10 Probabilités conditionnelles A Le programme

142
ALe programme
Probabilités conditionnelles
10
CHAPITRE
Contenus Capacités attendues Commentaires
Conditionnement,
indépendance
Conditionnement par un
événement de probabilité
non nulle.
Notation PA (B) .
Indépendance de deux
événements.
• Construire un arbre pondéré en lien
avec une situation donnée.
• Exploiter la lecture d’un arbre pondéré
pour déterminer des probabilités.
• Calculer la probabilité d’un événement
connaissant ses probabilités condi-
tionnelles relatives à une partition de
l’univers.
 Démontrer que si deux événements A
et B sont indépendants, alors il en est de
même pour
–
A et B .
On représente une situation à l’aide d’un arbre
pondéré ou d’un tableau. On énonce et on
justifie les règles de construction et d’utilisation
des arbres pondérés.
Un arbre pondéré correctement construit
constitue une preuve.
Le vocabulaire lié à la formule des probabilités
totales n’est pas un attendu du programme,
mais la mise en oeuvre de cette formule doit
être maîtrisée.
Cette partie du programme se prête particulière-
ment à l’étude de situations concrètes.
 Des activités algorithmiques sont menées
dans ce cadre, notamment pour simuler une
marche aléatoire.
➞
➞
[SVT] Hérédité, génétique, risque
génétique.
On approfondit le travail en probabilités et statistique mené les années précédentes.
Cette partie se prête particulièrement à l’étude de problèmes issus d’autres disciplines.
Le recours aux représentations graphiques et aux simulations est indispensable.
Nous avons regroupé dans ce chapitre la partie du programme relative au conditionnement et à l’indépendance.
Les notions nouvelles concernant ce chapitre sont peu nombreuses: conditionnement par un événement de probabilité
non nulle et indépendance de deux événements.
La première activité «Réussite au bac» permet, à partir de données présentées en tableau, de découvrir la notion de
probabilité conditionnelle et la formule permettant le calcul de ces probabilités. Les notions correspondantes constituent
le contenu de la première page de cours.
La seconde page de cours est consacrée aux arbres pondérés et à la formule des probabilités totales. La notion d’arbre
de probabilités est déjà connue des élèves:
– En classe de Troisième et de Seconde, on s’est intéressé à la succession de deux expériences (éventuellement
trois), pas nécessairement identiques.
BNotre point de vue

143
Chapitre 10 Probabilités conditionnelles – Term S spécifique
Voir livre page 427 et le site www.bordas-indice.fr pour les corrections détaillées.
CAvant de commencer
Ces activités ont permis à l’élève de se familiariser avec les arbres de probabilités construits intégralement.
– En classe de Première, on s’est intéressé à la répétition d’une même expérience aléatoire, un certain nombre n
de fois (ce nombre n pouvant éventuellement être grand), dans le cadre de la loi binomiale.
Le contenu du programme de Terminale est dans le prolongement de ces apprentissages.
Nous avons décidé de formaliser cette partie de cours en détaillant la méthode de construction d’un arbre pondéré,
en proposant un peu de vocabulaire et en donnant quelques règles.
Les capacités attendues étant: «construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée» et «exploiter la
lecture d’un arbre pondéré pour déterminer des probabilités», ces capacités sont reprises dans les deux savoir-faire.
L’arbre pondéré, construit dans le deuxième savoir-faire, donne aussi l’occasion de mettre en œuvre la formule des
probabilités totales.
La troisième page de cours traite de l’indépendance de deux événements. Il nous a paru important d’insister sur
l’aspect «commutatif» de cette notion d’indépendance: si l’événement B est indépendant de l’événementA, alors
l’événementA est indépendant de l’événementB.
On retrouve aussi dans cette partie la démonstration «exigible » mentionnée dans le programme.
Concernant l’accompagnement personnalisé, la page «Revoir les point essentiels» revient sur deux points importants:
la construction d’un arbre pondéré et le calcul d’une probabilité conditionnelle. La page «approfondissement» permet
la découverte d’une des principales applications des probabilités conditionnelles: la formule de Bayes.
Les commentaires du programme demandent de mener des activités algorithmiques, notamment pour simuler une
marche aléatoire, et des activités en lien avec la SVT sur les thèmes «hérédité, génétique, risque génétique». C’est
pourquoi le TP1 propose d’étudier une situation de «marche aléatoire» en partant d’un point de vue algorithmique
pour ensuite observer et formaliser certains résultats. Le TP2 propose, quant à lui, d’étudier un phénomène d’hérédité
connu: la loi de «Hardy-Weinberg».
Les notions abordées dans le chapitre 10
1. Probabilité conditionnelle
2. Arbres pondérés et probabilités totales
3. Indépendance de deux événements
Activité Réussite au bac
1
Cette activité permet, à partir de données présentées en tableau,
de découvrir la notion de probabilité conditionnelle et la formule
permettant le calcul de ces probabilités. Les valeurs du tableau
étant des effectifs, on commence par déterminer les probabilités
correspondantes.
1. Tableau complété:
Nombre
de succès au bac
Nombre
d’échecs au bac Total
Nombre
de redoublants 36 4 40
Nombre de non
redoublants 378 50 428
Total 414 54 468
2. P (B)=414
468=23 26; P (R)= 40 468= 10 117;
P (– R)=428
468=107 117; P (B  R)= 36 468= 1 13;
P (B  –– R)=378
468= 21 26 .
3. PR (B)=36
40= 9 10= (B R)
(R)
PP .
4. P
–
R (B)=378
428=189 214= (B R)
(R)
P
P .
5. Réussite des élèves redoublants: 0,9.
Réussite des élèves non redoublants: 0,88 (environ).
6. 36
414=PB (R): probabilité que l’élève choisi soit redoublant,
sachant qu’il a obtenu son bac.
378
414=PB (–
R): probabilité que l’élève choisi ne soit pas
redoublant, sachant qu’il a obtenu son bac.
DActivités

144
Activité Un test de dépistage
2
Cette activité donne l’occasion de lire et compléter des probabilités
sur un arbre pondéré. Ces informations sont ensuite utilisées pour
déterminer la probabilité de certains événements.
1. 0,98=P (S).
2. Arbre complété:
N
S
M
P
0,99
0,98
0,02
0,01
N
P
0,04
0,96
3. a. P (S  N)=0,9702.
b. C’est l’événement M  N, P (M  N)=0,0008.
c. P (N)=0,971.
4. a. P (S  P)=0,0098 et P (M  P)=0,0192.
b. P (P)=0,029.
Activité Catégories de personnels
d’une entreprise
3
Cette activité permet de découvrir la formule des probabilités
totale, grâce au calcul de la probabilité d’un événement, en
utilisant un tableau de probabilité puis en utilisant un arbre
pondéré.
1. a. PM (F)=0,20 et P (M  F)=0,15×0,2=0,03.
b. P (O  F)=0,45 et P (I  F)=0,05.
P (F)=P (M  F) + P (O  F) + P (I  F) soit P (F)=0,53.
c. Tableau complété :
M O I Total
F0,03 0,45 0,05 0,53
–
F0,12 0,3 0,05 0,47
Total 0,15 0,75 0,1 1
2. a. Arbre:
F
M
O
I
F
F
F
F
F
Événement
M  F 0,03
M  F 0,12
SexeCatégorie Probabilité
O  F 0,45
O  F 0,30
I  F 0,05
I  F 0,05
b. P (F)=0,03 + 0,45 + 0,05=0,53.
Activité Tirage de boules
4
Cette activité introduit la notion d’événements indépendants à
partir de la comparaison des deux cas classiques: tirage de boules
«avec remise», puis tirage de boules «sans remise».
1. a. P (A)=3
5=0,6.
b. PA (B)=3
5=0,6.
c.
B
A
B
A
Premier
tirage
Second
tirage
3
5
3
5
2
5
B
B
3
5
2
5
2
5
P (B)=P (A  B) + P (– A  B)= +
9
25 6 25=3
5 .
d. P (A  B)= 9
25=P (A)×P (B).
2. a. P (A)=3
5=0,6.
b.
B
A
B
A
Premier
tirage
Second
tirage
2
4
3
5
2
4
B
B
3
4
1
4
2
5
c. PA (B)=2
4=0,5.
P (B)=P (A  B) + P (– A  B)= +
6
20 6 20=3
5=0,6.
P (B) ≠ PA (B).
d. P (A  B)= 3
10=0,3 alors que P (A)×P (B)= 9 25 =0,36.
Correctif: dans le cours page 298 dans l’encadré en bas de page sur la formule des probabilités totales il faut lire «Soit A1, A2,...,An , n
événements incompatibles deux à deux et tels que leur réunion soit égale à E. » et non pas «Soit un événement A, réunion des événements
A1, A2 ,…, An , deux a deux incompatibles.»

145
Chapitre 10 Probabilités conditionnelles – Term S spécifique
3. PF (R)=P(F>R)
P(R) =12
20=0,6.
PF (R) est la probabilité de choisir un élève étudiant le russe,
sachant que c’est une fille.
P
–
R (G)=P(R >G)
P(R)
=7
15 .
P
–
R (G) est la probabilité de choisir un garçon sachant que l’élève
n’étudie pas le russe.
12 Voir livre page 428.
13 1. P (A  B)=0,6×0,75=0,45.
P (– A  B)=0,4×0,3=0,12.
2. P (B)=P (A  B) + P (– A  B)=0,45 + 0,12=0,57.
14 1. 0,2
0,6
0,4
0,8
0,7
0,3
B
AB
B
B
A
2. P (– A)=0,4; P
–
A (B)=0,7.
3. P (A  B)=0,6×0,2=0,12 et P (– A  B)=0,4×0,7=0,28.
4. P (B)=P (A  B) + P (– A  B)=0,12 + 0,28=0,4.
15 Voir livre page 428.
16 1. PB(A)=5
8=0,625=P (A).
A et B sont indépendants.
2. PA (B)=1
7 ≈ 0,143 ≠ P (B).
A et B ne sont pas indépendants
17 1. P (A)×P (B)=35
80 =7
16=P (A  B).
A et B sont indépendants.
2. P (A)×P (B)=0,231 ≠ P (A  B).
A et B ne sont pas indépendants.
18 1. P (B)=0,27
0,72 =3
8 .
2. P (B)= 6
125 ×25
8=3 20 .
19 Voir livre page 428.
20 1. P (–
A 
–
B)=0,97×0,95=0,9215.
2. La probabilité est P (– A 
–
B) soit 0,9215.
POUR S’ENTRAÎNER
21 1. P (I)= 8
15; P (M)= 5 15 =1
3 .
2. P (
–
I)= 7
15 : probabilité de tirer un numéro pair.
P (I  M)= 3
15 =
1
5 : probabilité de tirer un numéro impair et
multiple de trois.
P (
–
I  M)= 2
15 : probabilité de tirer un numéro pair et multiple
de trois.
3. PM(I)=3
5: probabilité de tirer un numéro impair sachant qu’il
est multiple de trois.
POUR DÉMARRER
1 1. Non, P (V).
2. Oui, PU (V).
3. Oui, P
–
V (U).
4. Non, 
( )
U VP.
2 1. «Parmi», PF (R).
2. «Un tiers des», PH (R).
3. «Chez», PR (F).
4. «Lorsqu’on», PH ( – R ).
5. «Parmi», P
–
R(F ).
3 Voir livre page 428.
4 PA (B)=P(B >A)
P(A) =0,3
0,75=0,4.
PB (A)=P(A >B)
P(B) =0,3
0,8 =0,375.
5 PD (C)=P(C >D)
P(D) =0,1
0, 4 =0,25.
PC (D)=P(D >C)
P(C) =0,1
0,25=0,4.
6 1. P (Q)=0,1 ; P (R)=0,22 ; P (Q  R)=0,04.
2. PQ (R)= P(R >Q)
P(Q) =0,04
0,1 =0,4. PQ (R) est la probabilité que
l’exercice choisi soit une question sur les probabilités sachant
que c’est un QCM.
PR (Q)=
P
(Q >R)
P(R) =0,04
0,22 =2
1
1
. PR (Q) est la probabilité que
l’exercice choisi soit un QCM sachant que c’est un exercice sur
les probabilités.
7 P (A  B)=PA (B)×P (A)=0,2×0,3=0,06.
PB (A)=P(A >B)
P(B) =0, 06
0,54 =1
9 .
8 P (C  D)=PC (D)×P (C)=0,25×0,4=0,1.
P (D)=P(C >D)
P
D(C) =0,1
0,2 =1
2 .
9 1. A A Total
B0,3 0,2 0,5
B0,15 0,35 0,5
Total 0,45 0,55 1
2. P (– A)=0,55; P (– A  B)=0,2.
3. PB (A)=P(A >B)
P(B) =0,3
0,5=0,6.
P
–
A (B)=P( A >B)
P(A)
=0,2
0,55 =4
1
1
.
10 Voir livre page 428.
11 1. F G Total
R
12
35
8
35
20
35
R
8
35
7
35
15
35
Total
20
35
15
35
1
2. P (– R)=15
35 =3
7 .
EExercices

146
1.
Boulons A B C Total
Défectueux 0,012 0,009 0,004 0,025
Non défectueux 0,588 0,291 0,096 0,975
Total 0,6 0,3 0,1 1
Machine
2. P (D)=0,025.
3. PD(C)= 4
25 =0,16.
37 Correctif: il faut lire «3. Calculer la probabilité que le
questionnaire choisi soit celui d’un élève qui n’utilise pas
régulièrement Internet».
Voir livre page 428.
38 VRAI.
39 VRAI.
40 FAUX: PA (B)=P(A >B)
P(A) =32
48 =2 3 .
41 1. P (L)=0,2 : probabilité de choisir un élève de L.
PL(G)=0,35: probabilité de choisir un garçon parmi les élèves
de L.
2.
G
F
G
F
G
F
L
ES
S
0,35
0,2
0,45
0,35
0,65
0,52
0,48
0,64
0,36
P (ES)=0,35;PL (F)=0,65;PES (G)=0,52; PS (G)=0,64.
3. P (F  ES)=0,35×0,48=0,168.
4.
L ES S Total
Fille 0,13 0,168 0,162 0,46
Garçon 0,07 0,182 0,288 0,54
Total 0,2 0,35 0,45 1
42 Voir livre page 428.
44 1.
F
M
D
0,95
0,4
0,3
0,3
0,05
0,6
0,4
0,4
0,6
R
R
R
R
R
R
2. a. P (D  R)=0,3×0,4=0,12.
b. P (F  – R)=0,4×0,05=0,02.
c. P (R)=0,4×0,95 + 0,3×0,6 + 0,3×0,4=0,68.
3. P
–
R (M)=P(R >M)
P(R)
=0,3 ×0, 4
0,32 =3
8=0,375.
P I
– (M)=2
7: probabilité de tirer multiple de trois sachant que
c’est un numéro pair.
22 Soit S l’événement «l’abonné à choisi l’option Sport-Live»
et C l’événement «l’abonné à choisi l’option Cinéma-Séries».
1. PC (S)=P(S >C)
P(C) =60
75 =4 5 .
2. PS (C)=P(C >S)
P(S) =60
90 =2 3 .
23 P (A  B)=0,72 + 0,47 – 0,88=0,31.
PB (A)=P(A >B)
P(B) =31
47 ≈ 0,66.
PA (B)=P(B >A)
P(A) =31
72 ≈ 0,43.
24 Voir livre page 428.
25 1. P (R)=284
475; PR (F)=1
3
.
2. P (R  F)=P (R)×PR (F)= 284
1425
.
27 Soit V l’événement «le ménage possède une voiture» et
D l’événement «le ménage possède un deux-roues ».
1. P (V  D)=0,82 + 0,11 – 0,89=0,04.
2. PV (D)=P(V >D)
P(V) =2
41
.
28 1. P (A)=P (X  4) ≈ 0,0064;
P (B)=P (X  7) ≈ 0,3222.
2. P (A  B)=P (A) ≈ 0,0064.
3. PB (A)=P(A)
P(B) ≈0, 0064
0,3222 ≈ 0,0199 ; PA (B)=P(A)
P(A)=1.
29 1. P (X  20) ≈ 0,952;
P (X  10)=1 – P (X  10) ≈ 0,960.
2. P (10  X  20)=P (X  20) – P (X  10) ≈ 0,912.
PX  10(X  20)=P(10 <X<20)
P(X>10) ≈0,912
0,960 ≈ 0,950.
30 1. On veut P (X  4), avec X loi binomiale de paramètres
n=8 et p=0,7.
P (X  4)=1 – P (X  3) ≈ 0,942.
2. On veut PX  4 (X  6)=P(4 <X<6)
P(X>4) ≈0,687
0,942 ≈ 0,729.
31 1. Oui, la proposition est vraie.
2. Oui, la réciproque est vraie.
32 VRAI: P (A  B)=0,4×0,3=0,12.
33 FAUX: P (A)=P(A >B)
P
A(B) .
34 VRAI: PA (B)=P(A >B)
P(A)  P (A  B) car P (A)  1.
35 1. P (–
A)=0,3 et P (
–
B)=0,5.
2.
A
–
A Total
B0,3 0,2 0,5
–
B0,4 0,1 0,5
Total 0,7 0,3 1
PA (B)=3
7, PA (
–
B)=4
7, PB(A)=3 5, PB (
–
A)=2
5et P
–
A (
–
B)=1
3 .
36 Correctif: il faut lire «Les pourcentages d’objets défectueux
sont respectivement 2 %, 3 % et 4 % de chacune des trois
productions».