allemand est 29 . 62 13 3. La probabilité qu’il soit de TS1 est . 29 1 – 2 Les diagrammes, les tableaux à doubles entrées et les arbres des possibles sont les principaux outils développés en collège. Ils sont réinvestis dans des exercices plus élaborés qui permettent de faire le point sur les acquis nécessaires. L’activité 4 est consacrée à l’usage et la signification du « et » et du « ou » inclusif. Activité 1 2. a/ La probabilité qu’il soit de TS1 est Exercice 2 n Activités d’introductio 4 29 33 2. La probabilité que ce soit une fille mineure 11 1 = . est 33 3 6 3 2 4 5 a/ Faux, il y en a 9. b/ Vrai, il y en a 2. c/ Vrai, ils sont 6 dans l’équipe V. d/ Vrai, ils sont 6 dans l’équipe L. e/ Vrai, ils sont 2. f/ Faux, il existe 9 footballeurs de l’équipe L qui ne jouent pas dans l’équipe V. g/ Vrai. h/ Faux, 18 joueurs ne jouent que dans une des deux équipes. i/ Vrai. Activité 2 1. Le tableau à double entrée complété est : Malades Bien portants Vaccinés Non-vaccinés Total 4 18 22 36 42 78 40 60 100 2. a/ 22 % d’élèves sont malades dans le lycée. 4 2 = = 0,18 soit 18 % d’élèves vaccinés, b/ 22 11 parmi les élèves malades. 42 7 = = 0,538 soit 54 % d’élèves non c/ 78 13 vaccinés, parmi les élèves bien portants. Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences 79 Activité 3 0,03 défectueux b/ On effectue 1 2 la somme des deux 1 2 3 nombres obtenus. 2 3 4 Ω = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}. 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 0,97 non défectueux 0,98 0,02 0,01 0,99 refusé accepté refusé accepté Activité 4 Amélie Alia Anatole Adrien c/ On effectue le produit des deux nombres obtenus. 1 2 3 4 − de 1 m 75 autorisée − de 1 m 75 interdite + de 1 m 75 interdit + de 1 m 75 interdit es Exercices et problèm 3 4 3 4 6 8 9 12 12 16 6 « les deux lettres forment dans l’ordre une note de musique » = {FA ; MI}. 8 a/ Il existe 4 choix pour le premier chiffre, 5 pour le second et 6 pour le troisième. Il existe 4 × 5 × 6 = 120 triplets possibles. b/ Le contraire de « au moins deux chiffres différents » est « trois chiffres identiques ». C’est-à-dire 000 111 222 ou 333. Le nombre de triplets à « au moins deux chiffres différents » est 116 (120 − 4 = 116). 10 a/ E 100 F 50 E∩F 152 b/ card F = card(E ∪ F) + card(E ∩ F) − card E = 202 + 50 − 100 = 152. 1 1. a/ Vrai ; b/ faux ; c/ vrai. 2. a/ Vrai ; b/ vrai ; c/ faux. 11 a/ L’arbre des choix possibles est : 2 a/ A ∩ B = {c, d, e} ; A ∩ C = {b, d, e} ; C ∩ B = {d, e}. On peut remarquer que A ∩ C = C, donc que C ⊂ A. b/ A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h} ; A ∪ C = {a, b, c, d, e} ; C ∪ B = {b, c, d, e, f, g, h}. On peut remarquer que A ∪ C = C. On retrouve ainsi C ⊂ A. c/ A ∩ Ω = A ; A ∪ Ω = Ω. 4 a/ On effectue la différence du plus grand par le plus petit. Ω = {0 ; 1 ; 2 ; 3}. 102 50 VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS © Éditions Belin 2010 2 2 4 6 8 Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 16}. majeure mineure mineur majeur majeur accompagné autorisé Baio mineure accompagnée autorisée Béatrice seul interdit Benjamin mineur majeur seul autorisé Bertrand 80 1 1 2 3 4 4 5 6 7 8 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences 4 3 2 1 0 B C ABC C B ACB A C BAC C A BCA A B CAB B A CBA A B C L’univers de cette expérience est : Ω = {ABC ; ACB ; BAC ; BCA ; CAB ; CBA}. b/ La longueur de chaque tournée est ABC : 17 km ; ACB : 34 km ; BAC : 21 km ; BCA : 34 km ; CAB : 21 km ; CBA : 17 km. Les tournées les plus courtes sont ABC et CBA. 12 a/ A 45 B A∩B 40 55 60 5 b/ card(A ∩ B) = card A + card B − card(A ∪ B) = 45 + 60 − 100 = 5. 13 a/ L’événement U ∪ D représente « on tire le 1 en premier ou on tire le 2 en second ». L’événement U ∩ D représente « on tire le 1 en premier puis le 2 en second ». b/ 1 Un autre nombre en 1er 5 5 25 30 6 3 36 Le 1 en 1er Le 2 en 2d Un autre nombre en 2d Total Total 6 c/ L’événement U ∪ D est constitué de : 5 + 5 + 1 = 11 éléments. 14 a/ Faux ; b/ vrai ; c/ vrai ; d/ faux ; e/ vrai ; f/ vrai ; g/ faux ; h/ faux ; i/ faux ; j/ faux. 16 La probabilité d’obtenir une boule mar- 2 quée « 1 » est : . 3 La probabilité d’obtenir une boule blanche : 2 . 3 La probabilité d’obtenir une boule blanche 1 marquée « 1 » : . 3 La probabilité d’obtenir une boule blanche 3 ou une boule marquée « 1 » : = 1, c’est 3 l’événement certain. © Éditions Belin 2010 18 1. a/ Probabilité de l’événement « lire un 1 B»= . 6 b/ Probabilité de l’événement « lire un A » 2 1 = = . 6 3 1 2. a/ Probabilité de « lire BE » = . 36 4 1 = . b/ Probabilité de « lire AN » = 36 9 19 a/ L’événement « obtenir un nombre impair » = {1 ; 3 ; 5 ; 7}. La probabilité d’obtenir un nombre impair 4 1 est = . 8 2 b/ L’événement « obtenir un multiple de 3 » = {3 ; 6}. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est 2 1 = . 8 4 c/ L’événement « obtenir un multiple de 4 » 2 1 = {4 ; 8} et sa probabilité est = . 8 4 La probabilité de ne pas obtenir un multiple 2 6 3 de 4 est 1 − = = . 8 8 4 20 a/ L’événement « obtenir un nombre pair » = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20}. La probabilité d’obtenir un nombre pair est 10 1 = . 20 2 b/ L’événement « obtenir un multiple de 3 » = {3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18}. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est 6 3 = . 20 10 c/ L’événement « obtenir un multiple de 5 » = {5 ; 10 ; 15 ; 20}. La probabilité d’obtenir un multiple de 5 est 4 1 = . 20 5 21 a/ A = {11 ; 21 ; 31 ; 41 ; 51 ; 61 ; 71 ; 81 ; 91}, donc p(A) = 9 = 1 . 90 10 b/ B = {10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 10 1 = . 18 ; 19}, donc p(B) = 90 9 c/ Le contraire de : « le chiffre 1 ne figure pas dans le nombre lu » est « le chiffre 1 apparaît » c’est A ∪ B = C. C = {10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ;17 ; 18 ; 19 ; 21 ; 31 ; 41 ; 51 ; 61 ; 71 ; 81 ; 91}. L’ensemble C est composé de 18 nombres. Il reste donc 90 − 18 = 72 nombres. 72 4 = . p(C) = 90 5 Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences 81 PROBABILITÉS ET FRÉQUENCES 22 a/ Faux ; b/ faux ; c/ faux. Exemple : si on considère une urne contenant 10 000 boules de 10 couleurs différentes, pour modéliser le tirage de boules rouges, il suffit de connaître le nombre de boules rouges (et le nombre de boules total). Inutile de connaître le nombre de boules de chacune des autres couleurs. SUR L’ENSEMBLE DU CHAPITRE 27 On marque d’une croix les éléments de l’événement A. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 @ fichier Excel corrigé disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee. 1. a/ Voir fichier corrigé. b/ en B5 : « = ALEA()*2-1 ». c/ en C5 : « = ALEA()*2-1 ». d/ en D5 : « =RACINE(B5*B5+C5*C5) ». 2. a/ Le point d’impact se trouve dans la cible circulaire. Dans la cellule E5 : « =SI(D5<=1;1;0) ». Dans la cellule F5 : « =E5 », puis dans la cellule F6 : « =F5+E6 », etc. b/ Dans la cellule G5 : =F5/A5. 3. a/ En cellule A2 : =$G$4002 En cellule B2 : =$G$5002 En cellule G2 : =$G$10002 b/ Voir fichier corrigé. c/ Soit p la probabilité d’atteindre le disque d’aire π cm2. π p 1− p , soit . On a donc = 4 π 4−π Cette simulation permet de calculer π comme fréquence limite de 4p. 25 n := 0 ; © Éditions Belin 2010 Pour (x := 1 ; x <= 10 ; x := x + 1) Pour (y := 1 ; y <= 10 ; y := y + 1) Pour (z := 1 ; z <= 10 ; z : = z + 1) Si (x * y > 3 * z) alors n := n + 1 ; FinPour FinPour FinPour Afficher(n) ; 82 Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences On marque d’un cercle les éléments de l’événement B. 䊊 1 2 䊊 䊊 On marque d’un « plus » les éléments de l’événement C. 1 䊊 䊊 䊊 䊊 䊊 䊊 䊊 2 䊊 䊊 䊊 5 6 䊊 䊊 3 4 䊊 3 䊊 䊊 4 5 6 1 2 ⫹ ⫹ ⫹ ⫹ ⫹ 3 ⫹ 4 ⫹ ⫹ ⫹ ⫹ 5 ⫹ ⫹ 6 ⫹ ⫹ ⫹ On constate que A et B n’ont aucun élément en commun. Les événements A et B sont incompatibles. On constate que A et C n’ont aucun élément en commun. Les événements A et C sont incompatibles. Notons que ce résultat était évident : lorsqu’un nombre est pair, son produit par tout entier est pair. Pourtant, les éléments: (2 ; 3), (2 ; 5), (3 ; 2), (4 ; 5), (5 ; 2), (5 ; 4) sont communs aux événements B et C. Les événements B et C ne sont pas incompatibles. La relation de compatibilité n’est pas transitive. 29 1. a/ Les résultats possibles sont donc : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 16 ; 18 ; 20 ; 24 ; 25 ; 30 ; 36}. 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 L’événement contraire P est « le produit est impair » = {1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 25}. La probabilité de l’événement « le produit 9 est impair » est p (P ) = = 0,5. 36 9 27 b/ p (P) = 1 − p(P ) = 1 − = = 0,75. 36 36 On peut proposer une simulation, voir fichier Excel fourni sur www.libtheque.fr/mathslycee. 2. a/ P : « au moins un des deux tirages est un nombre pair ». b/ « le premier tirage est pair ou le second tirage est pair ». 32 @ fichier Excel corrigé disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee. a/ Exemple : Nombre tiré Fréquence 1 0,15 2 3 4 0,321 0,285 10,75 5 6 0,35 0,34 Les événements élémentaires n’ont rien d’équiprobables ! b/ Probabilités établies avec un arbre deBernoulli : Nombre 1 2 3 4 5 6 tiré Fréquence 0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125 0,03125 10 10 5 1 1 ; ; ; ; . 32 32 32 32 32 32 Les résultats sont proches de la simulation. c/ On ne peut sûrement pas remplacer un dé par le jet de cinq pièces de monnaies. © Éditions Belin 2010 En fraction 5 ; 33 @ fichier Excel corrigé disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee. Partie A 1. Formule entrée dans la cellule B3 : « =ENT(ALEA()*10)+1 ». Dans la cellule C3 : =ENT(ALEA()*10)+1. 2. a/ Formule entrée dans la cellule E3 : = « SI(B3<=6;1 ;0) ». b/ Le chiffre « 1 » représente le tirage d’une boule noire et le « 0 » d’une boule blanche. 3. Formule entrée dans la cellule F3 : « =SI(C3<=6;1 ;0) ». 4. Formule entrée dans la cellule H3 : « =E3+F3 ». Formule entrée dans la cellule I3 : « =E3*F3 ». Interprétation de la réponse de la cellule H3 La réponse « 2 » : les deux tests sont vrais. La réponse « 1 » : un seul des deux tests est vrai, c’est le « ou » exclusif ! La réponse « 0 » : aucun des deux tests n’est vrai. Interprétation de la réponse de la cellule I3 La réponse « 1 » : les deux tests sont vrais (comme en cellule H3 pour la réponse « 2 »). La réponse « 0 » : un des deux tests est vrai ou les deux : c’est le « ou » inclusif ! Partie B 1. a/ Formule entrée en cellule E24 : « =SOMME(E3:E22) » et en cellule F24 : « =SOMME(F3:F22) ». Remarque : on peut utiliser en E24, la formule « NB.SI(E3:E22 ;1) » et en cellule F24 : «NB.SI(F3:F22 ;1) ». b/ Formule entrée en cellule E25 : « =E24/20 » et en cellule F25 : « =F24/20 ». 2. Formule entrée en cellule I26 : « =NB.SI(H3:H22;2) », en cellule I27 : « =NB.SI(H3:H22;1) » et en cellule I28 : « =NB.SI(H3:H22;0) ». Formule entrée en cellule J26 : « =I26/20 », en cellule J27 : « =I27/20 » et en cellule J28 : = « I28/20 ». 3. Formule entrée en cellule I31 : « =NB.SI(I3:I22;«=1») » et en cellule I32 : « =NB.SI(I3:I22;«=0») ». Formule entrée en cellule J31 : « =I31/20 » et en cellule J32 : « =I32/20 ». 4. L’événement « la somme vaut 2 » est {(1 ; 1)} et « le produit vaut 1 » est aussi {(1 ; 1)}. Donc ces deux événements ont la même probabilité. Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences 83 ⎛20⎞ c/ Dé C contre dé A : dé C gagne ⎜ ⎟ . ⎝36⎠ POUR ALLER PLUS LOIN 34 1 2 2 3 3 4 1 2 3 3 4 4 5 3 4 5 5 6 6 7 4 5 6 6 7 7 8 5 6 7 7 8 8 9 6 7 8 8 9 9 10 8 9 10 10 11 11 12 3 3 5 5 7 7 2 3 3 5 5 7 7 2 3 3 5 5 7 7 4 4 4 5 5 7 7 4 4 4 5 5 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 1. Les résultats possibles sont donc : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12. 2. Les probabilités sont : Sommes possibles Probabilité 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 PROBLÈMES OUVERTS 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 Ce sont les mêmes que pour deux dés ordinaires ! 36 a/ Il peut former six objets différents qui ne sont pas équiprobables !!! Il existe 16 possibilités. ⎛20⎞ ⎟. ⎝36⎠ 35 a/ Dé A contre dé B : dé A gagne ⎜ 2 2 4 4 9 9 1 2 2 4 4 9 9 1 2 2 4 4 9 9 6 6 6 6 6 9 9 6 6 6 6 6 9 9 8 8 8 8 8 9 9 8 8 8 8 8 9 9 © Éditions Belin 2010 ⎛20⎞ b/ Dé B contre dé C : dé B gagne ⎜ ⎟ . ⎝36⎠ 84 1 1 6 6 8 8 3 3 3 6 6 8 8 3 3 3 6 6 8 8 5 5 5 6 6 8 8 5 5 5 6 6 8 8 7 7 7 7 7 8 8 7 7 7 7 7 8 8 Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences 1 4 4 2 4 1 boule bleue boule rouge b/ p = 1 16 . 37 1. Avec trois brins de ficelles On peut toujours s’arranger pour présenter les ficelles par paire. Le nombre de cas est 15. En effet, nous disposons de 3 ficelles, donc de six extrémités que nous pouvons noter (1, 1’) ; (2, 2’) ; (3, 3’). 1 a cinq connexions possibles. Une fois une connexion établie, il reste quatre extrémités, donc trois connexions pour le premier brin et alors il faut faire un nœud avec les deux brins qui restent. Les dessins illustrent alors ces différents cas ; la première ligne est la connexion (1, 1’), la seconde (1, 2), etc. La première ligne donne la connexion (1, 1’). Quoi qu’on fasse sur les trois ficelles qui restent, on ne peut qu’échouer d’où 0 cas favorable sur 15 possibles. La seconde ligne donne la connexion (1, 2). Dans ce cas, on crée une seule ficelle (plus longue !) qui parcourt (1’, 1, 2, 2’) et on se retrouve au cas de trois ficelles d’extrémités (1’, 2’), (3, 3’), (4, 4’) ce qui conduit à 8 cas favorables sur 15. Les autres cas sont analogues. 0 sur 15 8 sur 15 8 sur 15 8 sur 15 8 sur 15 8 cas favorables sur 15 cas possibles b/ p = 8 15 ≈ 0,533. On a donc intérêt à jouer. 2. Avec quatre brins de ficelles C’est le même principe en se ramenant au cas précédent. On note à nouveau les brins (1, 1’) ; (2, 2’) ; (3, 3’) ; (4, 4’). Le nombre de cas est ici 7 × 5 × 3 = 105. 8 sur 15 8 sur 15 48 cas favorables sur 105 cas possibles b/ p = 48 105 ≈ 0,457. Je ne joue pas. Remarque : le lecteur, par le même raisonnement, peut maintenant faire le cas de 5 ficelles et obtenir les chiffres correspondants du tableau suivant : 1 2 5 6 7 8 9 Nombre de ficelles 3 4 Nombre de cas 1 2 384 3 840 46 080 645 120 10 321 920 8 48 favorables Nombre de cas 1 3 945 10 395 135 135 2 027 025 34 459 425 15 105 possibles 1,000 0,667 0,533 0,457 0,406 0,369 0,341 0,318 0,300 Probabilité Travaux encadrés © Éditions Belin 2010 Travaux pratiques 1 @ fichier Excel corrigé disponible sur www. libtheque.fr/mathslycee. 1. a/ La formule « =ENT(ALEA()+0,9) » dans la cellule B3 représente le tirage de « 1 » ou « 0 » avec les probabilités : 1 9 p (« 0 ») = et p(« 1 ») = . 10 10 b/ Le résultat « 1 » de la cellule B3 représente une réservation, le « 0 » une annulation. Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences 85 c/ En cellule B253 entrer la formule : « =SOMME(B3:B252) ». 2. a/ La fonction « =MOYENNE($B$253 :C253) » attachée à la cellule C255 représente la moyenne des nombres de passagers embarqués des deux premières simulations. b/ En D255, la formule « =MOYENNE($B$253:D253) » représente la moyenne des nombres de passagers embarqués des trois premières simulations. c/ La valeur affichée en cellule IV255 est la moyenne du nombre de passagers embarqués pour les 255 vols. 3. Travaux pratiques 2 Partie 1 1. 0 1 – 3 1 – 3 0 1 1 – 3 1 – 3 2 © Éditions Belin 2010 86 Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences 1 1 – 3 1 – 3 0 1 1 – 3 2 1 2 – 3 1 – 3 0 1 1 – 3 2 2. a/ Après le tirage de deux 2, la somme serait 4. On ne peut pas tirer un « 4 ». L’addition ne peut pas être correcte. De même, après le tirage d’un 2 puis d’un 1, la somme serait 3. b/ L’arbre probabilisé après le tirage de la troisième carte : 1 – 3 Erratum : il manque la copie d’écran pour répondre aux questions suivantes. a/ En ligne 257, il est indiqué si le vol est en surbooking. Par exemple en cellule B257, la formule « =SI(B253>230;1;0) » indique si le premier vol est en surbooking. « 1 » : pour surbooking, « 0 » pour non surboooking. b/ Dans la cellule C259, la formule « =B259+C257 » calcule la somme des nombres affichés en cellule B259 et C257, c’est-à-dire le nombre cumulé de surréservations des simulations précédentes plus 0 ou 1 selon qu’il y a eu ou non surréservation pour la simulation en cours. Cette formule permet donc de calculer le nombre cumulé des surréservations. c/ Le nombre total de surréservations pour les 255 vols est « =$IU$259 » en A260. 4. Par exemple en C262, la formule devient « =C259/C1 », ce qui représente le quotient du nombre de vols en surbooking par le nombre de vols au départ. On obtient la fréquence moyenne après deux vols. 5. a/ Le phénomène observé est la stabilisation des fréquences. Voir fichier fourni pour la courbe. b/ La probabilité est proche de 0,12. La compagnie ne prendra pas le risque de surbooking. 1 – 3 1 – 3 0 1 – 3 1 – 3 0 1 1 1 – – 3 3 0 1 1 – 3 1 – 3 1 1 – 3 1 – 3 2 0 1 1 1 1 – – – 3 3 3 2 1 2 1 – 3 1 – 3 1 2 – 3 1 – 3 2 0 1 1 – 3 2 1 – 3 2 Après le tirage des trois cartes, la probabilité que l’addition soit correcte est 1 2 = ≈ 0,222. 6× 27 9 3. a/ Après le tirage de deux 2, le produit serait 4. On ne peut pas tirer un « 4 », la multiplication ne peut pas être correcte. Après le tirage d’un 2 puis d’un 1, le produit serait 2, la multiplication peut être correcte. b/ L’arbre probabilisé pour la multiplication, après le tirage de la troisième carte est : 1 – 3 0 1 – 3 1 – 3 0 1 1 1 – – 3 3 0 0 1 1 – 3 1 – 3 2 0 1 1 1 1 – – – 3 3 3 0 0 1 1 – 3 1 – 3 1 – 3 1 2 – 3 1 – 3 2 0 1 1 1 1 – – – 3 3 3 2 0 2 1 – 3 1 – 3 2 Après le tirage des trois cartes, la probabilité que la multiplication soit correcte est 1 8 = ≈ 0,296. 8× 27 27 4. a/ La multiplication correcte a le plus de chance d’arriver. b/ Les deux opérations sont correctes dans le seul cas où on tire « 0 », « 0 » et « 0 ». 1 ≈ 0,037. La probabilité est 27 c/ En comptant le nombre de branches favorables pour l’addition ou pour la multiplication, la probabilité qu’au moins une des 13 deux opérations soit correcte est ≈ 0,481. 27 © Éditions Belin 2010 Remarque : attention à ne pas compter deux fois la branche 0, 0, 0 qui est commune à l’addition et la multiplication. Partie 2 @ fichier Excel corrigé disponible sur www. libtheque.fr/mathslycee. 1. Colonne A : numéro de l’expérience. Colonne B : saisir « =ALEA.ENTRE.BORNES(0;2) », tirage de la carte placée en A. Colonne C : saisir « =ALEA.ENTRE.BORNES(0;2) », tirage de la carte placée en B. Colonne D : saisir « =ALEA.ENTRE.BORNES(0;2) », tirage de la carte placée en C. Colonne E : saisir « =B2+C2 », somme des cellules B2 et C2. Colonne F : saisir « =B2*C2 », produit des cellules B2 et C2. 2. a/ En cellule G2 : l’instruction « SI(D2=E2;1;0) » affiche « 1 » lorsque la somme A + B = C est vraie, « 0 » sinon. b/ En cellule H2 : saisir l’instruction « =SI(D2=F2;1;0) » qui affiche « 1 » lorsque le produit A × B = C est vrai, « 0 » sinon. c/ En cellule I2 : l’instruction affiche « 1 » si la somme et le produit sont corrects, « 0 » sinon. En cellule J2 : l’instruction affiche « 1 » si la somme ou le produit sont corrects, « 0 » sinon. 3. et 4. a/ En cellule G1002 : pour calculer le nombre de « 1 » c’est-à-dire de nombres tirages de sommes correctes, l’instruction est « =SOMME(G2:G1001) ». b/ En cellule H1002 : « =SOMME(H2:H1001) ». En cellule I1002 : « =SOMME(I2:I1001) ». En cellule J1002 : « =SOMME(J2:J1001) ». c/ Une simulation donne par exemple : et 34 37 Simulation Modèle ou 473 481 Les résultats trouvés sont en concordance avec le modèle proposé en première partie. d/ On considère deux événements indépendants. En première ligne, on indique les résultats du premier événement et en première colonne ceux du second. Table du « et » et vrai faux vrai vrai faux Table du « ou » faux faux faux ou vrai faux vrai vrai vrai faux vrai faux Aide individualisée 1 1. a/ T T2 1 Boule jaune Boule bleue Boule rouge b/ Il existe 36 tirages possibles équiprobables. Les neuf éléments de l’univers sont : On peut présenter les résultats sous la forme d’un tableau : T T2 1 Attention, ces événements ne sont pas équiprobables. c/ Le carré jaune 3 × 3 représente les 9 différents tirages de deux boules jaunes. 9 1 p(« tirer deux boules jaunes ») = = . 36 4 d/ Le carré bleu 2 × 2 représente les 4 différents tirages de deux boules bleues. 4 1 p(« tirer deux boules bleues ») = = . 36 9 e/ Le carré rouge 1 × 1 représente le tirage de deux boules rouges. 1 p(« tirer deux boules rouges ») = . 36 Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences 87 2. a/ L’arbre des possibles est : 1er tirage 2d tirage b/ Le nombre de cas de l’événement « tirer deux boules jaunes » est : 9. 9 1 p(« tirer deux boules jaunes ») = = . 36 4 c/ Le nombre de cas de l’événement « tirer deux boules bleues » est : 4. 4 1 p (« tirer deux boules bleues ») = = . 36 9 d/ Le nombre de cas de l’événement « tirer deux boules rouges » est : 1. 1 p (« tirer deux boules rouges ») = . 36 e/ p (« deux boules de la même couleur ») 9 4 1 14 7 = + + = = . 36 36 36 36 18 3. a/ 3 3 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1 1er tirage 2d tirage 3×3=9 + 2×2=4 + 1×1=1 = 14 b/ Le tableau simplifié est : 3 2 1 n retrouve tous les 3 9 6 3 nombres du bas de l’arbre. 2 6 4 2 c/ Le 9 de l’encadré jaune 1 3 2 1 correspond aux 9 tirages de deux boules jaunes. Le 4 de l’encadré bleu correspond aux 4 tirages de deux boules bleues. d/ La probabilité d’obtenir deux boules de la 14 7 même couleur est = . 36 18 4. a/ 3 – 6 1 – 6 © Éditions Belin 2010 3 – 6 2 – 6 1 – 6 2 – 6 3 – 6 2 – 6 1 – 6 3 – 6 2 – 6 1 – 6 1er tirage 2d tirage 3 3 9 2 2 4 1 1 1 14 – ×– =– + – ×– =– + – ×– =– = – 6 6 36 6 6 36 6 6 36 36 88 Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences b/ p(« tirer deux boules jaunes ») = p (« tirer deux boules bleues ») = p (« tirer deux boules rouges ») = 4 36 1 9 36 . . . 36 c/ La probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur est 9 + 4 + 1 36 36 36 = 14 36 . Communiquer On donnera les règles précises du jeu à savoir : 1. Il y a trois portes fermées ; derrière une il y a une voiture de sport, derrière chacune des deux autres, rien. 2. L’animateur sait où se trouve la voiture et, évidemment, le candidat, lui, ne sait rien. 3. L’animateur demande au candidat de désigner l’une des trois portes. 4. Le candidat désigne donc une porte (mais ne l’ouvre pas, il est trop loin) et l’animateur propose au candidat de l’aider et il va ouvrir une des deux portes non désignée par le candidat, derrière laquelle il n’y a rien Remarque : on notera à ce stade les contraintes de l’animateur, qui sont essentielles dans l’examen des stratégies. • Si le candidat a désigné la porte gagnante, l’animateur a alors à sa disposition deux portes perdantes et il en ouvre une au hasard. • Mais si le candidat a désigné une porte perdante l’animateur a à sa disposition la porte gagnante et une des portes perdantes. Il n’a aucun choix, il doit choisir la perdante et laisser la gagnante. 5. Une fois cette porte ouverte l’animateur demande au candidat s’il maintient son choix ou s’il souhaite le modifier. Que doit faire le candidat ? Le candidat semble avoir deux stratégies évidentes. – La première : Le candidat maintient son choix, ce qu’à fait l’animateur n’est pas utilisé, et il est évident qu’il a une chance sur trois de gagner : il y avait trois portes et une seule gagnante. – La seconde : Le candidat considère la situation il reste deux portes et l’une des deux est gagnante. Il choisit alors au hasard l’une de ces deux portes en tirant par exemple à pile ou face. Il est clair qu’il utilise le fait que l’animateur a supprimé l’une des trois portes et il a une chance sur deux de gagner. Mais a-t-il utilisé au mieux l’aide de l’animateur ? Il est très surprenant que non ! Car le candidat peut suivre une troisième stratégie qui va le faire gagner dans deux cas sur trois ! – La troisième : Le candidat ne pense pas uniquement au fait qu’il a maintenant une porte ouverte vide mais aussi au choix de l’animateur et après réflexion il choisit systématiquement, parmi les deux portes qui restent, celle qu’il n’avait pas choisie. En effet si, dans son premier choix, il avait 1 choisi la porte gagnante (probabilité ), dans 3 cette stratégie, c’est dommage, il passe à une porte perdante (nobody is perfect). Mais si, dans le premier choix, il avait choisi 2 une porte perdante (probabilité ), l’anima3 teur, lui, n’a que le choix d’ouvrir la seconde porte perdante et donc la porte qu’il n’a pas désigné (et que l’animateur ne va pas ouvrir) est nécessairement la gagnante… Il ouvre la porte gagnante ! On mettra en évidence les trois stratégies possibles du candidat. R : il n’y a pas la voiture derrière la porte. V : il y a la voiture derrière la porte. 1. Le candidat change 1 2 – – de porte : 3 3 © Éditions Belin 2010 R La probabilité de découvrir 2 la voiture est . 3 1 V 2. Le candidat ne change pas de porte : 2 – 3 R La probabilité de découvrir 1 la voiture est . 3 1 R 1 – 3 V 1 V 3. Le candidat fait n’importe quoi : 2 – 3 1 – 2 R R 1 – 3 1 – 2 1 – 2 V R V 1 – 2 V 1 La probabilité de découvrir la voiture est . 2 Pour mieux comprendre, on peut simuler un exemple avec 1 000 000 de portes ! L’animateur ouvre donc 999 998 portes. Au final, le candidat se retrouve toujours avec deux portes fermées. On peut alors être tenté de répondre que le candidat a une chance sur deux de découvrir la voiture. Mais, c’est ignorer ce qu’il s’est passé avant ! L’animateur, qui sait où est la voiture, a renseigné le candidat 999 998 fois. C’est une information qui modifie les probabilités de gagner ! En choisissant une porte au hasard il a 1/1 000 000 de trouver la voiture, c’està-dire aucune chance ! Donc, il va désigner une porte sans voiture et en changeant de porte… il va dévoiler la voiture avec une probabilité de 999 999/1 000 000 ! C’est-àdire à tous les coups ! « Le résultat est violemment contre intuitif » Norman Baillargeon. @ un fichier Excel de simulation est disponible sur www.libtheque.fr/mathslycee. Quelques liens possibles : http://nbaillargeon.blogspot.com/2008/02/ le-dilemme-monty-hall.html http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_ problem V 1 R Chapitre 7 ■ Probabilités et fréquences 89