Exercices d`arithmétiques pour s`entraîner
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Formation accélérée CRPE Mathématiques Exercices d’arithmétiques pour s’entraîner Exercice 1 Effectuer les divisions euclidiennes de 100,1000 et 10000 par 9. Que remarquez-vous ? n Quel est le reste de la division de 10 par 9, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 1 ? Exercice 2 Les nombres 2882 et 19591 sont des palindromes (cela signifie qu’en les lisant de gauche à droite ou de droite à gauche on a le même nombre). Trouver tous les palindromes ayant quatre chiffres et qui sont divisibles par 9. Exercice 3 a) Existe-t-il un entier naturel qui soit multiple de 5 sans être multiple de 10 ? Existe-t-il un entier naturel qui soit multiple de 10 sans être multiple de 5 ? b) Pourquoi peut-on être sûr que 282828 est un multiple de 7 ? c) Trouver tous les entiers qui ont 56 comme multiple. d) Existe-t-il un entier naturel qui soit diviseur de 48 sans être diviseur de 12 ? Existe-t-il un entier naturel qui soit diviseur de 12 sans être diviseur de 48 ? Exercice 4 Déterminer le nombre entier N satisfaisant simultanément aux trois conditions ci-dessous : • N est divisible par 6, • N n’est pas divisible par 8, • N a exactement 15 diviseurs. Exercice 5 1. Ecrire la liste ordonnée (dans l’ordre croissant) des diviseurs de 16 (1 et 16 sont compris dans la liste). 2. Ecrire la liste ordonnée (ordre croissant) des diviseurs de 36. 3. Proposer deux démarches différentes qui permettent d’organiser votre recherche et de justifier le caractère exhaustif de la liste. 4. Les deux listes contiennent un nombre impair de diviseurs. Citer deux autres nombres qui eux aussi ont un nombre impair de diviseurs (justifier votre réponse) Exercice 6 Quel est le plus petit entier de quatre chiffres, tous différents de zéro, divisible à la fois par 4 et par 9. ? Exercice 7 Un enfant range toutes les petites voitures dont il dispose. Il les met par rangées de 6; il lui en reste 3. Il les met par rangées de 5; il n’en reste pas. 1) S’il les range par 3, en reste-t-il ? Justifiez votre réponse 2) S’il les range par 2, en reste-t-il ? Justifiez votre réponse. 3) Quel peut être le nombre de voitures de cet enfant sachant qu’il en a en tout moins de 100 ? Exercice 8 Les dimensions d’une caisse à parois rectangulaires sont en centimètres: 150, 165, 105. On veut fabriquer des boîtes cubiques aussi grandes que possible dont l’arête est mesurée par un nombre entier de centimètres et avec lesquelles on se propose de remplir entièrement la caisse. Calculer la mesure de l’arête des boîtes ainsi que le nombre de ces boîtes. Exercice 9 Un bibliobus et un marchand de glaces sont passés aujourd’hui dans le quartier de Jeannette, malheureusement elle les a manqués. Le bibliobus passe tous les 8 jours et le marchand de glace tous les 12 jours. Elle attend avec impatience le jour où ils repasseront en même temps. Combien de jours au minimum devra-t-elle patienter ? Muriel Fénichel et Marie-Sophie Mazollier Septembre 2010 1 Exercice 10 Maria dispose de 540 friandises dont 330 chocolats et 210 caramels. Elle veut confectionner des sachets identiques contenant à la fois des chocolats et des caramels. Une fois tous les sachets terminés, il ne doit rester ni chocolats ni caramels. Combien de chocolats et combien de caramels doit-elle mettre dans chaque sachet et combien de sachets faitelle ? (Donner toutes les solutions de ce problème.) Exercice 11 Une école regroupe tous les élèves pour organiser un grand jeu par équipes. Si les élèves sont regroupés par 7, il en reste 6. Si les élèves sont groupés par 11, il en reste 10. Mais il y a moins de 8 équipes. Combien y a-t-il d’enfants dans cette école ? Donnez une méthode de résolution. Corrigés Exercice 1 100 = 99 +1 donc 100= 9 x 11 + 1 1000 = 999 + 1 donc 1000 = 9 x 111 +1 10 000 = 9999 +1 donc 10000 = 9 x 1111 +1 n Ainsi, on peut penser que, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 1, le reste de la division euclidienne de 10 par 9 est 1. n En effet 10 = 1000…..0 = 9999…..9 + 1 qui est la somme d’un multiple de 9 et de 1. n«0» n«9» Exercice 2 La somme des chiffres des palindromes cherchés doit être un multiple de 9. Cette somme est comprise entre 4 (1+1+1+1) et 36 (9+9+9+9). De plus cette somme est paire car chaque chiffre apparaît deux fois. Elle peut donc être égale à 18 et à 36. • somme égale à 18 : 1881 ; 8118 ; 2772 ; 7227 ; 3663 ; 6336 ; 4554 et 5445 • somme égale à 36 : 9999 Exercice 3 15 est multiple de 5 sans être multiple de 10. Les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5 et les multiples de 10 par 0, donc les multiples de 5 se terminant par 5 sont des multiples de 5 sans être des multiples de 10. Tous les multiples de 10 sont des multiples de 5. En effet, un multiple de 10 s’écrit 10xq où q est un entier naturel non nul. 10 x q = 5 x 2 x q = 5 x (2xq). Comme 2xq est un entier naturel, 5 x (2xq) est un multiple de 5. Plus généralement si a est un multiple de b et best multiple de c alors a est un multiple de c. En effet si a est un multiple de b alors, il existe un entier naturel q tel que a=b x q et si b est un multiple de c alors, il existe un entier naturel q’ tel que b=c x q’ ainsi a= c x (q’ x q ) et q’ x q est un entier naturel donc a est un multiple de c 282828 est égal à 28 x1000 +28x100 + 28 donc à 28 x (1000+100+1) or 28=4 x 7 donc 282828= 7x 4x 1101 C’est donc un multiple de 7. Si n est un nombre entier tel que 56 soit multiple de n, alors n est un diviseur de 56. Les entiers naturels qui ont 56 pour multiples sont les diviseurs de 56. 56 = 1 x 56 ; 56 = 2 x 28 ; 56 = 4 x 14 ; 56 = 7 x 8. Les nombres cherchés sont donc :1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56. Les diviseurs de 48 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48. 8 ; 16 ; 24 et 48 ne sont pas des diviseurs de 12, mais 12 divise 48 donc tout diviseur de 12 est un diviseur de 48. Muriel Fénichel et Marie-Sophie Mazollier Septembre 2010 2 Exercice 4 Rappelons si N = a n × b p × c q alors son nombre de diviseurs se calcule de la manière suivante : ( n + 1) × ( p + 1) × ( q + 1) . − N est divisible par 6 donc sa décomposition en facteurs premiers contient au moins un 2 et un 3 ( 6 = 2 × 3). − N n’est pas divisible par 8 donc sa décomposition en facteurs premiers ne doit pas contenir trois 2 ( 8 = 23 ). − N a exactement 15 diviseurs et le seul produit autre que 1 × 15 qui donne 15 est 3 × 5 donc N ne s’écrit qu’avec deux facteurs premiers différents qui sont 2 et 3 d’après la première condition. Donc N = 2 n × 3 p avec n = 2 et p = 4 ou n = 4 et p = 2. Or d’après la deuxième condition n < 3 donc finalement N = 2 2 × 34 . Le nombre cherché est donc 324 . Remarque : On pouvait aussi remarquer que N a un nombre impair de diviseurs donc N est un carré parfait (carré d’un entier) puis chercher N par tâtonnement réfléchi en essayant les carrés des multiples de 6 (6², 12², 18², …) Exercice 5 1. 16 = 1 × 16 ; 16 = 2 × 8 ; 16 = 4 × 4 On peut arrêter ici, tout autre produit serait déjà écrit. Les diviseurs de 16 sont donc : 1, 2, 4, 8 et 16. 2. 36 = 1 × 36 ; 36 = 2 × 18 ; 36 = 3 × 12 ; 36 = 4 × 9 ; 36 = 6 × 6 Les diviseurs de 36 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. 3. • On essaie successivement tous les entiers à partir de 1 et on arrête lorsqu’on retrouve un produit déjà écrit (méthode utilisée). • On décompose 36 (par exemple) en produit de facteurs premiers puis on écrit tous les produits possibles en combinant ses facteurs. 36 = 2 × 3 (Pour trouver toutes les combinaisons on peut faire un arbre de choix, cf cours) 1 2 2 2 0 0 3 3 2 3 1 3 9 2 3 1 1 2 0 1 3 6 2 3 2 18 3 0 4 2 1 2 3 3 12 36 4. Chaque produit fournissant deux diviseurs, pour en avoir un nombre impair il faut qu’un des produits soit un carré (produit d’un nombre par lui-même) ainsi il ne fournira qu’un seul diviseur. Donc les nombres qui ont un nombre de diviseurs impair sont les carrés parfaits (carrés d’entiers). Exemples : 9 (diviseurs : 1, 3 et 9) et 25 (diviseurs : 1, 5 et 25). Exercice 6 Soit N le nombre cherché. N est un entier de quatre chiffres tous différents de zéro donc N est supérieur ou égal à 1 111. N doit être le plus petit possible aussi cherchons s’il existe un nombre N qui s’écrit 1 11u où u est le chiffre des unités. N est divisible par 4 donc le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4 d’où N = 1 112 ou N= 1 116. N est divisible par 9 donc la somme de ses chiffres est un multiple de 9 or 1+ 1+ 1+ 2 = 5 et 1 + 1 + 1 + 6 = 9. En conclusion le plus petit entier répondant à la question est 1 116 . Remarque : D’autres méthodes basées sur la divisibilité par 36 (36 = 9 × 4 ; 9 et 4 étant premiers entre eux) sont possibles. • Recherche par tâtonnement dans la table de 36. • Recherche optimisée dans la table de 36 : 1 111 : 36 = 30,8 et 31 × 36 = 1116. Exercice 7 1. L’enfant peut partager ses rangées de 6 en deux et obtenir ainsi des rangées de 3, les 3 restantes faisant une dernière rangée. Il ne lui reste alors pas de voiture non rangée. (On peut aussi illustrer cela par un dessin) 2. Par contre s’il partage ses rangées de 6 en trois, il obtient des rangées de 2, deux des trois restantes font une autre rangée mais cette fois il lui reste la dernière seule. 3. De la réponse 1. on déduit que le nombre de petites voitures est multiple de 3, de la réponse 2. qu’il est impair et de l’énoncé qu’il est multiple de 5. On sait donc que c’est un multiple de 3 se terminant par 5 et inférieur à 100. L’enfant peut donc avoir 15, 45 ou 75 voitures. Muriel Fénichel et Marie-Sophie Mazollier Septembre 2010 3 Exercice 8 Les boîtes sont cubiques donc toutes ses arêtes sont égales. Elles doivent remplir entièrement la caisse donc l’arête des boîtes doit être un diviseur commun à 150, 165 et 105. Les boîtes doivent être les plus grandes que possible donc on doit trouver le plus grand commun diviseur de 150, 165 et 105. 150 2 165 3 105 3 75 3 55 5 35 5 25 5 11 11 7 7 5 5 1 1 1 PGCD(150,165,105) = 3 × 5 = 15 La mesure de la longueur de l’arête des boîtes est donc de 15 cm. On mettra 10 boîtes (150 = 15 × 10) dans la largeur de la caisse, 11 boites dans la profondeur (165 = 15 × 11) et 7 boîtes dans la hauteur (105 = 15 × 7). 10 × 11 × 7 = 770. On mettra donc 770 boîtes dans la caisse. Exercice 9 Jeannette doit attendre un multiple de 4 jours pour voir repasser le bibliobus et un multiple de 12 jours pour le marchand de glaces. Ils repasseront donc ensemble dans un nombre de jours multiple commun de 8 et 12. Le minimum de jours sera le PPCM (8,12). 3 2 3 8 = 2 et 12 = 2 x 3 donc PPCM (8,12) = 2 x 3 = 48. Jeannette devra patienter 48 jours. Exercice 10 Le nombre de sachets de friandises doit être un diviseur commun à 330 et 210. Il s’agit de trouver toutes les possibilités donc de trouver tous les diviseurs communs à 330 et 210. Etablir la liste de tous les diviseurs de chacun de ces deux nombres est un peu long. Il faut chercher le plus grand d’entre eux et ainsi tous les diviseurs de celui-ci seront des diviseurs de 330 et 210. 330 = 2 × 3 × 5 × 11 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7 donc PGCD(330,210) = 2 × 3 × 5 = 30. Tous les diviseurs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30. Maria peut donc faire : 1 sachet contenant les 330 chocolats et 210 caramels, soit 2 sachets contenant chacun 165 chocolats et 105 caramels, soit 3 sachets contenant chacun 110 chocolats et 70 caramels, soit 5 sachets contenant chacun 66 chocolats et 42 caramels, soit 6 sachets contenant chacun 55 chocolats et 35 caramels, soit 10 sachets contenant chacun 33 chocolats et 21 caramels, soit 15 sachets contenant chacun 22 chocolats et 14 caramels, soit 30 sachets contenant chacun 11 chocolats et 7 caramels. Exercice 11 Soit N le nombre d’élèves de cette école. Regroupés par 7, il reste 6 élèves. Si on trouvait un élève de plus on pourrait faire des équipes de 7. N + 1 est donc un multiple de 7. De même avec un élève de plus on pourrait faire des équipes de 11 élèves. N + 1 est donc un multiple de 11. N + 1 est donc un multiple commun à 7 et 11 soit un multiple de 77 puisque 7 et 11 sont premiers entre eux [77 = PPCM(11,7)]. D’autre part il y a moins de 8 équipes de 11 élèves. N + 1 < 88. Par conséquent N + 1 = 77 d’où N = 76. Il y a 76 enfants dans cette école. (c’est une petite école !) Muriel Fénichel et Marie-Sophie Mazollier Septembre 2010 4
