Multiples et diviseurs

Multiples et diviseurs
Objectif :
• Trouver les multiples et diviseurs d’un nombre.
• Savoir reconnaître un nombre premier.
1
I Multiples
Activité : Myriam reçoit 3 amis et à préparé 24 petits gâteaux.
Combien de gâteaux pourra manger chacune des personnes présente en sachant que Myriam
souhaite que chacune en ait autant ?
Il y en tout ... personnes qui mangent.
Chaque personne a droit à ... gâteaux.
4 × ... = 24
On dira que 24 est un multiple de 4
Définitions : Si a est un entier naturel qui s’écrit sous la forme d’un produit de deux entiers naturels non nuls (a = b×c), on dit que a est un multiple de b et a est un multiple de c.
Exercice :
a) Citer 5 multiples de 4
b) Citer 5 multiples de 9
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II Diviseurs
II.1 Définition
Activité :
Enzo a besoin de 7 baguettes de bois de même longueur pour construire une maquette.
Peut-il couper ces 7 baguettes dans un liteau (grand morceau de bois) de 175 cm ?
175 ÷ 7 = ...
On peut donc exactement couper 7 baguettes de ..... cm de longueurs.
On dira que 7 est un diviseur de 175.
Définition : Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on dit que b est un diviseur de
a si a ÷ b = c où c est un entier naturel.
Exercice :
• 9 est-il un diviseur de 162 ?
• 3 est-il un diviseur de 236 ?
• 12 est-il un diviseur de 132 ?
• 11 est-il un diviseurs de 121 ?
• 5 est-il un diviseur de 251 ?
3
II.2 Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par :
• 2 si son dernier chiffre est pair.
14 ; 158 ; 562 ; 2 570 sont divisibles par 2.
• 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
156 est divisible par 3. En effet, 1 + 5 + 6 = 12 or 12 est bien un multiple de 3
(3 × 4 = 12).
• 5 son le dernier chiffre est 0 ou 5.
3 465 est divisible par 5.
• 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
891 est divisible par 9. En effet, 8 + 9 + 1 = 18 or 18 est bien un multiple de 9
(9 × 2 = 18).
• 10 si son dernier chiffre est 0.
560 est divisible par 10.
Exercice : Trouver les diviseurs de :
a) 25
b) 15
c) 32
d) 48
f) 92
g) 96
h) 180
i) 72
4
e) 80
III Nombres premiers
On désire former un rectangle régulier avec 12 billes.
On y arrive, ce qui signifie que 12 est un produit de 2 nombres. 12 = 3 (lignes) × 4(colonnes).
On dit que 12 est un nombre composé.
Essayons maintenant avec 7 :
Ici on n’y arrive pas, 7 ne peut pas se décomposer en produit de deux nombres. On dit que
7 est un nombre premier.
Définition : Un nombre premier est un nombre entier positif qui admet exactement 2
diviseurs : 1 et lui même
Nous allons maintenant essayer de trouver tous les nombres premiers entre 2 et 90. Pour ceci
nous allons utiliser le tableau ci dessous :
11
21
31
41
51
61
71
81
2
12
22
32
42
52
62
72
82
3
13
23
33
43
53
63
73
83
4
14
24
34
44
54
64
74
84
5
15
25
35
45
55
65
75
85
6
16
26
36
46
56
66
76
86
7
17
27
37
47
57
67
77
87
8
18
28
38
48
58
68
78
88
9
19
29
39
49
59
69
79
89
10
20
30
40
50
60
70
80
90
5
Exercices
Exercice 1 : Un boulanger voudrait répartir ses mini-viennoiseries dans des sachets tous
identiques. Il a 90 pains au chocolats et 150 croissants
1. Peut-il réaliser 10 sachets ? 12 sachets ?
2.a. Écrire la liste des diviseurs de 90.
b. Écrire la liste des diviseurs de 150.
3. En déduire toutes les différentes possibilités de sachets. On donnera pour chaque possibilité
trouvée, le nombre de pains aux chocolats et de croissant dans chaque sachets.
Exercice 2 : 1. Ecrire la liste des multiples :
a. de 5 compris entre 1 914 et 1 981.
b. de 9 compris entre 1 914 et 1 981.
c. de 10 compris entre 1 914 et 1 981.
2. Existe-t-il un nombre qui est à la fois multiple de 5 ;9 et 10 entre 1914 et 1981.
Exercice 3 : Montrer que ces nombres ne sont pas des nombres premiers.
a. 2 564
b. 17 895
c. 1 600
d. 7 719
e. 16 803
Pour aller plus loin : Dans un parc, une attraction constituée de quatre wagons permet
d’embarquer 30 personnes par wagon pour 3 min 20 s de sensations fortes sur des montagnes
russes. Il faut 20 secondes pour faire embarquer et débarquer les passagers. Julia et Marc arrivent
et prennent place dans la file d’attente. Un compteur indique qu’il y a 1 523 personnes devant
eux.
En supposant que tous les wagons sont remplis à chaque tour, combien de temps faudra-t-il
avant que Julia et Marc puissent profiter de l’attraction.
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