chapitre 5 logarithmes

70
ALe programme
Logarithmes
5
CHAPITRE
Contenus Capacités attendues Commentaires
Fonction logarithme
népérien
Fonction x  ln x.
Relation fonctionnelle,
dérivée.
• Connaître le sens de variation,
les limites et la représentation
graphique de la fonction
logarithme népérien.
• Utiliser, pour a réel strictement
positif et b réel, l’équivalence
ln a = b ⇔ a = e b.
• Utiliser la relation fonctionnelle
pour tansformer une écriture.
• Connaître et exploiter :
lim
x→+`
ln x
x=0.
On peut introduire la fonction logarithme népérien
grâce aux propriétés de la fonction exponentielle ou à
partir de l’équation fonctionnelle.
On souligne dans les cadres algébrique et graphique
que les fonctions logarithme népérien et exponentielle
sont réciproques l’une de l’autre. Tout développement
théorique sur les fonctions réciproques est exclu.
On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction
logarithme en 1 et la limite en 0 de
ln 1
+x
( )
x.
On évoque la fonction logarithme décimal pour son
utilité dans les autres disciplines.
➞
➞
[SI] Gain lié à une fonction de transfert.
➞
➞
[SPC] Intensité sonore, magnitude d’un séisme,
échelle des pH.
AP équations fonctionnelles.
Pour introduire la fonction logarithme népérien, nous utilisons les propriétés de la fonction exponentielle comme
préconisé par le programme. Nous avons évité bien sûr tout développement théorique sur les fonctions réciproques
en faisant simplement observer la symétrie des courbes représentatives de deux fonctions réciproques autour de la
droite d’équation y = x au cours de l’activité 1. Une démonstration accessible est proposée dans la correction, elle
s’adresse aux élèves les plus avancés.
Une introduction de la fonction logarithme népérien à partir de l’équation fonctionnelle est proposée en
approfondissement et s’adresse donc, d’après nous, aux élèves les plus avancés.
La relation fonctionnelle du logarithme népérien est introduite dans l’activité 3 en lien avec les tables de logarithmes.
L’importance historique de ces tables et plus tard des règles à calcul mérite alors d’être soulignée auprès des élèves qui
ont du mal à concevoir les problèmes qu’ont pu représenter les calculs sans calculatrice. C’est l’objet, entre autre, du
texte d’introduction page 133. Cette relation fonctionnelle sera particulièrement utilisée dans la résolution d’équations
et d’inéquations comportant des «ln». Dans la résolution de ces exercices, il est important d’insister sur la notion
préliminaire de condition d’existence pour ancrer ce réflexe chez les élèves.
Les propriétés de la fonction logarithme népérien: sa dérivée et ses limites sont introduites dans les activités 2 et 4.
La majorité des exercices portent sur l’étude de fonctions comportant un«ln» , c’est aussi le cas des deux TP proposés.
Dans ces exercices interviendront particulièrement les notions de composition dans le cadre des dérivées et des
limites et assez régulièrement le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Puisque bon nombre d’équations
comportant un «ln» ne peuvent pas être résolues de manière exacte, c’est ainsi qu’on envisage l’existence et le nombre
de solutions à ces équations.
BNotre point de vue

71
Chapitre 5 Logarithmes – Term S spécifique
DActivités
Voir livre page 423 et le site www.bordas-indice.fr pour les corrections détaillées.
CAvant de commencer
Activité Un aller-retour avec la fonction
exponentielle
1
Le but de cette activité est d’introduire la fonction logarithme
népérien comme fonction réciproque de la fonction exponentielle.
La restriction de la fonction carré aux réels positifs et la fonction
racine sont prises dans un premier temps en exemple pour
présenter la notion de fonctions réciproques. La symétrie des
courbes représentatives des fonctions réciproques autour de la
droite d’équation y = x est ici attendue comme conjecture à partir
du graphique, une démonstration, détaillée, est envisageable pour
les élèves les plus avancés.
1. a. La fonction h est continue et strictement croissante. Pour
tout x  [0 ; +  [, h (x)  [0 ; +  [; comme m  [0 ; +  [ , le
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que
l'équation h (x) = m admet une unique solution sur ]0 ; +  [.
b. La solution de l’équation h (x) = m est
m.
c. h
(
i(x)
)
=
x
( )
2= x et i
(
h(x)
)
=
x2= | x | = x puisque x  0.
d. On obtient le tracé de la courbe représentative de la fonction
racine.
e. La droite rouge a pour équation y = x. Cette droite semble
être un axe de symétrie pour les deux courbes.
Démonstration :
Soit i et h deux fonctions réciproques, et h et i respectivement
leurs courbes représentatives.
Soit M et M’ les points de coordonnées, dans un repère
orthonormé, (x ; y) et (x ’ ; y ’) et soit s(d) la symétrie autour de la
droite (d) d’équation y = x .
s(d)(M) = M’ ⇔
x+x'
2
(MM') et (d) sont perpendiculaires
le milieu de [MM'] est sur (d)
 ⇔ MM’ . u = 0
c
c
x+x’
2 = y+y’
2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
avec u un vecteur directeur de (d), soit u =
1
1
.
 ⇔ x’−x+y’−y=0
x+x’
2 = y+y’
2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ ⇔ x’=y
y’=x
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
c c
Finalement, d’une part, si M  h alors y = h (x) et x ’ = h (y ’) donc
i(x ’) = i
(
h (y ’)
)
= y ’, soit M’  i.
D'autre part, si M  i alors y = i(x) et x ’ = i(y ’) donc
h (x ’) = h
(
i(y ’)
)
= y ’, soit M’  h.
Donc h et i sont symétriques autour de la droite (d).
2. a. e x  0 pour tour x réel donc e x = m n’a pas de solution si
m est un réel négatif ou nul.
b. e x = 1 ⇔ x = 0 ; ex = e ⇔x = 1; e x =
1
e ⇔ x = –1.
c. La fonction exponentielle est continue et strictement
croissante et pour tout x réel, e x  ]0 ; +  [.
Comme m  ]0 ; +  [, le corollaire du théorème des valeurs
intermédiaires assure que l'équation e x = m admet une unique
solution sur .
d. Avec la calculatrice, on obtient : α ≈ 0,69.
3. a. M’ (1 ; 0), M’ (e ; 1) et M’
1
e;−1
 .
b. Les deux courbes sont symétriques autour de la droite
d’équation y = x.
c. ln 1 = 0 ; ln e = 1 ; ln e–1 =
ln 1
e= –1 et ln 2 = α ≈ 0,69.
Activité En pente douce
2
Le but de cette activité est de déterminer la dérivée de la fonction
logarithme népérien.
Les deux premières questions permettent d’émettre des conjectures
qu’on démontre ensuite dans la question 3 en admettant que la
fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +  [.
Fichiers associés sur www.bordas-indice.fret sur le manuel
numérique premium : 05_TS_activite2_1.ggb
et 05_TS_activite2_2.ggb (GeoGebra).
1. a. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe
représentative de la fonction logarithme népérien au point
d’abscisse un réel x strictement positif, semble être
1
x.
b. Dans la cellule C2, on peut taper la formule =1/A2 .
2. a. m = yB−yA
xB−xA=
lnx−ln2
x−2.
Conformément au programme, dans les recherches de limites, la connaissance des limites :
lim
x→0
x>0
xlnx=0 et
lim
x→ +
ln
x
xn= 0 (avec n entier naturel)
n’est pas indispensable ; l’élève peut simplement savoir que lim
x→+`
ln x
x=0 et effectuer les bonnes transformations
d'écriture pour pouvoir se ramener à cette limite.
La fonction logarithme décimal est introduite dans l'activité 5. Les exercices utilisant cette notion permettent
d’appréhender son utilité dans d'autres disciplines.

72
b.
lim
x→2m =
lim
x→2
lnx−ln2
x−2=
1
2; cette valeur est le coefficient
directeur de la tangente à f en A.
c. Conjecture : pour tout x de ]0 ; +  [, f ’(x) =
1
x.
3. a. g ’(x) = u’(x) eu(x).
b. g (x) = e ln x = x donc g ’(x) = ln’(x) e ln x = ln’(x) × x ou g ’(x) = 1.
c. On a g ’(x) = ln’(x) × x = 1 donc ln’(x) =
1
x.
Activité Additionner pour calculer
un produit
3
Le but de cette activité est de découvrir la relation fonctionnelle de
la fonction logarithme népérien. Cette relation établie, les élèves
pourront expérimenter l’utilité des tables de logarithmes.
Ce peut être aussi l’occasion de parler des règles à calcul utilisant le
même principe et qui étaient utilisées il y a encore 40 ans .
1. a. A ≈ 3,555 ; B ≈ 3,496 ; C ≈ 4,356 ; D ≈ 3,496;
E ≈ 4,356 ; F ≈ 3,555. Il semblerait que :
A = F soit ln 5 + ln 7 = ln 35 ; B = D soit ln 3 + ln 11 = ln 33 ;
C = E soit ln 13 + ln 6 = ln 78.
b. On peut bien sûr utiliser un tableur.
On peut conjecturer que : ln a + ln b = ln(a × b).
2. e ln a + ln b = e ln a ×e ln b = a × b et e ln (a × b) = a × b, donc:
ln a + ln b = ln (a × b).
3. ln(7 × 15,3) = ln7 + ln15,3 ≈ 1,946 + 2,728 ≈ 4,674;
or ln(107,1) ≈ 4,674 donc 7 × 15,3 = 107,1.
Activité Droite se confondant avec
une coube
4
Le but de cette activité est d’établir la limite de ln(1+h)
hlorsque
h tend vers 0.
Fichier associé sur www.bordas-indice.fret sur le manuel
numérique premium : 05_TS_activite4.ggb (GeoGebra).
1. Le coefficient directeur de (AM) pour h s’approchant de 0
semble être de 1.
2. a. yM−yA
xM−xA=
ln 1+h ( ) −ln1
1+h
( ) −1=
ln 1+h ( )
h.
b.
lim
h→0
ln 1+h
( )
h= 1 d’après la question 1.
c. Cette limite est le coefficient directeur de la tangente à f en
A.
3. a. f ’(1) = 1, le coefficient directeur de T est donc 1.
b.
lim
h→0
ln 1+h ( )
h= f ’(1) = 1. Ainsi, on introduit l'idée d'une
approximation affine de la fonction logarithme népérien au
voisinage de 0.
Activité Pour contracter un graphique
5
Le but de cette activité est d’introduire et de donner une pertinence
à la fonction logarithme décimal.
1.
ln 10k
( )
ln10 =kln10
ln10 = k.
2. Le graphique n’est pas à l’échelle.
Abscisse
(A) France 4,54
(B) États-Unis 4,64
(C) Brésil 3,59
(D) Afrique du Sud 3,68
(E) Congo 3,02
(F) Turquie 3,79
(G) Vietnam 2,79
(H) Singapour 4,42
(I) Algérie 3,43
(J) Burundi 1,95
(K) Norvège 4,79 0
1
2J
G
E
I
D
F
C
A
K
H
B
3
4
5
EExercices
POUR DÉMARRER
1 1. a. B  A. b. A  B.
2. a. x + 1  x donc ln(x + 1)  ln x.
b. x  1 donc ln x  ln1 soit ln x  0.
c. x  e donc ln x  ln e soit ln x  1.
2 1.
lim
x→ +ln x = +  et
lim
x→0
x>0
ln x = – .
2. a. Par définition de la limite en +  ou pour x  e1 000, on a
ln x  1 000.
b. Par définition de la limite en 0 ou pour x  e–1 000, on a
ln x  –1 000.
3 1. Fausse, par exemple f
1
e
= –1.
2. Vraie, f (e) = ln e = 1.
3. Fausse , ln n’est pas définie en 0.
4. Vraie,
lim
x→0
x>0
ln x = –  donc  admet la droite d'équation
x = 0 comme asymptote verticale.
5. Fausse,
lim
x→ +ln x = + .

73
Chapitre 5 Logarithmes – Term S spécifique
4 1. Si x  0 alors 4 – 5x  4 et a fortiori 4 – 5x  0.
2. Si –2  x  2 alors 4  4 – x 2  0.
3. Si x  1 alors 1 – x  0.
5 1. On doit avoir 5 – 2x  0 soit x 
5
2.
2. On doit avoir 4 x 2 – 25  0 soit x 
5
2 ou x –
5
2 .
3. On doit avoir : x  0 et 2 – x  0 soit 0  x  2.
4. On doit avoir : x  0 et x 2 – 1  0 soit x  1.
6 1. S =
e3
5
{ }
. 2. S =
e
{ }
. 3. S =
1
7e
{ }
. 4. S = {1}.
7 Voir livre page 423.
8 1. Condition d’existence : x  ]–2;2[ ; S =
−3 ; 3
{ }
.
2. Condition d’existence :
x  ] – ;–1[  ] 1;+  [; S =
−1+e ; 1+e
{ }
.
3. S = {ln 3}.
4. Condition d’existence : x  ] 0;+  [ ; S = {3}.
9 a. S = {e}. b. S = {1;5}.
c. S = {1;e} d. S = {1;e2} .
10 1. S =
{
(–1 ; 2)
}
. 2. S =
{
(e–1 ; e2)
}
=
1
e; e2
{ }
.
11 1. S =
{
(–5 ; 3)
}
. 2. S =
{
(e–5 ; e3)
}
=
1
e5; e3
{ }
.
12 1.
x0
e+ 
1 – 2 ln x+0 –
2.
x0
1
e
3+ 
3 + ln x–0 +
3.
x0 1 e+ 
ln x (1 – ln x)– 0 + 0–
4.
x0
1
ee+ 
(ln x)2 – 1 + 0 – 0+
13 Voir livre page 423.
14 1. Condition d’existence : x  ] 0;+  [ ; S = 0 ; e
3
⎤
⎦
⎥⎤
⎦
⎥.
2. Condition d’existence : x  ] – ;4 [ ; S = [3;4[.
3. Condition d’existence : x 
−1; 3
2
; S =
2
3;3
2
.
4. Condition d’existence :
x  ] – ;–1[  ] 1;+  [; S = ] – ;–3]  [ 3;+  [ .
15 1. Condition d’existence: x   ; S = .
2. Condition d’existence : x  ]–1;1[ ; S =
−1; −1
2
.
3. Condition d’existence : x  ]–7;7 [ ; S = ]–5;5 [.
4. Condition d’existence : x 
−1
2; 3
; S =
2
3; 3
.
16 f ’(x) = e x – 3.
x– ln3 + 
f3 – 3 ln3
17 f ’(x) = 1–
1
x=
x−1
x ; g ’(x) = 1 + 2 ×
1
x=
x+2
x;
h’(x) = 1 × ln x + x ×
1
x= ln x + 1.
f est décroissante sur ]0 ; 1] et croissante sur [1 ; +  [.
g est croissante sur ]0 ; +  [.
h est décroissante sur
0 ; 1
e
et croissante sur 1
e;+`
⎡
⎣
⎢⎡
⎣
⎢.
18 1. et 2. f ’(x)= 2 ln x ×
1
x ; g ’(x) =
1
x×x−lnx×1
x2=
1−lnx
x2.
x0 1 + x0 e + 
f ’(x)–+g ’(x)+–
f0g
1
e
00
19 Voir livre page 423.
20 A = 3 ln 2, B = 4 ln 2, C = 5 ln 2 + 1, D =
5
2ln 2, E = –ln 2,
F = 1 – ln 2, G = 2 – 2 ln 2 et H = 6 ln 2 + 3.
21 A = 2 ln 2 + ln 5, B = 2 ln 2 + 2 ln 5, C = 1 + 4 ln 2 + ln 5,
D =
1
2ln 2 +
1
2ln 5, E = ln 5 – ln 2, F = –ln 2 – 2 ln 5
et G = ln 5 – 2 ln 2.
22 A = ln 4, B = ln 5, C = ln 2 et D = ln
(
3e2
)
.
23 A = –ln 3, B = –ln 4 et C = –ln 100.
24 1. B = ln 6, donc A  B.
2. A = ln 8 et B = ln 9, donc A  B.
25 a. Condition d’existence : x 
−;1
2
 ; S = {– 4}.
b. Condition d’existence : x  ] 1;+  [ ; S = {5}.
c. Condition d’existence : x  ] –5;+  [ ; S = {8e – 5}.
d. Condition d’existence : x  ] 5;+  [ ; S = {7}.
26 a. Pour x  0 et y  0, le système est équivalent à
x+y=4
xy =4
{
donc S =
{
(2 ; 2)
}
.
b. Pour x  0 et y  0, le système est équivalent à
x+y=5
xy =6
{
donc S =
{
(2 ; 3) ; (3 ; 2)
}
.
27 a. Condition d’existence : x 
1
3;+
 ; S = ] 1;+  [ .
b. Condition d’existence :
x  ] – ;+  [ ; S =
−;−2
] [
2 ; +
] [
.
c. Condition d’existence : x  ] – ;5[ ; S = ] – ;–7 ].
d. Condition d’existence : x  ] 2;+  [ ; S = [ 3;+  [.

74
28
lim
x→0
x>0
f (x) = –  et
lim
x→ +f (x) = + .
lim
x→0
x>0
g (x) = –  et
lim
x→ +g (x) = + .
lim
x→0
x>0
h (x) = +  et
lim
x→ +h (x) = – .
29
lim
x→0
x>0
f (x) = –  et
lim
x→ +f (x) = 0.
30
lim
x→0
x>0
f (x) = 0 ;
lim
x→1
x<1
f (x) = –  ;
lim
x→1
x>1
f (x) = +  ;
lim
x→ +f (x) = 0.
31
lim
x→0
x>0
f (x) = –  et
lim
x→ +f (x) = 0.
32 Voir livre page 423.
33 a.
lim
x→0
x>0
(e x + ln x) = –  avec
lim
x→0
x>0
e x = e0 = 1 comme la
fonction exponentielle est continue sur .
b.
lim
x→ +
(x+lnx)= + .
c.
lim
x→e
x<e
3
1−lnx= +  avec
lim
x→e
x<e
ln x = ln e = 1 comme la fonction
logarithme népérien est continue sur ]0 ; +  [ et ln x  1 pour
0  x  e.
d.
lim
x→e2
x>e2
x
−2+lnx= +  avec
lim
x→e2
x>e2
ln x = ln e2 = 2 comme la
fonction logarithme népérien est continue sur ]0 ; +  [ et
ln x  2 pour x  e2.
34 1. x ×
2−lnx
x
= 2x – ln x = f (x).
2.
lim
x→0
x>0
f (x) = +  ;
lim
x→ +
lnx
x= 0 d’après le cours donc:
lim
x→ +
2−lnx
x
= 2
et avec la règle sur la limite d’un produit :
lim
x→ +f (x) = + .
35 1. lim
x→–`
f (x) = +  et
lim
x→2
x<2
f (x) = – .
2. f ’(x) =
1
x−2.
3.
x– 2
f + – 
36 1.
lim
x→ +f (x) = +  et lim
x→−3
x>−3
f (x) = – .
2. f ’(x) =
2
2x+6=
1
x+3.
3.
x–3 + 
f– 
+ 
37 Voir livre page 423.
38 1.
lim
x→0
x>0
f (x) = +  et
lim
x→ +f (x) = 0.
2. f ’(x) =
−1
x2
1+1
x
=
−1
x2+x.
3.
x0+ 
f + 0
POUR S’ENTRAÎNER
39 a. Condition d’existence : x  ] – ;2[ ; S =
{
2 – e–3
}
.
b. Condition d’existence :
x 
−;−8
] [
8 ; +
] [
; S =
{
–3;3
}
.
c. Condition d’existence :
x 
−4
3; 0
  ] 0;+  [ ; S =
{
–1;4
}
.
d. Condition d’existence : x  ] – ;–2[ ; S =
{
– 4
}
.
e. Condition d’existence : x   ; S =
{
–2 + ln 3
}
.
f. Condition d’existence :
x  ] – ;–1[  ] –1;+  [; S =
ln2
1−ln2
{ }
.
40 a. Condition d’existence : x  ] 2;+  [ ; S = Ø.
b. Condition d’existence : x   ; S =
{
ln (e2 – 1)
}
.
c. Condition d’existence : x  ] 2;+  [ ; S =
{
3
}
.
d. Condition d’existence :
x  ] – ;2[  ] 4;+  [ ; S =
{
1;5
}
.
e. Condition d’existence : x   ; S = Ø.
f. Condition d’existence : x  ] – ;0[  ] 3;+  [ ; S = Ø.
41 Voir livre page 424.
42 a. S = Ø. b. S = Ø. c. S =
1
e; e
{ }
.
d. S =
1
e3; e
{ }
. e. S = Ø. f. S = { 0 ; ln 3 }.
43 a. Condition d’existence :
x 
−1
3;+
; S =
e−1−1
3;+
.
b. Condition d’existence : x  ] –2;+  [ ; S = ] –2;–1 [ .
c. Condition d’existence :
x   ; S = ] – ;–3] [ 3;+  [.
d. Condition d’existence : x  ] –1;1 [ ; S =
−1; 1
3
.
e. Condition d’existence : x   ; S =
[
1
–
ln 3 ; + 
[
.
f. Condition d’existence :
x   ; S =
−;−4+ln2
] [
4+ln2 ; +
] [
.
44 a. Condition d’existence : x 
1
3;+
; S =
1
3; 1
.
b. Condition d’existence :
x  ] – ;– e [  ] e;+  [; S = [ –2e;–e [  ] e;2e].
c. Condition d’existence :
x  ] – ;– 3 [  ] –1;+  [ ; S =
−1; 2e −3
1−2e
.
d. Condition d’existence :
x  ] 0;+  [ ; S =
0 ; 1
2ln 1+e−2
( )
.
45 1. La réciproque est vraie : si ln x  3 alors x  e3.
2. Correctif: dans certains livres, il manque la condition
«Soit x  0.» au début de la question.
Si ln x est négatif alors 0  x  1 .