12 Trigonométrie Chapitre

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Chapitre 12 ■ Trigonométrie
© Éditions Belin 2010
Le radian n’étant pas considéré comme exigible dans le programme,
nous avons introduit la notion de longueur algébrique d’un arc orienté
afi n d’expliquer l’enroulement de la droite numérique autour du cercle
trigonométrique. Ainsi à la place d’exercices de conversion radian/degré,
nous proposons des exercices de calcul de longueurs d’arc ou d’angle en
degré (capacités 1 et 2).
De nombreux exercices utilisent une interprétation géométrique (via le dessin
du cercle trigonométrique, et la traduction géométrique des données
des exercices). Cela permet aux élèves de mieux visualiser les situations
(équations, propriétés des fonctions sinus et cosinus…).
Les exercices 12 à 19, 24 à 25, et l’aide individualisée 2 visent à faire des calculs
avec des cosinus et sinus, sans oublier leurs propriétés.
Les valeurs des sinus et cosinus pour certains angles remarquables
sont redémontrées (Activité 2). Le cosinus et le sinus de l’angle double
sont proposés à l’exercice 30.
La trigonométrie ayant des domaines d’application vastes, nous avons
tenté d’en rendre plusieurs illustrations : horloge (ex. 10), GPS (ex. 23),
plan (ex. 31), optique (ex. 32), électricité (ex. 38), mécanique (ex. 41)…
Si les équations trigonométriques ne sont pas explicitement au
programme, les élèves disposant de tous les outils nécessaires, nous avons
néanmoins proposé quelques exercices sur ce sujet (capacité 5, ex. 17 à 19,
26, 27, 32). La plupart de ces équations sont linéaires en sinus ou cosinus.
Certaines ne le sont pas (ex. 18, 21, 34). Dans ce cas, soit l’utilisation d’une
propriété de base du cosinus ou du sinus est requise, soit l’élève est guidé
(ex. 34).
Trigonométrie Chapitre 12
Ouverture
La trigonométrie dans le triangle rectangle
est très utile pour calculer des longueurs et
des angles, mais n’interviennent alors que
des angles aigus, or l’astronomie, la phy-
sique, la mécanique, etc., ont à prendre en
compte des phénomènes apparemment
réguliers qui nécessitent l’usage « d’angles »
en un sens plus général et surtout ne se limi-
tant pas à un tour.
Pour faire un tour complet en une année
et pour des raisons qui tiennent à leur sys-
tème de numération de base 60, le peuple
de Summer choisit comme unité d’angle la
360e partie du cercle ; le degré était né.
Ultérieurement les développements signifi -
catifs du calcul trigonométrique sont dus aux
mathématiciens Indous dont les travaux
furent repris par les mathématiciens Arabes ;
ce n’est que quelques siècles plus tard que
les textes arabes furent traduits en latin et
ce fut au tour de l’Europe de découvrir le
« traité sur les sinus ».

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Chapitre 12 ■ Trigonométrie
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Si l’on revient au cercle trigonométrique, les
coordonnées, dans le repère orthonormé
utilisé, d’un point M de ce cercle sont res-
pectivement cosx et sinx ; on a ainsi une
« fonction » qui à un réel x fait correspondre
un point du cercle de centre O, de rayon 1 ;
il s’agit d’une représentation paramétrique
du cercle. Comme dans le chapitre 9, cette
représentation paramétrique du cercle peut
être utilisée pour établir des propriétés géo-
métriques grâce à des calculs algébriques.
Pour bien commencer
Exercice 1 Révision des calculs de circonfé-
rence d’un cercle.
a/ 2π ; b/ π ; c/ π
2 ; d/ 2 3
π.
Exercice 2 Révision des formules de trigo-
nométrie dans un triangle (vues au collège).
Avec le théorème de Pythagore, on a AC = 10.
a/ cos
A = 4
5, sin
A = 3
5, tan
A = 3
4 ;
b/
A ≈ 36,9°, C ≈ 53,1°. Ces résultats peu-
vent être trouvés de deux manières : soit
géométriquement en traçant la fi gure, soit à
l’aide de la calculatrice (dans ce cas en mode
degré) et l’utilisation des fonctions Arcsin ou
Arccos. Elles permettent alors de trouver la
valeur de l’angle
A en degré, puis le triangle
étant rectangle, celle de l’angle
C.
Exercice 3 Savoir ordonner les différentes
valeurs remarquables en trigonométrie.
1. a/ ππ
6052 4078 1≈≈,,⬍⬍
ππ
3105 2157≈≈,,⬍⬍
;
π
—
6
π
—
4
π
—
3
π
—
2
01
b/ −−≈− −≈−13
2087 2 2071⬍⬍,,
−=−
1
205 0⬍⬍,.
0
1
—
2
–
√⎯
3
—
2
–
√⎯
2
—
2
–
–1
Exercice 4 Faire le lien entre coordonnées
et valeurs des cosinus et sinus sur un cercle
trigonométrique.
En utilisant le théorème de Pythagore et
compte tenu que OA2 = 1 :
a/ yA=−3
2 ; b/ yB=3 2 ;
c/ xM ≈ 0,8 ; d/ yM ≈ 0,6.
Activités d’introduction
Commentaires
L’activité 1 vise à introduire le concept d’en-
roulement via un exemple concret connu
des élèves : le vélo. Des variantes peuvent
être proposées en se basant sur des roues de
formes carrées, triangulaires, etc.
L’activité 2 vise à redémontrer les valeurs des
cosinus et sinus de 60°, 30° et 45° grâce à
des considérations géométriques. Des indi-
cations pourront être données aux élèves :
a/ Nature du triangle OIA ? Introduire le pied
de la hauteur issue de A.
b/ Nature du triangle OB’B ? Introduire H
intersection de (OI) et (B’B).
c/ Introduire H, pied de la hauteur issue de
C dans le triangle OIC.
L’activité 3 vise à comprendre l’enroule-
ment de la droite numérique autour du
cercle trigonométrique grâce à l’utilisation
d’un fi chier GeoGebra. Le fi chier propose de
visualiser l’enroulement de la partie positive
de la droite des réels entre 0 et 2π, puis de
la partie négative entre 0 et –2π, puis les
deux en simultané et enfi n de considérer
l’enroulement de la partie positive sur deux
tours. Il est possible d’utiliser des valeurs
continues (plus exactement à la précision
du logiciel) ou par pas de π
12 ce qui permet
de tomber sur des valeurs exactes pour les
angles remarquables. Les activités 1 et 3
sont vraiment essentielles pour faciliter la
compréhension du cours.

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Chapitre 12 ■ Trigonométrie
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Activité 1 Partie A
a/ M
I
O
En gris foncé, partie surlignée en bleu, en
gris clair, partie surlignée en vert.
b/
Lbleu = π
2,
Lvert = 3
2
π.
On a
Lbleu+L
vert = 2π.
Partie B
1. a/ Le vélo avance d’un périmètre de cercle,
soit 2πR ;
b/ on multiplie par 3, soit 6πR ;
c/ environ 4,4 m et 13,2 m avec R = 0,7 m ;
d/ 360°, 3 × 360° = 1 080° ;
2. Facteur 0,5 par rapport à la question pré-
cédente.
a/ πR ; b/ 3πR ; c/ environ 2,2 m et 6,6 m ;
d/ 180°, 540°.
3. πRα
180.
Activité 2 a/ OA = OI et
IOA = 60°, d’où
OIA triangle équilatéral. (AH), la hauteur
issue de A est aussi la médiane, d’où OH =1
2
et cos60° = OH
OA =1 2. Pythagore dans OHA
donne : HA =3
2 donc sin60° = HA
OA =3 2.
b/ B’ étant le symétrique de B par rapport à OI,
on a OB = OB’.
BOB’ = BOI + IOB’ = 2 BOI = 60°, d’où BOB’ est
équilatéral. Soit H tel que H = (OI) ∩ (B’B),
on a BB’ = 1 et BH =1
2,
d’où sin30° = BH
OB =1 2. Pythagore dans OHB
donne : OH =3
2, donc cos30° = OH
OB =3 2.
c/ Soit H le pied de la hauteur issue de C
dans le triangle OIC. Le triangle CHO est
rectangle en H et comme
COH = 45°, on a
OCH = 180 − 90 − 45 = 45°. On en déduit
que CHO est isocèle en H. D’après Pythagore
dans CHO, OC2 = OH2 + HC2 ainsi 1 = 2OH2,
d’où OH HC==
2
2. On obtient donc
cos45° = OH
OC =2 2 et sin45° = CH OC =2 2.
Activité 3 @ ressource disponible sur
www.libtheque/mathslycee.fr.
1. a/ (1 ; 0) ; b/ (0 ; 1) ; c/ (−1 ; 0) ;
d/ (0 ; −1) ; e/ (1 ; 0).
2. a/ (1 ; 0) ; b/ (0 ; −1) ; c/ (−1 ; 0) ;
d/ (0 ; 1) ; e/ (1 ; 0).
Erratum : mettre « le » avant « lien » dans
3. a/ et 3. b/.
3. a/ Ils sont opposés, x1 + x2 = 0 ;
b/ x1 − x2 = 2π en dehors des bornes 0 et
2π pour x1 et 0 et −2π pour x2. Sinon, on a
respectivement x1= x2 = 0 et x1 = −x2 = 2π.
Remarque : ce résultat n’est pas évident à
trouver, il faut inciter les élèves à observer le
cercle trigonométrique.
4. On exclut le tour complet pour M1.
x3 = x1 si on a fait faire à M3 moins d’un
tour. x3 = x1 + 2π si on a fait faire à M3 entre
1 et 2 tours (exclu), etc.
En généralisant, on peut dire que
x3 = x1 + k × 2π si on fait faire à M3 entre k
et k + 1 tours (exclu).
5. x + 2π ; x − 2π ; en effectuant un nombre
de tour compris entre 2 (au sens large) et 3 (au
sens strict), on trouve : −4π − (2π − x) = x – 6π.
Exercices et problèmes
L’ENROULEMENT DE LA DROITE NUMÉRIQUE
1
1
1. b/ et c/ ; 2. b/ et d/ ; 3. a/ ;
4. b/, c/, d/ (a/ faux, car 360° n’est pas 2π).
2
2
a/ Vrai ; b/ faux, c’est le symétrique de I
par rapport à O ; c/ vrai ; d/ faux, c’est J.
4
4
a/ 3
8
π ≈ 1,2 cm ; b/ 7
6
π ≈ 3,7 cm ;
c/ 15π ≈ 47,1 cm ; d/ 25
36
π ≈ 2,2 cm.

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Chapitre 12 ■ Trigonométrie
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6
6
a/ Ce n’est pas exactement la formule
de la capacité 2, car le cercle n’est pas uni-
taire ici. Cependant une même règle de trois
donne la formule : α =
360
2
×L
πR = 36° ;
b/ 60° ; c/ 60°
π ≈ 19,1° ;
d/ 120° ; e/ 120° ; f/ 315°.
8
8
a/ P = I ;
b/ 7
323
πππ
=+
. Donc le point résultant d’un
enroulement de la droite numérique marquée
à l’abscisse 7
3
π est le même que celui marqué
à l’abscisse π
3. L’angle du cercle trigonomé-
trique de longueur π
3 vaut π π3
360
260×=°
;
c/ −+=
5
423 4
πππ soit un angle de 135°;
d/ 10 180 573 3 180 33×≈°= × °+ °
π ;
e/ 1180 57×≈°
π.
O
QT
R
33°
45°
60°
57°
S
+
I = P
J
9
9
a/
AB = 2
4
πR = 21π cm ≈ 66,0 cm ;
b/ 6
AB = 126π ≈ 395,8 cm ;
c/ 2(2π × 40) = 160π ⬎ 126π donc il faut
choisir la confi guration avec deux tables
identiques.
10
10
Faire un produit en croix, comme à la
capacité 1 p. 271 :
1 heure = 60 minutes correspond à 2πR
= 24π cm
x minutes correspond à 24
60
2
5
ππ
=x.
a/ 2
55
π× = 2π cm ≈ 6,3 cm ;
b/ 2
522 44
5
ππ
×= cm ≈ 27,6 cm ;
c/ 2
530
π× = 12π cm ≈ 37,7 cm ;
d/ 2
560 10
π()+ = 28π cm ≈ 88,0 cm ;
e/
2
536047 454 5
ππ
()×+ =
cm ≈ 285,3 cm.
11
11
Attention, D est le diamètre, et pas le
rayon.
En faisant un produit en croix, on trouve la
formule : nombre d’enroulements = L
Dπ.
a/ 5 tours ; b/ 5 tours ; c/ 16
353≈, tours.
SINUS ET COSINUS D’UN NOMBRE RÉEL
12
12
a/ Faux, c’est cosx ; b/ vrai ;
c/ faux, elle vaut 1 ; d/ vrai ;
e/ faux, elle peut également être négative.
13
13
a/ Faux ; b/ faux ; c/ vrai ; d/ faux ;
e/ faux ; f/ vrai ; g/ faux ; h/ vrai.
15
15
a/ 1 × 0 = 0 ; b/ 1
2
3
2
3
4
×=
;
c/ 2
200×=
; d/ −1 × 1 = −1 ;
e/ cos10 sin20 ≈ − 0,77 (avec la calculatrice
en mode « radian », en mode « degré » le
résultat trouvé est 0,34) ;
f/ 12
2
2
2
×=
.
16
16
a/ cos0 = 1 ; b/ (−1)2 = 1 ; c/ 1 ;
d/
sin
cos
π
π
3
3
3
2
1
2
3==
.
18
18
Soit k est un entier relatif. Interpréter
l’équation de façon géométrique sur le
cercle trigonométrique, afi n de voir toutes
les solutions.

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Chapitre 12 ■ Trigonométrie
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a/ Les solutions de l’équation correspondent
à l’intersection de la droite d’équation y = 0,
soit l’axe des abscisses et le cercle trigono-
métrique. Géométriquement les solutions
correspondent donc au point I et à son
symétrique par rapport à O. On trouve donc
les solutions
x = 0 + k × 2π et x = π + k × 2π que l’on peut
réécrire kπ ;
b/ ⺢ ; c/ ±+×
3
42
ππk ;
d/ −+×
ππ
32k et 4
32
ππ+×k.
19
19
Soit k est un entier relatif. Les solutions sont :
a/ ±+×
ππ
32k ;
b/ cosx + sinx ⭐ 2, donc il n’y a pas de solu-
tions ;
c/ π + k × 2π ;
d/ −+×
ππ
62k et 7
62
ππ+×k.
21
21
a/ Avec la calculatrice en mode « radian » :
Arcsin
1
40 253=,
. Avec la calculatrice en mode
« degré », on trouve 14,5° ;
b/ Un carré est positif et
120−⬍
, d’où il
n’y a pas de solutions ;
c/ −0,305 (mode radian) ou −17,5° ;
d/ −0,615 (mode radian) ou −35,3°.
Remarque : les valeurs de x en radian dans a/
et c/ sont très proches (sans être égales) des
valeurs de sinx (0,25 et –0,30) de l’énoncé.
Les élèves doivent bien comprendre que cela
correspond à des exceptions.
22
22
a/
15
2
π
≈ 23,6 cm ;
b/
42
9
π
cm ≈ 2,0 cm ;
c/
11
6
π
≈ 5 ,8 ;
d/
4
3
π
≈ 4,2.
23
23
Application dans le domaine des coor-
données GPS.
Dans les différents exemples, les deux points
sont toujours soit sur un même méridien,
soit sur l’équateur. La coordonnée non nulle
des amis est donc l’angle de l’arc de cercle
dont on recherche la longueur.
La formule générale est donc : 2
360 180
ππRRxx
=.
a/ 65 405
18
π ≈ 11 415 km ;
b/ 16 510
9
π ≈ 5 763 km ;
c/ 29 845
18
π ≈ 5 209 km ;
d/ 32 385
18
π ≈ 5 652 km.
24
24
a/ À l’aide de la calculatrice, on trouve
environ −0,87. On pourra faire remarquer
aux élèves que la valeur exacte est −3
2 par
des considérations géométriques.
b/ On ajoute 2π jusqu’à obtenir une valeur
remarquable,
cos cos−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=−+
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
11
2
11
22
ππ
π
= ... = cos cos−+
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
11
262
πππ = 0 ;
c/ cos cos−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=−+
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
7
3
7
32
ππ
π
= ... = cos cos−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=
ππ
33
1
2 ;
d/ On retire 2π jusqu’à obtenir une valeur
remarquable,
cos cos cos
9
4
9
424
2
2
ππ
ππ
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=
;
e/ 3
2 ;
f/ 0.
25
25
En utilisant les mêmes la même démarche
qu’à l’exercice précédent :
a/
sin π
6
1
2
=
; b/
sin π
21=
;
c/
−=−sin π
3
3
2
; d/
sin π
4
2
2
=
;
e/
−=−sin π
6
1
2
; f/ −1.